MAT 1352 - CÁLC. PARA FUNÇÕES DE UMA VAR. II
2o SEMESTRE 2013
LISTA 5
1. Esboce o conjunto A e calcule sua área:
(a) A é o conjunto dos pontos (x, y) ∈ R2 tais que x2 − 1 ≤ y ≤ 0;
(b) A é o conjunto dos pontos (x, y) ∈ R2 tais que x ≥ 0 e −x ≤ y ≤ x − x2 ;
(c) A = B ∩ C ∩ D, onde
B = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 − 4},
e
C = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ 12 − 3x2 }
D = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ 3x2 + 12x + 12}.
2. Determine a área das regiões compreendidas entre as seguintes curvas:
(a) y = 2x − x2 e y = −3;
(f) x = 2y2 , x = 0 e y = 3;
(b) y = x4 e y = 8x;
(g) x − y 3 = 0 e x + y4 = 2;
2
(c) y = x3 − 2x + 1, y = −x + 1, x = −1 e x = 1; (h) y = 2senx, y = sen2x, x = 0 e x = π;
(d) y = x2 , x + y = 2 e y = 0;
(i) y = sen( πx
) e y = x;
2
(e) y = 7 − 2x2 e y = x2 + 4;
(j) y = sec2 x, y = tg2 x, x = − π4 e x = π4 .
3. Determine a área da região do 1o quadrante compreendida entre as curvas y = x, y =
4. Determine a área da região do 1o quadrante compreendida entre as curvas y = x, y =
x2
4
e y = 1.
1
,
x2
x=2e
y = 0.
5. Determine a área da região compreendida entre as curvas y = lnx, y = ln2x, x = 1 e x = 5.
6. Determine a área da região “triangular” do 1o quadrante limitada acima pela curva y = e2x , abaixo
pela curva y = e x e à direita pela curva x = ln3.
7. Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y = 0 das regiões compreendidas entre as seguintes curvas:
(a) y = x3 , y = 0 e x = 2;
(d) y = e x−1 , y = 0, x = 1 e x = 3;
(b) y = x − x2 e y = 0;
(e) y = secx, y = tgx, x = 0 e x = 1;
√
(f) y = cosx, y = 1, x = − π2 e x = π2 .
(c) y = secx, y = 0, x = − π4 e x = π4 ;
8. Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y = 0 das seguintes regiões:
(a) A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ xy ≤ 2, x2 + y2 ≤ 5 e x > 0};
√
(b) A = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x e (x − 1)2 + y2 ≤ 1};
(c) A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2 e e−x ≤ y ≤ e x };
(d) A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y ≤ 1, e
1
x
≤y≤
4
}.
x2
9. Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x = 0 da região compreendida
entre as curvas x = tgy, x = 0 e y = 1.
10. Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x = 0 da região limitada pelo
triângulo (1, 0), (2, 1) e (1, 1).
11. Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x = 0 da região do 1o
quadrante limitada acima pela parábola y = x2 , abaixo pelo eixo y = 0 e à direita pela reta x = 1.
12. Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x = 0 da região do 1o
√
quadrante limitada à esquerda pelo círculo x2 + y2 = 3, à direita pela reta x = 3 e acima pela
√
reta y = 3.
13. Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = −1 da região do 1o
quadrante limitada acima pela parábola y = x2 , abaixo pelo eixo y = 0 e à direita pela reta x = 1.
√
14. Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x, y = 2 e x = 0
em torno:
(a) da reta y = 0;
(b) da reta x = 0;
(c) da reta y = 2;
(d) da reta x = 4.
15. Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x2 e y = 1 em torno:
(a) da reta y = 1;
(b) da reta y = 2;
(c) da reta y = −1.
16. Calcule o volume de um tetraedro com três faces mutuamente perpendiculares e três arestas
mutuamente perpendiculares de comprimentos 3 cm, 4 cm e 5 cm.
17. Calcule o volume do sólido cuja base é a região triangular de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 2) e as
seções transversais perpendiculares ao eixo x = 0 são semicírculos.
18. Calcule o volume do sólido cuja base é a região elíptica 9x2 + 4y2 ≤ 36 e as seções transversais
perpendiculares ao eixo y = 0 são triângulos isóceles retos com hipotenusa na base.
19. Calcule o volume de um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base maior R e raio da
base menor r.