UM OLHAR PARA A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO EM UMA
ATIVIDADE DE ÁLGEBRA – O PROBLEMA DOS ARMÁRIOS
Karina Alessandra Pessôa da Silva1
Universidade Estadual de Londrina
Rodolfo Eduardo Vertuan2
Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Toledo
Marcele Tavares Mendes3
Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina
Magna Natália Marin Pires4
Universidade Estadual de Londrina
Pamela Emanueli Alves Ferreira5
Universidade Estadual de Londrina
Lourdes Maria Werle de Almeida6
Universidade Estadual de Londrina
RESUMO
O presente trabalho é resultado de discussões realizadas na disciplina
“Tópicos especiais em Educação Matemática: Educação Matemática e Construção
do Conhecimento”, ministrada por um dos autores deste trabalho no programa de
pós-graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática de uma universidade
paranaense. Buscamos analisar uma atividade de Matemática dos Ensinos Médio e
Superior de Álgebra, refletindo sobre possibilidades de aprendizagem dos conceitos
matemáticos ali presentes, por meio de diferentes teorias do conhecimento, dentre
elas a Semiótica na perspectiva de Peirce. No que tange tal perspectiva,
estabelecemos relações entre as resoluções e as categorias fenomenológicas
(Primeiridade, Secundidade e Terceiridade) abordadas por esse autor. A atividade
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2011. In: Campos, T. M. M. D’Ambrosio, U., Kataoka, V. Y., Karrer, M., Lima, R. N. de &
Fernandes, S. H. A. A. (Eds.). Anais do III Seminário Internacional de Educação Matemática.
pp.327-336. São Paulo, Brasil. SIEMAT.
Um olhar para a construção do conhecimento em uma atividade de álgebra: o problema…
matemática analisada contempla conceitos de números inteiros positivos, de
divisores de um número, de números primos e de números pares e ímpares – é o
caso do “problema dos armários”.
Palavras chave: Construção de Conhecimento, Álgebra, Semiótica Peirceana.
INTRODUÇÃO
Este artigo apresenta um dos conceitos estudados na disciplina Tópicos
especiais em Educação Matemática: Educação Matemática e Construção do
Conhecimento7: a Semiótica na perspectiva de Peirce. Para tal, optamos por abordar
conceitos pertinentes à teoria Semiótica a partir da análise de possíveis respostas
para um problema – o problema dos armários – apresentado em três versões:
I. Imagine n armários, todos fechados, e n homens. Suponha que o primeiro
homem passe e abra todos os armários. Depois, que o segundo homem
passe e feche um sim outro não, começando pelo número dois. O terceiro
homem, então passa e altera o estado dos armários, de três em três,
começando pelo número 3 (isto é, se este está aberto, ele fecha, e viceversa). Se este procedimento tiver continuidade até que todos os n
homens tenham passado por todos os armários, quais então ficam
abertos?
II. Quais são os inteiros positivos que têm um número ímpar de fatores8?
(Justifique sua resposta.)
III. Seja d(n) o número de divisores positivos do inteiro n. Prove que d(n) é
ímpar se e somente se n é um quadrado.
Escolhemos esse problema porque ele contempla tanto a Matemática formal
escolar quanto fatores que podem ser associados ao cotidiano. O problema foi
proposto aos participantes da disciplina e as discussões dos conteúdos foram
embasadas nas ideias de soluções apresentadas por eles.
Em seguida, os participantes do grupo que propôs essa atividade9,
apresentaram os conceitos estudados na disciplina à luz dos enunciados e
7
Ministrada pela professora Dra. Lourdes Maria Werle de Almeida, no primeiro semestre do ano de
2009.
8
Estamos tomando fatores como “divisores”.
9
Estamos considerando a “atividade” como a tarefa de investigação e resolução dos três problemas
apresentados.
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III SIEMAT
Silva, Vertuan, Mendes, Pires, Ferreira & Almeida
resoluções do problema “dos armários”. Neste trabalho apresentamos apenas um
olhar sob a Semiótica na perspectiva de Peirce.
A SEMIÓTICA DE PEIRCE
Os objetos matemáticos são inacessíveis à percepção humana necessitando
dos signos para que possam ser estudados.
Para Otte (2001), qualquer coisa concreta, marca ou sinal pode ser um signo.
E não existe, de fato, nenhum signo sem uma marca concreta ou evento. Mas um
signo tem um significado, que uma “coisa” não tem. Signo e seu significado não são
identificados. No entanto, o significado de um signo não pode ser confundido nem
com a compreensão de um determinado intérprete nem com um uso específico do
signo. Isso é contrário ao nominalismo, que diz que a diferença entre signo e “coisa”
depende exclusivamente do intérprete, na visão de Peirce, algo pode ser
intrinsecamente um signo ou ao menos funcionar objetivamente como tal.
Peirce (2005) definiu o signo como algo que, para uma pessoa, toma lugar de
outra coisa (objeto), não em todos os aspectos desta coisa, mas somente de acordo
com certa forma ou capacidade. Para esse autor, um signo
[...] ou representámen, é aquilo que, sob certo aspecto ou modo,
representa algo para alguém. Dirige-se a alguém, isto é, cria, na
mente dessa pessoa, um signo equivalente, ou talvez um signo mais
desenvolvido. Ao signo assim criado denomino interpretante do
primeiro signo. O signo representa alguma coisa, seu objeto.
Representa esse objeto não em todos os seus aspectos, mas com
referência a um tipo de idéia que eu, por vezes, denominei
fundamento do representámen (Peirce, 2005, p. 46).
Assim, signo é uma coisa que representa outra coisa — seu objeto. Ele existe
somente se puder representar, substituir algo diferente dele, pois o signo não é o
objeto. Ele está apenas no lugar do objeto.
Nos estudos que realizou ao longo dos anos, Peirce tomou como ponto de
partida a experiência que temos do mundo, partindo da observação detalhada dos
próprios fenômenos. Com isso, considerou a análise e o exame do modo como as
coisas aparecem à mente para determinar suas categorias fenomenológicas.
Peirce chegou à conclusão de que há três elementos formais e universais em
todos os fenômenos que se apresentam à percepção e à mente, e dividiu os
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III SIEMAT
Um olhar para a construção do conhecimento em uma atividade de álgebra: o problema…
fenômenos
cognitivos
em
três
categorias
fenomenológicas:
Primeiridade,
Secundidade e Terceiridade.
A primeiridade refere-se ao que está relacionado ao acaso, ao que não é
analisado, não visto como um fato concreto, mas como uma qualidade, um
sentimento. O sentimento da primeiridade é um sentimento imediato, imperceptível e
original; é algo que ocorre primeiro, de modo a não ser segundo para uma
representação. Neste contexto, Santaella (2008b, p. 45) afirma que o sentimento da
primeiridade é algo “[...] fresco e novo, porque, se velho, já é um segundo em
relação ao estado anterior”. Um exemplo clássico referente à primeiridade é o
mundo para uma criança em seus primeiros anos de vida, pois ela não estabelece
relações entre as coisas. Esse mundo implica, para a criança, algo que é o primeiro,
o novo, o presente, o livre de relações.
A secundidade refere-se à experiência, às ideias de dependência,
determinação, dualidade, ação e reação, aqui e agora, conflito, surpresa, dúvida.
Quando há um fenômeno, existe uma qualidade, ou seja, uma primeiridade. No
entanto, a qualidade refere-se a uma parte do fenômeno, pois, para existir, a
qualidade precisa estar presente em matéria. Qualquer sensação já é secundidade,
pois corresponde à ação de um sentimento sobre nós e nossa reação específica.
Qualquer relação de dependência entre dois termos (qualidade e existência) é uma
relação diádica, ou seja, uma secundidade.
A
terceiridade
refere-se
à
generalidade,
continuidade,
crescimento,
inteligência. Segundo Santaella (2007, p. 7), “o signo é um primeiro (algo que se
apresenta à mente), ligando um segundo (aquilo que o signo indica, se refere ou
representa) a um terceiro (o efeito que o signo irá provocar em um possível
intérprete)”. Sobre a terceiridade, Santaella (2008a, p. 8) afirma que
é justamente a terceira categoria fenomenológica (terceiridade) que
irá corresponder à definição de signo genuíno como processo
relacional a três termos ou mediação, o que conduz à noção de
semiose infinita ou ação dialética do signo. Em outras palavras:
considerando a relação triádica do signo com a forma básica ou
princípio lógico-estrutural dos processos dialéticos de continuidade e
crescimento, Peirce definiu essa relação como sendo aquela própria
da ação do signo ou semiose, ou seja, a de gerar ou produzir e se
desenvolver num outro signo, este chamado de “interpretante do
primeiro”, e assim ad infinitum [...].
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Portanto, a terceiridade estabelece uma relação triádica existente entre o
signo, o objeto e o interpretante. Como abordado por Santaella (2008b), é a
terceiridade que aproxima um primeiro (qualidade ou primeiridade) e um segundo
(reação ou secundidade) numa síntese intelectual e corresponde à camada de
pensamento em signos, por meio da qual representamos e interpretamos o mundo.
Da relação entre signo e objeto resulta o interpretante, o qual corresponde a
um processo racional que se cria na mente do intérprete. O signo desempenha um
papel de mediação entre o objeto e o interpretante. Essa relação triádica entre signo,
objeto e interpretante pode ser representada por uma figura, como proposta em Otte
(2001).
Figura 1: Relação triádica proposta por Otte (2001)
O interpretante substitui o objeto real na mente do intérprete (ser humano),
considerando que o “objeto real” é inatingível pela percepção. A interpretação de um
signo é um processo dinâmico na mente do receptor (o intérprete).
Os signos influenciam ativamente ou determinam seus interpretantes,
enquanto objetos não possuem nada qualitativo por si mesmo ou intrinsecamente.
Apenas representam existência real isolada como tal.
Na relação triádica, os signos podem estabelecer relações com os objetos
que representam. Peirce (2005) estabeleceu a existência de três signos principais:
1. ícones: participam das características, dos tipos de objeto, sugerem ou
evocam seu objeto, a qualidade que eles exibes se assemelham a uma
outra qualidade;
2. índices: estão realmente e na sua existência individual conectados ao
objeto individual, indicam seu objeto pela existência concreta;
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Um olhar para a construção do conhecimento em uma atividade de álgebra: o problema…
3. símbolos: interpretados como denotando o objeto, por causa de um
hábito, representam seu objeto, representam aquilo que a lei determina
para que eles representem.
Otte (2001) exemplifica a relação do signo com seu objeto (ícone, índice e
símbolo), por meio dos termos palavra, proposição e argumento:
se considerarmos os serviços que os diferentes elementos da
argumentação nos apresentam, nós poderíamos dizer que um termo
ou uma palavra geralmente serve para evocar uma idéia, e, assim,
está sendo considerado um Ícone, enquanto proposições são usadas
para declarar fatos e, assim, são Índices. Agora, um argumento
funcionalmente considerado serve para estabelecer uma certa linha
de pensamento ou um hábito de lidar intelectualmente com certos
assuntos e, assim, deve ser chamado Símbolo (Otte, 2001, p. 12,
tradução nossa).
ABORDAGENS PARA A ATIVIDADE MATEMÁTICA
Para o desenvolvimento de uma atividade via diferentes teorias do
conhecimento estudadas na disciplina “Tópicos Especiais em Educação Matemática:
Educação Matemática e construção do conhecimento”, propomos três problemas,
por ora identificados de Problema I, Problema II e Problema III, aos demais
participantes da disciplina que, reunidos em grupos de 2 e 3 membros trabalharam
em conjunto na resolução dos problemas.
Para iniciar o desenvolvimento da atividade, apresentamos aos grupos de
participantes o Problema I. Os grupos, por meio de tentativas, iniciaram o
desenvolvimento da atividade construindo representações dos armários e montando
quadros, como o apresentado na Figura 2. Essas representações foram utilizadas
com o objetivo de encontrar padrões e regularidades.
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Silva, Vertuan, Mendes, Pires, Ferreira & Almeida
Figura 2: Representação utilizada pelos participantes para o Problema I
A partir dessa representação, os dois grupos concluíram, sem maiores
dificuldades, que somente os armários que correspondem à posição de um
quadrado perfeito ficarão abertos.
O Problema II foi proposto aos participantes utilizando-se a mesma estratégia
adotada no Problema I, ou seja, não foram feitos comentários a respeito de como
iniciar e conduzir o desenvolvimento da resolução. De imediato, os grupos não
estabeleceram relações entre o Problema I e o Problema II e, novamente, partiram
do caso particular à procura de padrões, como apresentado na Figura 3.
D(1) = {1} → ímpar
D(2) = {1,2} → par
D(3) = {1,3} → par
D(4) = {1,2,4} → ímpar
D(5) = {1,5} → par
D(11) = {1,11} → par
D(12) = {1,2,3,4,6,12} → par
D(13) = {1,13} → par
D(14) = {1,2,7,14} → par
D(15) = {1,3,5,15} → par
D(6) = {1,2,3,6} → par
D(7) = {1,7} → par
D(16) = {1,2,4,8,16} → ímpar
D(8) = {1,2,4,8} → par
D(9) = {1,3,9} → ímpar
D(10) = {1,2,5,10} → par
.
D(17) = {1,17} → par
.
D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24} → par
D(25) = {1,5,25} → ímpar
Figura 3: Representação utilizada pelos participantes para o Problema II
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Um olhar para a construção do conhecimento em uma atividade de álgebra: o problema…
A partir da representação (Figura 3), os participantes concluíram que os
inteiros positivos que têm um número ímpar de divisores são os quadrados perfeitos
(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49...). A partir da solução do Problema II, os participantes
estabeleceram relações com o Problema I.
Finalmente, frente ao Problema III, os grupos inferiram que os problemas
correspondiam aos mesmos objetos matemáticos, mas estavam representados de
formas distintas. Com isso, inferiram que, no Problema II, deveriam generalizar o
que haviam desenvolvido nos dois primeiros problemas. No entanto, os grupos não
representaram de forma genérica a resolução do Problema III, cabendo ao grupo
responsável pela proposta da atividade fazer as representações correspondentes. A
resolução segue na Figura 4.
Tomando n inteiro positivo, para demonstrar tal resultado é preciso primeiro considerar a
decomposição de n por fatores primos, que iremos mostrar que existe e é única, e em
seguida utilizar esta decomposição para determinar o número de divisores de um número n .
Por fim, retornamos ao resultado pedido.
1º resultado: Seja n > 1 inteiro. Então, existem primos positivos p1 p2 ... pt tais que
a = p1. p2 ... p n , e essa decomposição é única.
Usando o princípio da indução finita para mostrar a existência da fatoração. Para a = 2 , o
enunciado é verdadeiro, já que 2 é, ele próprio primo. Suponhamos agora que o resultado seja
verdadeiro para todo inteiro b .
Se a é primo, então o resultado está demonstrado. Caso contrário, a admite um divisor b
tal que 1 < b < a . Isto é, a = b.c , e temos também que 1 < c < a . Pelo princípio da indução,
b e c podem ser escritos como produtos de primos, na forma
b = p1 .... p s c = q1....q k
Substituindo, temos a = p1 .... p s .q1 ....qk e o resultado vale para a .
Resta mostrar a unicidade. Suponhamos que a admita uma decomposição do tipo a = p1 ,
em que p1 vale
a = p1 = q1 .q2 ....qs
em que q1 ≤ q2 ≤ ... ≤ q s são primos positivos. Como q1 divide q1.q2 ....qs , q1 deve dividir
p1 , que é primo. Então, devemos ter p1 = q1 , cancelando, temos 1 = q2 ...q s . Se s > 1 ,
temos o produto 1 de fatores primos, o que é um absurdo. Assim, s = 1 e, como já provamos
que p1 = q1 , o primeiro passo de indução está verificado. Suponhamos agora o resultado
verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento k > 1 , e seja a
um inteiro com uma decomposição de comprimento k + 1 . Se a admite outra decomposição,
temos
a = p1 ..... pk +1 = q1 ....q s ,
em que
q1 ≤ q2 ≤ ... ≤ q s são primos positivos. Como na primeira parte, q1 / p1 .... pk +1 ( q1
divide p1 .... p k +1 ) em particular, q1 / pi para algum i . Como pi é primo, devemos ter
q1 = pi . De forma análoga,
p 2 .... p k +1 = q 2 ....q s ,
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III SIEMAT
Silva, Vertuan, Mendes, Pires, Ferreira & Almeida
Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de comprimento
da hipótese de indução, admite uma única decomposição.
Por fim, se agruparmos os primos repetidos na decomposição de a temos:
.
2º resultado: Sendo a =
k , logo,
(decomposição em fatores primos). Então o número de
divisores positivos de a e a soma de a é (n1+1)...(nt+1).
Note que, conforme esse critério, os divisores positivos de
desenvolvimento do produto:
S=(
(
)...(
Como cada parêntese contém
desenvolvimento é
a são todos os termos do
).
n1 + 1 parcelas, temos que o número total dos termos no
D (n) = (n1 + 1).(n2 + 1)....(nt + 1) .
De volta ao resultado:
(
Vamos considerar
D (n) o número de divisores de n um número ímpar.
Por absurdo, suponha que n não é um quadrado. Então, n =
onde pelo menos
um dos coeficientes é um número ímpar, sem perda de generalidade, considere
Logo,
n1 = 2.r + 1 .
D (n) = (2r + 1 + 1).(n2 + 1)...(nt + 1)
D (n) = (2r + 2).(n2 + 1)...(nt + 1)
D (n) = 2.(r + 1).(n2 + 1)...(nt + 1)
O que contradiz a hipótese de D (n) ser ímpar, logo n tem que ser um quadrado.
( ) Vamos considerar n um quadrado. Se n é um quadrado então n =
, ou
seja, todos os fatores de base prima da decomposição é uma potência de expoente par, logo:
D (n) = (2n1 + 1).(2n2 + 1)....(2nt + 1) ,
que é o produto de números ímpares, logo ímpar.
Figura 4: Representação para o desenvolvimento do Problema III
UMA POSSÍVEL ANÁLISE DA ATIVIDADE À LUZ DA FUNDAMENTAÇÃO
TEÓRICA
Para o desenvolvimento da atividade, os participantes lançaram mão de
representações. Isso evidencia, como destaca Otte (2001), que todo o nosso acesso
cognitivo à realidade é relativo e mediado por signos ao invés de ser direto e
absoluto. Além disso, os signos têm significados e se referem a objetos.
No que diz respeito à atividade em estudo, os três problemas apresentam
signos distintos, mas que correspondem aos mesmos objetos matemáticos.
Nos
três
problemas
apresentados
aos
participantes,
a
categoria
fenomenológica Primeiridade ocorre quando entram em contato com cada um dos
problemas propostos. Como salienta Santaella (2008b, p. 45), “o primeiro
(primeiridade) é presente e imediato, de modo a não ser segundo para uma
representação”, ou seja, quando os participantes entraram em contato com o
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III SIEMAT
Um olhar para a construção do conhecimento em uma atividade de álgebra: o problema…
problema proposto não fizeram representação imediata referente a tal problema,
pelo menos quando entraram em contato com o primeiro problema.
A Secundidade é evidenciada quando os participantes estabelecem a
existência de algo para resolver. Nesse caso, utilizam uma representação que
informa a existência do problema que deve ser estudado, na relação do signo em si
mesmo (significação), temos um sin-signo e na relação do signo com o objeto
(objetivação), temos um índice, a representação de algo que pode ser estudado.
A partir de estabelecida a existência de algo para ser estudado, foi feito um
estudo matemático para responder aos problemas em questão. Nesse caso, os
participantes trabalharam matematicamente a situação, estabelecendo uma relação
com a categoria fenomenológica Terceiridade.
Como existe uma lei que estabelece a resolução dos problemas, na relação
do signo em si mesmo (significação), temos um legi-signo e na relação do signo com
o objeto (objetivação), temos um símbolo. Na Terceiridade, os estudantes passaram
a trabalhar com legi-signos, pois, em geral, trabalham com regularidades, seguindo
leis matemáticas.
Os três tipos fundamentais de signos — ícone, índices e símbolos podem ser
evidenciados nos enunciados dos problemas (ícones), a tabela utilizada para indicar
o objeto pela existência concreta (índice) e a demonstração realizada (símbolo) que
representa o objeto em estudo nos três problemas.
REFERÊNCIAS
Otte, M. (2001). Mathematical epistemology from a semiotic point of view. Proceedings of the
Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 25(1),
1-32. Recuperado em 24 maio, 2011, de http://www.math.uncc.edu/~sae/dg3/otte-newPME25.pdf
Peirce, C. S. (2005). Semiótica (Vol. 46, 2a reimpr. 3a ed.). (J. T. Coelho Neto, Trad.).
(Coleção Estudos). São Paulo: Perspectiva. (Obra original publicada em 2000).
Santaella, L. (2008a). A teoria geral dos signos: como as linguagens significam as coisas.
(2a reimpr. 1a ed.). São Paulo: Cengage Learning.
Santaella, L. (2008b). O que é semiótica. (Vol. 103, 27a reimpr. 1a ed.). (Coleção Primeiros
Passos). São Paulo: Brasiliense.
Santaella, L.(2007). Semiótica aplicada. São Paulo: Thomson Learning.
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