PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS – 1º Semestre 2015
Lista de Exercícios
Dado o sinal discreto mostrado na figura 1.1 esboce cada um dos sinais
indicados abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
1.2 Considere o conjunto dos sinais periódicos, harmonicamente relacionados
que podem ser expressos como:
Determine o período fundamental No desse sinal.
1.3 Considere o sinal analógico abaixo, onde t é expresso em segundos (s).
a) Esboce o sinal x(t) no intervalo
.
b) Suponha que o sinal x(t) seja amostrado com um período de
amostragem
s, obtenha a freqüência do sinal discreto x(n) e
demonstre que se trata de uma seqüência periódica.
c) Obtenha os sinais da amostra esboçados juntamente com x(t).
d) Obtenha um valor de frequência de amostragem para que o sinal de
amostragem alcance um valor de pico em 3.O que ocorreria fosse o
sinal
1.4 Um sinal analógico contem frequências até 20 kHz. Responda as questões:
a) Qual deve ser a frequência de amostragem empregada de modo que a
reconstrução do mesmo seja possível?
1
b) Se considerarmos a frequência de amostragem em 16 kHz, o que
ocorreria com um sinal de 10 kHz presente no sinal?
c) O que ocorreria com um sinal de 18 kHz?
1.5 Um sinal analógico
com t em segundos,
é amostrado com freqüência de 500 Hz. Responda As questões abaixo:
a) Determine qual é a frequência de Nyquist para cada sinal.
b) Calcule em qual frequência surgem os “alias” (sinais com frequências
impostoras)devido a amostragem inapropriada.
c) Quais são as frequências digitais dos sinal resultante da amostragem?
d) Se as amostras passarem por com um conversor D/A ideal, quais
frequências terão o sinal analógico reconstruído?
1.6 Um sinal analógico
(t em seg.) é
amostrado com uma freqüência tal que a componente de maior freqüência tem
27 amostras por período.
a) Represente 54 pontos do sinal obtido.
b) Quantos períodos, do sinal de menor frequência, terá a representação
anterior?
1.7 O sinal analógico
(t em seg.) é
amostrado com uma frequência
e o sinal resultante é reconstruído
com um conversor D/A ideal utilizando a mesma freqüência de amostragem.
Determinar o sinal
obtido por esse processo.
1.8 Um sistema L.T.I definido pelo diagrama de blocos da figura 1.2 é excitado
por um sinal
.
a) Obtenha a sequencia de amostras e represente-a graficamente.
b) Calcule a resposta impulsional do sistema.
c) Proponha um procedimento para calcular a saída do sistema.
1.9 Um sistema digital tem a estrutura representada na figura 1.3. Sabendo que
x(n) e h(n) tem as representações definidas nas figuras 1.4 a) e b)
respectivamente e que
Calcular a saída do sistema.
2
1.10 Determinar a saída do sistema LTI com reposta impulsional h(n) devido a
entrada x(n).
1.11 Um sistema estável BIBO verifica para qualquer entrada finita produz uma
saída finita. Demonstre que para um sistema LTI a estabilidade implica que
.
1.12 Considerar o sistema definido pela seguinte equação a diferenças:
a) Calcular a resposta impulsional.
b) Determinar
c) Esse resultado contradiz a condição de estabilidade do exercício 1.11?
1.13 Sabemos que um sistema é causal se para qualquer par de entradas
e
que são iguais para todo
então as saídas correspondentes
e
também serão iguais para
. Verificar que para sistemas LTI
esta condição é equivalente a
1.14 Dado o sistema de resposta impulsional
, com
.
Definimos a constante de tempo como o número de amostras necessárias para
que a resposta impulsional tenha um valor
logaritmos neperianos. Determinar o valor de
unidade.
onde
é a base dos
para valores de b próximos a
1.15 Determinar a resposta impulsional dos sistemas definidos por:
3
1.16 Calcular a combinação em cascata e paralelo dos sistemas cujas
respostas impulsionais são
e
onde
.
1.17 A resposta ao degrau de um sistema pode ser expressada na forma:
a)
b)
c)
d)
Expresse y(n) em termos exclusivamente de h(n).
Repita o item anterior considerando que o sistema é causal.
Calcule y(n) quando
e
Determine a saída do sistema em regime estacionário (quando
) para as saídas do item c.
1.18 A correlação entre dois sinas x(n) e y(n) vem dada pela expressão:
Determine que relação existe entre a convolução de x(n) e y(n) e sua
correlação
1.19 Determinar se a correlação entre duas sequencias é comutativa. Que
relação existe entre
e
(n)?
1.20 Determinar a relação entrada-saída dos diagramas da figura 1.5.
Figura 1.5
1.21 Indique quais sequencias abaixo são finitas.
a)
b)
c)
d)
e)
.
4
.
1.22 Uma sequencia é dita par quando se verifica que x(n)=x(-n) e no caso em
que x(n)=-x(-n) dizemos que a sequencia é ímpar. Demonstre que uma
sequencia qualquer pode ser representada como a soma de uma sequencia
par e uma ímpar.
1.23 Uma sequencia x(n) é dita absolutamente somável se
demonstre que uma seqüência absolutamente somável tem energia finita.
1.24 Demonstre que para uma sequencia com energia finita, se a relação
abaixo é verdadeira.
Onde
e
são as par e ímpar de x(n) respectivamente.
1.25 Determinar a energia da seguinte sequencia:
1.26 Determinar se os seguintes sinais são de energia ou de potência e quando
é possível calculá-los.
a)
b)
c)
d)
e)
1.27 As sequencias abaixo representam um período fundamental de uma
sequencia senoidal do tipo
. Determinar os valores de A,
e de cada caso.
a)
b)
c)
1.28 Determinar qual é o período fundamental do sinal
os seguintes valores de :
,
,
,
1.29 Determinar se os seguintes sistemas possuem as propriedades de
linearidade, causalidade, estabilidade BIBO e invariância temporal.
5
para
a)
0
d)
e)
f)
g)
h)
, 0>0
b)
c)
1.30 Demonstre que se a entrada de um sistema LTI for um sinal periódico, a
saída também será periódica com o mesmo período.
1.31 Demonstre que a sequencia
É uma rampa unitária. Aplicando isso, calcule a resposta a rampa unitária do
sistema definido pelo diagrama de bloco da figura 1.6. Considere as condições
iniciais nulas.
Figura 1.6
1.32 Se
relação entre
e
e
. Determine a
.
1.33 Sabemos que a convolução é comutativa, porem em geral, não
associativa. Verifique isso utilizando as seguintes sequencias:
1.34 O sistema definido no diagrama de blocos da figura 1.7 tem um sistema H
que atua sobre uma sequencia
, proporcionando a saída
sendo
a, b, c e d constantes. Determine se o sistema é LTI, se é causal e se é
estável.
6
Figura 1.7
1.35 Um sistema digital que se encontra inicialmente em repouso pode ser
representado pelo diagrama de blocos da figura 1.8. Determine as sete
primeiras amostras da sequencia de saída do sistema para a entrada.
Figura 1.8
1.36 Dadas as sequencias x(n) e y(n) definidas por:
Determinar, sem realizar convolução, qual será o valor máximo de x(n) e y(n) e
o índice temporal desse máximo.
1.37 Considerar um sistema digital cuja relação entre a entrada e a saída é
dada pela equação:
Sabendo-se que se trata de um sistema causal. Determinar:
a) A saída geral do sistema considerando-se que as condições iniciais
são não nulas, ou seja, que
.
b) Determinar se o sistema é LTI.
c) Repita o processo do item b), supondo que
1.38 Uma aplicação de decomposição sistemas em cascata é a determinação
dos sistemas inversos. Um sistema com resposta impulsional
é dito o
inverso de outro sistema impulsional
se
. Isto é
utilizado para recuperar sinais ruidosos recebidos através de um canal de
comunicação convolucionando o sinal recebido com o inverso do mesmo canal.
Considerando um canal de comunicação que tenha por resposta impulsional
:
7
a) Determine o sistema inverso do dito canal.
b) Prove que qualquer sequencia x(n), ao passar pelo sistema da figura
1.9 é reconstruído na saída do sistema perfeitamente.
Figura 1.9
1.39 Dados os sistemas LTI definidos pelos diagramas de blocos da figura
1.10, deseja-se determinar a expressão geral da resposta impulsional quando
são conectados segundo os diagramas de blocos da figura 1.11.
Figura 1.10
Figura 1.11
1.40 Aplicando a propriedade de interconexão de sistemas, determinar as
respostas impulsionais do diagrama de blocos mostrado na figura 1.12.
Figura 1.12
8
1.41 Determinar quais dos seguintes sistemas LTI são de resposta impulsional
finita (FIR) e quais são de resposta impulsional infinita (IIR). Indique também
quais são os recursivos e os não recursivos.
a)
b)
c)
d)
e)
Discuta as seguintes questões:
a) Um sistema recursivo é sempre IRR?
b) Um sistema do tipo IIR pode ser implementado mediante um
diagrama de blocos com um número finito de retardos
c) É correto que um sistema IIR nunca poderá ser realizado fisicamente
já que suas respostas impulsionais tem um número infinitos de
termos?
1.42 Um sistema simples utilizado para eliminar ruído aleatório de um sinal é o
sistema de janela móvel de N amostras. Sua equação a diferenças é a
seguinte:
Expresse esta equação a diferenças de maneira a poder usá-la de forma
recursiva.
1.43 A saída de um sistema digital causal vem dada pelas seguintes amostras:
a) Determinar a expressão geral de y(n) e sua resposta impulsional.
b) Verificar se é um sistema LTI.
9
1.44 Definimos o coeficiente de correlação entre duas seqüências x(n) e y(n)
como:
Determinar
entre as seqüências:
e
A partir dessa expressão determine o valor máximo de
1.45 Determinar a condição que o sistema causal LTI da figura 1.13 deve
cumprir para que seja estável.
Figura 1.13
10