⇨ Curso de Matemática Básica.
⇨ Aula-03: Potenciação, Radiciação e Operações
com Números Racionais.
↣ CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS: Denominamos Conjunto dos Números Racionais, ao
conjunto dos números que podem ser escritos da forma , em que a ∈ℤ e b ∈ ℤ*. Na fração , a é o
numerador e b o denominador.
↦ SÍMBOLO: ℚ.
↦ REPRESENTAÇÃO DECIMAL: É importante notar que todo número racional
representado por um número decimal. Passamos um número racional
pode ser
para forma de número
decimal dividindo o inteiro a pelo inteiro b. Nessa passagem de uma notação para outra podem
ocorrer dois casos:
→ 1° Caso - Decimal Exata:O número decimal tem uma quantidade finita de algarismos
diferentes de zero.
- EXEMPLOS:
01) = 7
02) = 0,4
03)
= 0,025
04)
= 0,35
→ 2°Caso – Dízima Periódica:O número decimal tem uma quantidade infinita de
algarismos que repetem periodicamente, isto é, é uma dízima periódica.
- EXEMPLOS:
01) = 0,1111 … = 0, 1(período 1)
02)
= 0,285714285714 … = 0,285714(período 285714)
03)
= 1,83333 … = 1,83 (período 3)
É importante observar que todo número na forma de decimal exata ou de dízima periódica
pode ser convertido à forma de fração
e, portanto, representará um número racional.
Quando a decimal é exata, podemos transformá-lo em uma fração cujo numerador é o
numeral decimal sem a vírgula e cujo denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas
forem as casas decimais do numeral dado.
- EXEMPLOS:
01) 0,28 =
02) 3, 756 =
03) 63, 4792 =
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1
Quando a decimal é uma dízima periódica, devemos procurar a sua fração geratriz.
- EXEMPLOS:
01) 0, 777, ...
03) 2, 67191919...
02) 3, 5454...
04) 1, 352352...
↦ OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS:
→ ADIÇÃO ALGÉBRICA: Para adicionarmos algebricamente dois ou mais números racionais
escritos na forma fracionária:
- EXEMPLOS:
01)
+ −
=
02) − − + =
03) 0,3 – 0,22 + 0,888... - 0,555... =
→
→ MULTIPLICAÇÃO:
→
;
.
- EXEMPLOS:
01) −
=
02) (0,2) (- 0,03) (- 0, 777...) =
(0,7) =
03)
→ DIVISÃO:
→
→
°
çã (
çã )
í
°
çã (
çã .
);
- EXEMPLOS:
∶ −
01)
02) 5 :
=
=
03) A expressão
é igual a:
a) 1/18.
b) 1/12.
c) 1/6.
d) 2/3.
e) 3/2.
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2
↣ POTENCIAÇÃO:
↦ DEFINIÇÃO: Seja a um número real e n um número inteiro. denominamos potência de base a e
expoente n ao número an, tal que:
= . . … . . , para n > 1.
A partir da definição, decorre que:
→ a1 = a
→ a2 = a . a
→ a3 = a . a . a
→ a0 = 1
→ a-n =
=
- EXEMPLOS:
01) 30 = 1.
05) ( - 3)3 = (- 3) . (- 3) . (- 3) = - 27.
02) ( - 7)0 = 1.
06)
03) 52 = 25.
07) (0)3 = 0.
04)
=
.
.
.
= .
= .
- CALCULE:
01) (- 3)2 =
02) – 32 =
03) – 23 =
04) – (- 2)3 =
↦ PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS: Seja a ∈ ℝ, b ∈ ℝ, m ∈ ℝ e n ∈ ℝ, então valem as seguintes
propriedades:
₁. PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE: am . an = am + n.
₂. QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DEMESMA BASE: am : an = am – n.
₃. DISTRIBUTIVA DA POTENCIAÇÃO EM RELAÇÃO À MULTIPLICAÇÃO: (a . b)m = am .
bm
₄. DISTRIUTIVA DA POTENCIAÇÃO EM RELAÇÃO À DIVISÃO:
=
.
₅. POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA: (am)n =am.n.
↪ Observações:
¹ Cuidado com a base!!!
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
² Potência com expoente inteiro negativo!!!
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3
- CALCULE:
01) (a2 . b3)2 . (a3 . b2)3 =
02)
.
( .
=
)
03) [(
) ] =
.
.
04)
=
.
.
05)
.
(
.
=
)
.
↣ RADICIAÇÃO:
↦ DEFINIÇÂO: Dados um número real a ≥ 0 e um número natural n, demonstra-se que existe
sempre um número real positivo ou nulo b tal que bn = a. Ao número b chamaremos raiz enésima
aritmética de a e indicaremos pelo símbolo √ em que a é chamado radicando e n é o índice.
- EXEMPLOS:
01) √32 = 2 porque 25 = 32.
02) √343 = 7 porque 73 = 343.
03) √25 = 5 porque 52 = 25.
04) √0 = 0 porque 07 = 0.
05) √1 = 1 porque 16 = 1.
↪ Observação:
₁. A partir da definição decorre que √
= , para todo a ≥ 0.
₂. Observemos na definição dada que:
=
√
= e não
No
= ±
e não √
entanto, − √
= ±
= − , −√ = − , ±√
=± .
Todas
estas
são sentenças
verdadeiras em que o radical "não é quem causa" o sinal que o antecede.
₃. É necessário estar atento no cálculo da raiz quadrada de um quadrado perfeito:
=| |
√
- EXEMPLOS:
01) (−5) = |−5| = 5 e não (−5) = −5.
02) √
= | | e não √
= .
↦ PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO:
₁. √
.
= √
.
₂. √ . √ = √ .
₃.
=
₄. √
₅.
√
√
.
(b ≠ )
= √
√ = √
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4
↪ Observação: Racionalização de Denominadores.
↪ Lista de Exercícios:
→ Lista de exercícios de Números Racionais:
01)(FUVEST-SP/UNIFRA-2007):Na figura estão representados geometricamente os números
reais 0, x, y e 1. Qual a posição do número xy ?
a) À esquerda de 0.
d) Entre y e 1.
b) Entre 0 e x.
e) À direita de 1.
c) Entre x e y.
02)(CEFET-PR): O numerador de uma fração imprópria da mesma classe de equivalência da
dízima periódica 2,666... e que tem denominador 12, é:
a) 6.
b) 9.
c) 16.
d) 32.
e) 34.
03)(Covest-PE): Assinale a afirmação verdadeira entre as seguintes:
a) No conjunto dos números inteiros relativos, existe um elemento que é menor do que todos os
outros.
b) O número real 2 pode ser representado sob a forma
p
q
, sendo p e q inteiros, q ≠ 0.
c) O número real representado por 0. 372222... é um número racional.
d) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.
e) O quadrado de qualquer número real é um número racional.
1 1

04) O valor da expressão 0,999...  5 3 é:
3 1

5 15
9
15
19
a)
.
b) .
c) .
d) 1.
e) 2.
10
9
10
05)(UFRN-RN): O valor de
a) 0.333...
2
é:
0, 666...
b) 1.333...
c) 3.333...
d) 3.
e) 12.
06) Somando-se o mesmo número ao numerador e ao denominador da fração
obtém-se uma
nova fração, cujo valor é 50% maior do que o valor da fração original. Que número é esse?
07)(Unificado-RJ): Observe o algoritmo abaixo, o qual a divisão de certo número natural não nulo a
por 8:
Mesmo sem informação sobre a parte inteira do quociente, podemos afirmar que o menor número
natural, maior que a, que é divisível por 8 (quociente natural e resto zero) é:
a) a + 1.
b) a + 2.
c) a + 3.
d) a + 4.
e) a + 5.
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5
08)(CESGRANRIO-RJ): Efetuando e simplificando
.
a)
b)
.
09)(EPCAR-MG): A expressão
a)
.
b)
.
c)
.
d)
√
, obtemos:
e)
.
, com a ≠ 0 e a≠ ± b é idêntica a
.
.
+
√ c) a- 2 - b- 2.
d) a2 + b2.
e) a- 6 - b- 6.
010)(FGV-SP): Sejam a, b e c números reais quaisquer. Assinale a afirmação verdadeira:
c
c
c
  .
ab a
b
a) a > b

a2 > b2.
d)
b) a > b

ac > bc.
e) a2 = b2
c)
2
a b
2
a = b.
≥ a.
− 2 para = é:
011)(PUC): O valor numérico da expressão
a) 63/4.
b) 12.
c) 7/2.
012)(FGV-SP): O valor de
a)

.
e) - 12.
é:
.
b)
d) – 1/16.
c) 1.
d) 315 .
e) 515.
013)(UFMG-M): Efetuando as operações indicadas na expressão (0,01 0,12) + (0,14) +
√0,04, obtemos:
a) 0,220.
b) 0,256.
c) 0,296.
d) 0,560.
−
014)(PUC-MG): O resultado simplificado da expressão
.
a)
b)
c) .
.
.
d)
e)
∶
−
∶
é:
e) 1.
015)(PUC-SP): O número (0, 666...) é igual a:
2
a) 0,3666...
b) 0,363636...
c) 0,4000...
d) 0,444...
e) 0,1333....
016)(UFRGS-RS): O denominador de uma fração excede o numerador em 3 unidades.
Adicionando-se 11 unidades ao denominador, a fração torna-se equivalente a ¾. A fração
original é:
.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
017)(MACKENZIE-SP): O valor da expressão
a) 8.
b) 32.
c) 64.
é:
.
d) 150.
e) 160.
,
018)(EPCAR-MG): O valor numérico da expressão
a) – 9.
b) – 6.
019)(PUC): Se
a) 0.
,
,
.
e)
c) – 9/10.
∶
d) – 9/37.
,
…
é:
e) – 7/45.
= 0,115. 10 , então o valor de x é:
b) 1.
c) 2.
d) 3.
,
=
020)(UFMG-MG): O valor de
e) – 1.
… √
é:
√ , .
a)
√
.b)
.
.
c)
√
d)
.
e)
√
.
→ Lista de exercícios de Potenciação:
021)(UFRGS-RS): Se (x-1 + y-1 ) = 2, então y é igual a:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
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6
022)(UFRGS-RS-2005): Considere as desigualdades abaixo:
I) 32000 < 23000.
II) − < −
III)
<
.
.
Quais são verdadeiras ?
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas I e II.
d) apenas I e III.
e) apenas II e III.
1 7

023)(UFRGS-RS): Simplificando a expressão 0,2 1    , obtém-se um número:
4 8

a) negativo.
d) maior que 4 e menor que 7.
b) maior que 0 e menor que 1.
e) maior que 7.
c) maior que 1 e menor que 4.
024) Se n ∈ ℤ e a∈ ℝ*, simplifique as expressões:
a) 22n + 1 . 21 – n . 23 – n =
.
b)
(
(
c)
)
).
.
d)
=
.
.
=
=
.(
025)(UFSM): A expressão
.
a)
.
b)
) ÷
.
c)
,m ∈ ℝ, é igual a:
.
d)
026)(FAFRA-1997): Se n5 = 1000 e b3 = 100, então o expoente que devemos elevar o número b
para obtermos o número n é:
a) 0,5.
b) 0,9.
c) 1,2.
d) 1,5.
e) 2,0.
027)(UFMG-MG): Sejam a e b números reais positivos. Todas as afirmativas estão corretas,
exceto:
a) ax + y = ax . ay, ∀ x, y ∈ℝ.
d) ax – y =
b) (ab)x = ax . bx, ∀ x ∈ ℝ.
e)
c) (
) =
b) 50.
c) 25.
029)(ULBRA): A expressão
a) 3
n+1
.
b) 3
e) 5.
é equivalente a:
.
c) 3n + 3 .
n–1
030)(UFSM): O valor da expressão
b) 20.
, encontramos:
d) 15.
a) 2-1.
= , ∀ ∈ ℝ.
, ∀ x, y ∈ ℝ.
028)(CERSGRANRIO-RJ): Simplificando
a) 59.
, ∀ x, y ∈ ℝ.
c) 21/2.
d) 3n + 2.
÷
e) 3.
é igual a:
d) 24.
e) 26.
031) A diferença entre 20000012 e 19999992 é
a) 2.
b) 4.
c) 2 . 106.
d) 4 . 106.
e) 8 . 106.
032)(UFRGS-RS-2013): O algarismo das unidades da soma 4454 + 5545 é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
033)(UFSM): Se 10 = 25, então 10 é igual a:
2y
a) .
b) 1/5.
-y
c) 25.
d) 1/25.
e) – 5.
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7
034)(MACKENZIE-SP): Se (2x . ky + 1. 5t + 3).(2x – 1. ky . 5t + 1 ) = 150, então k vale:
035)(FUVEST-SP): Dos números abaixo, o que está mais próximo de
a) 0,625.
b) 6,25.
c) 62,5.
d) 625.
( , ) (
, )
( , )
é:
e) 6250.
036)(UFSM): Sabendo-se que "n" é um número para e "a" é real e não nulo, a expressão
( )
pode ser escrita como:
b) a-n.
a) na.
c) a2n.
d) zero.
e) um.
037)(IPA-RS): O valor de 3 + 3 + 3 é
10
a) 910.
b) 310.
10
10
c) 313.
d) 311 .
038)(UFSM): Simplificando a expressão
.
a)
b) 2- (n + 5) .
.
,obteremos:
d) .
c) 28.
,
039)(UFPEL-RS): O valor da expressão
a) 0,125.
e) 911.
,
:
b) 0,25.
é:
c) 0,50.
d) 0,75.
e) 1.
040)(DESAFIO)(PUC-RS): Considerando a tabela abaixo, dê potências de a, onde a é um real
positivo e diferente de 1:
A √ é igual a:
a) n + p.
b) m + q.
c) n . q.
d) p . q.
e) m . p.
→ Lista de exercícios de Radiciação:
041)(PUC-SP): Sabe-se que o produto de dois números irracionais pode ser um número racional.
Um exemplo é:
a) √12. √3 = √36.
d) √2.2 = √8.
b) √4. √9 = 6.
e) √2. √3 = √6.
c) √3.1 = √3.
042)(UFSM): A expressão 10 + √10. 10 − √10 é igual a:
a) √10.
b) 3 + √10.
c) 10 - √10.
e) 10 + √10.
d) 3.√10.
043)(UEL-PR): O menor número inteiro n, estritamente positivo, que torna a expressão 3500.n
um cubo perfeito é
a) 35.
b) 49.
c) 56.
d) 98.
e) 105.
044)(UFRGS-RS): A solução da equação √2 + √3 . √3 − √2 = 0 é:
a) 5 − 2√6.
b) 2√6 − 5.
045)(PUC-RJ): O valor de
a) 4,444...
1,777...
0,111...
b) 4.
c) 2√6 + 5.
é:
c) 4,777...
046)(CONCURSO BANRISUL-2001): Se
a) ímpar.
b) negativo.
e) √−1.
d) 1.
d) 3.
x 
c) nulo.
2  1, o
e)
número
4
.
3
1
x
x
d) irracional.
é:
e) primo.
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8
047)(FGV-SP): Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que:
a) x . y é racional.
b) y . y é irracional.
c) x + y é racional.
d) x – y + 2 é irracional.
e) x + 2y é irracional.
7  2 10
048)(U. Tuiuti-PR): O número
a) irracional negativo.
e) n.d.a.
5  2
é:
b) natural.
c)racional mas não negativo.
049)(UFSM-1995): Desenvolvendo
d) inteiro negativo.
obtém-se o resultado a + b
, com a e b
números reais. O valor de b é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 4.
e) 6.
050)(UFPEL-RS-INVERNO 2005): Durante muitos séculos, acreditou-se que os números racionais
fossem suficientes para resolver qualquer problema numérico que pudesse surgir. Admita-se que a
medida de uma grandeza, em qualquer unidade, podia sempre ser expressa através de um número
racional. Não se sabe ao certo, mas supõe-se que da escola pitagórica surgiu um problema que lançou
por terra a suficiência dos números racionais, ao querer saber qual a medida da diagonal de um
quadrado cujo lado mede uma unidade.
Assim
d2 = 1 2 + 1 2
d= 2
Com base no texto e em seus conhecimentos, analise as afirmativas abaixo.
I. O produto de dois números irracionais é sempre irracional.
II. Se a e b são irracionais, então
a
b
é irracional.
III. Se a é racional, e b é irracional, então a + b é irracional.
IV. Se a é racional, e b é irracional, então a.b é irracional.
É correto afirmar que
a) somente I e III são verdade.
d) somente II, III e IV são verdadeiras.
b) somente II e IV são falsas.
c) somente I e II são falsas.
e) todas as afirmativas são verdadeiras.
f) I.R.
051)(UFRGS-RS): O valor de
a)
b)
.
é
c)
052)(UFSM): A expressão
a)
.
b)
.
d)
e)
, com x > 0 e Y > 0 é igual a:
c)
d)
e)
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9
√
053)(UFSM-1996): Sendo a ≠ 0, o número real
.
a)
.
b)
.
.
d)
.
.
e)
.
3 + 2√2 − 3 − 2√2 ,obtém-se um número:
054)(UFSM): Efetuando-se
a) ímpar.
.
c)
pode ser escrito como
c) maior que √20.
b) irracional.
d) múltiplo de 3.
e) quadrado perfeito.
055)(CESGRANRIO-RJ): Um número real x, que satisfaz √35 < < √39, é:
a) 5,7.
b) 5,8.
c) 6.
d) 6,3.
e) 6,6.
056)(UFRN-RN): 13 + 7 + 2 + √4 é igual a:
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
057)(U. C. SALVADOR-BA): A média geométrica de dois números positivos a e b é igual a √ . .
Sabendo-se que a média geométrica de dois números é igual a 6 e um deles é o quádruplo do outro,
então:
a) o menor deles é um número primo.
b) o maior deles é um número ímpar.
d) o maior deles é um número primo.
e) o menor deles é um número par.
c) o menor deles é um número quadrado perfeito.
058)(UFRGS-RS-2010): O quadrado do número 2 + √3 + 2 − √3 é
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
059)(UFSM): Simplificando a expressão
√ .
a)
b)
√
√
√
.
b)
√
.
c)
√
√
, obtém-se:
.
c)
060)(DESAFIO)(PUC-RS): A soma
a) .
+
e) 8.
d) .
+
√
.
√
√
+
√
√
d) .
√
e)
e)
√
+
√
.
√
+
√
√
é igual a:
.
↪ Gabarito:
01) B
010) C
02) D
011) A
018) C
019)
026) B
027) C
034)
035) E
03) C
04) E
012) E
020) B
021) B
028) E
036) D
05) D
013) A
022) B
029) C
037)
06)
014) E
030) D
038) D
039) E
07) E
08) E
09) B
015) E
016) D
017) E
023) D
024)
025) D
031) E
040) E
032)
033) B
041) A
042) D
043) D
044) B
045) B
046) E
047) E
048) B
049) E
050)
051) C
052) A
053) C
054) E
055) C
056) A
057) A
058) C
059) A
060) C
Matemática Básica
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Fabricio
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