XXVIII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
A integração de cadeias produtivas com a abordagem da manufatura sustentável.
Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2008
APLICAÇÃO DE MÉTODOS
NUMÉRICOS ATRAVÉS AMBIENTE
GRÁFICO NO ENSINO DE
ENGENHARIA
DEYVIDY MATEUS CORREIA RAMOS (FIC)
[email protected]
Wagner Baihense de Araujo (FIC)
[email protected]
Angelo Rocha de Oliveira (FIC)
[email protected]
Na resolução de problemas de engenharia, diversos métodos
numéricos podem ser utilizados. No que tange à aprendizagem do
Cálculo Numérico, considera-se pertinente a idéia de se desenvolver
um software que atenda às necessidades dos alunos dde Engenharia de
Produção, com a intenção de tornar mais amigável a introdução e a
apresentação das soluções através destes métodos. Com os recursos do
software, não só os alunos de Engenharia poderão acompanhar e
ratificar seus conhecimentos no decorrer da aprendizagem, mas
também alunos de outras áreas correlatas poderão se beneficiar deste
recurso, uma vez que o nível de abstração proporcionado pelo
aprendizado com bases mais sólidas, leva o estudante a interpretar
problemas e contextualizá-los até uma instância na qual ele é capaz de
utilizar o software, acompanhar a evolução do processo de solução e
refletir acerca dos resultados obtidos.
Palavras-chaves: Cálculo numérico, Engenharia, Métodos numéricos
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A integração de cadeias produtivas com a abordagem da manufatura sustentável.
Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2008
1 - Introdução
Muitos problemas de matemática numérica são modelados em função de um sistema de
equações lineares. Isso vale em geral para o tratamento numérico de equações lineares que
ocorrem, entre outras, como equações diferenciais parciais ou ordinárias e equações integrais
que surgem em diversos problemas da Física e Engenharia, como observado em
(CARVALHO, 1987).
r
No que tange à solução de sistemas lineares, método é dito direto quando a solução exata x é
obtida realizando-se um número finito de operações aritméticas, em precisão infinita. Um
r
método é dito iterativo quando a solução x é obtida como limite de uma seqüência de
r r
aproximações sucessivas x 1, x 2 e assim sucessivamente. Entre os métodos diretos, destacamse os métodos de eliminação que evitam o cálculo direto da matriz inversa de A e, além disso,
não apresentam problemas com tempo de execução (ROQUE, 1995). Foram estudados os
métodos diretos: Gauss, Jordan e Pivotação Completa. Já entre os métodos iterativos: Jacobi,
Gauss-Seidel, Newton (CLÁUDIO, 1991), assim como métodos de interpolação e
extrapolação, amplamente utilizados em várias áreas do conhecimento humano, como
Biologia (CARVALHO, 1987). Para cálculo de raízes de equações podem-se utilizar métodos
como bissecção, cordas e Newton-Raphson, cada um com suas características peculiares,
aplicações e limitações (CHAPRA, 1989) e para integração numérica, métodos como o
Método a Regra dos Trapézios são utilizados inclusive em rotinas internas de programas
amplamente utilizados na Engenharia, como é o caso do Matlab (BARROSO, 2002).
É pertinente observar que cada um desses métodos possui limitações e o mais importante: a
partir da evolução das iterações / resultados obtidos, cabe ao aluno de engenharia analisar as
saídas de dados a fim de verificar se os mesmos fazem sentido, se há coerência (RUGGIERO,
1993).
O presente artigo tem o objetivo de desenvolver um software para a disciplina de Cálculo
Numérico, mas que também pode ser usado em outras disciplinas e áreas da Engenharia,
constituindo-se como um material didático relevante para a absorção de conhecimentos no
que tange a métodos numéricos, bem como a visualização de trajetórias de convergência e
interpretação de resultados.
2 – O uso de métodos numéricos
A matemática é, de alguma maneira, usada na maioria das aplicações da ciência e da
tecnologia. Tem sempre havido uma relação muito próxima entre a matemática de um lado e a
ciência e tecnologia do outro. Algumas de suas áreas surgiram e foram desenvolvidas na
tentativa, ás vezes até frustrada, de solucionar problemas reais, ou seja, aqueles relacionados
com alguma situação prática (CLÁUDIO, 1991).
Com freqüência estes problemas reais não podem ser convenientemente solucionados através
de fórmulas exatas. Assim se for possível aceitar uma solução aproximada os métodos
numéricos serão as ferramentas adequadas para sua solução.
Uma grande fonte de métodos numéricos são as soluções e demonstrações matemáticas que
geram métodos construtivos ou algorítmicos. Os algoritmos gerados são utilizados para se
obter as soluções numéricas.
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As aplicações em cálculo numérico são largamente utilizadas em diversos processos da
engenharia. Sua utilização vai desde aplicações para determinação de raízes de equações,
passando por interpolação de valores tabelados, equações diferenciais parciais ou ordinárias
até integração numérica entre outros. Desta forma, torna-se cada vez mais comum a
necessidade de programar-se tais aplicações para a resolução de problemas do cotidiano do
profissional da área de engenharia.
A resolução de sistemas de equações lineares é útil para a solução de diversos problemas.
- Circuitos elétricos resistivos podem ser modelados na forma de sistemas de equações
lineares, onde as variáveis são as correntes que circulam em cada malha, os coeficientes são
as resistências em cada elemento resistivo e os termos independentes são as tensões geradas
em cada malha;
- Técnicas de interpolação polinomial se valem de resolução de sistemas para a determinação
dos coeficientes do polinômio que aproxima os pontos tabulados, oriundos de um
experimento científico qualquer;
- Análises da complexidade computacional de algoritmos recorrentes podem ser determinadas
com a utilização de sistemas lineares.
A função do Cálculo Numérico na Engenharia é “Buscar solucionar problemas técnicos
através de métodos numéricos ⇒ modelo matemático” (CLÁUDIO, 1991).
Podem ser considerados pertinentes os seguintes passos para a resolução de um problema:
parte-se de um problema do mundo real, específico de uma determinada área do
conhecimento humano. Tal problema deve ser modelado computacionalmente, com
refinamentos capazes de fazer com que as expressões matemáticas traduzam da forma mais
fiel possível os fenômenos sob estudo. A partir desse ponto, onde esse problema passa a ser
um problema de resolução de equações/ sistemas de equações, aplicam-se métodos para a
resolução desses sistemas. No momento em que as respostas são externadas o problema volta
a ser específico de uma determinada área, na medida em que a análise dos resultados deve ser
feita por pessoas que conheçam a natureza do problema e das variáveis sob estudo.
3 – O ambiente gráfico
Segundo VAZ JUNIOR (2005), uma interface gráfica deve centralizar as diversas funções e
tarefas que o programa realiza. Ou seja, a interface funciona como o centro de diversos
programas auxiliares. A denominação programas auxiliares é apenas uma forma de mostrar o
aplicativo do ponto de vista da interface gráfica. Isso porque, do ponto de vista da realização
de tarefas por parte do aplicativo, são exatamente esses programas auxiliares que fazem a
parte crítica do trabalho. Rotinas de cálculo, processamento matemático e todas as funções
realmente inteligentes do software são desenvolvidas nesses programas. A interface é um
mecanismo de interação homem-computador na qual o usuário é capaz de obter um resultado
prático sendo apenas uma forma de ilustrar a opção fornecida pelo programa, facilitando a
utilização do aplicativo por parte do usuário.
Optou-se pelo uso do Matlab (MATrix LABoratory) para o desenvolvimento desse ambiente
gráfico, devido ao fato de se uma linguagem estruturada e extremamente intuitiva, na medida
em que os comandos são muito próximos da forma como expressões algébricas são escritas,
tornando mais simples o seu uso (MATSUMOTO, 2002). O recurso do Matlab utilizado foi a
Plataforma Guide, estabelecendo desta forma uma maneira diferenciada nas entradas e saídas
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de dados. O utilitário Guide permite criar objetos de controle com o usuário em janelas
gráficas. Essas janelas gráficas são armazenadas e mostradas como painéis de entrada de
dados (MATSUMOTO, 2004). A Figura 1 mostra a tela inicial do ambiente gráfico, com
todas as funções disponíveis para utilização: métodos diretos/iterativos, cálculo de raízes,
interpolação/extrapolação, ajustes de curvas, integração numérica, aplicações em áreas da
engenharia, links para aplicativos do sistema operacional Windows, como o bloco de notas e a
calculadora, informações sobre o o ambiente gráfico e o item ajuda, onde são descritos todos
os métodos utilizados, bem como são desenvolvidos exemplos numéricos para auxílio do
aprendizado.
Figura 1 – Tela inicial do ambiente gráfico
Na figura 2 abaixo mostra a tela para resolução de problemas através do método da bissecção.
Ainda nesta figura pode ser observado o gráfico para acompanhamento. No canto inferior
direito pode-se formatar o gráfico de uma função ou de várias funções ao mesmo tempo.
Figura 2 – Entrada de dados para o método da bissecção
A Figura 3 mostra a entrada de dados para o método das cordas, usado para o cáculo de raízes
de equações. Todas as informações necessárias para que o método possa ser executado são
solicitadas na entrada de dados, levando o usuário a entender todos os aspectos que envolvem
a solução por esse método.
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Figura 3 – Entrada de dados para o método das cordas
Na Figura 4 observa-se a evolução do método de Gauss, utilizado para solução de sistemas
lineares, com a exibição na tela de cada resultado parcial, possibilitando ao aluno conferir
exercícios de forma minuciosa.
Figura 4 – Inserção de dados para o método de Gauss
É importante salientar que, para cada problema resolvido, é gerado um relatório em HTML
com toda a evolução dos métodos. O usuário pode também definir as escalas, os limites da
função, a quantidade de casas decimais e até mesmo a cor dos gráficos. No que concerne a
gráficos, a Figura 5 mostra o comportamento de um processo iterativo, onde é possível
visualizar o comportamento da curva erro versus iteração, através da qual um problema
convergiu (a solução pertinente foi encontrada) ou divergiu (não foi encontrada solução
pertinente).
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Figura 5 – Processo iterativo: comportamento gráfico
Uma outra forma do aluno interagir com o ambiente gráfico é o sistema de ajuda (Figura 6).
Esse sistema trata os itens do programa de maneira mais simples, com uma linguagem
facilmente compreendida pelo aluno. É nesse sistema que o aluno pode aprender a
desenvolver os métodos manualmente e, em seguida, conferir os resultados utilizando as
ferramentas do ambiente gráfico.
Figura 6 – Sistema de ajuda ao usuário
Diante das dificuldades encontradas para a manipulação do ambiente gráfico, o usuário tem
uma opção de janela para suporte, onde comentários, dicas e sugestões podem ser postadas.
Basta o usuário estar conectado à internet que ele pode enviar uma mensagem para a central
de suporte do programa através do endereço de email: [email protected], como pode ser
observado na Figura 7, onde o usuário deve inserir nome, e-mail e sua mensagem.
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Figura 7 – Sistema de suporte via web ao usuário
4 – Conclusões
O presente trabalho mostrou uma plataforma gráfica para aplicação na disciplina de Cálculo
Numérico. Os métodos numéricos podem ser observados e interpretados no que tange à condição
inicial, acompanhamento gráfico do processo iterativo e análise dos resultados. O ambiente
gráfico surge como uma ferramenta de auxílio ao aprendizado de disciplinas básicas da
engenharia, bem como possibilita ao aluno adquirir com mais facilidade a capacidade de abstração
e análise de resultados, agregando um conceito extremamente relevante para a vida profissional de
um engenheiro, na medida em que melhora a visão crítica do aluno sobre resultados obtidos.
Referências
BARROSO, L. C. Programação em MATLAB para Engenheiros. São Paulo: Thomson, 2002.
CARVALHO, M. L. & MAIA, M. L. Cálculo Numérico (com aplicações). São Paulo: Editora Harbra ltda, 2ª
ed., 1987.
CHAPRA, S.C. e CANALE, R.P. Numerical Methods, Singapore, 1989.
CLÁUDIO, MARINS. Cálculo Numérico Computacional. São Paulo: Atlas, 1991.
MATSUMOTO, E. Y. MATLAB 6.5. Fundamentos de Programação. São Paulo: Érica, 2002.
MATSUMOTO, E. Y. MATLAB 7. Fundamentos. São Paulo: Érica, 1ª ed, 2004.
ROQUE, W. Introdução ao Cálculo Numérico. São Paulo: Atlas, 1995.
RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico: Aspectos Teórico e Computacionais. São
Paulo: Makron, 1993.
VAZ JUNIOR, C. A. Desenvolvimento de Interface Gráfica em Ambiente MATLAB. 1ª ed. Rio de Janeiro:
edição do autor, 2005.
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