UNIOESTE – Universidade Estadual do Oeste do Paraná
Centro de Ciências Exatas
Campus Universitário de Foz do Iguaçu
Engenharia Elétrica
Análise Numérica – Professor Ricardo Krauskoff
Rafael Campagnaro de Mendonça
Foz do Iguaçu – Março, 2001
Método Pégaso
Introdução
O método Pégaso tem como base o método das cordas para encontrar a raiz de uma
equação. Essa base existe pelo simples fato de que o método Pégaso funciona apenas como uma
implementação do método das cordas. Ou seja, ele é uma adaptação criada para acelerar a
convergência. Essa aceleração se fez necessária a partir do momento em que o método das
cordas se mostrou lento devido a “inclinação acentuada demais” que a reta fazia pelo fato de se
ter um ponto fixo.
E é exatamente na mudança do ponto fixo que o método Pégaso trabalha. Ou seja, ele
evita que a famosa “reta” do método das cordas fique inclinada demais.
Descrição
Como já mencionado, o método consiste na mudança do ponto fixo. Mas para isso devese ter algum critério de lógica. Eis o critério.
Aplicamos o método das cordas para um intervalo [xo,x1] onde f(xo) . f(x1) < 0. Ou seja,
sabemos que existe pelo menos uma raiz dentro deste intervalo. Suas aproximações x2,x3,x4...
podem ser obtidas da seguinte forma:
f ( x n )( x n − x n −1 )
x n +1 = x n −
onde xn-1 é o ponto fixo.
f ( x n ) − f ( x n −1 )
A diferença deste método é que agora fazemos uma análise do valor da função para
alguns pontos da seguinte maneira:
Se f(xn+1) . f(xn) < 0, ou seja, se a função mudou de sinal, significa que passamos do
ponto da raiz, logo podemos mudar o ponto fixo antigo [xn-1,f(xn-1)] pelo novo [xn,f(xn)] já que a
raiz está situada dentro de um novo intervalo [xn+1,xn].Dessa forma a aproximação passa a ser
contrária a anterior, ou seja, se a aproximação estava sendo feita pela direita, ela passará a ser
pela esquerda e assim sucessivamente enquanto for atendida essa primeira condição. É lógico
que essa alteração de sinal não acontecia antes no método das cordas, pois o ponto era fixo e não
deixava de ser um valor da função, ou seja, essa condição que acabamos de impor, não adiantaria
nada. Mais adiante, concluiremos que essa primeira condição serve apenas para evitar que o
método falhe ou “estoure”. Eis a próxima condição:
Se f(xn+1) . f(xn) > 0, ou seja, se a função não mudou de sinal (e é aí que entra a filosofia
do método) mudamos o antigo ponto fixo [xn-1,f(xn-1)] pelo novo [xn-1,f(xn-1).f(xn)/(f(xn)+f(xn+1))],
f ( xn )
. Com isso, estamos diminuindo
ou seja, reduzimos o valor f(xn-1) por um fator
f ( x n ) + f ( x n +1 )
o valor do ponto fixo e aumentando a velocidade de convergência. Quando atendida essa
condição, a redução de f(xn-1) pelo fator mencionado nos retornará um valor que não é da
função. Logo, podem haver casos em que xn+1 passe da raiz. E é exatamente para esses casos que
a primeira condição foi criada. Pois quando xn+1 passar da raiz o valor de f(xn+1) mudará de sinal
e será identificado pela primeira condição, impedindo que haja “estouro”.
f ( xn )
pelo qual f(xn-1) é multiplicado, podemos concluir que
f ( x n ) + f ( x n +1 )
ele é um fator de ponderação cujo peso maior está apontado para f(xn), já que f(xn) é dividido por
ele mesmo mais uma parcela. Essa parcela não poderia deixar de ser f(xn+1), cujo valor deve ser
considerado para se saber quanto diminuir do ponto fixo de acordo com o valor de f(xn+1). Além
disso, esse fator é coerente para que o ponto fixo sempre seja reduzido para uma parcela dele
mesmo. Ou seja, quanto maior for f(xn+1) em valor absoluto relacionado a f(xn), maior será a
redução do ponto fixo e em conseqüência, menor será a parcela do ponto fixo que usaremos.
Isto posto, podemos garantir que o método é bem mais acelerado do que o simples
método das cordas, visto que sempre há uma alteração no intervalo não apenas de um lado, mas
dos dois lados, ou seja, não há mais o ponto fixo. Além disso, experiências comprovam que não
importa o tamanho do intervalo, pois sempre a convergência será rápida. Logo, não há como
negar que o método se mostrou “bom”.
Quanto ao fator