Mecânica dos Materiais
Flexão de Vigas
5
Tradução e adaptação: Victor Franco
Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.
Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.
Introdução
• Vigas – elementos estruturais que suportam
forças transversais
• As forças transversais podem ser concentradas
ou distribuídas
• As forças aplicadas dão origem a forças internas
que consistem em:
• Força de corte: Esforço transverso V
• Momento flector M
5-2
Introdução
Vigas estaticamente determinadas e
estaticamente indeterminadas
5-3
Diagramas de Esforço Transverso e Momento Flector
• Para a determinação das tensões normais e
de corte, máximas, é necessário identificar
os locais onde ocorrem o momento flector
máximo e o esforço transverso máximo.
• Convenções para os esforços
transversos V e V’ e momentos
flectores M e M’
5-4
Convenção de sinais do Esforço Transverso e
do Momento Flector (resumo)
Convenção de sinais para
o Momento Flector M
e para o Esforço
Transverso V
positivo
negativo
Forças transversais
Momentos flectores
5-5
Exemplo 5.1
Para a viga e carregamentos ilustrados,
desenhar o diagrama de esforço transverso e
momentos flectores e determinar a tensão
normal máxima devido a flexão.
5-6
Exemplo 5.1 (cont.)
• Equilíbrio global:
F
x
y
 0;
M
B
 0  RB  46 kN RD  14 kN
• Seccionar a viga, imediatamente à esquerda ou
à direita das forças concentradas e, aplicar as
equações de equilibrio aos corpos livres
individuais:
F  0
M  0
y
1
F  0
M  0
y
2
 20 kN  V1  0
20 kN  x  M 1  0,
 20 kN  V2  0
20 kN  x  M 2  0,
V3  26 kN,
V1  20 kN
x  0  M 1  M Adir  0
V2  20 kN
x  2.5  M 2  M Besq  50 kN  m
x  2.5  M 3  M Bdir  50 kN  m
V4  26 kN, x  5.5  M 4  M Cesq  28 kN  m
V5  14 kN, x  5.5  M 5  M Cdir  28 kN  m
V6  14 kN,
x  7.5  M 6  M esq  0
5-7
Exemplo 5.1 (cont.)
• Identificar o esforço tranverso
máximo e o momento flector máximo:
Vmax  26 kN M max  M B  50 kN  m
• Calcular a tensão normal máxima:
S  16 b h 2 
1
6
0.080 m 0.250 m 2
 833.33  10 6 m 3
 max 
MB
S

50  10 3 N  m
833.33  10 6 m 3
 max  60.0 106 Pa
5-8
Relações entre Forças, Esforço transverso e Momento Flector
• Relação entre a força distribuída e o
esforço transverso:
 Fy  0 : V  V  V   w x  0
V   w x
dV
 w
dx
xD
VD  VC    w dx
xC
• Relação entre esforço transverso e
momento flector:

M C  0 :
M  M   M  V x  wx x  0
M  (V  w x)x
1
2
2
dM
V
dx
xD
M D  MC 
 V dx
xC
5-9
Exemplo 5.5
Desenhar os diagramas de esforço
transverso e momento flector para
a viga representada.
5 - 10
Exemplo 5.5 (cont.)
• Equilibrio global da viga para calcular as
reacções em C:
 Fy  0   12 w0a  RC
a

 M C  0  12 w0a L    M C
3

RC  12 w0 a
a

M C   12 w0 a L  
3

• Aplicar a relação entre esforço transverso e a
força distribuída e desenhar o diagrama de
esforço transverso:
a
 
x
x 

VB  VA    w0 1   dx    w0  x  
2a  0
 a
0
 
a
2
VB   12 w0a    area abaixo da curva w
O resultado em C é compatível com o
equilibrio global.
5 - 11
Exemplo 5.5 (cont.)
• Aplicar a relação entre o momento flector e o
esforço transverso e desenhar o diagrama de
momento flector:
a
a
2 


 x 2 x3 
x
M B  M A     w0  x    dx   w0   

 2 6a 

2a  

0


 0
M B   13 w0 a 2
L


M B  M C    12 w0 a dx   12 w0 aL  a 
a
a w0 
a
M C   16 w0 a3L  a  
L 
2 
3
O resultado em C é compatível com o
equilibrio global.
5 - 12
5 - 13
5 - 14
5 - 15
5 - 16
5 - 17
5 - 18
5 - 19
5 - 20
5 - 21
5 - 22
5 - 23
5 - 24
Exemplo 5.4
5 - 25
Projecto de Vigas em Flexão
• Calcular a tensão normal máxima que ocorre onde o
momento flector é máximo:
 max 
M
max
c
I

M
max
Wf
• A tensão normal máxima não deverá ultrapassar a tensão
admissível para o material em causa:
 max   adm
W f min 
M
max
 adm
• Escolher o perfil cuja secção garanta o módulo de
resistência à flexão superior ou igual a W f
.
min
5 - 26
Exemplo 5.8
Uma viga em aço simplesmente
apoiada suporta os carregamentos
ilustrados. Sabendo que a tensão
admissível para o material é 160 MPa
seleccionar o perfil HEB que deverá ser
usado em segurança.
/m
5 - 27
Exemplo 5.8 (cont.)
• Reacções em A e D:
 M A  0  D5 m   60 kN 1.5 m   50 kN 4 m 
D  58.0 kN
 Fy  0  Ay  58.0 kN  60 kN  50 kN
Ay  52.0 kN
• Diagrama de esforço transverso:
V A  Ay  52.0 kN
VB  8 kN
VD  58 kN
• O momento flector máximo ocorre
onde V = 0 ou x = 2.6 m.
M max  area abaixo curva V , A  E 
 67.6 kN.m
5 - 28
Exemplo 5.8 (cont.)
• Determinar o módulo de resistência à flexão
mínimo:
W f min 
M
max
adm

67.6 kN  m
160 M Pa
 422.5  106 m3  422.5  103 mm 3
• Escolha do perfil HEB: HEB-180
5 - 29
5 - 30
5 - 31
Tensões de corte devidas ao esforço transverso
5 - 32
Tensões de corte devidas ao esforço transverso
5 - 33
Tensões de corte devidas ao esforço transverso
Tensão de corte:
VQ


It

1  h 2
2
V
y b

2  4

 1
3
 bh  b
 12


6 V  h 2
2

y
3  4

bh 

Para a secção rectangular, a
tensão de corte máxima ocorre
em y=0:
1º momento de área:


1h
1  h 2
  h

2
Q  y ' A'   y    y     y  b 
y b


2
2
2
2
4








 max 
6V h 2
4 b h3

3V
3V

2b h 2 A
5 - 34
5 - 35
5 - 36
Secções normalizadas: IPE, HEA, HEB, etc.
Banzos
Alma
5 - 37

VQ
It
5 - 38
5 - 39
5 - 40
5 - 41
5 - 42