Marília Brasil Xavier
REITORA
Prof. Rubens Vilhena Fonseca
COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA
MATERIAL DIDÁTICO
EDITORAÇÃO ELETRONICA
Odivaldo Teixeira Lopes
ARTE FINAL DA CAPA
Odivaldo Teixeira Lopes
REALIZAÇÃO
BELÉM – PARÁ – BRASIL
- 2011 -
APRESENTAÇÃO.
SUMÁRIO
1.
APRESENTAÇÃO ................................................................................................................................. 05
SISTEMA NUMÉRICO E ERROS ................................................................................................. 09
1.1.
INTRODUÇÃO..................................................................................................................................
09
1.2.
ERROS NA FASE DE MODELAGEM .......................................................................................
09
1.3.
ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO............................................................................................ 09
MUDANÇA DE BASE .................................................................................................................... 09
1.4.
2.
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 12
12
RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES .....................................
12
2.1.
RAIZ DE UMA EQUAÇÃO ...........................................................................................................
2.2.
2.3.
ISOLAMENTO DE RAÍZES ........................................................................................................... 13
TEOREMA DE BOLZANO.............................................................................................................. 14
2.4.
EQUAÇÕES TRANSCENDENTES............................................................................................
14
2.5.
MÉTODO GRÁFICO........................................................................................................................
15
EXERCÍCIOS .....................................................................................................................................
16
2.6.
MÉTODO DA BISSEÇÃO ............................................................................................................
16
2.7.
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 18
MÉTODO DAS CORDAS ............................................................................................................. 19
2.8.
3.
EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................
22
MÉTODO DE NEWTON .............................................................................................................
22
EXERCÍCIOS .....................................................................................................................................
24
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................................................
25
3.1.
TRANSFORMAÇÕES ELEMENTARES ....................................................................................
26
3.2.
MÉTODOS DIRETO ......................................................................................................................
26
3.2.1.
Método de Gauss-Jordan .................................................................................................................
26
3.2.2.
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 28
Cálculo da Inversa de uma Matriz .................................................................................................... 28
3.2.3.
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 29
Cálculo do determinante de uma Matriz ......................................................................................... 30
3.3.
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 31
MÉTODOS ITERATIVOS ............................................................................................................. 31
3.3.1.
Método de Jacobi .................................................................................................................................. 32
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 34
3.3.2.
Método de Gauss-Deidel ..................................................................................................................... 34
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 36
INTERPOLAÇÃO LINEAR ............................................................................................................. 37
CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO .............................................................................................. 37
INTERPOLAÇÃO LINEAR ............................................................................................................. 37
INTERPOLAÇÃO QUADRATICA ................................................................................................ 38
ERRO DE TRUNCAMENTO .......................................................................................................... 39
TEOREMA DE ROLLE .................................................................................................................... 39
INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE ............................................................................................ 39
EXERCÍCIOS.....................................................................................................................................
4.7.
43
INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS................................. 44
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 47
AJUSTE DE CURVAS ............................................................................................................................ 48
5.1.
AJUSTE LINEAR ............................................................................................................................... 48
5.
5.2.
EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................... 50
AJUSTE POLINOMIAL ................................................................................................................. 50
EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................
53
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA ............................................................................................................
55
6.1.
REGRA DOS TRAPÉZIOS ............................................................................................................
55
6.2.
EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................... 58
59
PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON ............................................................................................
6.
EXERCÍCIOS ..................................................................................................................................
62
6.3.
SEGUNDA REGRA DE SIMPSON .............................................................................................. 62
EXERCÍCIOS ..................................................................................................................................... 63
6.4
INTEGRAL DUPLA ......................................................................................................................
64
EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................
67
QUESTÕES COMPLEMENTARES ............................................................................................. 68
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................. 72
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1. SISTEMA NUMÉRICO E ERROS
1.1. INTRODUÇÃO
A solução de muitos problemas passa pela modelagem matemática, para isto devem ser
representado por uma fórmula ou procedimento matemático, que expressam as características
principais deste problema. A seqüência lógica da solução de um problema, segue o diagrama
a baixo.
Problema
Modelagem
Modelo
Matemático
Resolução
Solução
É importante ressaltar, que em certas situações a solução estimada, pelos métodos
numéricos, se afasta da verdadeira solução do problema. Isto ocorre devido a presença de
fontes de erro que podem ocorrer na fase de modelagem do problema ou na fase resolução do
problema.
1.2. ERROS NA FASE DE MODELAGEM
Os erros na fase de modelagem ocorrem quando desconsideramos ou desprezamos
alguma variável presente no problema.
1.3. ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO
Nesta fase, o erro é gerado no momento que se fazer os cálculos na calculadora ou
computador devido aos processos de arredondamentos.
1.4. MUDANÇA DE BASE
Todo número na base dez pode ser decomposta da seguinte forma
m
a i . 10 i
a m . 10 m ... a 2 . 10 2
a1 . 101 a 0 . 10 0 a 1 . 10 1 a 2 . 10 2 ... a n . 10 n
i n
ai
n, m
é 0 ou 1
números inteiros, com n 0 e m
0
Exemplo:
8052 ,406 8*10 3 0*10 2 5*101 2*10 0 4*10 1 0*10 2 6*10 3
De forma semelhante. um número na base 2 pode ser escrito por:
m
a i . 2i
a m . 2 m ... a 2 . 2 2
a1 . 21 a 0 . 2 0 a 1 . 2 1 a 2 . 2 2 ... a n . 2 n
i n
Exemplo:
1011,101 1 . 23 0 . 22 1 . 21 1 . 20 1 . 2 1 0 . 2 2 1 . 2 3
Para transformar um número inteiro da base 10 para a base 2, utiliza-se o método de
divisões sucessivas, que consiste em dividir o número por 2, a seguir dividi-se por 2 o
9
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quociente encontrado e assim o processo é repetido até que o último quociente seja igual a 1 .
O número binário será, então, formado pela concatenação do último quociente com os restos
das divisões lidos em sentido inverso ao que foram obtidos, ou seja,
N
r1
2
q1
r2
2
Q2
R3
2
q3
qn-1
rn-1
2
1
N10 1 . rn 1 . ... . r3 . r2 . r1
Para transformar números fracionários da base 10 para a base 2, utiliza-se o método das
multiplicações sucessivas, que consiste em:
1º Passo – multiplicar o numero fracionários por 2;
2º Passo – deste resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número na base 2 e a parte
fracionária é novamente multiplicada por 2. O processo é repetido até que a parte fracionária
do último produto seja igual a zero.
Exemplo: transforme 0,1875 10 para a base 2
logo 0,187510
0,1875
2
0,375
2
2
2
0,3750
0,750
1,50
1,00
0,75
0,50
0,0011 2
Exemplo: transforme 13,2510 para a base 2
13
1
2
6
0
2
3
1
2
1
1310 = 11012
0,25
0,50
2
2
0,50
1,00
0,2510 = 0,012
logo 13,2510 1101,012
10
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De maneira geral, o número x em uma base
d1
x
di
exp
I, S
d1
d2
d3
2
3
é representado por:
dt
...
. exp
t
são os números inteiros contidos no intervalo 0 d i
, i 1, 2, ... , t
representa o expoente de e assume valores entre I exp S ,
os limites inferior e superior, respectivamente, para a variação do expoente
d2
d3
2
3
...
dt
é chamado de mantissa e é a parte do número que representa
t
seus dígitos significativos e t é o número de dígitos significativos do sistema de
representação, comumente chamado de precisão da máquina.
Exemplo:
Sistema decimal
3
5
0,357 10
10 10 2
29,357 10
7
10
2
9
10 10 2
. 10 0
3
3
10
5
3
10
7
4
10
. 10 2
5
Observação: a mantissa é um número entre 0 e 1.
Sistema binário
1
2
11001 2
1
2
11001 ,012
1
0
0
1
2
3
4
5
2
2
2
2
. 25
1
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
2
2
2
2
2
. 25
Saiba que cada dígito do computador é chamado de bit. Apresentaremos abaixo uma
maquina fictícia de 10 bits para a mantissa, 4 bits para o expoente e 1 bit para o sinal da
mantissa e outro bit para o sinal do expoente.
Expoente
Sinal da
Mantissa
Sinal do
Expoente
Mantissa
Para você entender melhor faremos um exemplo numérico.
Exemplo: Numa maquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tenha
t 10 , I
15 e S 15 , o número 25 na base decimal é representado por
2510
1
1
1
0,11001 . 25
11001 2
0
0
1
0
0
11
2,
0,11001 . 2101
0
0
0
0
1
0
1
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Observe que utilizamos bit = 0 para positivo e bit = 1 para negativo.
Um parâmetro muito utilizado para avaliar a precisão de um determinado
sistema de representação é o número de casas decimais exatas da mantissa e que
este valor é dado pelo valor decimal do último bit da mantissa, ou seja, o bit de
1
maior significado, logo: PRECISÃO
t
E
xercício
(01) Os números a seguir estão na base 2, escreva-os na base 10.
(a) 11011 2
(b) 111100 2
(c) 100111 2
(d) 11,011 2
(e) 10,112
(f) 110,001 2
(02) Os números a seguir estão na base 10, escreva-os na base 2.
(a) 1510
(b) 1210
(c) 3610
(d) 15,6210
(e) 10,2510
(f) 30,12510
(03) Considere uma máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tenha
2 , t 10 , I
15 e S 15 .Represente nesta máquina os números:
(a) 3510
(b) 8,210
(c) 2410
(d) 4,610
2. RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES
NÃO LINEARES
2.1. RAIZ DE UMA EQUAÇÃO
Os métodos numéricos são usados na busca das raízes das equações, ou os zeros reais
de f(x). Em geral, os métodos, utilizados apresentam duas fases distintas:
Fase I – Localização ou Isolamento das Raízes
Está fase consiste em obter um intervalo que contém a raiz da função f(x) = 0, e em
seguida iremos para a segunda fase.
Fase II – Refinamento
Nesta fase definimos a precisão que desejamos da nossa resposta e escolhemos as
aproximações iniciais dentro do intervalo encontrado na Fase I. Em seguida
melhoramos, sucessivamente, a aproximação da raiz da função f(x) = 0, até se obter
uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão pré-fixada.
12
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2.2. ISOLAMENTO DE RAÍZES
Os métodos numéricos utilizados para calcular raízes da equação f(x) = 0, só calculam
uma raiz de cada vez. Esta é a razão porque devemos determinar um intervalo para cada raiz
que desejamos calcular.
Teorema
“Se uma função contínua f ( x ) assume valores de sinais oposto nos pontos extremos do
intervalo
[ a , b ] , isto é, f (a) . f (b) 0 , então o intervalo conterá, no mínimo, uma raiz da
equação f (x ) 0 , em outras palavras haverá no mínimo um número , pertencente ao
( a , b ) , tal que, f ( ) 0 ”
intervalo aberto ( a , b ) ,
Exemplo:
Neste exemplo apresentamos uma função f ( x ) que possui dentro do intervalo [ a , b ] três
raízes: 1 , 2 e 3 . Isto é, são três valores de x , para os quais a função f ( x ) tem imagem
igual a zero, isto é: f ( 1 )
0 , f( 2 )
0 e f( 3 )
0.
y
f(x)
a
0
2
1
3
Observe no exemplo que f (a)
0 e f (b)
b
x
Se a função possui imagem
zero nos pontos 1 , 2 e 3 , o
gráfico da função f ( x ) , nestes
pontos, intercepta o eixo dos x.
0 , logo o produto f (a) . f (b)
0
y
f(b)
f(x)
a
0
b
x
f(a)
Observe que toda vez que dentro de um intervalo [ a , b ] , tivermos f (a) . f (b) 0 ,
significa que neste intervalo temos pelo menos uma raiz da função f ( x ) , como vemos na
figura a seguir.
13
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y
f(x)
Quando uma função possui um número par
de raízes dentro do intervalos [ a , b ] , temos
f (a) . f (b) 0
a
0
b
1
x
y
y
f(x)
f(b)
f(a)
a
0
a
0
1
2
x
b
2
b
x
1
f(a)
f(b)
f(x)
f ( a) 0
f (b) 0
logo f (a) . f (b)
f ( a) 0
f (b) 0
0
logo f (a) . f (b) 0
Quando uma função não possui raízes dentro do intervalos [ a , b ] , temos f (a) . f (b)
y
y
0
a
f(x)
f(b)
x
f(a)
b
a
f(a)
b
x
0
f(b)
0
f(x)
f ( a) 0
f (b) 0
logo f (a) . f (b)
f ( a) 0
f (b) 0
logo f (a) . f (b)
0
0
2.3. TEOREMA DE BOLZANO
Seja P( x ) 0 uma equação algébrica com coeficientes reais e x ( a , b ) .
Se P(a) . P(b) 0 , então existem um número ímpar de raízes reais no intervalo ( a , b ) .
Se P(a) . P(b) 0 , então existem um número par de raízes reais no intervalo ( a , b ) ou
não existem raízes reais no intervalo ( a , b ) .
2.4. EQUAÇÕES TRANSCENDENTES
Saiba que a determinação do número de raízes de funções transcendentes é quase
impossível, pois algumas equações podem ter um número infinito de raízes.
Função Seno
Função Cosseno
14
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1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
Y
Y
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
0
2
4
6
X
8
10
12
0
2
Função Tangente
4
6
X
8
10
12
Função Exponencial
10
20
9
15
8
7
10
6
5
Y
Y
5
0
4
3
-5
2
1
-10
0
-1
-15
-20
-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3
-2
-1
0
X
9
1
2
3
4
X
2.5. MÉTODO GRÁFICO
Lembre que uma raiz de uma equação f (x ) 0 é um ponto onde a função f ( x ) toca o
eixo dos x .
Outra forma de identificarmos as raízes da equação é substituir
f (x ) g(x ) h(x ) , onde g( x ) h( x ) 0 . As raízes de f (x ) 0 corresponderam a interseção
das funções g( x ) e h( x ) .
x2
Observe o exemplo a seguir, onde utilizamos a função f (x)
raízes 2 e 5. Se fizermos f (x ) g(x ) h(x ) , onde
interseção de g( x ) com h( x ) acontece em 2 e 5.
g(x)
x 2 e h(x )
f (x)
x2
7x 10 temos a
7x 10
Y
10
7x 10 que possui
0
-10
0
1
2
3
4
5
6
7
g(x)
x2
40
Y
30
20
10
h( x )
0
-10
-1
0
1
2
3
X
4
15
5
6
7x 10
7
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E
xercício
(01) Dada a função f ( x) 0.2 x 2 sen x , separe esta em duas funções e aproxime pelo
menos uma de suas raízes pelo método gráfico.
(02) Dada a função f ( x) x 2 4 x , separe esta em duas funções e aproxime pelo menos
uma de suas raízes pelo método gráfico.
(03) Dada a função f ( x) x 2 cos x , separe esta em duas funções e aproxime pelo menos
uma de suas raízes pelo método gráfico.
(04) Dada a função f ( x) x3 sen x , separe esta em duas funções e aproxime pelo menos
uma de suas raízes pelo método gráfico.
2.6. MÉTODO DA BISSEÇÃO
Para utilizarmos este método devemos primeiro isolar a raiz dentro de um intervalo
[ a , b ] , isto é, devemos utilizar o método gráfico para aproximar visualmente a raiz para em
seguida isolá-la pelo intervalo ( a , b ) , onde esta raiz pertença a este intervalo. Para
utilizarmos o método das bisseção é necessários que a função f ( x ) seja uma continua no
intervalo [ a , b ] e que f (a) . f (b) 0 .
Para aplicamos o método da bisseção devemos dividir o intervalo [ a , b ] ao meio,
obtendo assim x o , com isto temos agora dois intervalos [ a , x o ] e [ x o , b ]
y
x
a
xo
b
x o ; Caso contrário, a raiz estará no subintervalo onde a função tem
Se f ( x o ) 0 , então,
sinais oposto nos pontos extremos, ou seja se
f(a) . f(xo ) 0 implica que a raiz esta no intervalo [ a , x o ] .
f ( x o ) . f (b) 0 implica que a raiz esta no intervalo [ x o , b ] .
16
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y
a1
x
x1
b1
A partir daí construiremos um novo intervalo [ a1 , b1 ]
O novo intervalo [ a1 , b1 ] que contém é dividido ao meio e obtém-se x 1 onde se
f (a1 ) . f ( x1 ) 0 implica que a raiz esta no intervalo [ a1 , x 1 ] .
f ( x1 ) . f (b1 ) 0 implica que a raiz esta no intervalo [ x 1 , b1 ] .
O processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz exata , com a
tolerância
desejada. Tolerância ( ) é um valor que o calculista define. A partir da
tolerância, definimos o critério de parada, onde se para de refinar a solução e se aceita o valor
aproximado calculado. A tolerância , é muitas vezes avaliada por um dos três critérios
abaixo:
| f (x n ) |
E
| xn xn 1 |
E
| xn xn 1 |
E
| xn |
Exemplo:
(01) Calcular a raiz da equação f (x) x 2 3 com E 0,01 .
Solução
Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto
devemos fazer uma no seu gráfico.
14
12
10
Intervalo de
busca
Raiz procurada
8
y
6
4
2
0
-2
-4
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
A raiz procurada está próxima de 2 e esta dentro do intervalo [ 1 3 ] . Logo
N
an
bn
xn
17
f (xn)
E
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0
1
2
3
4
5
6
7
1.0000
1.0000
1.5000
1.5000
1.6250
1.6875
1.7188
1.7188
3.0000
2.0000
2.0000
1.7500
1.7500
1.7500
1.7500
1.7344
2.0000
1.5000
1.7500
1.6250
1.6875
1.7188
1.7344
1.7266
1.0000
-0.7500 0.5000
0.0625 0.2500
-0.3594 0.1250
-0.1523 0.0625
-0.0459 0.0313
0.0081 0.0156
-0.0190 0.0078
Construção da tabela
1ª linha: Na iteração inicial ( N = 0 ) temos [ ao bo ]
[ 1 3 ] sendo o ponto médio x o 2 .
[1 2 ]
0 , substituímos b1 xo , logo [ a1 b1 ]
2ª linha: ( N = 1 ) Como f(ao ) . f(x o )
sendo o ponto médio x1 1,5 .
[ 1,5 2 ]
3ª linha: ( N = 2 ) Como f ( x1 ) . f (b1 ) 0 , substituímos a 2 x1 , logo [ a 2 b 2 ]
sendo o ponto médio x 2 1,75 .
8ª linha: ( N = 7 ) Como f (a 6 ) . f ( x 6 ) 0 ,
substituímos a 7 x 6 , logo
E ).
[ a7 b7 ]
[ 1.7188 1.7344 ] sendo o ponto médio x7 1.7266 ( 0.0078
Como o erro é menor que tolerância então a aproximação final é x 1,7266 .
E
xercício
(01) Calcular a raiz da equação f (x)
x2
ln x com E
(02) Calcular a raiz da equação f ( x)
x3
x2
0,01 .
4 com E
0,01 .
(03) Calcular a raiz da equação f ( x)
2 x 2 10
0,01 utilizando o método da
(04) Calcular a raiz da equação f ( x)
2x 3 5
0,01 utilizando o método da
(05) Calcular a raiz da equação f ( x)
x2
0,01 utilizando o método da
com E
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 1, 3 ] )
com E
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 0 , 3 ] )
3
com E
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 1, 3 ] )
(06) Calcular a raiz da equação f ( x)
x 2 16 sen x
(07) Calcular a raiz da equação f ( x)
x2
com E
da bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 3 , 5 ] )
5 sen x com E
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 1, 3 ] )
18
0,01 utilizando o método
0,01 utilizando o método da
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
2.7. MÉTODO DAS CORDAS
Para utilizarmos este método devemos primeiro isolar a raiz dentro de um intervalo
[ a , b ] , isto é, devemos, novamente, utilizar o método gráfico para aproximar visualmente a
raiz para em seguida isolá-la pelo intervalo [ a , b ] , onde esta raiz pertença a este intervalo
( a , b ) . No método das cordas, ao invés de se dividir o intervalo [ a b ] ao meio, ele é
dividido em partes proporcionais à razão f (a) / f (b) . A fórmula de recorrência para a
aproximação da raiz enésima é
f (x n )
xn 1 xn
x n c , onde n 0, 1, 2, ...,
f (x n ) f (c)
onde o ponto fixado c (ou “ a ” ou “ b ”) é aquele no qual o sinal da função f ( x ) coincide
com o sinal da segunda derivada f ' ' ( x ) , ou seja f ' ' (c) . f (c) 0 .
| xn xn 1 |
E
| xn |
A existência da corda da
y
origem
a
dois
triângulos
semelhantes,
que
permitem
f(b)
estabelecer a seguinte relação:
Corda
h1
b a
h1
f (a) f (b) f (a)
esta
relação
nos conduz a uma
x
a x
o
1
b
x
valor aproximado da raiz
x1
f(a)
x1
a
a h1
f (a)
(b a)
f (b) f (a)
y
f(b)
h1
a
xo
x1
b
x
f(a)
Ao se aplicar este procedimento ao novo intervalo que contém , como mostra a
figura a seguir, [ a x1 ] ou [ x1 b ] , obtém-se uma nova aproximação x 2 da raiz pela
aproximação apresentada acima
19
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
y
f(b)
Corda
h2
a
x1
x2
x
b
f(a)
Nas figuras a seguir, como no método das cordas é escolhido o extremos do intervalo [a , b]
que deve ser igual ao valor x o .
y
y
f(a)
f(b)
h1
a
h1
x1
x1
xo
x
b
f(a)
b
a
x
f(b)
f ' ' (x) 0
f (a) 0 e f (b)
c b
f ' ' (x) 0
f (a) 0 e f (b)
c a
0
y
0
y
f(a)
f(b)
a
x1
x
xo
h1
x
a
b
x1
b
h1
f(b)
f(a)
f ' ' (x) 0
f (a) 0 e f (b)
c b
f ' ' (x) 0
f (a) 0 e f (b)
c a
0
20
xo
0
xo
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Exemplo:
(01) Calcular a raiz da equação f (x) x 2 3 com E 0,01 .
Solução
Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto
devemos fazer uma no seu gráfico.
14
Intervalo de
busca
12
10
Raiz procurada
8
y
6
4
2
0
-2
-4
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
A raiz procurada está próxima de 2 e esta dentro do intervalo [ 1 3 ] . Logo
N
an
0
1
2
3
4
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
bn
3.0000
1.5000
1.8000
1.7143
1.7368
xn
f (xn)
E
3.0000 6.0000 1.5000
1.5000 -0.7500 0.3000
1.8000 0.2400 0.0857
1.7143 -0.0612 0.0226
1.7368 0.0166 0.0061
Construção da tabela
f ' ' (3) 2 0 e f (3) 32 3 6 0
0 de onde temos que c a 1
f (x n )
usando a fórmula de recorrência x n 1 x n
xn
f (x n ) f (c)
Como f ' ' ( x ) 2
logo f ' ' (3) . f (3)
x0
b
x1
x0
x2
x3
x4
c temos que
3
f (x 0 )
x 0 1 1.5000
f (x 0 ) f (1)
f ( x1 )
x1
x1 1 1.8000
f (x1 ) f (1)
f (x 2 )
x2
x 2 1 1.7143
f (x 2 ) f (1)
f (x 3 )
x3
x 3 1 1.7368
f (x 3 ) f (1)
[a b]
[ 1.0 1.50 ]
[a b]
[ 1.0 1.80 ]
[a b]
[ 1.0 1.7143 ]
[a b]
[ 1.0 1.7368 ]
E ) então a aproximação final é x
Como o erro é menor que tolerância ( 0.0061
21
1,7368 .
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
E
xercício
(01) Calcular a raiz da equação f ( x)
x2
ln x com E
(02) Calcular a raiz da equação f ( x)
x3
x2
0,01 .
4 com E
(03) Calcular a raiz da equação f ( x) 2 x 2 10 com E
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 1, 3 ] )
0,01 .
0,01 utilizando o método da
(04) Calcular a raiz da equação f ( x) 2x 3 5 com E 0,01 utilizando o método da
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 1, 2 ] )
(05) Calcular a raiz da equação f ( x) x 2 3 com E 0,01 utilizando o método da
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 1, 3 ] )
(06) Calcular a raiz da equação f ( x) x 2 16 sen x com E 0,01 utilizando o método
da bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 3, 5 ] )
(07) Calcular a raiz da equação f ( x) x 2 5 sen x , com E 0,01 utilizando o método da
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 1.5 , 2.5 ] )
2.8. MÉTODO DE NEWTON
Semelhantes aos métodos da bisseção e da corda, devemos primeiro isolar a raiz que
desejamos procurar dentro de um intervalo [ a , b ] utilizando para isto o método gráfico. Para
utilizarmos o método de Newton é necessários que a função f ( x ) seja uma continua no
intervalo [ a , b ] e que
o seu único zero neste intervalo; as derivada f ' ( x ) [ f ' (x ) 0] e
f ' ' ( x ) devem também ser contínuas.
Para se encontrar a expressão para o cálculo da aproximação x n para a raiz
devemos fazer uma expansão em série de Taylor para f (x ) 0 , de onde temos
f ( x ) f ( x n ) f ' ( x n )( x x n ) se fizermos f ( x ) f ( x n 1 ) 0 , obteremos
a seguinte
expressão f ( x n ) f ' ( x n )( x n 1 x n ) 0 , isolando o termo x n 1 na temos
f (x n )
xn 1 xn
.
f ' (x n )
onde x n 1 é uma aproximação de .
22
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
y
y
f(a)
f(b)
b
a
b
x0
x 2 x1
a
x
f ' ' (x) 0
f ' (x) 0
b x0
f(a)
x
f ' ' (x) 0
f ' (x) 0
a x0
f(b)
y
y
f(a)
f(b)
x 2x1 b
a
f(b)
x 0 x1 x 2
x
x o x1 x 2
a
x0
b
x
b
f ' ' (x) 0
f ' (x) 0
b x0
f ' ' (x) 0
f ' (x) 0
a x0
f(a)
Exemplo:
(01) Calcular a raiz da equação f (x) x 2 3 com E 0,01 .
Solução
Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto
devemos fazer uma no seu gráfico.
14
12
10
Intervalo de
busca
Raiz procurada
8
y
6
4
2
0
-2
-4
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
A raiz procurada está próxima de 2 e esta dentro do intervalo [ 1 3 ] . Logo
23
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
N
0
1
2
3
an
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
bn
3.0000
2.0000
1.7500
1.7321
Observe a construção da tabela:
f ' (3) 6
Como f ' ( x ) 2 x
x0 b 3
usando a expressão x n 1
xn
xn
3.0000
2.0000
1.7500
1.7321
f (xn)
E
6.0000
1.0000 0.2500
0.0625 0.0179
0.0003 0.0001
0 e como f ' ' ( x )
2
0 logo temos
f (x n )
, temos a seguinte recorrência
f ' (x n )
f (x 0 )
[ a b ] [ 1.0 2.0 ]
2.0000
f ' (x 0 )
f ( x1 )
[ a b ] [ 1.0 1.75 ]
x 2 x1
1.7500
f ' ( x1 )
f (x 2 )
[ a b ] [ 1.0 1.7321 ]
x3 x2
1.7321
f ' (x 2 )
E ) então a aproximação final é x
Como o erro é menor que tolerância ( 0.0001
x1
x0
E
1,7321 .
xercício
(01) Calcular a raiz da equação f ( x)
x2
ln x com E
(02) Calcular a raiz da equação f ( x)
x3
x2
0,01 .
4 com E
0,01 .
(03) Calcular a raiz da equação f ( x) 2 x 2 10 com E
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 1, 3 ] )
0,01 utilizando o método da
(04) Calcular a raiz da equação f ( x) 2x 3 5 com E
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 1, 2 ] )
0,01 utilizando o método da
(05) Calcular a raiz da equação f ( x) x 2 3 com E
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 1, 3 ] )
0,01 utilizando o método da
(06) Calcular a raiz da equação f ( x) x 2 16 sen x com E
da bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 3, 5 ] )
0,01 utilizando o método
(07) Calcular a raiz da equação f ( x) x 2 5 sen x , com E 0,01 utilizando o método da
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca [ 1.5 , 2.5 ] )
24
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3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Para entendermos os métodos de resolução de sistemas lineares, devemos primeiro
compreender que um sistema linear Sn é uma coleção de n equações lineares, como
mostraremos a seguir
a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 ... a1n x n b1
Sn
a 21 x1
a 22 x 2
a 23 x 3 ... a 2 n x n
b2
..........................................................
a n1 x 1
an 2 x 2
an3 x 3 ... ann x n
bn
que pode, também, ser representado por
Ax
b
onde A é uma matriz quadrada de ordem n , x e b não matrizes n 1 , isto é, com n linhas e
uma coluna. A matriz A tem a seguinte forma
a11
A
a12
a13
...
a 21 a 22
a 23
... a 2n
....
.... ....
....
a n 1 a n2
an3
a1n
....
... ann
onde ai j é chamado coeficiente da incógnita x j e os b i são chamados termos independentes.
Com a matriz dos coeficientes e a matriz dos termos independentes montamos a matriz B ,
denominada de matriz ampliada, que pode ser escrita por
B [ A:b]
ou seja
a11 a12 a13 ... a1n b1
x1
a 21 a 22 a 23 ... a 2n b 2
x2
x
B
.... .... .... .... .... ....

an1 an2 an3 ... ann bn
xn
Uma solução do sistema Sn , são os valores x1 , x 2 , ... , x n , que constituem a matriz coluna
x , denominada de matriz solução que pode ser escrita por
Os sistemas lineares Sn podem ser classificados da seguinte forma:
Homogêneo
Possível
Determinad o
Indetermin ado
Sn
Impossível
Não Homogêneo
Possível
25
Determinad o
Indetermin ado
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
Um sistema Sn ( A x
b ) é denominado de homogêneo quando a matriz b , dos termos
independentes, é nula, o sistema Sn ( A x
b ) é denominado de não-homogêneo quando a
matriz b , não é nula, isto é, existe pelo menos um termo em b , que não é nulo.
Um sistema é dito impossível quando não há nenhuma solução que satisfaça o sistema,
isto é, sua solução é o vazio. Um sistema é dito possível quando há, pelo menos, uma
seqüência de valores x1 , x 2 , ... , x n que satisfaça o sistema, isto é, a sua solução nunca é o
vazio. Se existir uma única seqüência de valores que satisfaça o sistema Sn , então este
sistema é dito Possível e determinado, se existir mais de uma seqüência de valores x1 , x 2 ,
... , x n que satisfaça o sistema Sn , estão podemos afirmar que o sistema é Possível e
indeterminado.
3.1. TRANSFORMAÇÕES ELEMENTARES
O cálculo da solução de sistemas através de métodos interativos, consiste em uma
seqüência de transformações, onde um sistema mais complexo é transformado em outro mais
simples com a mesma solução. As transformações utilizadas para modificar os sistemas de
equações lineares são formadas pelas seguintes operações elementares:
(1) Trocar a ordem de duas equações do sistema.
(2) Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não numa.
(3) Adicionar duas equações do sistema.
A partir das operador apresentadas podemos transformar um sistema S1 em um
sistema S 2 . Isto é, S1 e S 2 são equivalentes.
3.2. MÉTODO DIRETO
Consiste de métodos que determinam a solução do sistema linear com um número finito
de transformações elementares.
3.2.1. Método de Gauss-Jordan
Exemplo: Calcule a solução do sistema
x
y
z
x
y
z
x
y
z
6
4
2
Solução
Como já explicamos, para melhor aplicar o método de Gauss-Jordan devemos escrever o
sistema na forma matricial:
x
y
z
x
y
z
x
y
z
6
4
2
1 1 1
x
6
1 -1 -1
y
-4
1 -1 1
z
2
26
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
A ampliada B é modificada segundo as expressões à direita gerando um novo sistema sempre
posto abaixo
1
B0
B1
B1
B2
B3
B3
1
6
1 -1 -1 - 4
1
2
L(21)
1
1
6
m(20)
1
0 - 2 - 2 - 10
1 -1
1
2
1
1
6
1
0 - 2 - 2 - 10
0 -2
0
-4
1
1
6
1
0 - 2 - 2 - 10
0
0
1
1
2
0
1
0
3
1
-4
6
0
1
0 -2 0
-4
0
0
0
2
m1(2)
m(22)
6
2
L(32)
3
2
0 -2 0
m1(1)
L(13)
0 0
1
L(31)
6
0 - 2 - 2 - 10
6
0)
a(21
m1(0)
1 -1
0 0
B4
1
L(23)
(0)
a11
m1(0)L(10)
0)
a(31
(0)
a11
m(20)L(10)
( 2)
a13
2)
a(33
m1(2)L(32)
2)
a(23
2)
a(33
m(22)L(32)
( 2)
2
L(15)
L(25)
1
2
L(12)
( 2)
2
L(22)
1
2
L(13)
L(14)
L(14)
( 4)
a11
1
L(24)
L(24)
4)
a (22
2
L(34)
L(34)
4)
a (33
2
1
0
0
1
x
1
0
1
0
2
y
2
0
0
1
3
z
3
27
1
L(31)
3)
a(22
m1(3)L(23)
1
L(30)
(3)
a12
L(35)
B5
1
1
1)
a(22
m1(1)L(21)
1
L(20)
1)
a(32
m1(3)
L(14)
1
1
1
2
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
E
xercício
(01) Calcule a solução do sistema
x y z 6
(a) x y z
4
x
y
x
2y
x
(c)
(e)
2x
2y
x
2z
3
z
5
0
z
7
2y
2y
x
(d)
z
3z
5y
2x
2z
2y
1
x
2 y 3z
2z
5
(f) x
z
0
2x
z
2z
y
18
2t
z 3t
2y
y
12
3z t
x
2 y 3z
x 5y
y
x
5
2y
2y
(b) x
2
3z
5y
2x
x
z
x
t
23
17
12
8
5
z 1
3.2.2. Cálculo da Inversa de uma Matriz
O método de Gauss-Jordan pode calcular a inversa de uma matriz. No calculo da
inversa de uma matriz ( M 1 ), a matriz ampliada B é montada utilizando a matriz M e uma
matriz identidade I da dimensão da matriz M . Isto é, a matriz identidade I substitui a matriz
dos termos independentes b , utilizada na resolução de sistemas lineares. Deste modo, a
matriz B fica da seguinte forma:
B [M : I]
1
B0
B1
B2
1
2
1
0
m1(0)
0
0 -1
4
0
1
0
1
1
1
0
0
1
L(31)
1
1
2
1
0
0
0
-1
4
0
1
0
m1(1)
0
0
-1
-1
0 1
1
1
0
-1
0
L(22)
m(21)
2
0
-1
4
0
1
0
0
0
-1
-1
0
1
L(22)
m1(2)
28
L(13)
0)
a(31
(0)
a11
m1(0)L(10)
1)
a(23
1)
a(33
m1(1)L(31)
1)
a(23
1)
a(33
1
L(30)
2
L(21)
4
m(21)L(31)
L(21)
( 2)
a12
1
2)
a(22
m1(2)L(22)
L(12)
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
1
B2
1
0
-1
0
2
0 -1
0
-4
1
4
0 -1
-1
0
1
0
L(15)
B3
B3
1
0
0
-5
1
6
0
-1
0
-4
1
4
0
0
-1
-1
0
1
1
0
0
-5
1
0
1
0
4 -1 - 4
0
0
1
1
L(25)
L(35)
6
0
L(14)
( 4)
a11
1
L(24) L(24)
4)
a (22
1
L(34)
L(34)
4)
a (33
1
-1
1
M
E
L(14)
1
2
0 -1
4
1
1
1
-5
M
e
1
1
4
-1 - 4
1
0 -1
xercício
(01) Determine a inversa das matriz abaixo
1
(a)
(c)
1
1
1
-1
-1
1
-1
1
1
2
3
-1
5
2
-2
2
1
(b)
(d)
(02) Determine a inversa das matrizes abaixo
1 2 3
(a)
1 5 2
2 2 1
(b)
1
2
-1
1
1
1
-1
2
3
1
2
3
1
-1
5
2
2
-1
2
1
3
1
2
1
1
1
2 3
1
1 2
2 1 1
29
6
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
(c)
1
2 1
1
1 1
1
2 3 1
1 5 2 2
(d)
2 2 1 3
2 1 1
1
2 1 1
3.2.3. Cálculo do determinante de uma Matriz
O método de Gauss-Jordan, também pode ser utilizado para calcularmos o determinante
de uma matriz. Para isto, devemos escalonar a matriz ampliada B , como fizemos no cálculo
da solução do sistema e na determinação da matriz inversa, porém não devemos fazer o
último passo, que é a normalização da matriz pelos elementos da diagonal principal.
Exemplo 02 – Calcule o determinante da matriz
M
1
B0
3
0
2
1
2 -1
1
0
0
2
1
0
0
1
1
2 -1
L(31)
0)
a(31
2.00
m1(0)L(10)
1.00
0
0
2.00
0
0
0
- 0.50
m1(3)
L(14)
B4
det(M)
1.00
0
0
0
2.00
0
0
0
- 0.50
1.00 * 2.00 * ( 0.50)
1)
a(22
0.5
m1(1)L(21) L(31)
2)
a(23
m1(2)
2
( 2)
a 33
L(23)
B3
1)
a(32
L(30)
L(32)
0
0 - 0.50
1.00 3.00
1
(0)
a11
m1(1)
-1 -1
1.00 3.00
B2
0
2
m1(0)
3
0
3
0
0
1
B1
1
1.00
30
m(22)L(32)
(3)
a12
3)
a(22
m1(3)L(23)
L(22)
- 1.5
L(13)
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
E
xercício
(01) Determine o determinante das matriz abaixo
(a)
(c)
1
1
1
1
-1
-1
1
-1
1
1
2
3
-1
5
2
-2
2
1
(b)
1
2
-1
1
1
1
-1
(d)
2
3
1
2
3
1
-1
5
2
2
-1
2
1
3
1
2
1
1
3.3. MÉTODOS ITERATIVOS
A outra forma de se determinar a solução de um sistema A x b , que é através dos
métodos iterativos. Os métodos iterativos consistem em determinar uma seqüência de
aproximações x (1) , x (2) , ... , x (k) , para a solução do sistema x , a partir de uma dada
aproximação inicial x (0) . Segundo este raciocínio, o sistema A x
outro sistema equivalente com a seguinte forma
x (k 1)
Fx (k)
b , é transformado em um
d
onde F é uma matriz n n , x e d são matrizes n 1 . x (k 1) é uma aproximação obtida a
partir da aproximação x (k ) . Sendo a seqüência de aproximações obtida da seguinte forma
x (1)
Fx (0)
d
x (2 )
Fx (1)
d
x (3) Fx (2) d
......................
x (k 1) Fx (k)
As aproximações são calculadas até que se tenha
x (k)
Se lim x (k)
x
x
d
max x i(k)
1 i n
xi
0 , então a seqüência x (1) , x (2) , ... , x (k) converge para a solução x .
k
31
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
3.3.1. Método de Jacobi
Para entendermos o método de Jacobi tomemos o sistema
a11 x1
a12 x 2
...
a1n x n
b1
a 21 x1
a 22 x 2
...
a2 n xn
b2
...................................................
an1 x1
a b2 x 2
...
ann x n
bn
em cada equação do sistema devemos isolar o valor de x i , isto é, na primeira equação
devemos isolar x 1 , na segunda equação devemos isolar x 2 , e assim por diante, com isto
teremos:
x1
b1
( a12 x 2
...
a1n x n )
...
a2 n xn )
a11
b2
x2
a13 x 3
(a 21 x1
a13 x 3
a 22
...................................................
bn
xn
(an1 x1
a b2 x 2
a13 x 3
ann
...
ann 1 x n 1 )
Observação:
Os elementos a ii devem ser diferentes de zeros a ii 0, i , se não teremos
divisão por zero. Caso isto não ocorra devemos reagrupar o sistema para que se
consiga esta condição
Podemos colocar o sistema na seguinte forma x (k 1)
Fx (k)
b1
a11
x1
x
x2
d

b2
a 22

xn
F
d , onde
bn
ann
0
a12 / a11
a13 / a11
...
a1n / a11
a 21 / a 22
0
a 23 / a 22
...
a 2 n / a 22
0
...
a 3 n / a 33
a 31 / a 33
a 32 / a 33
...............................................................................
an1 / ann
an2 / ann
an 3 / ann ...
O método de Jacobi funciona da seguinte forma:
1º Passo: Devemos escolher uma aproximação inicial x (0) .
2º Passo: Devemos gerar as aproximações x (k) a partir das iterações
32
0
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k 0, 1, 2, ...
x (k 1) Fx (k) d ,
3º Passo: Paramos de calcular as aproximações quando um dos critérios de parada abaixo for
satisfeito.
1º critério: max | x i(k 1)
1 i n
2º critério: k
x i(k) |
E , onde E é a tolerância .
M , onde M é o número máximo de iterações.
Observação:
A tolerância E fixa o grau de precisão das soluções.
Exemplo – Resolva pelo método de Jacobi o sistema
2x1
x2 1
k 10 .
com E 10 2 ou
x1 2 x 2 3
Solução
Isolando o valor de x 1 na primeira equação e x 2 na segunda equação, temos as equações de
iteração
1
x1k 1
(1 x k2 )
2
k 0,1, 2, ...
onde
1
k 1
k
x2
(3 x 1 )
2
0
Utilizaremos como aproximação inicial x (0)
para calcular x (1) , como mostraremos a
0
seguir
Para k 0
1
1
x11
(1 x 02 )
x11
(1 0) 0.5
0.5
2
2
x (1)
1.5
1
1
x12
(3 x10 )
x12
(3 0) 1.5
2
2
Para k 1
1
1
x12
(1 x12 )
x11
(1 0.5) 1.25
1.25
2
2
x ( 2)
1
1.25
1
x 22
(3 x11 )
x12
(3 1.5) 1.25
2
2
repetiremos estes cálculos para k 2, 3, .... e colocamos os valores obtidos na tabela abaixo:
k
x1k
x k2
0
0.0000
0.0000
0.0000
1
0.5000
1.5000
1.5000
2
1.2500
1.2500
0.7500
33
E
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
10 2
0.0029
ou
k
10 ?
E
3
1.1250
0.8750
0.3750
4
0.9375
0.9375
0.1875
5
0.9688
1.0313
0.0938
6
1.0156
1.0156
0.0469
7
1.0078
0.9922
0.0234
8
0.9961
0.9961
0.0117
9
0.9980
1.0020
0.0059
10
1.0010
1.0010
0.0029
x1
1.0010
x2
1.0010
y
z
1.0010
1.0010
xercício
(01) Resolva o sistemas, com x0
iterações.
2x y z 2
(a) x 2 y z 4
2x y 2z 5
3x
x
[0 0 0] , E 10 2 ou k 10 , onde k é o número de
4x y
5
(b) x 2 y z 5
x 3y 3z 4
3x y z t
2
(c) 2 x 5 y z 15
x y 3z
12
z
(d)
2x
x
x
5y
z
2
t
y 3z t
2y
z 5t
19
16
28
3.3.2. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
O método iterativo de Gauss-Seidel consiste em:
1º Passo: Definirmos uma aproximação inicial x (0) .
2º Passo: Calcula-se a seqüência de aproximações x (1) , x (2) , ... , x (k) utilizando-se as
seguintes fórmulas:
34
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x1(k 1)
1
b1
a11
a12 x (2k)
x (2k 1)
1
b2
a 22
a 21 x1(k 1)
a 23 x (3k)
x (3k 1)
1
b3
a 33
a 31 x1(k 1)
a 32 x (2k 1)
a 34 x (4k)
1
bn
ann
an1 x1(k 1)
an2 x (2k 1)
an4 x (4k 1)
a13 x (3k)
a13 x (3k)
a1n x n(k)

a 23 x (3k)
a 2 n x n(k)

a 3n x n(k)


x n(k 1)

an,n 1 x n(k 11)
No cálculo da aproximação x n(k 1) , utilizamos as aproximações x1(k 1) , x (2k 1) , ... , x n(k 11) .
Isto faz com que este método tenha convergência mais rápida.
Exemplo 01 – Resolva pelo método de Jacobi o sistema
2x1
x2
1
x1
2 x2
3
com x (0)
[0 0] , E
10 2
ou
k
10 .
Solução
Isolando o valor de x 1 na primeira equação e x 2 na segunda equação, temos as equações de
iteração
1
x1k 1
(1 x k2 )
2
k 0,1, 2, ...
onde
1
k 1
k 1
x2
(3 x 1 )
2
O calculo das aproximações é feito da seguinte forma
Para k 0 (1ª iteração)
1
1
x1( 1 )
(1 x (20 ) )
x1( 1 )
(1 0) 0.5
0.5
2
2
x (1)
1.25
1
1
x (21 )
(3 x1( 1 ) )
x (21 )
(3 0.5) 1.25
2
2
Para k 1 (2ª iteração)
1
1
x1( 2 )
(1 x (21 ) )
x1( 2 )
(1 1.25) 1.125
1.125
2
2
x ( 2)
0.9375
1
1
x (22 )
(3 x1( 2 ) )
x (22 )
(3 1.125 ) 0.9375
2
2
repetiremos estes cálculos para k 2, 3, .... e colocamos os valores obtidos na tabela a seguir.
35
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x1k
k
0.0006
10 2
ou
k
10 ?
E
x k2
E
0
0.0000
0.0000
0.0000
1
0.5000
1.2500
1.2500
2
1.1250
0.9375
0.6250
3
0.9688
1.0156
0.1563
4
1.0078
0.9961
0.0391
5
0.9980
1.0010
0.0098
6
1.0005
0.9998
0.0024
7
0.9999
1.0001
0.0006
x1
0.9999
x2
1.0001
0.9999
x
1.0001
xercício
(01) Resolva o sistemas, com x0 [0 0 0] , E 10 2
iterações. Utilize o método de Gauss Seidel.
2x y z 2
4x y
(a) x 2 y z 4
(b) x 2 y
2x y 2z 5
x 3y
3x
y
z
z
5
z
5
3z
10 , onde k é o número de
4
3x y z t
2
(c) 2 x 5 y z 15
x y 3z
12
ou k
(d)
2x
x
x
36
5y
z
2
t
y 3z t
2y
z 5t
19
16
28
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4. INTERPOLAÇÃO LINEAR
4.1. CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO
Seja a função y f ( x ) , cujos valores estão em uma tabela. Se desejarmos determinar
f ( x ) sendo:
0, 1, 2, ... , n
(a) x ( x 0 , x n ) e x x i onde i
(b) x ( x 0 , x n )
O item (a) representa um problema de interpolação, isto é, x está dentro do intervalo
amostrado, logo devemos calcular um polinômio interpolador, que é uma aproximação da
função tabelada.
O item (b) representa um problema de extrapolação, isto é, x está fora do intervalo
amostrado. Nos trataremos apenas de problemas de interpolação neste capítulo.
4.2. INTERPOLAÇÃO LINEAR
Exemplo - Na tabela está a produção seguir está assinalado o número de habitantes de uma
cidade A em quatro censos.
Tabela 1
ANO
1950
1960
Nº de Habitantes
352.724
683.908
Determinar o número aproximado de habitantes na cidade A em 1955.
Solução
Neste caso, o polinômio interpolador terá grau 1, isto é, será da forma
P1 ( x ) a1 x a 0
Para se determinar os coeficientes, a0 e a1 devemos fazer
P1 ( x 0 )
a1 x 0
a0
y0
a1 x 0
a0
y0
P1 ( x1 )
a1 x1
a0
y1
a1 x1
a0
y1
Para x 0
1950 e y0
a1 1950 a0
352.724 temos que
352.724
Para x 1 1960 e y1 683.908 temos que
a1 1960 a0 683.908
Com isto temos o seguinte sistemas
a1 1950 a 0 352.724
a1 1960
onde a1
P1( x )
a0
683.908
33118,40
33118,40 x
a0
64228156
64228156
e
37
logo teremos
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como queremos saber o número aproximado de habitantes na cidade A em x
P1( x ) 33118,40 1955 64228156 518.316 habitantes
1955 , temos
4.3. INTERPOLAÇÃO QUADRATICA
Exemplo - Na tabela a seguir está assinalado o número de habitantes de uma cidade A em
quatro censos.
Tabela 1
ANO
1950
1960
1970
Nº de Habitantes
877500
901600
925900
Determinar o número aproximado de habitantes na cidade A em 1965.
Solução
Neste caso, o polinômio interpolador será de 2º grau, isto é, será da forma
P2 (x)
a2 x 2
a1 x a0
Para se determinar os coeficientes, a0 , a1 e a 2 devemos fazer
P2 (x 0 )
a 2 x 02
a1 x 0
y0
a 2 x 02
a1 x 0
a0
y0
P2 (x1)
a 2 x12
a1 x1 a 0
y1
a 2 x12
a1 x1 a 0
y1
P2 (x 2 )
a 2 x 22
a1 x 2
y2
a 2 x 22
a1 x 2
y2
a0
a0
a0
Para o problema em questão temos:
1950 2 a 2 1950 a1 a 0
877500
1960 2 a 2
1950 a1 a 0
901600
1970 2 a 2 1950 a1 a 0
925900
cuja solução, através de escalonamento ensinado no capítulo anterior é
a2
1
a1
1500
a0
2.25
logo teremos
P2 (x)
x2
1500 x
2.25
como queremos saber o número aproximado de habitantes na cidade A em x
P2 (1965) 1965 2 1500 1965 2.25 913725 habitantes
38
1965 , temos
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4.4. ERRO DE TRUNCAMENTO
Para que você entenda o erro de truncamento, observe o gráfico mostrado a figura a
seguir.
f(x)
P1( x )
y1
Valor Aproximado
y0
Valor real
x0
x
x1
Figura. f ( x ) é a função tabelada e P1( x ) um polinômio interpolador de 1º grau. Podemos
observar que, neste caso, P1( x ) não aproxima bem a solução.
O erro de truncamento cometido no ponto x é dado pela fórmula
ET (x) (x x0 ) (x x1) A ,
onde A é uma constante a determinar, como a função erro de truncamento.
No calculo de A , utilizaremos a função auxiliar G( t) definida por:
G( t) f ( t) P1( t) E T ( t) .
4.5. TEOREMA DE ROLLE
Se a função f ( x ) é contínua no intervalo [ a ,b ] e diferenciável no intervalo ( a , b ) e
f (a) f (b) , então, existe um
( a , b ) , tal que f ' ( ) 0
4.6. INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE
As interpolações apresentadas anteriormente (interpolação linear e quadrática) são casos
particulares da interpolação de Lagrange. Agora vamos determinar, o polinômio interpolador
P( x ) de grau menor ou igual a n , sendo dado para isto, n 1 pontos distintos.
Teorema
Sejam ( x i , y i ) , i
0, 1, 2, ... , n, n 1 pontos distintos, isto é, xi
Existe um único polinômio P( x ) de grau não maior que n , tal que p( x i )
polinômio P( x ) pode ser escrito na forma:
Pn (x)
a0
a1 x a2 x 2
a3 x 3 ... an xn
ou da seguinte forma
n
Pn ( x )
i 0
39
a i xi
xj
para i
j.
y i , para todo i . O
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Observe que P( x ) é, no máximo, de grau n , se a n 0 . Para determinar o polinômio
P( x ) devemos conhecer os valores a0 , a1, a2, ... , an . Como P( x ) contém os pontos
( x i , y i ) podemos escrever p( x i )
S:
y i , da seguinte forma
a0
a1 x 0
a 2 x 02
a 3 x 30
... an x n0
y0
a0
a1 x 1
a 2 x 12
a 3 x 13
... an x 1n
y1
a0
a1 x 2
a 2 x 22
a 3 x 32
... an x n2
y2
..............................................................
a0
a1 x n
a 2 x n2
a 3 x n3
... an x nn
yn
A solução do sistema S são os valores a0 , a1, a2, ... , an , com os quais determinamos o
polinômio Pn (x) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 ... an xn .
Para verificarmos que tal polinômio é único, basta calcularmos o determinante da
matriz A (matriz dos coeficientes) e verificar que ele é diferente de zero.
A
1
x0
x 02 ... x n0
1
x1
x 12 ... x 12
... ...
... ... ...
1
x n2 ... x n2
xn
Observe
que a matriz A , tem a forma da matriz de Vandermonte, também
conhecida como matriz das potências. Seu determinante, segundo a Álgebra Linear, é dado
pela expressão:
det(A)
(x i x j ) , com xi x j
i j
Sabemos que det(A)
0 , logo isto prova que P( x ) é único.
Obtenção da Fórmula
Para que você entenda a interpolação de Lagrange é necessário que compreender como
é obtida a fórmula de recorrência deste método.
O teorema fundamental da Álgebra garante que podemos escrever o polinômio P( x )
da seguinte forma
P(x) (x x0 ) (x x1) (x x 2 ) (x x3 ) ...(x xn )
onde x 0 , x1, x 2, x3 , ... , xn são as raízes do polinômio P( x ) . Montaremos agora, uma
seqüência de polinômios auxiliares da seguinte forma
1º polinômio: se retirarmos ( x
x 0 ) obteremos o polinômio
p0 (x) (x x1) (x x 2 ) (x x3 ) ...(x xn )
2º polinômio: se retirarmos ( x x 1) obteremos o polinômio
p1(x) (x x0 ) (x x 2 ) (x x3 ) ...(x xn )
40
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3º polinômio: se retirarmos ( x x 2 ) obteremos o polinômio
p2 (x) (x x0 ) (x x1) (x x3 ) ...(x xn )
Seguindo este raciocínio obteremos os polinômios p0 (x), p1(x), p2 (x), ... , pn (x) .
Estes polinômios podem ser escritos na forma sintética:
n
pi ( x )
(x
( i 0, 1, 2, 3, ... , n)
x j) ,
j 0
j i
Tais polinômios possuem as seguintes propriedades
(a) pi ( x i ) 0 , para todo i.
(b) pi (x j ) 0 , para todo j i .
e são conhecidos como polinômios de Lagrange. O polinômio P( x ) pode ser escrito como
uma combinação linear dos polinômios p0 (x), p1(x), p2 (x), ... , pn (x) , da seguinte forma:
P(x) b0 p0 (x) b1 p1(x) b2 p2 (x)
... bn pn(x)
ou
n
P( x )
bi pi ( x )
i 0
Mas, como pi (x j )
0 , para todo j
i e pi ( x i )
Pn ( x n )
0 , para todo i, temos que
bnpn ( x n )
logo
e como Pn ( x i )
bn
Pn (x n )
pn (x n )
bi
yi
pi ( x i )
y i , teremos
substituindo este valor no somatório será
n
yi
pi ( x )
pi ( x i )
P( x )
i 0
de onde teremos
n
P( x )
yi
i 0
pi ( x )
pi ( x i )
n
como pi ( x )
(x
x j ) então
j 0
j i
n
P(x )
n
yi
i 0
(x
x j)
j 0 (x i
j i
x j)
denominada de fórmula de interpolação de Lagrange.
41
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Exemplo - A partir das informações existentes na tabela, determine:
i
0
1
2
3
xi
0.0
0.2
0.4
0.5
yi
0.000
2.008
4.064
5.125
(a) O polinômio interpolador de Lagrange
(b) P(0.3)
Solução
(a) Como temos 4 pontos, o polinômio interpolador será de grau 3, logo
3
3 (x x )
j
, ou seja
P3 ( x )
yi
(
x
x
)
i
j
i 0
j 0
j i
P3 ( x )
y0
( x x 1) ( x x 2 ) ( x x 3 )
( x 0 x 1) ( x 0 x 2 ) ( x 0 x 3 )
y1
(x x 0 ) (x x 2 ) (x x 3 )
(x1 x 0 ) (x1 x 2 ) (x1 x 3 )
y2
( x x 0 ) ( x x 1) ( x x 3 )
( x 2 x 0 ) ( x 2 x 1) ( x 2 x 3 )
y3
( x x 0 ) ( x x 1) ( x x 2 )
( x 3 x 0 ) ( x 3 x 1) ( x 3 x 2 )
substituindo os valores da tabela, teremos
( x 0.2) ( x 0.4) ( x 0.5)
P3 ( x ) 0.000
(0.0 0.2) (0.0 0.4) (0.0 0.5)
2.008
( x 0.0) ( x 0.4) ( x 0.5)
(0.2 0.0) (0.2 0.4) (0.2 0.5)
4.064
( x 0.0) ( x 0.2) ( x 0.5)
(0.4 0.0) (0.4 0.2) (0.4 0.5)
5.125
( x 0.0) ( x 0.2) ( x 0.4)
(0.5 0.0) (0.5 0.2) (0.5 0.4)
simplificando a expressão, temos o seguinte polinômio interpolador
P3 (x)
x3
(b) P3 (0.3)
10 x
0.33 10 0.3
3.027
42
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E
xercício
(01) A partir das informações existentes na tabela, determine:
xi
yi
I
0
0.0
0.0000
1
0.2
1.0400
2
0.4
2.1600
3
0.6
3.3600
(a) O polinômio interpolador de Lagrange
(b) P(0.3)
(02) A partir das informações existentes na tabela, determine:
xi
yi
I
0
0.1
0.1010
1
0.3
0.3270
2
0.5
0.6250
3
0.7
1.0430
(a) O polinômio interpolador de Lagrange
(b) P( 0.4)
(03) A partir das informações existentes na tabela, determine:
xi
yi
I
0
0.0
0.0000
1
0.2
0.4080
2
0.4
0.8640
3
0.6
1.4160
(a)
(b)
O polinômio interpolador de Lagrange
P( 0.5)
(04) A partir das informações existentes na tabela, determine:
xi
yi
I
0
0.1
0.0110
1
0.3
0.1170
2
0.5
0.3750
3
0.7
0.8330
(a) O polinômio interpolador de Lagrange
(b) P( 0.6)
43
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
4.7. INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS
Conceito de Diferenças Divididas
Seja y f ( x ) uma função que contém n pontos distintos ( x i , yi ) , onde
i 0, 1, 2, ... , n . Representaremos diferença divididas, por f [
] . Definiremos diferença
dividida de ordem zero a própria função, isto é,
f 0 [x1] f (x1) y1 .
A diferença dividida de 1ª ordem para os argumentos x 0 e x 1 é uma aproximação da
1ª derivada, isto é,
f ( x 1) f ( x 0 )
,
f 1 [ x 0 , x1 ]
x1 x 0
onde temos a seguinte propriedade f [ x1 , x0 ] f [ x0 , x1 ] . Considerando y i f ( x i ) ,
podemos escrever as diferenças divididas de 1º ordem, de forma geral, por:
yi 1 yi
.
f 1 [ xi , xi 1 ]
xi 1 xi
A diferença dividida de 2ª ordem para os argumentos x 0 , x 1 e x 2 é dada por:
f 1 [ x1 , x 2 ] f 1 [ x 0 , x1 ]
.
x2 x0
A diferença dividida de 3ª ordem para os argumentos x 0 , x 1 , x 2 e x 3 é dada por:
f 2 [ x 0 , x1 , x 2 ]
f 2 [ x1 , x 2 , x 3 ] f 2 [ x 0 , x1 , x 2 ]
.
x3 x0
Genericamente, a diferença dividida de ordem n é dada por:
f 3 [ x 0 , x1 , x 2 , x 3 ]
] f n 1 [ x i , x i 1 , x i 2 , ... , x i
xi n xi
Exemplo - Dada a função tabelada calcule a diferença dividida de segunda ordem.
f n [ xi , xi
1 , xi
2 , ... , x i
n]
fn
i
0
1
2
1
[ xi
1 , xi 2 ,
xi
0.3
1.5
2.1
... , x i
n
n 1]
.
yi
3.09
17.25
25.41
Solução
Devemos calcular as diferenças divididas de primeira ordem
y1 y 0 17.25 3.09
f 1 [ x 0 , x1 ]
11.80
x1 x 0
1.5 0.3
y 2 y1 25.41 17.25
f 1 [ x1 , x 2 ]
13.60
x 2 x1
2.1 1.5
com todas as diferenças divididas de primeira ordem calculadas, vamos então calcular a de
segunda ordem
44
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f 1 [ x1 , x 2 ] f 1 [ x 0 , x1 ]
x2 x0
f 2 [ x 0 , x1 , x 2 ]
13.60 11.80
2.1 0.3
1.0
Para facilitar os procedimentos numéricos e organizar os nossos cálculos colocaremos na
própria tabela o desenvolvimento do calculo da seguinte forma:
f 1 [ xi , xi
1]
f 2 [ x 0 , x1 , x 2 ]
3.09
f 1 [ x 0 , x1 ]
f 2 [ x 0 , x1 , x 2 ]
17.25
25.41
f 1 [ x1 , x 2 ]
i
xi
yi
0
0.3
1
2
1.5
2.1
Fazendo a substituição numérica temos:
i
xi
yi
0
1
2
0.3
1.5
2.1
3.09
17.25
25.41
f 1 [ xi , xi
1]
11.80
13.60
f 2 [ x 0 , x1 , x 2 ]
1.00
A fórmula de recorrência de interpola, de Newton com diferenças dividida, depende do
número de pontos existente na tabela.
1º Caso: Existem só dois pontos na tabela
A fórmula, de interpolação, é obtida a partir da expressão de diferença divididas de
primeira ordem,
f ( x 1 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 1)
f 1 [ x 0 , x1 ]
x1 x 0
x 0 x1
onde isolando f ( x ) , para obter a fórmula de interpolação:
f (x 0 )
assumiremos x
f (x1) (x 0
x1) f 1 [ x 0 , x1 ]
x 0 , onde x é qualquer valor dentro do intervalo [ x 0 , x1 ] .
2º Caso: Existem só três pontos na tabela
A fórmula de interpolação, neste caso, é obtida a partir da expressão de diferença
divididas de segunda ordem,
f 2 [ x 0 , x1 , x 2 ]
f 1 [ x1 , x 2 ] f 1 [ x 0 , x1 ]
x2 x0
f 1 [ x 0 , x1 ] f 1 [ x1 , x 2 ]
x0 x2
onde isolando f 1 [ x1 , x 2 ] , obtemos:
f 1 [ x 0 , x1 ] f 1 [ x1 , x 2 ] ( x 0 x 2 ) f 2 [ x 0 , x1 , x 2 ]
Substituindo na primeira fórmula de interpolação, temos
f (x 0 ) f (x1) (x 0 x1) {f 1 [ x1 , x 2 ] (x 0 x 2 ) f 2 [ x 0 , x1 , x 2 ]}
45
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que pode ser escrita por
f (x 0 )
f (x1) (x 0
x1) f 1 [ x1 , x 2 ] (x 0
x 2 ) f 2 [ x 0 , x1 , x 2 ]
x1)( x 0
que é a fórmula de interpolação para este caso, onde assumiremos x
valor dentro do intervalo [ x 0 , x 2 ] .
x 0 , onde x é qualquer
3º Caso: Existem só quatro pontos na tabela
A fórmula de interpolação, neste caso, é obtida a partir da expressão de diferença
divididas de terceira ordem,
3
f [ x 0 , x1 , x 2 , x 3 ]
f 2 [ x1 , x 2 , x 3 ] f 2 [ x 0 , x1 , x 2 ]
x3 x0
f 2 [ x 0 , x1 , x 2 ] f 2 [ x1 , x 2 , x 3 ]
x0 x3
onde isolamos f 2 [ x 0 , x1 , x 2 ] , para obter:
f 2 [ x 0 , x1 , x 2 ] f 2 [ x1 , x 2 , x 3 ] ( x 0 x 3 ) f 3 [ x 0 , x1 , x 2 , x 3 ]
Substituindo na segunda fórmula de interpolação, temos
f ( x 0 ) f ( x 1) ( x 0 x 1) f 1 [ x 1 , x 2 ]
( x 0 x 1)( x 0 x 2 ) { f 2 [ x 1 , x 2 , x 3 ] ( x 0
que pode ser expresso por:
f ( x 0 ) f ( x 1) ( x 0 x 1) f 1 [ x 1 , x 2 ]
(x 0
x 1)( x 0
x 2 ) f 2 [ x1 , x 2 , x 3 ] (x 0
x 3 ) f 3 [ x 0 , x1 , x 2 , x 3 ] }
x 1)( x 0
x 2 )( x 0
que é a fórmula de interpolação para este caso, onde assumiremos x
valor dentro do intervalo [ x 0 , x 3 ] .
x 3 ) f 3 [ x 0 , x1 , x 2 , x 3 ]
x 0 , onde x é qualquer
4º Caso: Generalização para n pontos na tabela
Para uma tabela de n pontos, a fórmula de interpolação pode ser expressa, segundo o
mesmo raciocínio, por:
n
f (x 0 )
f ( x 1)
i 1
f i [ x 0 , ..., x i ]
i 0
onde assumiremos x
(x
x j)
j 0
x 0 , onde x é qualquer valor dentro do intervalo [ x 0 , x n ] .
Exemplo - Determinar o valor aproximado de f (0.4) , usando todos os pontos tabelados
i
0
1
2
3
4
xi
0.0
0.2
0.3
0.5
0.6
46
yi
1.008
1.064
1.125
1.343
1.512
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Centro de Ciências Sociais e Educação
Solução
xi
I
0
1
2
3
4
yi
f[ ]
f 1[ ]
0.0000 1.0080 0.2800
0.2000 1.0640 0.6100
0.3000 1.1250 1.0900
0.5000 1.3430 1.6900
0.6000 1.5120 0.0000
f 2[ ]
1.1000
1.6000
2.0000
0.0000
0.0000
f3[ ]
1.0000
1.0000
0.0000
0.0000
0.0000
f 4[ ]
-0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Utilizamos os valores em azul no momento as substituição
f (0.4) f [ ] (0.4 x 0 ) f 1[ ] (0.4 x 0 )(0.4 x 1) f 2 [ ]
(0.4
f (0.4)
x 0 )(0.4
x 1)(0.4
x 2 ) f 3 [ ] (0.4
x 0 )(0.4
x 1)(0.4
x 2 )(0.4
1.2160
E
xercício
(01) Determinar o valor aproximado de f ( 0.3) , usando todos os pontos tabelados
xi
yi
I
0
0.0
0.0000
1
0.2
0.0480
2
0.4
0.2240
3
0.6
0.5760
4
0.8
1.1520
(02) Determinar o valor aproximado de f (0.4) , usando todos os pontos tabelados
xi
yi
I
0
0.1
0.1010
1
0.3
0.3270
2
0.5
0.6250
3
0.7
1.0430
4
0.9
1.6290
(03) Determinar o valor aproximado de f ( 0.3) , usando todos os pontos tabelados
xi
yi
i
0
0.0
0.1000
1
0.2
0.1080
2
0.4
0.1640
3
0.6
0.3160
4
0.8
0.6120
47
x3 ) f 4[ ]
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
5. AJUSTE DE CURVAS
5.1. AJUSTE LINEAR
O ajuste linear consiste em ajustar uma função do primeiro grau no dados
y
0
1 x,
onde
0
e 1 são denominados parâmetros do modelo.
Y
ŷ
di
Yi
1x
0
ŷi
ŷi
1 xi
0
xi
Figura – As bolinhas representam os valores amostrados no campo e a reta representa a
função ajustada nos pontos amostrados. No ponto x i o valor y i representa o valor amostrado,
e ŷ i o seu valor estimado pela função ajustada e di y i ŷ i é a diferença entre o valor
amostrado (valor real do campo) e o valor estimado.
Para estimarmos a função ŷ
0
1 x , o erro entre o valor amostrado y i e o valor
estimado ŷ i deve ser mínimo, para isto a soma dos quadrados do erro de todos os pontos deve
ser a menor possível.
Para você entender melhor, primeiro definiremos a função que representa a soma do
quadrado dos erros:
n
D
yi
ŷ i 2 ,
i 1
onde temos n é o número de pontos amostrados. A magnitude de D depende da reta
ajustada, ou seja depende de 0 e 1 . Assim como ŷ
0
1 x , podemos escrever:
n
D( 0 , 1 )
yi
( 0
1 x)
2
.
i 1
Então para determinarmos
0
e 1 da função ŷ
D( 0 , 1 )
0
e
0
1 x , devemos fazer
D( 0 , 1 )
0,
0
1
O que resulta nas expressões:
n
n
n
1
xi yi
i 1
n
n
i 1
xi
i 1
x i2
n
n
n
yi
i 1
2
n
yi
e
0
i 1
xi
i 1
1
.
n
xi
i 1
Exemplo: Encontre o número de habitantes de uma cidade no ano de 1970 considerando os
dados do censo mostrado na Tabela 2.
48
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Ano( x i )
Número de habitantes( y i )
1940
19600
1960
19800
1980
20000
1990
20100
2000
20200
Tabela – Censo feito na cidade hipotética A.
Para calcularmos 1 e 0 devemos primeiro completar a tabela com as colunas
i
1
2
3
4
5
n
contendo informação de xi2 ,
xi yi ,
n
n
xi ,
x i2
yi ,
i 1
i 1
n
x i y i que são obtidos
e
i 1
i 1
simplesmente pela soma dos elementos de cada coluna.
i
Ano
( xi )
1
2
3
4
5
1940
1960
1980
1990
2000
Número de
habitantes
( yi )
19600
19800
20000
20100
20200
n
n
n
xi
9870
yi
99700
i 1
i 1
Tabela – Estão os valores de x i , y i , xi2 , x i y i ,
xi2
xi yi
3763600
3841600
3920400
3960100
4000000
38024000
38808000
39600000
39999000
40400000
x i2
i 1
n
n
19485700
n
xi ,
i 1
xi yi
196831000
i 1
n
yi ,
i 1
x i2
i 1
Com os valores da Tabela podemos calcular os coeficientes
n
xi yi .
e
i 1
1 e
0,
da seguinte
forma:
n
n
n
1
xi yi
i 1
n
n
i 1
n
x i2
0
5 * 196831000 9870 * 99700
5 * 19485700 196831000
i 1
2
10
i 1
n
yi
i 1
yi
xi
i 1
n
n
xi
xi
i 1
1
99700
n
9870 10
5
200 .
Com isto a função de ajuste é
ŷ 200 10 x ;
O número de habitantes em 1970 é obtido pela fórmula ŷ 200 10 x , da seguinte forma:
ŷ 200 10 * 1970 19900 , Logo tivemos 19900 habitantes em 1970.
49
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
E
xercício
(01) Com base dos dados amostrados dispostos na tabela a seguir encontre o valor quando
x 0.5 , segundo uma aproximação linear.
xi
yi
i
1
0.0000
-0.2000
2
0.2000
0.8000
3
0.4000
1.8000
4
0.6000
2.8000
5
0.8000
3.8000
6
1.0000
4.8000
7
1.2000
5.8000
(02) Com base dos dados amostrados dispostos na tabela a seguir encontre o valor quando
x 0.6 , segundo uma aproximação linear.
xi
yi
i
1
0.1000
0.5000
2
0.3000
1.1000
3
0.5000
1.7000
4
0.7000
2.3000
5
0.9000
2.9000
6
1.1000
3.5000
7
1.3000
4.1000
5.2. AJUSTE POLINOMIAL
O ajuste linear é um caso particular do ajuste polinomial, onde ajustaremos aos pontos
amostrados um polinômio, ŷ , de grau n.
ŷ
Os são coeficientes
0,
1,
0
1x
2,
3, ...,
2
x2
3x
3
...
n
n são obtidos através de um sistema:
XA
B.
Para ajustarmos uma reta (polinômio do 1º grau) ŷ
n
função D( 0 , 1 )
yi
( 0
1 x)
xn .
2
1 x , devemos minimizar a
0
, para isto devemos fazer
i 1
D( 0 , 1 )
n
0
n 0
xi
0
D( 0 , 1 )
1
n
n
0
n
xi
0
i 1
50
yi
1
i 1
1
i 1
x i2
i 1
n
xi yi
i 1
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Podemos escrever este sistema na forma matricial
n
n
n
xi
i 1
n
n
xi
i 1
Comparando com o sistema X A
yi
0
i 1
n
1
x i2
xi yi
i 1
i 1
B , temos que:
n
n
X
n
xi
i 1
n
n
xi
i 1
yi
0
A
,
e
i 1
n
B
1
x i2
xi yi
i 1
i 1
Com a resolução do sistema, encontraremos A que possibilitará a determinação do polinômio
interpolador ŷ
0
1 x . Para entendermos como interpolar um polinômio de grau n,
observe a tabela a seguir:
Polinômio a interpolador
Sistema a ser determinado
n
n
n
ŷ
1x
0
xi
i 1
n
n
xi
i 1
x i2
n
2
x2
xi
i 1
n
n
1x
xi
i 1
n
x i2
i 1
i 1
n
x i2
x i3
i 1
xi
1x
2
x2
3x
3
i 1
n
i 1
n
i 1
x i2
x i3
i 1
n
i 1
n
n
xi
i 1
n
n
0
xi yi
i 1
n
i 1
n
i 1
51
n
x i2
yi
0
x i3
x i2
x i3
x i4
i 1
n
i 1
n
i 1
n
i 1
i 1
n
xi yi
1
2
x i4
i 1
n
n
ŷ
1
i 1
n
0
i 1
n
i 1
n
ŷ
yi
0
i 1
n
x i2 y i
i 1
x i2
x i3
x i4
x i5
n
i 1
n
i 1
n
i 1
n
i 1
n
x i3
x i4
x i5
x i6
yi
0
1
2
3
i 1
n
xi yi
i 1
n
i 1
n
i 1
x i2 y i
x i3 y i
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
Seguindo o raciocínio da tabela, podemos afirmar que para ajustarmos o polinômio:
ŷ
0
Devemos resolver o sistema:
n
n
n
xi
i 1
n
i 1
n
x i2
x i3
i 1
n
i 1
n
x i2
x i3
x i4
2
n
x i2
xi
i 1
n
n
1x
i 1
n
i 1
n
i 1
n
x i3
i 1
n
x i3
i 1
n
x i4
i 1
n
x i5
i 1
i 1
i 1
i 1
n
n
n
n

x ni
i 1


x ni 1
i 1
x2
x i4
x i5
x i6
3x
i 1
...
n
n
xn
n
x ni

yi
i 1
n
x ni 1

i 1
n

i 1
n

x ni 3
i 1
i 1
n
xi yi
0
i 1
n
1
x ni 2
2
i 1
n
3
x ni 3


n
i 1

x ni 2
3
n
i 1
n
x i2n
x i2 y i
x i3 y i

x ni y i
i 1
i 1
Exemplo - Com base dos dados amostrados dispostos na tabela a seguir encontre o valor
quando x
3 , segundo o polinômio interpolador ŷ
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
0.5000
1.0000
1.5000
2.0000
2.5000
3.5000
4.0000
0
1x
2
x2 .
yi
1.2500
3.0000
5.2500
8.0000
11.2500
19.2500
24.0000
Solução:
Para montarmos o sistema devemos completar a tabela com as informações:
i
xi
yi
xi2
x i3
xi4
xi yi
xi2 yi
1
2
3
4
5
6
7
0.5000
1.0000
1.5000
2.0000
2.5000
3.5000
4.0000
1.2500
3.0000
5.2500
8.0000
11.2500
19.2500
24.0000
0.2500
1.0000
2.2500
4.0000
6.2500
12.2500
16.0000
0.1250
1.0000
3.3750
8.0000
15.6250
42.8750
64.0000
0.0625
1.0000
5.0625
16.0000
39.0625
150.0625
256.0000
0.6250
3.0000
7.8750
16.0000
28.1250
67.3750
96.0000
0.3125
3.0000
11.8125
32.0000
70.3125
235.8125
384.0000
15
72
42
135
467.2500
219
737.2500
n
i 1
52
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Desta forma o sistema para o ajuste do polinômio ŷ
1x
0
2
7
15
42
0
72
15
42
135
1
219
2
737 .2500
42 135 467 .2500
x 2 , adquire a forma:
De onde obtemos o seguinte polinômio ŷ 0 2 x x 2 , cujo gráfico esta mostrado na Figura
ŷ 15 .
juntamente com os pontos amostrado. Logo quando x 3
30
25
20
15
10
5
0
0
0.5
1
1.5
Figura – Polinômio interpolador ŷ
E
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 2 x x 2 e pontos amostrados.
xercício
(01) Com base dos dados amostrados dispostos na tabela a seguir encontre o valor quando
x
3 , segundo o polinômio interpolador ŷ
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
0.5000
1.0000
1.5000
2.0000
2.5000
3.5000
4.0000
53
0
1x
yi
0.7500
2.0000
3.7500
6.0000
8.7500
15.7500
20.0000
2
x2 .
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
(02) Com base dos dados amostrados dispostos na tabela a seguir encontre o valor quando
x
0.3 , segundo o polinômio interpolador ŷ
i
1
2
3
4
5
6
7
1x
0
xi
0.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000
2
x2 .
yi
0.0000
-0.1600
-0.2400
-0.2400
-0.1600
0.0000
0.2400
(03) Com base dos dados amostrados dispostos na tabela a seguir encontre o valor quando
x
0.5 , segundo o polinômio interpolador ŷ
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
0.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000
1x
0
2
x2
3x
3
.
yi
0.0000
0.1280
0.1440
0.0960
0.0320
0.0000
0.0480
(04) Com base dos dados amostrados dispostos na tabela a seguir encontre o valor quando
x
3 , segundo o polinômio interpolador ŷ
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
0.5000
1.0000
1.5000
2.0000
2.5000
3.5000
4.0000
0
1x
2
x2
3x
3
.
yi
-0.1250
0.0000
-0.3750
-2.0000
-5.6250
-21.8750
-36.0000
(04) Com base dos dados amostrados dispostos na tabela a seguir encontre o valor
quando x
0.7 , segundo o polinômio interpolador ŷ
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
0.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000
54
yi
0.0000
0.1200
0.0800
-0.1200
-0.4800
-1.0000
-1.6800
0
1x
2
x2 .
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(05) Com base dos dados amostrados dispostos na tabela a seguir encontre o valor quando
x
0.5 , segundo o polinômio interpolador ŷ
xi
0.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000
i
1
2
3
4
5
6
7
1x
0
2
x2
3x
3
.
yi
0.0000
0.2320
0.4960
0.7440
0.9280
1.0000
0.9120
6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Se a função f ( x ) é contínua em um intervalo [ a , b ] e sua primitiva F( x ) é conhecida,
então a área é calculada pela integral definida desta função no intervalo definido e é dada por:
b
a
onde F ' ( x )
f ( x )dx
F(b) F(a) ,
f (x) .
6.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS
Neste método, substituímos a rachurada que se deseja calcular pela área de um
trapézio como ilustra a figura a seguir.
y
y
f(x0)
f(x)
f(x0)
f(x)
f(x1)
x0
h
x1
f(x1)
x0
x
(a)
x1
h
x
(b)
Figura – (a) Área rachurada compreendida pela função f ( x ) e o eixo do x no intervalo
[ x 0 x1 ] . (b) Trapézio utilizado para aproximar a área rachurada do item (a).
O trapézio utilizado para aproximar a área rachurada é determinado, utilizando os dois
pontos do intervalo, onde passamos uma reta. Da geometria sabemos que a área deste trapézio
é dada por:
h
A
f ( x 0 ) f ( x1 ) .
2
55
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
A diferença entre a integral exata de f ( x ) (área sob a curva f ( x ) ) e a integral
aproximada (área do trapézio) é denominada de erro de integração.
Uma forma de se melhorar o resultado estimado, isto é, diminuir a diferença entre o
resultado estimado e o exato na regra do trapézio é subdividir o intervalo [ x 0 x1 ] em n
intervalos de amplitude h e em cada intervalo aplica-se a regra dos trapézios.
y
f(x)
h
h
x2
a = x 0 x1
Figura –
h
h
x3
h
x4
xn-1 b= xn x
Área compreendida pela função f ( x ) e o eixo do x no intervalo [ x 0 x1 ] é
aproximada pela soma de n áreas dos trapézios de mesma base compreendidos no
intervalo [ x 0 x1 ] .
Desta forma, a área aproximada é calculada pela expressão:
A
h
(y0
2
h
( y1
2
y1 )
y2 )
h
( yn 1
2
...
yn ) ,
Que pode ser simplificado para
A
h
(y0
2
2 y1
2 y3
...
2 yn 1
yn ) .
Onde E i é o erro cometido na aplicação da regra dos trapézios no intervalo cujos extremos
são x i e x i 1 , ou seja,
h3
f ''( ) ;
12
Ei
Com isto o erro total cometido é a soma dos erros cometidos em cada intervalo, logo
E
h3 n 1
f ''( i),
12 i 1
e pela continuidade de f ' ' ( ) , existe n em a
Ei
(b a)3
12n 2
b , tal que:
f ' ' ( ) , onde a
56
b.
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Exemplo – Calcule a área entre o gráfico v 4 t t 2 e o eixo do x , dentro do intervalo
[0 4].
A precisão do valor aproximado depende do número n de trapézios, observe
5
Resolução analítica:
4
4
3
2
A
2
( 4t t )dt
0
1
A
0
-1
-0.5
( 2t
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
(2 * 42
t3 4
)0
3
43
) (2 * 02
3
03
)
3
32
A
3
10 .6667
4
5
Aproximação para n = 2
4
A
3
2
E
1
0
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
h
( y1 2y 2
2
(b a)3
12n2
y3 )
A
8
f ''( )
E
2.6667
4
5
Aproximação para n = 4
4
A
3
2
E
1
h
( y1 2y 2
2
(b a)3
12n2
2y 3
f ''( )
2y 4
E
A
y5 )
10
0.6667
0
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
5
Aproximação para n = 6
4
h
( y1 2y 2
2
A 10.3704
A
3
2
1
E
0
-1
-0.5
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
(b a)3
12n2
2y 3
f ''( )
2y 4
2y 5
2y 6
E
0.2963
E
0.0119
y7 )
4
Aproximação para n = 30
4
A 10.6548
3
2
E
1
(b a)3
12n2
f ''( )
0
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Figura 5 – Mostrando a aproximação pela regra dos trapézios para diferentes valores de n.
2 , logo f ' ' (0)
2 em todas as
Com v ' ( t ) 4 2t , e como v ' ' ( t )
4.
expressões, onde 0
57
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
E
xercício
x 2 calcular o valor da integral I
(01) Dada a função f ( x)
3
0
f ( x ) dx , usando a regra dos
trapézios e dividindo o intervalos 6 partes.
ln x calcular o valor da integral I
(02) Dada a função f ( x )
4
2
f ( x ) dx , usando a regra dos
trapézios e dividindo o intervalos 6 partes.
x 3 calcular o valor da integral I
(03) Dada a função f ( x)
3
0
f ( x ) dx , usando a regra dos
trapézios e dividindo o intervalos 6 partes.
e x calcular o valor da integral I
(04) Dada a função f ( x)
4
2
f ( x ) dx , usando a regra dos
trapézios e dividindo o intervalos 6 partes.
Utilizamos uma aproximação de primeira ordem do polinômio interpolador de GregoryNewton Pn ( x ) para representar a função f ( x ) .
Pn ( x )
y0
z ( z 1)
* 2y0
2!
z y0
z ( z 1)( z 2)
* 3 y 0 ...
3!
z ( z 1)( z 2) * ... * ( z n 1)
* 2y0
(n 1) !
Isto é, utilizamos na regra do trapézio, utilizamos P2 (x) y0
aproximar f ( x ) , com isto a integral passou a ser determinada por
b
I
b
f ( x )dx
y0
a
z y 0 dx
a
x
x0
h
e considerando a x 0 e b
Como z
dx
h dz ,
x1 , temos que
para x
a
z
x0
para x
b
z
x1
x0
h
0,
x0
1
h
substituindo os limes na integral temos
b
I
1
y0
a
z y 0 dx
y0
z y 0 h dz
h z y0
0
58
z2
2
1
y0
0
z y0 (n = 1), para
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
I
h 1* y0
I h
1
2
y0
y
I h
12
2
y0
h 0 * y0
02
2
y0
y0
I
1
(y
2
h y0
y0 )
y0
, foi esta a expressão utilizada no método dos trapézios.
2
6.2. PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON
A vantagem, de revermos o método dos trapézios usando o polinômio interpolador de
Gregory-Newton ( Pn ( x ) ) e que na primeira regra de Simpson, utilizamos uma aproximação
z (z 1)
de 2ª ordem deste polinômio, isto é, faremos: f ( x) y 0 z y 0
* 2 y 0 , onde
2!
x x0
.
z
h
Com isto o valor da integral ser:
b
I
b
f ( x )dx
y0
a
z y0
a
z ( z 1)
* 2 y 0 dx
2!
x0
dx h dz ,
h
Para se aproximar a função f ( x ) por um polinômio do 2º grau, serão necessários 3 pontos:
x 0 , x1 e x 2 (Figura).
Como z
x
y
f(x)
f(x0)
f(x2)
P2(x)
f(x1)
x0
h
x1
h
x2
x
Figura – Gráfico de f ( x ) juntamente com a aproximação de segunda ordem P2 ( x ) .
Considerando a
x0 e b
x 2 , temos que :
a a
0,
h
b a
x b
z
2
h
Com isto, a integral será resolvida da seguinte forma
x
a
z
59
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
b
I
2
f ( x )dx
y0
a
z y0
0
z ( z 1)
* 2 y 0 h dz
2!
Cujo resultado é:
I
h 2 y0
2 y0
Como babemos que
1 2
y0
3
y 0 y1
2
y0
y2
y0
2 y1
y0
, então com a substituição teremos
h
y 0 4 y1 y 2 que é denominado de 1ª regra de Simpson.
3
y y0
I h
, foi esta a expressão utilizada no método dos trapézios.
2
I
Para diminuir o erro, isto é, a diferença do valor estimado e do valor real, devemos
subdividir o intervalo de integração, da mesma forma que fizemos no método dos trapézios,
b
com isto, a integral I
f ( x )dx , será aplicada em cada dupla de intervalos da seguinte forma:
a
I
h
y 0 4 y1 y 2
3 
1º sub int ervalo
h
y 2 4 y3 y 4
3 
h
yn 2 4 yn 1 yn
3 
...
último sub int ervalo
2 º sub int ervalo
O erro total cometido será a soma dos erros cometidos em cada aplicação da 1ª regra
de Simpson nas duplas de subintervalos e são determinados por:
(b a)5 (IV )
f
( ) , onde a
180 n 4
E
Exemplo 1. Calcule o valor da integral
1
01
dx
x
2
b.
10 4 .
, com
Solução
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
Figura – Gráfico da função f ( x )
0.8
0
1
1
1 x2
0.2
0.4
, onde a área rachurada é
60
0.6
1
01
0.8
dx
x2
1
.
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Devemos definir qual dever ser o número n de subintervalos devemos usar, para isto
utilizaremos a nossa fórmula do erro total
E
Como f ( x )
f IV ( x )
(b a)5 (IV )
f
( ) , onde a
180 n 4
1
, então temos que
1 x2
24
288 x 2
384 x 4
1 x
b.
2 3
1 x
2 4
1 x
2 5
, onde 0
1
Sabemos que o maior erro total será obtido quando x
0 , logo
f IV ( x )
max
24 ,
e
10 4 , então temos:
(1 0)5
24 4
n 6.042
* 24 10 4
n4
10
180
180 n 4
Isto é, devemos escolher um número de subintervalos maior que 7, e escolheremos para este
caso n 8 . O valor da aproximação foi obtido, para n 8 , a partir da tabela a seguir.
i
xi
yi
ci
0 0.0000 1.0000
1
1 0.1250 0.9846
4
2 0.2500 0.9412
2
3 0.3750 0.8767
4
4 0.5000 0.8000
2
5 0.6250 0.7191
4
6 0.7500 0.6400
2
7 0.8750 0.5664
4
8 1.0000 0.5000
1
Tabela - ci são os coeficientes que devem ser aplicados yi para determinar a aproximação do
valor da integral.
considerando
Para calcularmos o valor da integral pela seguinte expressão
1 dx
1
y 0 4y1 2y 2 4y 3 2y 4 4y 5 2y 6 4y 7
0 1 x2
h
1 dx
Substituindo os valores da tabela teremos
0.7854
0 1 x2
61
y8
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
E
xercício
dx
1
(01) Calcule o valor da integral
01
2x
2
, com
10 4 , usando a primeira regra de
Simpson.
(02) Calcule o valor da integral
2
1
ln(1 x ) dx , com
10 4 , usando a primeira regra de
Simpson.
dx
1
(03) Calcule o valor da integral
01
2x
3
, com
10 4 , usando a primeira regra de
Simpson.
(04) Calcule o valor da integral
2
1
ln(1 x 2 ) dx , com
10 4 , usando a primeira regra de
Simpson.
6.3. SEGUNDA REGRA DE SIMPSON
Na segunda regra de Simpson utilizamos uma aproximação de terceira ordem no
polinômio interpolador de Gregory-Newton ( Pn ( x ) ) o que resulta na expressão :
Pn ( x)
y0
z y0
z (z 1) 2
* y0
2!
z (z 1)( z 2) 3
* y 0 , onde z
3!
x
x0
.
h
Com isto o valor da integral ser:
b
I
b
f ( x)dx
a
como z
x
y0
z (z 1)
* 2y0
2!
z y0
a
x0
h
dx
z ( z 1)( z 2) 3
* y 0 dx
3!
h dz ,
Desta forma a solução da integral é:
I
3h
y0
8
3 y1 3 y 2
y3
O erro total neste método é dado pela expressão
E
3 x 5 IV
f ( ), a
80
62
b.
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Para diminuir o erro quando o intervalo não for muito pequeno, devemos subdividir o
intervalo de integração da seguinte forma:
I
3h
y 0 3 y1 3 y 2 y 3


8 
1º sub int ervalo
3h
3h
y 3 3 y4 3 y 5 y 6 ...
y n 3 3 yn 2 3 y n 1 y n


8 
8 
2 º sub int ervalo
4
ln( x 3
Exemplo 1 – Calcule o valor da integral I
último sub int ervalo
e x ) dx
1
Solução
Calcular esta integral significa determinar a área compreendida entre o gráfico e o eixo
x, como mostra a Figura 8. O valor da integral é obtido pela seguinte expressão:
4
3h
ln( x3 e x ) dx
y 0 3y1 3y 2 2y3 3y 4 3y 5 2y 6 3y 7 3y8 y 9
1
8
Os valores de y0, y1, y 2, ... , yn são obtidos na tabela a seguir,
O valor da aproximação foi obtido, para n 9 , a partir da tabela a seguir.
I
xi
yi
ci
0 1.0000 1.3133
1
1 1.3333 1.8187
3
2 1.6667 2.2950
3
3 2.0000 2.7337
2
4 2.3333 3.1362
3
5 2.6667 3.5072
3
6 3.0000 3.8520
2
7 3.3333 4.1754
3
8 3.6667 4.4821
3
9 4.0000 4.7757
1
Tabela - ci são os coeficientes que devem ser aplicados yi para determinar a aproximação do
valor da integral.
Substituindo os valores da tabela teremos
E
4
1
ln( x 3
e x ) dx
9.6880
xercício
1
(01) Calcule o valor da integral
01
dx
2x
2
, com
10 4 , usando a segunda regra de
Simpson.
(02) Calcule o valor da integral
2
1
ln(1 x ) dx , com
Simpson.
63
10 4 , usando a segunda regra de
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
dx
1
(03) Calcule o valor da integral
01
2x
3
10 4 , usando a segunda regra de
, com
Simpson.
2
(04) Calcule o valor da integral
1
ln(1 x 2 ) dx , com
10 4 , usando a segunda regra de
Simpson.
6.4. INTEGRAL DUPLA
y e o plano xy , mostrado na
Para calcularmos o volume entre a função f ( x, y ) x
figura, devemos calcular uma integral dupla
Volume
f ( x, y) dxdy .
D
Calcularmos numericamente a integral dupla apresentada significa aplicarmos os
métodos apresentados nas duas direções, isto é, nos dois eixos, x e y. Sabendo que D é um
retângulo limitado por a x b e c y d , podemos escrever a integral da seguinte forma:
b d
V
f ( x, y ) dy dx
a c
d
b
f ( x, y ) dy
Fazendo
G( x ) , temos que V
G( x ) dx .
c
a
Observação:
Observe que temos na direção dos dois eixos uma integral definida, cuja
solução numérica já foi abordada anteriormente. O problema agora é como
implementar nas duas direções (x e y) ao mesmo tempo.
Exemplo - Para calcular o volume compreendido entre a função f ( x, y )
x
y , no intervalo
55
x
0
y
5e 0
(x
5 (Figura 9), devemos calcular a integral
y )dxdy .
00
10
10
8
8
6
z
z
6
4
4
2
2
0
0
0
0
1
1
2
2
5
3
4
4
2
5
x
3
n intervalos
5
3
4
4
1
2
5
0
x
y
64
1
3
m intervalos
0
y
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Figura 10 – Superfície gerada pela função f ( x, y ) x y e representação gráfica da divisão
o intervalo 0 x 5 em n subintervalos e 1 y 5 e m subintervalos.
55
(x
Para calcularmos a integral
y )dxdy , seguiremos os seguintes passos:
00
1º Passo: Dividiremos o domínio D , em n m retângulos, nos quais calcularemos o valor da
função f ( x, y ) x y . No exemplo dividimos o intervalo 0 x 5 em n 4 subintervalos e
o intervalo 0 y 5 em m 4 subintervalos como mostra a figura 10. logo teremos as
seguintes índices i 0, 1, 2, 3, 4 e j 0, 1, 2, 3, 4 , e a função f ( x, y ) será avaliada nos
seguintes valores de x e y:
x = { 0, 5/4,
J
yi
0
0
1
5/4
2
5/2
3
15/4
4
5
5/2,
15/4,
5} e y = { 0, 5/4,
5/2,
15/4,
5} .
i
0
1
2
3
4
xi
0
5/4
5/2
15/4
5
2º Passo: Escolher o método a ser usado no cálculo da integral definida em cada eixo, o que
implicará em estipularmos quais serão os índices que ficarão na área rachurada na tabela
anterior. Escolheremos, neste exemplo, usar ao longo do eixo x a regra do trapézio
( c i { 1, 2, 2, 2, 1 } ), e ao longo do eixo y usarmos a primeira regra de Simpson
( c j { 1, 4, 2, 4, 1 } ), como mostra a próxima tabela
i
0
1
2
3
4
xi
0
5/4
5/2
15/4
5
1
2
2
2
1
ci
j
yi
0
0
1
1
5/4
4
2
5/2
2
3
15/4
4
4
5
1
cj
65
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
3º Passo: Faremos agora o produto dos índices e guardaremos o resultado dentro dos
retângulos rachurados na próxima tabela. Por exemplo
Para c i 0 1 e c j 0 1
a00 1 * 1 1
Para c i 1
2 e cj 1
4
a11
2*4
8
i
0
1
2
3
4
xi
0
5/4
5/2
15/4
5
1
2
2
2
1
ci
j
yi
0
0
1
1
2
2
2
2
1
5/4
4
4
8
8
8
8
2
5/2
2
2
4
4
4
2
3
15/4
4
4
8
8
8
8
4
5
1
1
2
2
2
2
cj
4º Passo: Para concluir a tabela só nos resta calcular o valor da função dentro de cada
retângulo rachurada (próxima tabela), para isto utilizaremos os valores de x e y já mostrados
f (0,0) 0 0 0
na tabela, da seguinte forma: Para x 0 e y 0
i
0
1
2
3
4
xi
0
5/4
5/2
15/4
5
ci
yi
j
1
2
2
2
1
cj
2
1
0
0
1
4
1
8
1.25
2
5/2
4
15/4
5
1
3.75
3.75
3.75
5.0
5.0
5.0
5.0
6.25
6.25
6.25
7.5
4
7.5
2
7.5
6.25
2
8
2
5.0
4
4
8
2
3.75
8
4
8
1
4
8
4
1
2
2.5
2.5
2.5
4
3
1.25
4
5/4
2
2
0.0
2
8.75
1
8.75
10.0
55
(x
5º Passo: Para calcularmos o valor da integral
y )dxdy iremos somar todas as
00
multiplicações entre o valor da função (área rachurada na tabela anterior) pelo produto dos
índices (pequeno quadrado em branco dentro das áreas rachuradas), o que pode ser expresso
pelo somatório:
66
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
55
n m
(x
y )dxdy
k xk y
c i c j f ( xi, y j ) ,
i 1j 1
00
onde k x e k y são os fatores existentes nos métodos da regra do trapézio(h/2), 1º regra de
Simpson (h/3) e 2º regra de Simpson (3h/8) que multiplica o somatório e neste problema são:
k x 0.6250 e
k y 0.4167
O somatório é determinado por
n m
c i c j f ( x i , y j ) 1 * 0 2 * 1,25
2 * 2,5 2 * 3,75 1 * 5,0
i 1j 1
4 * 1,25 8 * 2,5 8 * 3,75 8 * 5,0 4 * 6,25
2 * 2,5 4 * 3,75
4 * 5,0 4 * 6,25
2 * 7,5
4 * 3,75 8 * 5,0 8 * 6,25 8 * 7,5 4 * 8,75
1 * 5,0 2 * 6,25
2 * 7,5 2 * 8,75 1 * 10,0
Cujo resultado é
n m
c i c j f ( xi, y j )
480
i 1j 1
Com isto, o valor da integral é:
55
(x
y )dxdy
0.6250 * 0.4167 * 480
125
00
E
xercício
21
(x 2
(01) Calcule o valor da integral
00
/21
(02) Calcule o valor da integral
y 3 )dxdy
(e x
cos y )dxdy
0 0
2 /2
(sen y ln x )dydx
(03) Calcule o valor da integral
1 0
21
( x 2 y 2 )dxdy
(04) Calcule o valor da integral
00
67
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
Q
UESTÕES COMPLEMENTARES
1)
Na tabela abaixo, d é a distancia, em metros, que uma bala percorre ao longo de um
cano de canhão em t segundos. Encontrar a distancia percorrida pela bala 5 segundos
após ter sido disparada.
Tempo de disparo(s)
0
Distancia percorrida ao longo do cano. 0,000
2
0,049
4
0,070
6
8
0,087 0,103
2)
Durante três dias consecutivos foram tomadas as temperaturas ( em º C) numa região de
uma cidade, por quatro vezes no período das 6 às 12 horas. Determinar, usando todos os
dados da tabela abaixo, a média das temperaturas dos três dias às 9 horas.
Hora
1º dia
2º dia
3º dia
6
18
17
18
8
20
20
21
10
24
25
22
12
28
27
23
3)
Determinar, usando todos os valores das tabelas abaixo o valor de F(G(0,25))
X
1
1,1
1,3
1,6
2
4)
F(x)
0
0,21
0,69
1,56
3
X
0
0,2
0,4
0,6
0,8
G(x)
1,001
1,083
1,645
3,167
6,1293
(altitude de 2890m), sabendo que O ponto de ebulição da água varia com a altitude,
conforme mostra a tabela abaixo.
a) Determinar, usando os cinco primeiros pontos da tabela, o ponto de ebulição da
água em um local que possui altitude de 1000m.
b) Determinar, usando os cinco pontos mais próximos de 2890, o ponto de ebulição da
água em um local que possui altitude de 2890m.
Altitude(m)
850
950
1050
1150
1250
-
Ponto de ebulição da água ( º C)
97,18
96,84
96,51
96,18
95,84
-
68
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
2600
2700
2800
2900
3000
5)
91,34
91,01
90,67
90,34
90
A velocidade do som na água varia com a temperatura, usando os valores da tabela
abaixo, determinar o valor aproximado da velocidade do som na água a 100ºC.
Temperatura ( ºC )
86
93,3
98,9
104,4
110
6)
Velocidade (m/s)
1552
1548
1544
1538
1532
Um automóvel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste
trajeto, 2horas e 20 minutos. A tabela abaixo dá o tempo gasto e a distancia percorrida
em alguns pontos entre as duas cidades.
Determinar:
a) Qual foi aproximadamente a distancia percorrida pelo automóvel nos primeiros 45
minutos de viagem, considerando apenas os quatro primeiros pontos da tabela?
b) Quantos minutos o automóvel gastou para chegar à metade do caminho?
TEMPO (em minuto)
0
10
30
60
90
120
140
7)
DISTANCIA ( em metro)
0,00
8,00
27,00
58
100
145
160
A tabela abaixo relaciona a quantidade ideal de calorias, em função da idade e do peso,
para homens e mulheres que possuem atividade física moderada e vivem a uma
temperatura ambiente média de 20ºC.
Peso
( kg)
40
50
60
70
Cota de calorias ( em kcal)
Idade (em anos) homens.
Idade (em anos) mulheres.
25
45
65
25
45
65
1750
1650
1400
2500
2350
1950
2050
1950
1600
2850
2700
2250
2350
2200
1850
3200
3000
2550
2600
2450
2050
69
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
80
3550
3350
2800
-
-
-
Determine a cota aproximada de calorias para um homem de:
a) 30 anos que pesa 70 quilogramas;
b) 45 anos que pesa 62 quilogramas;
c) 50 anos que pesa 78 quilogramas.
Determine a cota aproximada de calorias para uma mulher de:
a) 25 anos que pesa 46 quilogramas;
b) 30 anos que pesa 50 quilogramas;
c) 52 anos que pesa 62 quilogramas.
8)
O gráfico da figura foi registrado por um instrumento usado para medir uma qualidade
física. Estime as coordenadas-y dos pontos dos gráficos e exprime a área da região
sombreada usando ( com n = 6 ). (a) a regra do trapézio e (b) a regra de Simpson.
9)
Um lago artificial tem a forma da figura, com mensurações eqüidistantes de 5 m. Usa a
regra do trapézio para estimar a área da superfície do lago.
9m
6m
6m
8m
10 m
9m
7m
7m
5m
10)
Um aspecto importante na administração de água é a obtenção de dados confiáveis de
sobre o fluxo de corrente, que é o número de metros cúbicos que passam por uma seção
transversa da corrente ou rio. O primeiro passo neste calculo é a determinação da
velocidade média a uma distância x metros da margem do rio. Se k é uma profundidade
da corrente em um ponto a x metros da margem e v(y) é a velocidade (em m/s) a uma
profundidade y metros (ver figura), então
1 k
vx
v( y) dy
k 0
com o método dos seis pontos, fazem-se as leituras da velocidade na superfície, nas
profundidades 0,2k, 0,4K, 0,6k e 0,8k e próximo do leito do rio.Usa-se então a regra do
trapézio para estimar v x com os dados da tabela
Y (m)
0
0,2k
0,4k
0,6k
0,8k
k
V(y) (m/s)
0,28
0,23
0,19
0,17
0,13
0,02
70
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Lm
xm
0,2k
k
11)
Com referência ao exercício anterior, o fluxo de corrente F ( m 3 / s ) pode ser
aproximado pela fórmula
L
Fx
0
v x h( x) dx
onde h(x) é a profundidade da corrente a uma distância x metros da margem e L é o
comprimento da seção transversa. Com os dados da tabela abaixo, use a regra de
Simpson para estimar F.
x (m)
h(x) (m)
v x (m/s)
12)
0
0
0
3
0,51
0,09
6
0,73
0,18
9
1,61
0,21
x (m)
15
18
21
h(x) (m)
2,02
1,53
0,64
v x (m/s)
0,32
0,19
0,11
A figura exibe um diagrama específico carga-tensão
12
2,11
0,36
24
0
0
Tensão
7
5
3
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Carga (esforço)
Estime as coordenadas-y e aproxime a área da região delimitada pelo laço de histerese,
usando, com n = 6.
(a) regra do trapézio
(b) regra de Simpson
71
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
BIBLIOGRAFIA
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ZV /– São Paulo : Ed. da Universidade de São Paulo – 1978.
RUGGIEIRO. M. A. G., e LOPES V. L. de R. “Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e
Computacionais– São Paulo : Ed. McGraw - Hill. 1988.
MORAES. D. C., MARTINS J. M. “Calculo Numérico Computacional: Teoria e Prática;
Algaritmo em Pseudo – Linguagem, Indicação de Software Matemático”– São Paulo: Atlas
1989.
72