Respondendo ...
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Sala:
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MATEMÁTICA
Um bloco maciço, que tem a forma de um prisma quadrangular regular, cuja aresta da base mede 4 dm e cuja altura
é igual a 8 dm, repousa no chão de uma sala. Uma formiga, que vaga alegremente pelo chão, acessa o bloco pelo
vértice A (figura 1) e caminha pelas faces laterais, dando uma volta completa no bloco, até atingir o vértice C.
figura 2
figura 1
C
C
8 dm
P
x
A
A
4 dm
a) Calcule a distância percorrida pela formiga, sabendo que ela andou o mínimo possível nessa trajetória. (2,5 pontos)
b) Uma segunda formiga, à procura da primeira, pois agora se sabe aquela era uma fugitiva, também acessa o bloco
pelo vértice A e, em linha reta, vai até o ponto P da aresta consecutiva, como mostra a figura 2. Nesse instante ela está
a uma distância x do chão. Então, decidida, ela segue para o vértice C completando a volta em torno do bloco. Calcule
x, sabendo que a segunda formiga andou ao todo 18 dm pelas faces laterais e que do ponto P ao ponto C ela andou o
mínimo possível na trajetória que escolheu. (2,5 pontos)
COMENTÁRIO:
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Respondendo ...
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MATEMÁTICA
RESOLUÇÃO ESPERADA
a) Planificamos a superfície lateral do prisma. Para que a formiga ande o mínimo possível de A até C, ela deve seguir
a linha reta que liga A a C. A distância percorrida é calculada pelo teorema de Pitágoras
C
AC2 = 162 + 82
8
AC = 320
∴ AC = 8 5
4
4
A
4
4
b) Novamente planificamos a superfície lateral do prisma. Como de P a C a formiga andou o mínimo possível, a
trajetória percorrida nesse trecho é o segmento de reta PC.
C
(8 – x)
P
x
D
4
4
4
4
Temos então:
AP + PC = 18 → x 2 + 42 +
(8 − x )2 + 122
= 18 → 64 − 16x + x2 + 144 = 18 − x2 + 16
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:
x 2 − 16 x + 208 = 324 − 36 x 2 + 16 + x 2 + 16 → 36 x 2 + 16 = 16 x + 132
∴ 9 x 2 + 16 = 4 x + 33
Elevando novamente os membros ao quadrado, teremos:
81 (x2 + 16) = 16x2 + 264 + 1089
Esta equação se transforma em:
65x2 – 264x + 207 = 0
Suas raízes são x = 3 e x =
Resposta
69
65
a) A distância percorrida foi de 8 5 dm.
b) x = 3 ou x =
69
65
A