3a Lista de Exercı́cios de Álgebra II
Professor: José Carlos de Souza Júnior
Curso: 7o Perı́odo - Licenciatura em Matemática
1. Seja f : (Q, +, ·) → (Q, +, ·) um homomorfismo.
f (q) = q, ∀ q ∈ Q.
Mostre que se f 6≡ 0, então
2. Suponha que M seja um ideal de um anel R com 1R 6= 0R . Se R/M é um anel com
divisão, mostre que M é um ideal maximal.
√
√
√
3. Mostre que o anel (Z( 2), +, ·), onde Z( 2) = {a + b 2, com a, b ∈ Z}, é um domı́nio.
√
√
√
4. Examinando
o
anel
quociente
Z(
2)/(
2),
determine
se
o
ideal
(
2) é um ideal maximal
√
de Z( 2). É um ideal primo? Justifique.
5. Use o Teorema Fundamental do Isomorfismo para Anéis, para mostrar que:
(a) 3Z/6Z ∼
= Z/2Z
(b) M2 (Z/kZ) ∼
= M2 (Z)/M2 (kZ)
6. No corpo Z/7Z, encontre o inverso (multiplicativo) de −237 + 7Z.
2 5
7. No anel M2 (Z)/M2 (7Z), determine se o elemento
+ M2 (7Z) é uma unidade.
6 8
8. (a) Para k > 1 em Z, mostre que o anel Z/kZ não tem divisores de zero se, e somente
se, k é primo.
(b) Mostre que M2 (Z)/M2 (kZ) tem divisores de zero para cada k > 1 em Z.
(c) É verdade que se R tem divisores de zero, então R/I tem divisores de zero para cada
I 6= R? Justifique?
9. Seja I = (x2 + 1) o ideal principal do anel R = Z[x]. Mostre que R/I é isomorfo ao anel
dos inteiros de Gauss. É I maximal? Justifique.
10. Para um inteiro n > 1, mostre que, se I é um ideal maximal de Mn (Z), então I = Mn (pZ),
onde p é um número primo.
11. Considere o ideal principal de R[x] gerado pelo polinômio 1 + x2 . Mostre que I é um
ideal maximal de R[x], usando a definição de ideal maximal. Depois, use este fato para
concluir que I é um ideal primo.
2
12. Mostre que (x√
− 2) é um ideal primo de Z[x]. (Sugestão: Mostre que Z[x]/(x2 − 2) é
isomorfo a Z( 2)).
13. Mostre que o conjunto de todos os polinômios de Z[x] com termo constante igual a zero
é um ideal. Este ideal é principal?
14. Mostre que Z[x]/(x) ∼
= Z.
15. Mostre que se o anel (R, +, ·) tem divisores de zero, então R não está imerso em nenhum
corpo F, ou seja, não existe um homomorfismo de anéis injetor de R em um corpo.
16. Mostre que o corpo de frações de um corpo é o próprio corpo.