FÍSICA - LANÇAMENTO PARA CIMA/PITÁGORAS
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Responsável: Sebastião Alves da Silva Filho
Data: 26.11.2014 - 09h39min
O CASO INVERSO DA QUEDA LIVRE
Vamos analisar o caso em que se lança um corpo para o alto, na vertical. Tomemos o
seguinte exemplo: uma pedra é lançada para o alto, na vertical, com uma velocidade
inicial de 2 m/s. Desprezando-se a resistência do ar, pergunta-se:
a) qual a altura máxima atingida pela pedra?
b) Após quanto tempo a pedra atinge a altura máxima?
c) Qual a velocidade no ponto mais alto atingido?
d) qual a velocidade com que a pedra chega, de volta, ao solo?
Inicialmente, vamos verificar os dados com que contamos. Ora, a velocidade inicial,
v0 = 2 m/s e a aceleração da gravidade g = 9,81 m/s².
b) No ponto mais alto da trajetória (altura máxima): v = v0 - g.t <=> observe que a
pedra vai para cima e a aceleração da gravidade age para baixo (logo sua ação estará
reduzindo a velocidade, ou seja, o valor de "g" é negativo). Já a velocidade no ponto
mais alto sempre será igual a 0. Ou seja, para que a pedra inicie a descida, sua
velocidade passará pelo valor 0, invertendo-se, logo em seguida, o sentido do
movimento:
0 = 2 - 9,81 . t => 9,81t = 0 + 2 => t = 2 / 9,8 => t = 0,2039 segundos.
c) v = 0 m/s.
a) d = d0 + v0t + 1/2.g.t² => d = 0 + 2.0,2039 - 1/2 .9,81.(0,2039)² => d = 0,2039 metros.
d) Chamemos de vs a velocidade da pedra ao tocar o solo: vs = 0 + 9,81.0,2039 => vs =
2,0003 m/s, ou seja, 2,00 m/s (aproximando até a 2ª casa decimal).
O que devemos guardar deste estudo:
1- Ao lançar um objeto para o alto, sob a ação da gravidade e, desprezando-se a
resistência do ar, sua velocidade no ponto mais alto da trajetória será sempre v = 0
m/s.
2- Nas mesmas condições do item anterior, a velocidade do objeto lançado para
cima, no momento em que toca de volta o solo será igual à velocidade inicial com
que partiu, no momento do lançamento para o alto.
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NOÇÕES BÁSICAS DE TRIGONOMETRIA
Para se entenderem alguns conceitos da Física e mesmo para se resolverem alguns
problemas relacionados a ela, é necessário que conheçam algumas noções básicas de
Geometria e Trigonometria. Então a partir de agora, vamos apresentar o Teorema de
Pitágoras e as definições de seno e cosseno que serão absolutamente necessárias para
a sequência de nossos estudos.
O TEOREMA DE PITÁGORAS
Tomemos um triângulo retângulo como aquele que é mostrado na figura abaixo.
Antes, lembremos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.
Lembremos ainda que, um triângulo retângulo é aquele que possui 1 ângulo reto, ou
seja, que mede: 90°.
c
α
a
β
b
ângulo reto
No triângulo retângulo acima, o lado "a", o qual se encontra oposto ao ângulo reto é
chamado de hipotenusa (observe que ele será sempre o maior dos lados do triângulo
retângulo). Os lados: "b" e "c" são chamados de catetos.
O enunciado do Teorema de Pitágoras é, então: "em qualquer triângulo retângulo, o
quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos".
Ou seja: a² = b² + c².
Observe que o enunciado acima é uma Lei da Geometria. Ou seja, se você desenhar
qualquer triângulo retângulo e medir com o mais preciso instrumento, sua
hipotenusa e seus dois catetos, o quadrado do valor encontrado para a hipotenusa,
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elevado ao quadrado, será sempre igual à soma dos valores dos quadrados dos dois
catetos, sempre utilizando-se as mesmas unidades de medida.
AS DEFINIÇÕES DE SENO E COSSENO
Seno que se abrevia por: "sen" e cosseno que se abrevia por: "cos" são relações entre
os valores dos catetos e da hipotenusa. O seno de um ângulo é o valor obtido ao se
dividir, em um triângulo retângulo, o valor do cateto oposto a ele,
pelo valor
hipotenusa (todos os valores tomados na mesma unidade de medida). Já o cosseno de
um ângulo é o valor obtido ao se dividir, em um triângulo retângulo, o valor do cateto
adjacente a ele, pelo valor da hipotenusa (tomados ambos na mesma unidade de
medida).
Costumam-se representar os ângulos por letras do alfabeto grego. Assim, em nosso
triângulo exemplo, acima, o ângulo "α" (alfa) é aquele formado entre os lados "a" e "c"
e o ângulo: "β" (beta) é aquele formado entre os lados: 'a" e "b". Ora, em relação ao
ângulo: "α", "b" será chamado de cateto oposto e "c" de cateto adjacente. Portanto,
podemos dizer que: sen α = b / a e cos α = c / a.
Já em relação ao ângulo: "β", "c" é o cateto oposto e "b" o cateto adjacente.
Logo, sen β = c / a e cos β = b / a.
UM EXEMPLO PARA ELUCIDAR OS CONCEITOS
Tome para o exemplo do triângulo mostrado acima os seguintes valores: comprimento
da hipotenusa (lado "a") = 5 cm, comprimento do lado "b' = 4 cm e comprimento do
lado "c" = 3 cm (o desenho não está em escala).
Pelo Teorema de Pitágoras teremos: a² = b² + c² => 5² = 4² + 3² => 25 = 16 + 9 => 25 =
25.
Para o ângulo "α": sen α = cateto oposto / hipotenusa => sen α = 4 / 5 => sin α = 0,80.
Já cos α = cateto adjacente / hipotenusa => cos α = 3 / 5 => cos α = 0,60.
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Para o ângulo "β" sen β = cateto oposto / hipotenusa = 3 / 5 = 0,60 e cos β = 4 / 5 =
0,80.
A tabela abaixo mostra o seno e o cosseno de alguns ângulos cujos valores são mais
utilizados:
ÃNGULO
SENO
COSSENO
0°
0,0000
1,0000
30°
0,5000
0,8660
45°
07071
0,7071
60°
08660
0,5000
90°
1,0000
0
105°
0,9659
-0,2588
120°
0,8660
-05000
150°
0,5000
-0,8660
180°
0,0000
-1,0000
TESTE DE CONSISTÊNCIA
Se você é como São Tomé, isto é, só acredita naquilo que pode ver e testar, faça o
desenho em escala para os valores de lados dos catetos, para os triângulos retângulos
cujas medidas são dadas na tabela abaixo. Confira a validade do Teorema de Pitágoras,
medindo todos os comprimentos das hipotenusas. Depois calcule os valores do seno e
do cosseno para cada caso. Verifique, com uma calculadora ou uma tabela de seno e
cosseno, se os valores dos ângulos estão corretos:
Veja um exemplo de como fazer:
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c = 65 cm, b = 72 cm, a = 97. Primeiro você deve desenhar um triângulo, digamos em
uma escala de 1 : 10, ou seja, o lado c terá: 6,5 cm e o lado b terá 7,2. Agora faça entre
eles um ângulo de 90° e meça o lado "a" (hipotenusa). Seu valor deve ser: 9,7 cm.
O seno de α (veja posição no desenho do triângulo retângulo acima) será: sen α = 72 /
97 (valor da hipotenusa) => sen α = 0,7423 .
cos α = 65 / 97 = 0,6701
Calculando o valor do ângulo com uma calculadora HP 10s: sin ¹ (0,7423) = 47,93°
cos ¹ (0,6701) = 47,93°.
Agora, para confirmar, basta medir o ângulo, usando-se um transferidor.
CATETO c
CATETO b HIPOTENUSA
SENO α
COS α
α
SENO
β
3
4
5
6
8
10
12
16
20
COS β
β