1
Relações Métricas no Triângulo Retângulo.
Professor: Isaac Pimentel
Assunto: Relações Métricas no Triângulo Retângulo.
1. Construção.
Considerando o triângulo ABC retângulo em A.
A
B
C
b
c
B
B
h
m
n
D
C
C
a
Onde os elementos são:
Os lados  hipotenusa (sempre oposta ao ângulo de 90º) e catetos.
Do triângulo ABC: a(hipotenusa), b(cateto) e c(cateto).
Do triângulo ABD: c(hipotenusa), h(cateto) e m(cateto).
Do triângulo ADC: b(hipotenusa), n(cateto) e n(cateto).
Os ângulos  90º, B e C (comuns aos três triângulos).
Os vértices  A, B e C.
Observe que a figura determina três triângulos semelhantes (por construção), são eles: ABC; ABD e ADC. Podemos então
estabelecer a relação de semelhança entre os três triângulos, dois a dois.
Primeira relação: Lados do ABD sobre os lados correspondentes de ABC:
90º B C
h m
ABD c
1º)
, de onde obtemos as três primeiras proporções:
:


ABC a
b
c
c h
  cb  ah , ou seja:
a b
1) cb  ah .
c m

 c2  am , ou seja:
a
c
2) c2  am .
h m

 ch  bm , ou seja:
b
c
3) ch  bm
MATCONC – MATEMÁTICA E CONCURSOS
http://www.matconc.com.br
2
90º B C
n h
ADC b
2º)
:

 , de onde obtemos as três proporções seguintes:
ABC a
b
c
b n
  b2  an , ou seja:
a b
4) b2  an .
b h
  bc  ah , ou seja:
a c
5) bc  ah .
n h
  nc  bh , ou seja:
b c
6) nc  bh
90º
B
C
n
h
ADC b
3º)
, de onde obtemos as três proporções seguintes:
:


ABD
c
h m
b n
  bh  cn , ou seja:
c h
7) bh  cn .
b h

 bm  ch , ou seja:
c m
8) bm  ch .
n h

 h 2  mn , ou seja:
h m
9) h2  mn
Um resultado importante obtemos da soma, membro a membro, das relações (2) e (4), e do fato de m  n  a :
b2  c2  am  an  a m  n   a 2 , então.
10)  b2  c2  a 2 , que é o Teorema de Pitágoras, em linguagem corrente:
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Observe as seguintes relações repetidas: (1) e (5); (3) e (8); (6) e (7). Podemos então resumir todas as relações obtidas a
partir da semelhança dos triângulos ABC; ABD e ADC:
2. Relações métricas no triângulo retângulo.
Das relações obtidas acima, podemos generalizar as relações métricas no triângulo retângulo, observando, detalhadamente
os elementos(lados) que compõe cada uma delas, a saber:
A
B
C
b
c
B
B
h
m
n
D
C
C
a
Para o triângulo retângulo ABC.
a: hipotenusa;
b: cateto;

c: cateto;

h: altura relativa a hipotenusa;
m: projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa;

n: projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa.
MATCONC – MATEMÁTICA E CONCURSOS
http://www.matconc.com.br
3
Assim, podemos resumir todas as relações, seguida das respectivas leituras em linguagem corrente.
1)
2)
3)
4)
5)
m  n  a : a soma das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é igual a mesma.
bh  cn : o produto do um cateto pela altura é igual ao do outro pela projeção ortogonal deste sobre a hipotenusa.
ch  bm : o produto do um cateto pela altura é igual ao do outro pela projeção ortogonal deste sobre a hipotenusa.
cb  ah : o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura.
c2  am : o quadrado do cateto é igual produto da hipotenusa pela projeção ortogonal deste sobre a hipotenusa.
6) b2  an : o quadrado do cateto é igual produto da hipotenusa pela projeção ortogonal deste sobre a hipotenusa.
7) h2  mn : o quadrado da altura é igual ao produto das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
8) b2  c2  a 2 : a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
3. Conclusão.
Podemos substituir as oito relações acima, pelas três relações de semelhança, a soma das projeções e o teorema de
Pitágoras:
A
B
C
b
c
B
B
h
m
n
D
C
C
a
90º B C
h m
ABD c
1)
.
:


ABC a
b
c
2)
ADC b
n h
.
:


ABC a
b
c
3)
ADC b n
h
:


.
ABD c h m
4) m  n  a : a soma das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é igual a mesma.
5) b2  c2  a 2 : a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
MATCONC – MATEMÁTICA E CONCURSOS
http://www.matconc.com.br