Capítulo 3
Estática dos
Fluidos
Empuxo causado pela
diferença de massa
específica entre o ar
aquecido e
o ar
atmosférico.
Universidade Federal Fluminense – EEIMVR - VEM
Mecânica dos Fluidos I
I. L. Ferreira, A. J. Silva, J. F. Feiteira
Introdução à Mecânica do Fluidos
Copyright (c) 2010
by John Wiley & Sons, Inc
2.1 Introdução
Tópicos Principais:
Equações básicas da estática dos fluidos;
Variação de pressão na estática dos fluidos;
Forças hidrostáticas em superfícies submersas;
Empuxo.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Forças de Campo:
Para um elemento de fluido diferencial, a força de campo
gravitacional pode ser expressa da forma;
r
r
r
dFB = g dm = g ρ dV
O elemento infinitesimal de volume dV pode ser expresso
em termos de coordenadas cartesianas conforme,
dV = dx dy dz
então,
r
r
r
dFB = g ρ dV = g ρ dx dy dz
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Forças de Superfície:
Para um fluido, na ausência de qualquer tensão de
cisalhamento, a única força de superfície atuante é a força
devido à pressão, que, por sua vez, é um campo escalar;
p = p ( x, y , z )
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Forças de Superfície:
A pressão no lado esquerdo (E) será;
∂p
∂p  dy 
pE = p + ( y E − y ) = p +  − 
∂y
∂y  2 
Manipulando os sinais, tem-se
∂p dy
pE = p −
∂y 2
∂p dx
pP = p −
∂x 2
∂p dz
pI = p −
∂z 2
Semelhantemente, para o lado direito, obtém-se,
∂p dy
pD = p +
∂y 2
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
∂p dx
pF = p +
∂x 2
∂p dz
pS = p +
∂z 2
2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Forças de Superfície:
Escrevendo as equações para a força nas superfícies,
tem-se;
r 
∂p dx 
∂p dx 

ˆ
dFS =  p −
(dydz ) − iˆ +
(dydz ) i +  p +
∂x 2 
∂x 2 




∂p dy 
∂p dy 
ˆ
 p −
(dxdz ) j +  p +
(dxdz ) − ˆj +
∂y 2 
∂y 2 


∂p dz 
∂p dz 


ˆ
p−
(dxdy ) k +  p +
(dxdy ) − kˆ
∂z 2 
∂z 2 


Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
()
( )
()
( )
()
( )
2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Forças de Superfície:
Agrupando e cancelando os termos,
r
 ∂p ˆ ∂p ˆ ∂p ˆ 
dFS = − i +
j + k dx dy dz
∂y
∂z 
 ∂x
Pode ser reescrita da forma,
r
dFS ≡ −grad p (dx dy dz ) ≡ −∇p (dx dy dz )
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2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Forças Total:
Combinando as formulações desenvolvidas para forças
de campo e de superfície, obtém-se a força total atuando
sobre um volume de fluido;
r
r
r
r
dF = dFB + dFS = g ρ dxdydz − ∇p dxdydz
ou,
r
r
dF = (− ∇p + ρ g ) dV
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2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Segunda Lei de Newton:
Aplicando a 2ª Lei do movimento de Newton;
r
r
dF
=ρa=0
dV
Substituindo na equação anterior,
r
− ∇p + ρ g = 0
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2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Força Total:
Significado da equação;
− ∇p
 força de pressão resultante
 por unidade de volume em
 um ponto
+



r
ρg
=0
 força de campo por 
 unidade de volume 
 em um ponto

Esta é uma equação vetorial que pode ser decomposta em
suas componentes,

∂p
−
+ ρ g x = 0, direção x 
∂x

∂p

− + ρ g y = 0, direção y 
∂y

∂p
− + ρ g z = 0, direção z 
∂z

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2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Força Total:
Se o sistema de referência for escolhido, como z vertical,
gx = gy = 0 e gz = -g0, então;
∂p
− − ρ g0 = 0
∂z
e,
∂p ∂p
=
=0
∂x ∂y
Limitações:
i. Fluido estático;
ii. A gravidade é a única força de campo;
iii.O eixo z é vertical e aponta para cima.
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Variação da Pressão em um Fluido Estático
Relação Pressão-Altura:
Integrando a equação anterior para a direção vertical, z,
de p0 a p e de z0 a z, tem-se:
p
z
∫ dp = − ∫ ρ g dz
0
p0
z0
Então, admitindo a
massa específica
constante,
p − p0 = − ρ g 0 [z − z0 ] e, fazendo-se h = z0 − z obtém-se,
p − p0 = ρ g 0 h
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.3 Variação da Pressão em Fluido Estático
Atmosfera Padrão
Ainda é busca de consenso, uma padronização do
comportamento da atmosfera, principalmente da
temperatura em função da altitude. O modelo EUA
apresenta a seguinte característica ao nível do mar:
Propriedade
Símbolo
SI
Temperatura
T
15 oC
Pressão
P
101,325 kPa
Massa Específica
ρ
1,225 kg/m3
Peso Específico
γ
---------------------------
Viscosidade
µ
1,789 10-5 (Pa.s)
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.3 Variação da Pressão em Fluido Estático
Atmosfera Padrão
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.3 Variação da Pressão em Fluido Estático
Fluido Compressível: Gás ideal
Considerando gases ideais, a massa específica varia
consideravelmente com a altitude. Para que a integração
seja realizada, a massa específica deve ser expressa em
termos de outras variáveis da equação. Desta forma,
p
1 m
ρ
=
e, p =
pV = n R T
R T então,
RT
V M
Utilizando a equação da pressão hidrostática,
dp
dp
g0
= −ρ g0 ∴
=−
dz
dz
p
RT
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2.3 Variação da Pressão em Fluido Estático
Fluido Compressível: Gás ideal
Integrando de z = 0 onde p = p0 até z = z onde p = p :
p
z
dp
g0
∫p p = − z∫=0 R T dz
0
Até cerca de 11.0 km de altitude, a temperatura varia
linearmente com a altitude, segundo o gráfico temperatura
x altitude da atmosfera padrão no slide anterior, assim,
p
T ( z ) = T0 − mz
logo,
 mz 

p = p0 1 −
 T0 
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
z
dp
g0
∫p p = − z∫=0 R (T0 − mz ) dz
0
g0
mR
ou,
T 
p = p0  
 T0 
fornecendo,
g0
mR
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Agora será iniciada a análise de forças sobre uma
superfície submersa a fim de especificar: A magnitude
ou módulo da força, o sentido da força e a linha de ação
da força. Isto se aplica à:
i. Forças Hidrostáticas sobre uma Superfície Plana
Submersa;
ii. Força Resultante sobre uma Superfície Plana Inclinada;
iii. Força sobre uma Superfície Curva Submersa.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana Inclinada:
Objetivo:
Determinar |FR| e (x’, y’) onde a força é aplicada.
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana Inclinada:
A força de pressão que atua sobre um elemento de área
dA = dx dy da face superior é dada por:
dF = p dA
A resultante é o somatório de todas as contribuições
infinitesimais sobre a superfície inteira, logo
FR = ∫ p dA
A
A pressão numa altura h pode ser expressa como,
p = p0 + ρ g 0 h
logo,
FR = p0 ∫ dA + ρ g 0 sin θ ∫ y dA = p0 A + ρ g 0 sin θ ∫ y dA
A
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
A
A
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana:
A integral do primeiro momento de área da superfície em
torno de x, pode ser escrita como,
∫ y dA = y
C
A
A
onde, yC é o centróide da área A. Então,
FR = p0 A + ρ g 0 sin θ yC A = ( p0 + ρ g 0 hC ) A
Em outras palavras,
FR = pC A
Onde pC é a pressão absoluta no líquido na posição do
centróide de área A. A força resultante somente é calculada
através de pC. Este ponto não é o ponto de aplicação da força
resultante.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
A tarefa agora é determinar as coordenadas do ponto de
aplicação da força resultante, x’ e y’. Para tanto, y’ pode ser
obtido, reconhecendo-se que o momento da força resultante
em torno de eixo x deve ser igual ao momento devido à força
de pressão distribuída, ou seja,
y′FR = ∫ y p dA = ∫ y ( p0 + ρ g h ) dA = ∫ y ( p0 + ρ g y sin θ ) dA
A
A
A
Da mesma forma,
y′FR = p0 ∫ y dA + ρ g sin θ ∫ y 2 dA
A
A
A primeira integral e a segunda Integral são,
p0 ∫ y dA = p0 yC A e,
A
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
ρ g sin θ ∫ y 2 dA = ρ g sin θ I xx
A
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Utilizando o teorema dos eixos paralelos para substituir Ixx,
pelo segundo momento de área padrão,
I xx = I xˆxˆ + AyC2
Então,
(
)
y′FR = p0 yC A + ρ g sin θ I xˆxˆ + A yC2 = yC ( p0 + ρ g yC sin θ )A + ρ g sin θ I xˆxˆ
ou,
y′FR = yC ( p0 + ρ g hC )A + ρ g sin θ I xˆxˆ
substituindo,
y′FR = yC FR + ρ g sin θ I xˆxˆ
logo,
y ′ = yC +
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
ρ g sin θ I xˆxˆ
FR
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Se esta mesma pressão atua sobre o outro lado da
superfície, cancelando-se o efeito de p0 no cálculo da força
líquida, obtém-se,
FR = pCmanométrica A = ρ g yC sin θ A
ou,
I xˆxˆ
y ′ = yC +
A yC
Para qualquer situação de placa submersa, y’ > yC, o que
implica que o ponto de aplicação está sempre abaixo do
centróide.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Uma análise similar pode ser feita para x’, que é a
coordenada x do ponto de aplicação da força resultante
sobre a superfície. Assim, tomando-se a soma dos
momentos das forças infinitesimais dF em torno de y, obtémse
x′FR = ∫ x p dA
A
Pode-se então expressar p como função de y,
x′FR = ∫ x p dA = ∫ x ( p0 + ρ g h ) dA = ∫ ( p0 x + ρ g x y sin θ ) dA
A
A
A
Finalmente,
x′FR = p0 ∫ x dA + ρ g sin θ ∫ x y dA
A
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
A
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
A primeira integral e a segunda Integral são,
p0 ∫ x dA = p0 xC A
e,
ρ g sin θ ∫ x ydA = ρ g sin θ I xy
A
A
Utilizando o teorema dos eixos paralelos para substituir Ixy,
pelo segundo momento de área padrão,
I xy = I xˆyˆ + A xC yC
Substituindo os valores da primeira e segunda integrais,
x′FR = p0 xC A + ρ g sin θ I xy = p0 xC A + ρ g sin θ (I xˆyˆ + A xC yC )
Simplificando,
x′FR = xC ( p0 + ρ g sin θ yC )A + ρ g sin θ I xˆyˆ
logo,
x′FR = xC ( p0 + ρ g hC )A + ρ g sin θ I xˆyˆ = xC FR + ρ g sin θ I xˆyˆ
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Finalmente, obtém-se x’ como,
x′ = xC +
ρ g sin θ I xˆyˆ
FR
Novamente se a pressão ambiente atua também sobre o
outro lado da superfície, cancelando-se o efeito de p0 no
cálculo da força líquida, obtém-se,
x′ = xC +
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
I xˆyˆ
A yC
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Ex.: A superfície inclinada abaixo, articulada ao longo de A
possui 5 m de largura. Determine a força resultante, FR da
água e do ar sobre a superfície inclinada.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Solução: A força resultante é FR, da água e do ar sobre a
comporta. A fim de se determinar a resultante, deve-se
encontrar:
i. A magnitude de FR;
ii. A linha de ação de FR;
iii.Solução por integração direta;
Método da Integração Direta:
As equações básicas utilizadas nesta solução são:
Mudança de variável:
p = p0 + ρ g h ,
h = D + η sin 300 e,
dA = w dη
FR = ∫ p dA , η ′ FR = ∫ η p dA e x′ FR = ∫ x p dA
A
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
A
A
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Como a pressão atmosférica age em ambos os lados, utilizase somente a pressão manométrica,
p=ρ gh
Para facilitar a integração, integraremos em relação a η ao
invés de y, desta forma, usando-se η para obter expressões
para h e dA, obtém-se
h = D + η sin 300 e, dA = w dη
Integrando-se,
L
FR = ∫ p dA = ∫ ρ g h dA = ∫ ρ g (D + η sin θ ) w dη
A
A
0
então,


L2
FR = ∫ ρ g (D + η sin θ ) w dη = ρ g w  D L + sin θ 
2


0
L
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Substituindo-se os valores numéricos na equação integrada,




42
L2
FR = ρ g w  D L + sin θ  = 999.0 x9.806 x5.0 x 2.0 x 4.0 + sin 30
2
2




Obtem-se,
FR ≅ 588 kN
Para fins de localização da força, calcula-se η’, logo
η ′ FR = ∫η p dA
A
Desta forma,
L
L
1
1
1
η′ =
η p dA =
η p w dη =
η ρ g (D + η sin θ ) w dη
∫
∫
∫
FR A
FR 0
FR 0
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Integrando-se,
η′ =
ρgwL
FR
∫η (D + η sin θ ) dη =
0
ρ g w  DL2
FR

L3
+ sin θ 

3
 2

Substituindo-se os valores,
999.0 x9.806 x5.0  2.0 x 4 2 43
0
η′ =
+ sin 30  ≅ 2.22 m

588000
3
 2

Considerando-se a conversão de variável...
D
2
y′ = ζ + η =
+η =
+ 2.22 ≅ 6.22 m
0
0
sin 30
sin 30
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Para encontrar x’ considerandase o momento sobre o eixo
dos y, em torno da articulação A,
x′ FR = ∫ x p dA
A
Então,
1
x′ =
FR
w
w
∫A 2 p dA = 2FR
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
w
∫A p dA = 2 FR FR = 2.5 m
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana, Submersa,
com Pressão Manométrica diferente de zero na Superfície
Livre:
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Enunciado: A porta mostrada na lateral do tanque é
articulada ao longo da borda inferior. Um pressão de 100
psfg é aplicada na superfície livre do líquido. Determine a
força, Ft, requerida para manter a porta fechada.
Solução: Um diagrama do corpo-livre é mostrado abaixo,
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Solução: As distribuições de pressões sobre os lados interno
e externo levarão à força líquida e portanto à sua localização.
Precauções no método de solução:
i. Cuidado na escolha do conjunto de equações para a
resultante e sua localização;
ii. Pode-se usar tanto pressões absolutas (diagrama da
esquerda) e calcular duas forças, quanto
iii. Pressões manométricas e calcular apenas uma força
(diagrama da direita);
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Para problemas com pressões manométricas diferentes de
zero na superfície livre. As componentes da força devido à
articulação são Ay e Az. A força Ft pode ser determinada,
tomando-se os momentos em torno da articulação A, logo
y ′ = yC +
FR = pC A ,
ρ g sin θ I xˆxˆ
FR
e
∑M
A
=0
A força resultante e sua localização são,
L

FR = pC A = ( p0 + ρ g hC ) A =  p0 + γ  b L
2

e,
y ′ = yC +
ρ g sin 900 I xˆxˆ
FR
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
L
L
γ bL3 12
γ L2 12
= +
= +
2 ( p0 + γ L 2)b L 2 ( p0 + γ L 2 )
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Tomando-se os momentos em torno da articulação A, tem-se
′
y

′
∑ M A = Ft L − FR (L − y ) então, Ft = FR 1 − L 


Aplicando ambas as equações desenvolvidas,
 p0b L γ b L2
L  L
γ L2 12
 y′  
Ft = FR 1 −  =  p0 + γ  b L1 − +
L  =
+
L 
2   2 ( p0 + γ L 2 ) 
2
6

Desta forma,
p0b L γ b L2 100 x 2 x3 100 2 32
Ft =
+
=
+
≅ 600 lbf
2
6
2
6
O ponto de aplicação da força resultante será,
γ L2 12
L
3
100 x 32 12
y′ = +
= +
= 1.8 ft
2 ( p0 + γ L 2 ) 2 (100 + 100 x 3 2)
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Força Hidrostática sobre uma Superfície Curva Submersa:
Para superfícies curvas, as forças resultantes serão
deduzidas por integração da distribuição de pressão sobre
a superfície. A força de pressão, agora, é normal a
superfície em cada ponto dos elementos infinitesimais de
área, dA, devido a curvatura da superfície, segundo
esquema abaixo:
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
A força de pressão agindo sobre um elemento de área dA, é
dada por,
r
r
dFR = − p dA
agindo no sentido oposto à normal da área. A resultante
pode ser expressa como,
r
r
FR = − ∫ p dA
A
a força pode ser representada da seguinte forma,
r
FR = FRxiˆ + FRy ˆj + FRz kˆ
Tomando-se o produto escalar em cada lado da equação,
r
r
FRx = FRx • iˆ = ∫ dF • iˆ = − ∫ p dA • iˆ = − ∫ p dAx
A
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Ax
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Quando a pressão atmosférica atua sobre a superfície livre e
sobre o outro lado da superfície curva, a força líquida vertical
é igual ao peso do fluido diretamente acima da superfície.
Neste caso para se determinar a magnitude da componente
vertical, emprega-se
FRz = FRz • kˆ = − ∫ p dAz = − ∫ ρ g h dAz = − ∫ ρ g dV
Az
Az
V
O termo abaixo representa o peso de um cilindro diferencial
de líquido acima do elemento de área, dAz, estendendo a
distância h da superfície curva até a superfície livre,
ρ g h dAz = ρ g dV
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
A componente vertical da força resultante é obtida por
integração sobre a superfície inteira submersa.
FRz = − ∫ ρ g h dAz = − ∫ ρ g dV = ρ g V
Az
V
A força hidrostática atuante sobre uma superfície
curva submersa e determinada em termos de suas
componentes;
A resultante pode ser determinada por uma força pura
com uma única linha de ação, ou decomposta em suas
componentes e suas respectivas linhas de ação.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Ex: A comporta mostrada abaixo é articulada no ponto O e
apresenta largura constante w = 5 m. A equação da
superfície é x = y2/a, com a = 4 m. A profundidade da água
à direita da comporta é D = 4 m. Determine a magnitude da
força Fa aplicada, necessária para manter a comporta em
equilíbrio se o peso da comporta for desprezado.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Solução: O esquema de solução baseia-se na determinação
do momento em relação ao ponto O após encontrar as forças
vertical e horizontal devido à ação da água. A força vertical é
igual ao peso do fluido sobre a superfície, porém, não há
fluido sobre a superfície.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Solução: Para tanto, pode-se imaginar um sistema de forças
equivalentes mostrada na figura anterior, através de um
diagrama do corpo-livre, e assim determinar as forças
vertical e horizontal, sendo estas forças normais e opostas
àquelas de interesse.
Em resumo, a magnitude e a localização da fluida vertical,
são dadas pelo peso e posição do centróide do fluido acima
da comporta. A magnitude e posição da força horizontal são
dadas pela magnitude e localização da força sobre a
superfície plana vertical equivalente a projeção da composta.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Solução: As equações básicas são:
FR = pC A , y′ = yC +
I xˆxˆ
A yC
e FV = ρ g V
Para o cálculo de FH, a coordenada y do centróide, a área e o
2º momento da superfície (placa fina) vertical projetada são,
yC = hC = D 2 ,
A= Dw
e
I xx = w D 3 12
Logo,
4
FH = pC A = ρ g hC A = 999.0 x9.806 x x 4 x5 = 391,848 kN
2
para,
I xˆxˆ
D wD 3 12 D D 4 4
y ′ = yC +
= +
= + = + = 2,67 m
A yC 2 D w D 2 2 6 2 6
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Para calcular a força vertical, é necessário calcular o peso da
água sobre a comporta pelo sistema equivalente
apresentado. Para um elemento infinitesimal de volume,
dV = (D − y )w dx
Logo,
D2 a
FV = ρ g V = ρ g w
D2 a
∫ (D − y ) dx = ρ g w ∫
0
0
1


2
 D − a x  dx




então,
D2 a
FV = ρ g V = ρ g w
∫
0

D− a x


1
2
D2 a



2
 dx = ρ g w D x −
ax 

3


0
3
2
logo,
D2 a
1
3
 3
FV = ρ g w D a − 2 3 a 2 D 2 a 2 

0
(
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
)
= ρ g wD 3 3a = 261,232 kN
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
A localização de x’ desta força é dada pela posição do centro
de gravidade da água acima da comporta, pois o momento de
FV deve ser igual ao momento da soma dos pesos
diferenciais em y, logo
2
D a
x′FV = ρ g w
∫
0
D2
a
3
2



2
Dx
52
 Dx − a x 2  dx = ρ g w 
−
a x 


5
 2
0


então,
x′ =
ρ g w  D5
FV
2 D 5  ρ g w D 5 999 x9.806 x5 x 45
 2 −
=
=
= 1,2 m
2 
2
2
10 x 4 x 231232
 2a 5 a  10a FV
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Aplicando o momento sobre o ponto O, tendo o cuidado de
aplicar os sinais adequados, pois o problema foi resolvido no
sistema de referência com fluido acima da comporta, logo
∑M
O
= −l Fa + x′FV + (D − y′)FH = 0
então,
x′FV + (D − y′)FH 1,2 x 261,232 + (4 − 2,67 )391,848
Fa =
=
≅ 166,927 kN
l
5
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.5 Empuxo e Estabilidade
Empuxo:
Se um objeto estiver imerso em um líquido ou flutuando
em sua superfície, a força líquida vertical agindo sobre ele
devido à pressão do líquido é denominada empuxo.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.5 Empuxo e Estabilidade
A força vertical que age sobre um corpo totalmente imerso
devido à pressão hidrostática é determinada considerando
elementos de volume cilíndricos, mostrados abaixo,
Logo, a pressão p num líquido a uma profundidade h, será
p = p0 + ρ g h
A força líquida vertical sobre o elemento é,
dFz = ( p0 + ρ g h2 )dA − ( p0 + ρ g h1 )dA = ρ g (h2 − h1 ) dA
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.5 Empuxo e Estabilidade
Porém, o volume do elemento é dado por,
dV = (h2 − h1 ) dA
Por conseguinte,
Fz = ∫ dFz = ∫ ρ g dV
V
Onde V é o volume do objeto. Assim, a força de empuxo para
um corpo submerso, é igual ao peso do fluido deslocado.
p = ρ gV
Relação utilizada em 220 a.C por Arquimedes para
determinar o teor de ouro da coroa do Rei Hiero II. Explica o
princípio de funcionamento de embarcações, balões
metereológicos, submarinos, etc.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.5 Empuxo e Estabilidade
O uso de lastro em embarcações pode ser necessário para
se obter estabilidade. Navios de guerra feitos de madeira
transportavam lastro de pedras nos porões para compensar
o peso dos canhões no convés de armas. A relação entre o
empuxo e a centro de gravidade é mostrada a seguir,
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2.5 Empuxo e Estabilidade
Ex: Um balão de ar quente de 50 ft de diâmetro deve
levantar um cesto de 600 lbf. Qual a temperatura que o
balão deve ser aquecido de modo a possibilitar a
decolagem?
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.5 Empuxo e Estabilidade
Solução: A equação do empuxo deve ser empregada para
determinar a sustentação gerada pela atmosfera. A equação
de equilíbrio de forças deve contemplar a variação de massa
específica em função da temperatura. Assim,
Fempuxo = ρ g V ,
∑F
y
= 0 e p = ρ RT
As hipóteses são: O ar se comporta como gás ideal e a
pressão atmosfera encontra-se por todos os lados.
Somando as forças verticais,
∑F
y
= Fempuxo − War quente − Wcarga = ρ atm g V − ρ ar quente g V − Wcarga = 0
Então, tem-se,
ρ ar quente
Wcarga
600
3
= ρ atm −
= 0,002375 −
=
0
,
0020903
slug
ft
gV
32,2 π 503 6
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.5 Empuxo e Estabilidade
A temperatura em Rankine será,
ρ ar quente R Tar quente = p = ρ atm R Tatm
logo,
Tar quente =
ρ atm Tatm 0,002377 x(59 + 460)
=
≅ 590,19 0 R = 130,180 F
ρ ar quente
0,0020903
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Fluido como Corpo Rígido:
Existe uma categoria de movimento de fluidos que pode
ser estudada empregando os conceitos de estática dos
fluidos, pois neste caso, este se movimenta como um
corpo rígido, na ausência de qualquer tensão de
cisalhamento.
O movimento de um corpo rígido pode ser dividido em
dois movimentos: de rotação e de translação pura. As
forças de pressão e gravidade agindo sobre uma
partícula fluida, são da forma
r
r
dF = (− ∇p + ρ g ) dV
logo,
r
r
dF
= −∇p + ρ g
dV
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
A resultante das forças que atuam sobre um corpo rígido, na
ausência de perda de massa, será,
r
d∑ F
r
r
= −∇p + ρ g = ρ a
dV
conclui-se que,
− ∇p
 força de pressão resultante
 por unidade de volume em
 um ponto
r
ρg
+



 força de campo por 
 unidade de volume 

 em um ponto
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
=
r
ρa
 massa por unidade   aceleração da
 de volume em
 x  partícula de
 um ponto
  fluido



2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Sendo a equação anterior uma equação vetorial, as
componentes desta equação em coordenadas retangulares
podem ser expressas do seguinte modo,

∂p
− + ρ g x = ρ a x , direção x 
∂x

∂p

− + ρ g y = ρ a y , direção y 
∂y

∂p
− + ρ g z = ρ a z , direção z 
∂z

Para outros sistemas de coordenadas, por exemplo, o
cilíndrico, o gradiente de pressão deve ser expresso de
forma apropriada,
∇p = eˆr
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
∂p
∂p
∂p
+ eˆθ
+ eˆz
∂r
∂θ
∂z
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Ex1: Deve-se transportar na traseira de uma van um
tanque de peixes. Este tanque apresenta dimensões de 12
x 24 x 12 in. Quanto de água se pode deixar no tanque e
ainda garantir que ela não derramará durante a viagem?
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Solução: Haverá movimentos na superfície da água, além de
“sacudidas”. Todavia, admite-se que o principal efeito sobre
a superfície da água é aquele devido às acelerações e
desacelerações lineares do automóvel. O sistema de
coordenada escolhido, x será na direção do movimento e y
na vertical. Também não haverá movimentos relativos da
água, pois as acelerações são constantes.
Dados do problema: Tanque parcialmente cheio até a
profundidade d, aceleração constante ax, altura do tanque 12
in, comprimento na direção do movimento é b e a largura do
tanque na direção perpendicular é c.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Deve-se determinar:
i. A forma da superfície sob aceleração constante;
ii. A profundidade d, para evitar derramamento;
iii. A orientação ótima do tanque e a profundidade da água.
Equações básicas:
r
r
− ∇p + ρ g = ρ a
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Expandindo a equação vetorial nas componentes escalares,
 ∂p
∂p
∂p 
−  iˆ + ˆj + kˆ  + ρ iˆg x + ˆjg y + kˆg z = ρ iˆ a x + ˆj a y + kˆ a z
∂y
∂z 
 ∂x
A pressão não é função de z, também, gx = gz = 0, gy = -g0 e ay
= az = 0. Por conseguinte,
(
) (
∂p ˆ ∂p ˆ
ˆ
−i
− j − j ρ g 0 = iˆ ρ a x
∂y
∂x
As componente da força são são:
∂p

= − ρ ax 

∂x

∂p
= −ρ g0 

∂y
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
)
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
O problema agora é tentar determinar a forma que a pressão
varia em termos de x e y, ou seja,
p = p ( x, y )
Desta forma, é possível expressar a função p em função de
suas derivadas parciais de x e y, logo
∂p( x, y )
∂p( x, y )
dp =
dx +
dy
∂x
∂y
Como a superfície livre é uma linha de pressão constante, p =
cte, logo, dp = 0, obtendo-se
∂p( x, y )
∂p( x, y )
dx +
dy = − ρ a x dx − ρ g 0 dy = 0
∂x
∂y
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Logo, a forma da superfície livre pode ser expressa como,
dy
ax
=−
dx
g0
Conseqüentemente, a superfície livre apresenta a forma
plana.
No diagrama apresentado, a altura acima da profundidade
original pode ser expresso como,
e
tan θ =
, então tem-se,
b2
b
b  dy  b a x
e = tan θ =  −  =
2
2  dx  2 g 0
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Válida somente quando a superfície livre
intercepta a parede frontal no piso ou acima dele!
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Como deseja-se saber a espessura e, para uma dada ax, o
tanque deve ser alinhado de forma que b seja tão pequeno
quanto possível. Logo, b = 12 in, então
b ax
ax
e=
=6
2 g0
g0
O valor máximo para a espessura, e , é da forma,
e = 12 − d in
Assim,
ax
12 − d = 6
g0
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
e
d max = 12 − 6
ax
g0
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Ex2: Um recipiente cilíndrico, parcialmente cheio de
líquido, é girado com uma velocidade angular constante,
ω, em torno do seu eixo. Após um curto intervalo de
tempo, não existirá qualquer movimento relativo, o líquido
então gira com o cilindro como se o sistema fosse um
corpo rígido. Determine a forma da superfície livre.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Solução: Pede-se a forma da superfície livre de um líquido
em rotação. Assim, um diagrama do problema proposta
apresenta a seguinte forma,
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Equações básicas:
r
r
− ∇p + ρ g = ρ a
Expandindo a equação vetorial nas componentes escalares,
1 ∂p ˆ ∂p  ˆ
 ∂p
−  eˆr
+ eˆθ
+ k  + kρ g z = ρ eˆr ar + eˆθ a y + kˆ a z
r ∂θ
∂z 
 ∂r
Também, aθ = az = 0, ar = -ω2r. Por conseguinte,
(
1 ∂p ˆ ∂p  ˆ
 ∂p
−  eˆr
+ eˆθ
+ k  − kρ g 0 = −eˆr ρ ω 2 r
r ∂θ
∂z 
 ∂r
As componentes são,
∂p
∂p
∂p
2
= −ρ g0
=0 e
=ρω r ,
∂z
∂θ
∂r
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
)
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Observa-se que a pressão não é função de θ e sim de r e z,
logo,
∂p(r , z )
∂p(r , z )
dp =
dr +
dz
∂r
∂z
Portanto,
∂p(r , z )
∂p(r , z )
dp =
dr +
dz = ρ w2 r dr − ρ g 0 dz
∂r
∂z
Integrando em relação a um ponto de referência 1 e outro
qualquer,
p
r
z
r1
z1
2
dp
=
ρ
w
∫ ∫ r dr − ∫ ρ g 0 dz
p1
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Substituindo os limites,
p − p1 =
ρ w2
(r
2
)
− r12 − ρ g 0 ( z − z1 )
2
Tomando o ponto de referência sobre o eixo do cilindro na
superfície livre, tem-se,
p − patm =
ρ w2 r 2
− ρ g 0 ( z − h1 )
2
Como a superfície livre possui pressão constante,
z = h1
2
(
wr )
+
2g 0
A superfície é um parabolóide de revolução, com vértice em
z = h1.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Para revolvermos h1, sob rotação em termos de h0, na
ausência de rotação, sabe-se que o volume do líquido
permanece constante,
V = π R 2 h0
Como rotação,

w2 r 3 
 dr
V = ∫ ∫ 2π r dz dr = ∫ 2π r z dr = ∫ 2π  h1r +
2 g0 

0 0
0
0
R z
R
R
Simplificando,


w2 r 3 
w2 R 4 
2
 dr = π  h1 R +
 = π R 2 h0
V = ∫ 2π  h1r +
2 g0 
4g0 


0
R
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Após a manipulação algébrica,
w2 R 2
h1 = h0 −
4g 0
Finalmente,
z = h1
2
(
wr )
+
2 g0
w2 R 2 w2 r 2
w2 R 2
= h0 −
+
= h0 −
4g0
2g0
2 g0
ou,
w2 R 2
z = h0 −
2 g0
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
 1  r 2 
 −  
 2  R  
 1  r 2 
 −  
 2  R  