UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CURSO DE LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA
PLANO NACIONAL DE FORMAÇÃO DE
DOCENTES DA EDUCAÇÃO BÁSICA PARFOR
Lista de Exercícios para a Prova Substitutiva de
Cálculo III
1 – Seja
)
( )
. Seja
- Equação do plano tangente
- Equação da reta normal
(
)
(
)
(
)
)
b)
- Equação do plano tangente
( ). Calcule
(
a)
a)
uma função de uma variável
real, diferenciável e tal que
(
Respostas:
(
b)
)
- Equação da reta normal
Respostas:
(
a)
(
)
)
(
)
4 (
b)
)
uma função diferenciável tal
( )
. Seja
(
)
(
)
é a equação do plano
tangente ao gráfico de (
2 – Seja
que
(
(
a) Calcule
)e
) no ponto (
(
)
b) Determine a equação da reta normal no ponto
). Calcule:
(
).
a)
(
)
Respostas:
b)
(
)
a)
c)
(
)
(
b) (
)
(
e
)
(
)
(
)
)
(
5 – A função diferenciável
Respostas:
a)
(
)
b)
(
)
c)
(
)
).
) é dada
implicitamente pela equação
Expresse
em termos de
.
Resposta:
3 – Determine as equações do plano tangente e da
reta normal ao gráfico da função dada no ponto
6 – Mostre que cada uma das equações a seguintes
dado.
define implicitamente pelo menos uma função
(
a)
(
(
b) (
)
)
(
)
em
diferenciável
)).
em (
e .
(
)).
a)
b)
Respostas:
( ). Expresse
em termos de
a) Seja (
(
)
)
, observe que
e que
Ou
(
)
b)
11 – Determine as equações do plano tangente e
da reta normal à superfície dada, no ponto dado.
7 – Mostre que cada uma das equações a seguir
a)
define implicitamente pelo menos uma função
b)
(
diferenciável
termos de
) . Expresse
e
em
em (
em (
)
)
em (
c)
)
Respostas:
e .
a)
a)
- Plano tangente em (
b)
Respostas:
- Reta normal em (
a)
e
b)
(
( ) seja diferenciável e
8 – Suponha que
(
)
(
)
(
) é suposta diferenciável.
em termos de
- Plano tangente em (
):
(
dada implicitamente pela equação
) , onde
)
)
b)
e
Expresse
)
- Reta normal em (
e das derivadas
(
)
)
(
)
- Plano tangente em (
):
(
)
parciais de .
c)
Resposta:
(
(
)
)
(
)
- Reta normal em (
(
9 – Determine a equação da reta tangente à curva
b)
em (
em (
(
(
)
)
12 – É dada uma função diferenciável
de nível dada, no ponto dado.
a)
)
)
)
. Sabe-se que
(
)
√
. Determine a
Respostas:
equação do plano tangente ao gráfico de
a)
ponto (
√
).
b)
10 – Determine uma reta que seja tangente à curva
Resposta:
)
cujo gráfico está contido na superfície
)
e paralela a reta
(
.
Resposta:
√
no
13 – Calcule
(
a)
⃗
(
)
, (
versor de
)
(
) e ⃗ o
a) (
) ponto de mínimo local, e também,
ponto de mínimo global.
.
(
b)
Respostas:
), sendo dados:
)
(
)
(
) e ⃗
o
b) (
) é ponto de sela. (
) é ponto de
versor (3, 4).
mínimo local, mas não global ( (
Respostas:
tende a
a)
⃗
b)
⃗
(
)
(
)
c) (
√
)
para
)e(
)
) são pontos de sela.
14 – Em que direção e sentido a função dada
18 – Determine o ponto do plano
cresce mais rapidamente no ponto dado? E em
que se encontra mais próximo da origem.
que direção e sentido decresce mais rapidamente?
Resposta:
a) (
)
b) (
)
c) (
)
em (
‖(
)‖ em (
√
).
(
em (
).
19 – Determine a curva de nível de (
Respostas
a) ⃗
b)
e
e
Resposta:
15 – Calcule a derivada direcional de (
√
no ponto (
(
; o ponto de tangência é (
)
) e na direção
(
)
que seja tangente ao
plano
Respostas:
. Qual o ponto de
tangência?
b)
√
Resposta:
√
16 – Calcule a derivada direcional de (
no ponto (
Resposta:
)
20 – Determine a superfície de nível da função
)
b) ⃗⃗
a)
,
. Qual o ponto de tangência?
e
a)
)
que seja tangente à curva
⃗ e
c)
)
).
) e na direção
)
.
. O ponto de tangência é
(
).
√
17 – Estude com relação a máximos e mínimos
locais a função (
)
a)
b)
c)
Bons Estudos!