⇨ Curso de Matemática Básica.
⇨ Aula-03: Potenciação, Radiciação e Operações com
Números Racionais.
↣ CON JU N TO DOS N Ú M E ROS RACI ON AI S : Denominamos Conjunto dos Números Racionais, ao conjunto dos
números que podem ser escritos da forma , em que a
ℤeb
ℤ*. Na fração , a é o numerador e b o denominador.
↦ SÍ M BOLO : ℚ.
↦ RE P RE SE N TAÇÃO DE CI M AL : É importante notar que todo número racional
número decimal. Passamos um número racional
pode ser representado por um
para forma de número decimal dividindo o inteiro a pelo inteiro b.
Nessa passagem de uma notação para outra podem ocorrer dois casos:
→ 1° Caso - Decimal Exata:O número decimal tem uma quantidade finita de algarismos diferentes de
zero.
- EXEMPLOS:
01)
02)
03)
04)
→ 2°Caso – Dízima Periódica:O número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que
repetem periodicamente, isto é, é uma dízima periódica.
- EXEMPLOS:
̅ (período 1)
01)
02)
(período 285714)
̅ (período 3)
03)
É importante observar que todo número na forma de decimal exata ou de dízima periódica pode ser
convertido à forma de fração
e, portanto, representará um número racional.
Quando a decimal é exata, podemos transformá-lo em uma fração cujo numerador é o numeral decimal sem a
vírgula e cujo denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado.
- EXEMPLOS:
01) 0,28
02) 3, 756
03) 63, 4792
Quando a decimal é uma dízima periódica, devemos procurar a sua fração geratriz.
- EXEMPLOS:
01) 0, 777 ...
02) 3, 5454...
03) 2, 67191919...
04) 1, 352352...
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1
↦ OP E RAÇÕE S COM N Ú M E ROS RACI ON AI S :
→ ADIÇÃO ALGÉBRICA: Para adicionarmos algebricamente dois ou mais números racionais escritos na
forma fracionária:
- EXEMPLOS:
(
01)
)
02)
03) 0,3 – 0,22 + 0,888... - 0,555...
→ MULTIPLICAÇÃO: {
- EXEMPLOS:
01) (
) ( )
02) (0,2) (- 0,03) (- 0, 777...)
03) ( ) (
)
→ DIVISÃO:
(
{
)
(
)
- EXEMPLOS:
01) ( )
(
)
02) 5 : ( )
03) A expressão
é igual a:
a) 1/18.
b) 1/12.
c) 1/6.
d) 2/3.
e) 3/2.
↣ P OTE N CI AÇÃO :
↦ DE FI N I ÇÃO : Seja a um número real e n um número inteiro. Denominamos potência de base a e expoente n ao
número an , tal que:
⏟
, para n > 1.
A partir da definição, decorre que:
→ a1
a
→ a2
a .a
→a
a .a. a
3
→ a0
1
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2
→ a-n
( )
- EXEMPLOS:
01) 3 0
1.
02) ( - 7)0
03) 5 2
1.
05) ( - 3)3
(- 3) . (- 3) . (- 3)
06) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
07) (0)3
25.
- 27.
0.
04) ( )
- CALCULE:
01) (- 3)2
02) – 3 2
03) – 2 3
04) – (- 2)3
↦ P ROP RI E DADE S DAS P OTÊ N CI AS : Seja a
ℝ, b
ℝ, m
₁. PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE: a m . a n
₂. QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE: a m : a n
ℝen
ℝ, então valem as seguintes propriedades:
a m + n.
a m – n.
₃. DISTRIBUTIVA DA POTENCIAÇÃO EM RELAÇÃO À MULTIPLICAÇÃO: (a . b)m
a m . bm
₄. DI STRI U TI VA DA P OTE N CI AÇÃO E M RE LAÇÃO À DI VI SÃO : ( )
₅. P OTÊ N CI A DE U M A P OTÊ N CI A : (a m ) n
am .n .
↪ Observações:
¹ Cuidado c om a bas e!!!
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________
² Potênc ia c om expoente inteiro negativo !!!
- CALCULE:
01) (a2 . b3)2 . (a3 . b2)3
02)
(
)
(
)
03) [(
) ]
04) (
05)
)
(
) (
(
)
)
↣ RADI CI AÇÃO :
↦ DE FI N I ÇÂO : Dados um número real a
0 e um número natural n, demonstra-se que existe sempre um número
real positivo ou nulo b tal que bn
a. Ao número b chamaremos raiz enésima aritmética de a e indicaremos pelo
símbolo √ em que a é chamado radicando e n é o índice .
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3
- EXEMPLOS:
01) √
porque 2 5
02) √
32.
porque 7
3
343.
03) √
porque 5
04) √
7
0.
6
.
porque 0
05) √
1 porque 1
2
25.
↪ Observaç ão:
₁. A partir da definição decorre que ( √ )
para todo a
0.
₂. Observemos na definição dada que:
√
e não √
√
e não √
√
No entanto,
√
√
. Todas estas são sentenças verdadeiras em que o
radical " não é quem causa" o sinal que o antecede.
₃. É necessário estar atento no cálculo da raiz quadrada de um quadrado perfeito:
| |
√
- EXEMPLOS:
01) √(
)
|
|
e não √(
)
| | e não √
02) √
↦ P ROP RI E DADE S DA RADI CI AÇÃO :
₁. √
₂. √
√
. √
₃. √
√
√
(b
√
₄. ( √ )
₅. √ √
)
√
√
↪ Observação: Racionalização de Denominadores.
↪ Lista de Exercícios:
→ Lista de exercícios de Números Racionais:
01)(FUVEST-SP/UNIFRA-2007):Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1.
Qual a posição do número xy ?
a) À esquerda de 0.
d) Entre y e 1.
b) Entre 0 e x.
e) À direita de 1.
c) Entre x e y.
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4
02)(CEFET-PR): O numerador de uma fração imprópria da mesma classe de equivalência da dízima periódica
2,666... e que tem denominador 12, é:
a) 6.
b) 9.
c) 16.
d) 32.
e) 34.
03)(Covest-PE): Assinale a afirmação verdadeira entre as seguintes:
a) No conjunto dos números inteiros relativos, existe um elemento que é menor do que todos os outros.
b) O número real
2 pode ser representado sob a forma
p
q
, sendo p e q inteiros, q ≠ 0.
c) O número real representado por 0. 372222... é um número racional.
d) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.
e) O quadrado de qualquer número real é um número racional.
1 1
04) O valor da expressão 0,999... 5 3 é:
3 1
5 15
9
15
19
a)
.
b) .
c) .
d) 1.
10
9
10
05)(UFRN-RN): O valor de
a) 0.333...
e) 2.
2
é:
0, 666...
b) 1.333...
c) 3.333...
d) 3.
e) 12.
06) Somando-se o mesmo número ao numerador e ao denominador da fração
obtém-se uma nova fração,
cujo valor é 50% maior do que o valor da fração or iginal. Que número é esse?
07)(Unificado-RJ): Observe o algoritmo abaixo, o qual a divisão de certo número natural não nulo a por 8:
Mesmo sem informação sobre a parte inteira do quociente, podemos afirmar que o menor número natural, maior que
a, que é divisível por 8 (quociente natural e resto zero) é:
a) a + 1.
b) a + 2.
c) a + 3.
d) a + 4.
08)(CESGRANRIO-RJ): Efetuando e simplificando
a)
b)
c)
b)
√
√
d)
09)(EPCAR-MG): A expressão
a)
e) a + 5.
, com a
obtemos:
e)
0ea
c) a - 2 - b - 2.
.
b é idêntica a
d) a 2 + b 2.
e) a - 6 - b - 6.
010)(FGV-SP): Sejam a, b e c números reais quaisquer. Assinale a afirmação verdadeira:
a) a > b
b) a > b
c)
a
2
b
2
ac > bc.
e) a 2 = b 2
a
b
c
.
b
a = b.
≥ a.
b) 12.
012)(FGV-SP): O valor de
a) ( ) .
c
a
d)
011)(PUC): O valor numérico da expressão
a) 63/4.
c
a 2 > b 2.
b) ( )
c) 7/2.
para
d) – 1/16.
é:
e) - 12.
é:
c) 1.
d) 3 15.
e) 5 15.
013)(UFMG-M): Efetuando as operações indicadas na expressão
(
a) 0,220.
e)
b) 0,256.
c) 0,296.
d) 0,560.
014)(PUC-MG): O resultado simplificado da expressão [(
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)
)
(
)]
(
)
√
obtemos:
é:
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a)
b)
.
c)
d)
e) 1.
015)(PUC-SP): O número (0, 666...)2 é igual a:
a) 0,3666...
b) 0,363636...
c) 0,4000...
d) 0,444...
e) 0,1333....
016)(UFRGS-RS): O denominador de uma fração excede o numerador em 3 unidades. Adicionando-se 11
unidades ao denominador, a fração torna-se equivalente a ¾. A fração original é:
a)
b)
c)
d)
e)
017)(MACKENZIE-SP): O valor da expressão
a) 8.
b) 32.
c) 64.
é:
d) 150.
e) 160.
018)(EPCAR-MG): O valor numérico da expressão (
a) – 9.
b) – 6.
c) – 9/10.
019)(PUC): Se
a) 0.
b) 1.
√
é:
d) – 9/37.
e) – 7/45.
, então o valor de x é:
c) 2.
d) 3.
b)
e) – 1.
( √ )
020)(UFMG-MG): O valor de
a)
)
é:
√
c)
√
d)
√
e)
.
→ Lista de exercícios de Potenciação:
021)(UFRGS-RS): Se (x -1 + y -1) = 2, então y é igual a:
a)
b)
c)
d)
.
e)
022)(UFRGS-RS-2005): Considere as desigualdades abaixo:
I) 3 2000 < 2 3000.
(
II)
)
( )
III)
Quais são verdadeiras ?
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas I e II.
023)(UFRGS-RS): Simplificando a expressão
0,2
d) apenas I e III.
1
1
4
e) apenas II e III.
7
, obtém-se um número:
8
a) negativo.
d) maior que 4 e menor que 7.
b) maior que 0 e menor que 1.
e) maior que 7.
c) maior que 1 e menor que 4.
ℤ e a ℝ*, simplifique as expressões:
024) Se n
a) 2 2n + 1 . 2 1 – n . 2 3 – n
b)
(
(
)
)
c)
d)
(
025)(UFSM): A expressão
a)
b)
026)(FAFRA-1997): Se n 5
)
c)
1000 e b 3
m
ℝ, é igual a:
d)
100, então o expoente que devemos elevar o número b para obtermos o
número n é:
a) 0,5.
b) 0,9.
c) 1,2.
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d) 1,5.
e) 2,0.
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6
027)(UFMG-MG): Sejam a e b números reais positivos. Todas as afirmativas estão corretas, exceto:
a) a x + y
a x . a y,
x, y
b) (ab)x
a x . b x,
x
c) (
)
,
ℝ.
d) a x – y
ℝ.
ℝ.
x, y
b) 50.
, encontramos:
c) 25.
029)(ULBRA): A expressão
a) 3 n + 1.
d) 15.
b) 3 n – 1.
b) 2 0.
e) 5.
é equivalente a:
c) 3 n + 3.
d) 3 n + 2.
030)(UFSM): O valor da expressão
a) 2 -1.
ℝ.
ℝ.
e) ( )
028)(CERSGRANRIO-RJ): Simplificando
a) 59.
x, y
e) 3.
é igual a:
c) 2 1/2.
d) 2 4.
e) 2 6.
031) A diferença entre 2000001 2 e 1999999 2 é
a) 2.
b) 4.
c) 2 . 10 6.
d) 4 . 10 6.
e) 8 . 10 6.
032)(UFRGS-RS-2013): O algarismo das unidades da soma 44 54 + 55 45 é
a) 0.
b) 1.
033)(UFSM): Se 10 2y
a) 5.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
25, então 10 -y é igual a:
b) 1/5.
c) 25.
d) 1/25.
034)(MACKENZIE-SP): Se (2 . k
x
y+1
.5
t+3
).(2
e) – 5.
.k .5
x–1
y
t+1
)
150, então k vale:
035)(FUVEST-SP): Dos números abaixo, o que está mais próximo de
a) 0,625.
b) 6,25.
c) 62,5.
d) 625.
(
)
(
(
)
)
é:
e) 6250.
036)(UFSM): Sabendo-se que "n" é um número par e "a" é real e não nulo, a expressão
(
)
pode ser escrita
como:
a) na.
b) a -n .
c) a2n .
d) zero.
e) um.
037)(IPA-RS): O valor de 3 + 3 + 3 é
10
a) 9 10.
b) 3 10.
10
10
c) 3 13.
d) 3 11.
038)(UFSM): Simplificando a expressão
a)
b) 2 - (n + 5).
(
c) 28.
039)(UFPEL-RS): O valor da expressão ( )
a) 0,125.
b) 0,25.
c) 0,50.
e) 9 11.
)
obteremos:
d)
( )
é:
d) 0,75.
e) 1.
040)(DESAFIO)(PUC-RS): Considerando a tabela abaixo, dê potências de a, onde a é um real positivo e
diferente de 1:
A √ é igual a:
a) n + p.
b) m + q.
c) n . q.
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d) p . q.
e) m . p.
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7
→ Lista de exercícios de Radiciação:
041)(PUC-SP): Sabe-se que o produto de dois números irracionais pode ser um número racional. Um exemplo
é:
a) √
b) √
√
√
d) √
.
√
c) √
e) √
√
√
√
042)(UFSM): A expressão √
a) √
√
b) 3 + √
.
√
√
√
c) 10 - √
.
é igual a:
e) 10 + √
d) 3.√
043)(UEL-PR): O menor número inteiro n, estritamente positivo, que torna a expressão 3500.n um cubo
perfeito é
a) 35.
b) 49.
c) 56.
d) 98.
044)(UFRGS-RS): A solução da equação (√
a)
√
b) √
√ )
c) √
1,777...
045)(PUC-RJ): O valor de
a) 4,444...
√
√
é:
e) √
d) 1.
é:
0,111...
b) 4.
c) 4,777...
d) 3.
046)(CONCURSO BANRISUL-2001): Se x
a) ímpar.
e) 105.
b) negativo.
2
e)
1, o número
c) nulo.
1
x
4
.
3
x é:
d) irracional.
e) primo.
047)(FGV-SP): Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que:
a) x . y é racional.
b) y . y é irracional.
c) x + y é racional.
d) x – y +
2 é irracional.
e) x + 2y é irracional.
048)(U. Tuiuti-PR): O número
a) irracional negativo.
7
2 10
5
2
é:
b) natural.
c)racional mas não negativo.
049)(UFSM-1995): Desenvolvendo (√
√
)
d) inteiro negativo.
e) n.d.a.
obtém-se o resultado a + b√ , com a e b números reais.
O valor de b é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 4.
e) 6.
050)(UFPEL-RS-INVERNO 2005): Durante muitos séculos, acreditou-se que os números racionais fossem suficientes
para resolver qualquer problema numérico que pudesse surgir. Admita-se que a medida de uma grandeza, em
qualquer unidade, podia sempre ser expressa através de um número racional. Não se sabe ao certo, mas supõe-se que
da escola pitagórica surgiu um problema que lançou por terra a suficiência dos números racionais, ao querer saber
qual a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede uma unidade.
Assim
d2 = 1 2 + 1 2
d=
2
Com base no texto e em seus conhecimentos, analise as afirmativas abaixo.
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8
I. O produto de dois números irracionais é sempre irracional.
II. Se a e b são irracionais, então a é irracional.
b
III. Se a é racional, e b é irracional, então a + b é irracional.
IV. Se a é racional, e b é irracional, então a.b é irracional.
É correto afirmar que
a) somente I e III são verdadeir
d) somente II, III e IV são verdadeiras.
b) somente II e IV são falsas.
e) todas as afirmativas são verdadeiras.
c) somente I e II são falsas.
f) I.R.
051)(UFRGS-RS): O valor de √
√
a) √
c) √
b) √ .
052)(UFSM): A expressão √
a) √ .
√
b) √ .
.
é
0, o número real
c)
054)(UFSM): Efetuando-se ( √
a) ímpar.
e) √
d) √
c) √
√
b)
d) √
√ , com x > 0 e Y > 0 é igual a:
053)(UFSM -1996): Sendo a
a)
√
√
pode ser escrito como
√
√
d)
√
√
e) √
.
e)
d) múltiplo de 3.
055)(CESGRANRIO-RJ): Um número real x, que satisfaz √
a) 5,7.
b) 5,8.
c) 6.
056)(UFRN-RN): √
a) 4.
√
b) 5.
d) 6,3.
√
√
.
√ ) obtém-se um número:
c) maior que √
b) irracional.
√
√
e) quadrado perfeito.
, é:
e) 6,6.
√ é igual a:
c) 6.
d) 7.
e) 8.
057)(U. C. SALVADOR-BA): A média geométrica de dois números positivos a e b é igual a √
. Sabendo-se que a
média geométrica de dois números é igual a 6 e um deles é o quádruplo do outro, então:
a) o menor deles é um número primo.
d) o maior deles é um número primo.
b) o maior deles é um número ímpar.
e) o menor deles é um número par.
c) o menor deles é um número quadrado perfeito.
058)(UFRGS-RS-2010): O quadrado do número √
a) 4.
b) 5.
c) 6.
√
√
d) 7.
√ é
e) 8.
059)(UFSM): Simplificando a expressão √ + √ , obtém-se:
a)
√
b)
√
√
c) √
√
060)(DESAFIO)(PUC-RS): A soma
a)
b)
√
c)
√
√
d)
√
√
d) .
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√
√
e)
√
e)
√
√
.
√
√
√
é igual a:
√
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9
↪ Gab arito:
01) B
02) D
03) C
04) E
05) D
06) 15
07) E
08) E
011) A
012) E
013) A
014) E
015) E
020) B
021) B
022) B
023) D
024a) 32/ 024b) a
026) B
027) C
028) E
029) C
030) D
031) E
032) B
035) E
036) D
037) D
038) D
039) E
040) E
041) A
044) B
045) B
046) E
047) E
049) E
050) B
053) C
054) E
055) C
056) A
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048) B
057) A
016) D
058) C
n +4
09) B
017) E
/ 024c) 3
059) A
2n + 4
010) C
018) C
/ 024d) a
019) D
025) D
n +3
033) B
034) k 3
042) D
051) C
043) D
052) A
060) C
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10
⇨ Curso de Matemática Básica.
⇨Aula-04: Conversão de Unidades e
Trigonometria.
↣ Conversão de Unidades:
⇒ PREFIXOS DO SISTEMA INTERNAC IONAL(S. I.)
FATOR
12
10
9
10
6
10
3
10
2
10
1
10
PREFIXO
SÍMBOLO
Tera
FATOR
T
Giga
Nano
n
-6
Micro
μ
-3
Mili
m
-2
Centi
c
-1
Deci
d
10
h
Deca
p
10
k
Hecto
Pico
-9
10
M
Kilo
SÍMBOLO
10
G
Mega
PREFIXO
-1 2
10
da
10
⇒ UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO:
Múltiplos
Unidade Fundamental
Submúltiplos
NOMES
SÍMBOLOS
VALORES
Quilometro
km
1000 m
Hectômetro
hm
100 m
Decâmetro
dam
10 m
Metro
m
1m
Decímetro
dm
0, 1 m
Centímetro
cm
0, 01 m
Milímetro
mm
0, 001 m
⇒ UNIDADES DE MEDIDAS DE SUPERFÍCIE:
→ METRO QUADRADO: m2 = 1 m2 = 1m x 1m
→ DECÍMETRO QUADRADO: dm2 = 0,01 m2 =
1
1
m x
m
10
10
→ CENTÍMETRO QUADRADO: cm2 = 0,0001 m2 =
1
m 2 10 2 m 2
100
1
1
m x
m
100
100
→ MILÍMETRO QUADRADO: mm2 = 0,000001 m2 =
1
1
m2
m 2 10 4 m 2
4
10000
10
1
1
m x
m
1000
1000
1
m2
1000000
1
10 6
m 2 10
6
m2
⇝ OBS: Devemos interpretar uma área como sendo o produto de duas dimensões.
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11
⇒ UNIDADES DE MEDIDAS DE VOLUME:
→ METRO CÚBICO: m3 = 1 m3 = 1m x 1m x 1m
1
1
1
m x
m x
m
10
10
10
→ DECÍMETRO CÚBICO: dm3 = 0,001 m3 =
1
1
1
m x
m x
m
100
100
100
→ CENTÍMETRO CÚBICO: cm3 = 0,000001 m3 =
→MILÍMETRO
CÚBICO:
1
1
1
m x
m x
m
1000
1000
1000
mm3
1
m3
1000000000
1
1
m3
m 3 10 3 m 3
1000
10 3
=
1
10
9
m 3 10
9
1
m3
1000000
0,000000001
1
10 6
m 3 10
m3
6
m3
=
m3
⇝ OBS: Devemos interpretar um volume como sendo o produto de três dimensões.
⇒ RELAÇÃO IMPORTAN TE:
V OLUME
1 m3
CAPACIDADE
1 kl = 1000 l = 103 l
MASSA
1 t = 1000 kg = 103 kg
1 dm3
1l
1 kg
1 cm3
1 ml
1g
⇨ 1 m3 = 1000 l = 1m
x
1m x 1m
1m x 1m
↓
↓
x 1m
↓
100 cm x 100 cm x 100 cm
↓
↓
↓
10 dm x 10 dm x 10 dm
⇝ 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000mm
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⇨ 1 dm3 = 1l = 1 dm x 1 dm x 1dm
1 dm x 1 dm x 1dm
↓
↓
↓
10 cm x 10 cm x 10 cm
↓
↓
↓
1m x 1m x 1m
10
10
10
⇝ 1 dm = 0, 1m = 10 cm = 100 mm
⇨ 1 cm3 = 0, 001 l = 1 ml = 1 cm x 1 cm x 1 cm
1 cm x 1 cm x 1 cm
↓
↓
↓
1
1
1
dm x
dm x
dm
10
10
10
↓
↓
↓
1
1
1
mx
m x
m
1 00
1 00
1 00
- EXEMPLOS:
01) Um reservatório tem a forma de um prisma reto-retangular (paralelepípedo) e mede 0,50 m de largura;
1,20 m de comprimento e 0,70 m de altura.
Estando o reservatório com certa quantidade de água, coloca -se dentro dela uma pedra com forma irregular,
que fica totalmente coberta pela água. Observa-se, então, que o nível da água sobe 1 cm. Isto significa que o
volume da pedra mede, em centímetros cúb icos.
a) 0,42
b) 60
c) 600
d) 6.000
e) 420.000
02)(ENEM -2009/PROVA APLICADA): O Aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina,
Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros
quadrados estão no Brasil. O aqüífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos
maiores do mundo
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Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as
unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo,
um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros.
Disponível em: http;//notícias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul.2009 (adptado)
Comparando as capacidades do Aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do Aquífero
Guarani é
a) 1,5 x 10 2 vezes a capacidade do reservatório novo.
b) 1,5 x 10 3 vezes a capacidade do reservatório novo.
c) 1,5 x 10 6 vezes a capacidade do reservatório novo.
d) 1,5 x 10 8 vezes a capacidade do reservatório novo.
e) 1,5 x 10 9 vezes a capacidade do reservatório novo.
03)(IBMEC): Uma caixa d'água é abastecida à razão constante de 15 l/min, e, simultaneamente, seu conteúdo escoa,
por uma torneira, à razão constante de 7l/min. Se, em certo instante, o volume de água nessa caixa é de 800 l, então, a
caixa estará com 2000 l em:
a) 2 horas.
b) 4 horas.
c) 1 hora e 30 minutos.
d) 2 horas e 30 minutos.
e) 3 horas.
04)(UFSM-1991): Uma mangueira de área de secção reta de 0.5x10 -4 m 2 deita água em uma proveta na razão de
3.0 l em 0.5 minutos. A razão e a velocidade média do líquido são, respectivamente,
a) 2 m 3/s; 10 -4 m/s.
b) 10 -4 m 3/s; 2 m/s.
c) 1.5 m 3/s; 3x10 4 m/s.
d) 1.5 m 3/min; 3x10 4 m/min.
e) 0.3x10 -4m 3/s; 3/5 m/s.
↣ Trigonometria:
↦ I ntro dução :
Observe uma pessoa que sobe dois tipos de rampa:
A partir da análise do desenho podemos dizer que a segunda rampa é mais íngreme ou tem maior aclive, pois seu
ângulo de subida é maior (55° < 30°).
Analisemos a seguinte situação-problema: Sem conhecer os ângulos de subida, como saber qual das duas rampas
abaixo é a mais íngreme?
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Em situações como essas que envolvem lados e ângulos de um triângulo, podem ser resolvidas com o estudo da
Trigonometria.
↦ Í ndice de subida :
Para cada ponto P alcançado na subida, temos um percurso, um afastamento e uma altura. Observe os
seguintes exemplos:
Observe a rampa e a tabela a seguir:
Para cada um dos pontos, a razão entre a altura e o afastamento correspondente é dada por:
Ponto A:
.
Ponto C:
Ponto B:
Ponto D:
É importante observar que a razão entre a altura e o afastamento, para cada ponto de uma mesma subida, é
uma constante (sempre a mesma). No exemplo dado, essa constante é e damos o nome de índice de subida .
Índice de subida
.
↦ I deia de Tangente : Usamos a palavra tangente para associar a medida do ângulo de subida e o índice na mesma
subida. A tangente do ângulo de subida é igual ao índice de subida associado, e será indica do por k 1 .
A partir de agora temos condições de resolver a situação-problema proposta inicialmente: vamos retomar as duas
figuras e depois construir seus modelos matemáticos, que são dois triângulos retângulos.
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Índice de subida da primeira ou tg α
Índice de subida da segunda ou tg β
Como
.
.
a primeira subida é a mais íngreme.
↦ I deia de Seno : Em qualquer subida podemos determinar a razão entre a altura e o percurso, que será um número
que indicamos por k 2 , ao qual chamaremos de seno de ̂ .
.
O número K 2 , da mesma forma que a medida do ângulo de subida, pode nos indicar quanto a subida é ingreme.
↦ I deia de Co sseno : Em qualquer subida podemos determinar a razão entre o afastamento e o percurso, que será um
número que indicamos por cosseno de ̂ .
O número k 3 , da mesma forma que a medida do ângulo de subida, pode nos indicar quanto a subida é ingreme.
↦ determinaç ão dos valores dos arcos notáveis.
↦ Algumas aplicações de Seno, Cosseno e Tangente :
¹ Decomposição de Forças/Equilíbrio:
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² Plano Inclinado:
³Velocidades no lançamento oblíquo:
↪ Lista de Exercícios:
→ Lista de Exercícios de Conversão de Unidades:
01)(CVM): Um reservatório tem 1,20 m de largura; 1,5 m de comprimento e 1 metro de altura. Para conter
1260 litros de água, esta deve atingir a altura de:
a) 70 cm.
b) 0,07 m.
c) 7 m.
d) 0,7 dm.
e) 700 cm.
02)(BB): Se uma vela de 36 cm de altura diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se consumir ?
a) 2h.
b) 2h 36 min.
c) 3h.
d) 3h 18 min.
e) 3h 20 min.
03) Um campo de forma retangular tem por dimensões 3 dam e ¼ hm. Sabendo-se que 2/3 de sua área estão
cultivados, a área da parte não cultivada, em m 2, é:
a) 250.
b) 300.
c) 450.
d) 500.
e) 750.
04) O estacionamento de certa agência bancária, de formato retangular, tem 25 m de comprimento. Para
cimentá-lo foram gastos $ 675.000,00, à razão de $1.500,00 o metro quadrado. A largura desse estacionamento,
em metros, é:
a) 28.
b) 25.
c) 22.
d) 20.
e) 18.
05) Sabemos que um recipiente de 1 dm 3 contém 1l de água. Em uma caixa d'água em forma de
paralelepípedo reto-retangular de 2 m de largura, 1,20 m de comprimento e 80 cm de profundidade, a
capacidade, em litros, é igual a
a) 192.
b) 1920.
c) 2440.
d) 19200.
e) 24400.
06)(ETFQ-Adaptado): Uma indústria embala sua produção de óleo vegetal em latas de 30 cm 3. Quantas destas
latas são necessárias para embalar uma produção de 900 l de óleo vegetal ?
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17
a) 30 000.
b) 3 000.
c) 300.
d) 90 000.
e) 9 000.
07)(UFRGS-RS-2005): Observe a tabela abaixo, usada em informática.
A medida, em gigabytes, de um arquivo de 2000 bytes é
a) 2 -3.
b) 5 3 . 2 -30.
c) 10 3 . 2 -30.
d) 5 3 . 2 -26.
e) 10 3 . 2 -26.
08)(PETROBRÁS): Um terreno retangular tem 100 m de largura e 50 m de comprimento. A área desse terreno
é de:
a) 5 km 2.
b) 0,5 km 2.
c) 0,05 km 2.
d) 0,005 km 2.
e) 0,0005 km 2.
09) O volume do tanque de combustível de um ônibus é de 64.000 cm 3. Sendo o consumo desse ônibus de 1
litro a cada 12 km, determinar a distância máxima que esse veículo pode percorrer até esgotar todo o
combustível.
a) 76,8 km.
b) 768 km.
c) 7680 km.
d) 7680 m.
e) 768 m.
010)(ENEM-2009/PROVA FRAUDADA): Uma fotografia tirada em uma câmera digital é formada por um
grande número de pontos, denominados pixels. Comercialmente, a resolução de uma câmera digital é
especificada indicando os milhões de pixels, ou seja, os megapixels de que são constituídas as suas fotos.
Ao se imprimir uma foto digital em papel fotográfico, esses pontos devem ser pequenos para que não sejam
distinguíveis a olho nu. A resolução de uma impressora é indicada pelo termo dpi (dot per inch), que é a
quantidade de pontos que serão impressos em uma linha com uma polegada de comprimento. Uma foto
impressa com 300 dpi, que corresponde a cerca de 120 pontos por centímetro, terá boa qualidade visual, já que
os pontos serão pequenos, que a olho não será capaz de vê-los separados e passará a ver um padrão contínuo.
Para se imprimir uma foto retangular de 15 cm por 20 cm, com resolução de pelo menos 300 dpi, qual é o
valor aproximado de megapixels que a foto terá ?
a) 1,00 megapixel.
b) 2,52 megapixels.
c) 2,70.
d) 3,15.
e) 4,32.
011)(ENEM-2009/PROVA FRAUDADA): Segundo a Associação Brasileira de Alumínio (ABAL), o Brasil foi o
campeão mundial, pelo sétimo ano seguido, na reciclagem de latas de alumínio. Foi reciclado 96,5 % do que
foi utilizado no mercado interno em 2007, o equivalente a 11,9 bilhões de latinhas. Este número significa, em
média, um movimento de 1,8 bilhões de reais anuais em função da reutilização de latas no Brasil, sendo 523
milhões referentes à etapa da coleta, gerando, assim, ʺempregoʺ e renda para cerca de 180 mil trabalhadores.
Essa renda, em muitos casos, serve como complementação do orçamento familiar e, em outros casos, como
única renda da família.
Revista Conhecimento P rático Geografia, n° 22 (adaptado)
Com base nas informações apresentadas, a renda média mensal dos trabalhadores envolvidos nesse tipo de
coleta gira em torno de
a) R$ 173,00.
b) R$ 242,00.
c) R$ 343,00.
d) R$ 504,00.
e) R$ 841,00.
012)(ENEM-2009/PROVA FRAUDADA): Uma pessoa decidiu depositar moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos
em um cofre durante certo tempo. Todo dia da semana ela depositava uma única moeda, sempre nesta
ordem: 1, 5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim sucessivamente.
Se a primeira moeda foi depositada em uma segunda -feira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de R$
95,05 após depositar a moeda de
a) 1 centavo no 679° dia, que caiu numa segunda-feira.
b) 5 centavos no 186° dia, que caiu numa quinta-feira.
c) 10 centavos no 188° dia, que caiu numa quinta-feira.
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d) 25 centavos no 524° dia, que caiu num sábado.
e) 50 centavos no 535° dia, que caiu numa quinta-feira.
013)(ENEM-2009/PROVA FRAUDADA): Pneus usados geralmente são descartados de forma inadequada,
favorecendo a proliferação de insetos e roedores e provocando sérios problemas de saúde pública. Estima-se
que, no Brasil, a cada ano, sejam descartados 20 milhões de pneus usados. Como alternativa para dar uma
destinação final a esses pneus, a Petrobras, em sua unidade de São Mateus do Sul, no Paraná, desenvolveu um
processo de obtenção de combustível a partir da mistura dos pneus com xisto. Esse procedimento permite, a
partir de uma tonelada de pneu, um rendimento de cerca de 530 kg de óleo.
Disponível em: http://www.ambientebrasil.com.br . Acesso em: 3 out. 2008 (adaptado).
Considerando que uma tonelada corresponde, em média, a cerca de 200 pneus, se todos os pneus descartados
anualmente fossem utilizados no processo de obtenção de combustível pela mistura com xisto, seriam então
produzidas
a) 5,3 mil toneladas de óleo.
d) 5,3 milhões de toneladas de óleo.
b) 53 mil toneladas de óleo.
e) 530 milhões de toneladas de óleo.
c) 530 mil toneladas de óleo.
014)(ENEM-2009/PROVA APLICADA): O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma
brasileiro.
É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de
futebol (com as medidas de 120 m x 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas extensa s. Nesse
caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à área aproximada do bioma Pantanal?
a) 1.400.
b) 14.000.
c) 140.000.
d) 1.4000.000.
e) 14.000.000.
015)(ENEM-2009/PROVA APLICADA): A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels,
unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são
armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são
submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95 % a quantidade de bytes necessários para
armazená-las. Considere 1 KB = 1000 bytes, 1 MB = 1000 KB, 1 GB = 1000 MB.
Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95 %, João fotografou 150
imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená -las de modo que o espaço restante no dispositivo
seja o menor espaço possível, ele deve utilizar.
a) um CD de 700 MB.
d) um memory stick de 16 MB.
b) um pendrive de 1 GB.
e) um cartão de memória de 64 MB.
c) um HD externo de 16 GB.
016)(ENEM-2011): Em 2010, um caos aéreo afetou o continente europeu, devido à quantidade de fumaça
expelida por um vulcão na Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros voos.
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 21 abr. 2010 (adaptado).
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Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés. Qual é a diferença, em pés, entre as altitudes
liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias após a o início do caos ?
a) 3390 pés.
b) 9390 pés.
017)(ENEM-2011):
c) 11200 pés.
d) 19800 pés.
e) 50800 pés.
Café no Brasil
O consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331
bilhões de xícaras.
Veja. Ed. 2158, 31 mar. 2010.
Considere que a xícara citada na notícia seja equivalente a, aproximadamente, 120 ml de café. Suponha que
em 2010 os brasileiros bebam mais café, aumentando o consumo em do que foi consumido no ano anterior.
De acordo com essas informações, qual a previsão mais aproximada para o consumo de c afé em 2010 ?
a) 8 bilhões de litros.
d) 40 bilhões de litros.
b) 16 bilhões de litros.
e) 48 bilhões de litros.
c) 32 bilhões de litros.
018)(ENEM-2012): Os hidrômetros são marcadores de consumo de água em residências e estabelecimentos
comerciais. Existem vários modelos de mostradores de hidrômetros, sendo que alguns deles possuem uma
combinação de um mostrador e dois relógios de ponteiro. O número formado pelos quatro primeiros
algarismos do mostrador fornece o consumo em m 3, e os dois últimos algarismos representam,
respectivamente, as centenas e dezenas de litros de água consumidos. Um dos relógios de p onteiros indica a
quantidade em litros, e o outro em décimos de litros, conforme ilustrado na figura a seguir.
Considerando as informações indicadas na figura, o consumo total de água registrado nesse hidrômetro, em
litros, é igual a
a) 3 534,85.
b) 3 544,20.
c) 3 534 850,00.
d) 3 534 859,35.
e) 3 534 850,39.
019)(TC): Um reservatório em forma de paralelepípedo tem as seguintes dimensões: 1,20 m de comprimento,
0,80 m de largura e 0,50 m de altura. Sabendo que faltam 5 cm para ficar cheio, pode-se afirmar que o número
de litros d'água existente nesse reservatório é:
a) 18.
b) 240.
c) 355.
e) 432.
020)(UFSM): Um líquido ideal preenche um recipiente até certa altura. A 5 m abaixo de sua superfície livre,
esse recipiente apresenta um orifício com 2 x 10 -4 m 2 de área, por onde o líquido escoa. Considerando o
módulo da aceleração gravitacional g = 10 m/s 2 e não alterando o nível da superfície, a vazão através do
orifício, em m 3/ s, vale
a) 1 x 10 -3.
b) 2 x 10 -3.
c) 3 x 10 -3.
d) 4 x 10 -3.
e) 5 x 10 -3.
021)(UFMG-MG): Ao reformar-se o assoalho de uma sala, suas 49 tábuas corridas foram substituídas por
tacos. As tábuas medem 3 m de comprimento por 15 cm de largura e os tacos 20 cm por 7, cm. O número de
tacos necessários para esta substituição foi:
a) 1029.
b) 1050.
c) 1470.
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d) 1500.
e) 1874.
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022)(F. M. Santos-SP): Sendo a velocidade média do sangue capilar 0.05 cm/s e a área da seção transversal do
capilar 10 -
4
mm 2, o tempo necessário para a passagem de 1 mm 3 de sangue por uma seção transversal
qualquer do capilar é um valor mais próximo de:
a) 6 s.
b) 60 s.
c) 6 min.
d) 60 min.
e) 6 h.
023)(FNS): Quanto tempo (em horas) uma torneira que despeja água em uma caixa d'água à razão de 1l/h leva
para encher uma caixa cúbica de 4 m de aresta ?
a) 62 000.
b) 63 000.
c) 64 000.
d) 65 000.
e) 66 000.
024)(FURNAS): Quantas garrafas de 750 ml são necessárias para encher 3/5 de um barril de 50 litros ?
a) 25.
b) 50.
c) 50.
d) 75.
e) 80.
025)(FUVEST-SP): A artéria aorta de um adulto tem um raio de cerca de 1 cm e o sangue nela flui com
velocidade 33 cm/s.
a) Quantos litros de sangue por segundo são transportados pela aorta?
b) Sendo 5 litros o volume de sangue no organismo, use o resultado anterior para estimar o tempo médio que
o sangue leva para retornar ao coração.
026)(ENEM-2013): O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois
postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos
pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é
indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF ?
a) 1 m.
b) 2 m.
c) 2,4 m.
d) 3 m.
e) 2 √ m.
027)(ENEM-2013): Uma torneira não foi fechada corretamente e ficou pingando, da meia-noite às seis horas da
manhã, com a frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se que cada gota d'água tem volume de 0,2
ml.
Qual foi o valor mais aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em litros ?
a) 0,2.
b) 1,2.
c) 1,4.
d) 12,9.
e) 64,8.
028)(ENEM-2013): Nos Estados Unidos a unidade de medida de volume mais utilizada em latas de
refrigerante é a onça fluida (fl oz), que equivale a aproximadamente 2,95 centilitros (cl).
Sabe-se que o centilitro é a centésima parte do litro e que a lata de refrigerante usualmente
comercializada no Brasil tem capacidade de 355 ml.
Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de 355 ml, em onça fluida (fl oz), é mais próxima de
a) 0,83.
b) 1,20.
c) 12,03.
d) 104,73.
e) 120,34.
↪ Gabarito:
01) A
02) E
011) B
012) D
020 ) B
021) C
027) C
03) A
013) B
022) E
04) E
05) B
014) E
015) E
023) C
024) B
06) A
016) C
025a) v
07) D
08) D
09) B
017) E
018) D
0,103 l/s; 025b) t
48,5 s.
010) E
019) D
026) C
028) C
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Matemática
Básica
Fabricio
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