ESTUDO DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS UTILIZANDO CARTÕES
FRACTAIS
Theodoro Becker de Almeida1; Rodiane Ouriques Martinelli2; Virgínia Maria Rodrigues1;
Ana Maria Marques da Silva2
([email protected]; [email protected]; [email protected];
[email protected])
1
2
Faculdade de Matemática, PUCRS, Porto Alegre, Brasil.
Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática, Faculdade de
Física, PUCRS, Porto Alegre, Brasil.
Introdução
Difundida pelo matemático polonês Benoit Mandelbrot [2], a geometria dos fractais
tem atraído interesse científico e educacional devido à sua potencialidade, versatilidade e
fascínio oferecido por sua beleza e pelo grande poder de análise dos objetos da natureza.
Por isso, seu uso tem ocorrido em diversas áreas da ciência, tecnologia e arte.
Apesar desta “nova geometria” ainda ser desconhecida por muitos professores de
matemática, ela permite ser estudada durante a abordagem de conteúdos de Ensino
Fundamental e Médio.
Este trabalho apresenta um estudo de Progressões Geométricas a partir da
confecção de cartões fractais tridimensionais. Além da formação das progressões
geométricas encontradas durante o processo de construção dos cartões, características da
geometria fractal como auto-similaridade e complexidade infinita podem ser paralelamente
discutidas. Assim, acreditamos que nossa proposta de atividade permite abordar o tema
progressão geométrica e introduzir a geometria dos fractais de forma motivadora,
quebrando a rotina das aulas tradicionais de matemática [1].
Os Cartões Fractais e as Progressões Geométricas
A atividade de construção de cartões fractais tridimensionais é uma forma
motivadora e interessante de apresentar a geometria dos fractais para os estudantes de
Ensino Médio, pois devido ao apelo estético, envolve e captura a atenção dos alunos.
Nesse trabalho, descreveremos as atividades de construção de três cartões fractais
que apresentam características diferenciadas: Degraus Centrais (Figura 1), Triângulo de
Sierpinski (Figura 2) e Trisecções (Figura 3). Tomando-se como ponto de partida a
planificação de cada cartão, notamos que eles resultam de uma seqüência de cortes e
dobraduras que se repetem, propriedade da geometria fractal conhecida por autosimilaridade [2].
Figura 1: Cartão Degraus
Centrais
Figura 2: Cartão Triângulo
Sierpinski
Figura 3: Cartão Triângulo
Sierpinski
Observamos, durante a construção dos cartões, que os cortes e as dobraduras
resultam em formas geométricas (paralelepípedos) e que a cada novo corte e dobradura,
surgem novos paralelepípedos [3]. Com base nestas etapas é possível construir uma tabela
com o número de paralelepípedos obtidos a cada iteração, a qual resultará numa progressão
geométrica (PG).
Além disso, podemos incrementar a tabela explorando o volume de cada
paralelepípedo gerado nas diferentes iterações, o que irá gerar mais uma PG. Também
podemos calcular os volumes totais dos sólidos de cada cartão, utilizando a fórmula para a
soma dos termos de uma PG.
Utilizando como exemplo o cartão Degraus Centrais (Figura 1) temos, para a na
ésima iteração, onde n = 0,1,2,... , a geração de 2 n paralelepípedos de largura n (onde a é
2
a
medida central realizada no primeiro corte), e altura e profundidade de n +1 , sendo,
2
3
a
portanto, 3n+ 2 o volume de cada paralelepípedo. Conseqüentemente, o volume total V de
2
todos paralelepípedos do cartão ao final da n-ésima iteração será:
3
3
3
a3
a3
2 a
3 a
n a
V = 2 + 2 5 + 2 8 + 2 11 +  + 2 3n + 2 ,
2
2
2
2
2
ou seja,
V=
a3 
1
1
1
1 
1 + 2 + 4 + 6 +  + 2 n .
2 
2  2
2
2
2 
Na igualdade acima, observa-se que a expressão entre parênteses é a soma dos n + 1
1
primeiros termos de uma progressão geométrica de razão q = e primeiro termo a1 = 1.
4
Utilizando a fórmula da soma dos k primeiros termos de uma PG [4] de razão q ≠ 1 e
primeiro termo a1 ,
a (q k − 1)
Sk = 1
,
q −1
temos que o volume total dos paralelepípedos do cartão será:
  1  n +1 
  1  n+1 


   −1 
  −1
n +1
n +1
a3   4 
 a3   4 
 a 3 4   1   a 3   1  
=
= . 1−  
=
1−   .
V=
4  1 − 1  4  − 3  4 3   4   3   4  




 4



4




Discussões e Conclusões
Acreditamos que, por ser um tema atual e amplo, a exploração da geometria dos
fractais permite tornar a aula de matemática um espaço propício para a aprendizagem, que
une aspectos lúdicos da manipulação do cartão com a abordagem de progressões
geométricas, uma vez que os alunos poderão ter uma visão mais ampla desse conteúdo que
é trabalhado no Ensino Médio.
O trabalho com a construção dos cartões permite ainda investigar, a partir de tópicos
da matemática do Ensino Básico, conceitos mais elaborados que podem servir como
introdução para um conteúdo futuro, como séries e limites.
Assim, acreditamos que a partir deste estudo, os alunos tenham mais facilidade e
motivação na aprendizagem de progressões geométricas, além de desvendar um tema novo
que poderá auxiliá-los em outros assuntos.
Referências Bibliográficas
[1] BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula.
Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2002.
[2] MANDELBROT, Benoit. Comment j’ai découvert lês fractales. La Recherche, França,
n. 175, pp. 420 - 424, mar. 1986.
[3] URIBE, Diego. Fractal Cuts: Exploring the magic of fractals with pop-up designs.
England: Tarquin Publications, 2004.
[4] DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Editora Parma
ltda, 2001.