Modellus
Atividade 3 – Queda livre.
Do alto de duas torres, uma na Terra e outra na Lua, deixaram-se cair duas pedras, sem velocidade
inicial. Considerando que cada uma das pedras leva 3,0s atingir o solo desprezando-se a resistência do
ar, calcule:
a) A altura de cada uma das torres.
b) A velocidade com que cada uma das pedras atinge o solo.
c) O instante em que cada uma das pedras se encontra a igual distância do alto da torre e do solo.
Considerar:
gT=9,8 m/s2
e
gL=1,67 m/s2
Resolução.
1. Criando o modelo que descreve o movimento.
A equação da posição em função do tempo t do MRUV - movimento retilíneo uniformemente variado é:
Y = Yo + Vo.t - ½.a.t 2
sendo Yo a coordenada inicial da partícula segundo o eixo dos Y, e Vo a componente escalar da
velocidade inicial e a a componente escalar da aceleração, segundo o mesmo eixo.
A equação da velocidade é dada por V = Vo - a.t
Escreva na janela Modelo em linhas diferentes as equações do movimento.
2. Interpretando o modelo.
Dê um clique no botão Interpretar.
O botão Interpretar faz com que o programa Modellus verifique se não há qualquer erro e possa efetuar
os cálculos.
(Nota: é necessário re-interpretar sempre que se alterar o modelo.)
Logo após clicar no botão interpretar, caso as equações estejam corretas, a janela de Condições iniciais
identifica os parâmetros do modelo.
Veja a figura abaixo:
Vamos considerar 2 casos:
- o caso Terra
- o caso Lua
Considerando o caso Terra inicialmente, adotemos então g = 9.8. Basta digitar esse valor na janela de
condições iniciais no campo correspondente.
3. Configurando a janela de Controle.
Dê um clique no botão Opções... da janela Controle. Estabeleça os seguintes valores para os
parâmetros. Veja a figura.
- A variável independente t irá variar de 01. em 0.1 de 0 até 3 (o tempo de queda)
4. Criando a janela de animação.
- No menu Janela escolha a opção Nova Animação
- insira uma partícula na janela
- configure as propriedades conforme da partícula conforme a figura abaixo:
- insira o seguinte texto na janela de animação: "Queda da pedra na torre da Terra".
5. Execute a simulação
Após a execução da animação você poderá observar uma figura semelhante a que está ilustrada
abaixo, veja:
6. Adicionando um vetor na janela de animação.
- Vamos adicionar um vetor a pedra. O vetor estará representando a velocidade resultante da pedra.
Coloque o vetor sobre a partícula que está representando a pedra e responda afirmativamente a
pergunta de ligar o vetor a partícula.
- Observe que a grandeza associada ao vetor é V. (velocidade). Ele nos ajudará a responder a questão
sobre a velocidade com a pedra atinge o solo.
- Preencha os valores da caixa de diálogo do vetor de acordo com a figura abaixo:
7. Adicionando um medidor digital na janela de animação.
- Vamos adicionar um medidor digital a pedra. Ele nos fornecerá a medida do "espaço percorrido"
pela pedra durante a queda. Em outras palavras, não considerando o sinal do valor, ele será uma
medida da altura da torre.
- Coloque o medidor digital sobre a partícula que está representando a pedra e responda
afirmativamente a pergunta de ligar o medidor a partícula. Observe que a grandeza associada ao
medidor é Y. (distância percorrida)
Veja a figura abaixo:
8. Execute a animação novamente.
A janela de animação deverá estar similar a figura abaixo. Confira !
Assim, a partir dos valores gerados acima podemos concluir que, em valores absolutos (módulo):
- a altura da torre da Terra é de 44.10m e
- a velocidade com que a pedra atinge o solo é de 29.40 m/s.
confira com os seus cálculos !
Agora, e quanto a questão da letra c, a saber, o instante em que a pedra se encontra a igual distância do
alto da torre e do solo ??
9. Adicionando mais um caso. (a queda na Lua)
No menu principal na opção Caso selecione Adicionar. A janela Condições iniciais será apresentada
e uma grade denominada caso 2 será apresentada com os parâmetros da simulação. Altere o valor
do parâmetro g (aceleração da gravidade) para o valor da mesma na Lua, segundo apresentado pelo
2
exercício, g = 1.67(m/s ).
Veja a figura abaixo:
10. Execute a simulação novamente
Observe que agora há dois casos na janela de animação. Veja a figura abaixo, no qual apresentamos os
valores para a simulação de queda livre na lua.
Assim, a partir dos valores gerados acima podemos concluir que, em valores absolutos (módulo):
- a altura da torre da Lua é de 7.51 m e
- a velocidade com que a pedra atinge o solo é de 5.01 m/s.
confira com os seus cálculos !
Agora, e quanto a questão da letra c, a saber, o instante em que a pedra se encontra a igual distância do
alto da torre e do solo ??
11. Adequando o texto.
Observe que, embora a figura acima esteja tratando da queda da pedra que ocorreu na Lua, o texto
originalmente digitado apresenta como se a queda estivesse na torre da Terra. Com o segundo botão
do mouse dê um clique sobre o texto. A caixa de diálogo será apresentada. Altere os dados conforme
a figura abaixo: Quando concluir dê um clique no botão OK.
12. Sugestão para o cálculo da letra c.
Observemos que, a posição da pedra em queda livre em qualquer instante t é dada pela seguinte
expressão:
Y = Yo + Vo.t - ½.a.t 2
quando o tempo transcorrido for de 3s então a pedra terá atingido o solo. Assim, a distância total
percorrida pela pedra e que coincide com a altura da torre pode ser calculada substituindo-se o tempo t
na expressão acima pelo valor 3. Desse modo, a distância que ainda falta para a pedra percorrer para
atingir o solo (distância do solo à pedra) pode ser dada pela seguinte expressão:
a percorrer = total - percorrido
utilizando as nossas variáveis e substituindo t por 3 (tempo total de queda), temos:
a percorrer = [Yo + Vo.3 - ½.a.32] - [Yo + Vo.t - ½.a.t 2]
Yo=0, origem dos eixos.
Vo=0, pois a pedra parte do repouso.
assim,
a percorrer = [- ½.a.3 2] - [- ½.a.t 2]
como estamos nos referindo a distâncias, os valores devem ser tomados em módulo, isto é, o importante
é a diferença entre eles e não o seu sinal, desse modo:
a percorrer = [½.a.3 2] - [½.a.t 2]
A expressão acima nos dá a distância da pedra ao solo em função do tempo t de queda. A sugestão
então é, incluir esse novo parâmetro no modelo e reinterpretar a simulação. No momento em que a
distância a percorrer for igual a distância percorrida teremos o tempo procurado.
A distância percorrida é o próprio parâmetro Y já definido no modelo (considerado em valor absoluto),
desse modo, precisamos incluir esses dois novos parâmetros. Adicionando então essas novas variáveis
ao modelo ficamos com:
13. Reinterpretando o modelo.
- Dê um clique no botão interpretar.
14. Adicionando um novo gráfico.
- No menu principal escolha a opção Janela / Novo Gráfico. Após o novo gráfico a janela do novo
gráfico se abrir, selecione os parâmetros a_percorrer e percorrido, ambos em função do tempo t.
Dê um clique no botão ajustar e confira abaixo: (execute a simulação novamente)
O ponto de intersecção acima é o ponto procurado. Calcule e verifique !