&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR42
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
[[ [ } é uma EDVH do espaço vectorial
3[[] dos SROLQyPLRVGHFRHILFLHQWHVUHDLVHGHJUDXDWp.
Mostremos que o conjunto {
3[[]
{ S[ D D[ D[ D[ DL  ¸ }
Representamos por 3[[] o SROLQyPLRQXOR, o YHFWRUQXOR deste espaço,
3[[]
[[ [
L Mostremos que os vectores [[ [ são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV.
±¸
Procuremos escalares DEFG
tais que,
D E[F[ G[
3[[]
sendo 3[[] o polinómio LGHQWLFDPHQWHQXOR,
é evidente que esta igualdade só pode verificar-se
para WRGRRYDORU de [
Os vectores [[
± ¸,
se
D E F G .
[ são portanto OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV.
LL Mostremos que os vectores [[ [ são JHUDGRUHVGH 3[[].
Como qualquer vector (polinómio) deste espaço tem a forma,
S[ D D[ D[ D[
obviamente H[LVWHPRVHVFDODUHV
D D D D  ¸
que permitem escrever S[ como FRPELQDomROLQHDU de [[
Portanto o conjunto {
[.
[[ [ } é uma EDVH do espaço vectorial 3[[].
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR43
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSRVLomR: Seja
(
um espaço vectorial sobre £ e Y
Y YN ∈ (
um conjunto de vectores tal que, para DOJXP L
YL
é uma FRPELQDomROLQHDUGRVUHVWDQWHV.
± {N} ,
Então, VmRLJXDLVRVVXEHVSDoRV,
ÄY Y YL , YL , YL , ..., YNÔ
= ÄY Y YL , YL , ..., YNÔ
x
x
Este resultado é útil para a FRQVWUXomRGHXPDEDVH de um espaço vectorial
finitamente gerado.
Por exemplo, se soubermos que,
YHULILTXH
¸2 = Ä Ô
como XP GRVYHFWRUHVpDVRPDGRVUHVWDQWHV,
pela SURSRVLomRDQWHULRU, ficamos também a saber que,
ou seja, os vectores e
YHULILTXHWDPEpP
¸2 = Ä Ô
JHUDP ¸2.
Por outro lado, como os vectores e
são também
OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV, ficamos ainda a saber que,
o conjunto {
}
p XPDEDVH de ¸ .
2
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR44
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSRVLomR:
Todo o espaço vectorial ILQLWDPHQWHJHUDGRWHPEDVH.
'HPRQVWUDomR: Seja ( um espaço vectorial finitamente gerado.
( { ( } a base é o FRQMXQWRYD]LR.
No caso particular de
Analisemos o caso geral:
Se
( z { ( } é um espaço vectorial ILQLWDPHQWHJHUDGR,
então existe um FRQMXQWRILQLWR
X X XQ ∈ (
de vectores, tais que,
(
ÄX X XQÔ
e como ( z { ( }, algum desses vectores deverá ser
diferente do vector nulo.
Se os vectores X
X XQ
forem OLQHDUPHQWH
LQGHSHQGHQWHV, então formam uma EDVH de (.
Caso contrário são OLQHDUPHQWHGHSHQGHQWHV e, pela
proposição da página 26, pelo menos XPGHOHVpFRPELQDomR
OLQHDUGRVUHVWDQWHV.
SejaXL esse vector. Então, pela propriedade da página 43, os
UHVWDQWHVYHFWRUHVJHUDPRPHVPRHVSDoR, ou seja,
( Ä X X XL XL XQ Ô
Ora se os vectores X
X XL XL XQ forem
OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV, então formam uma EDVH de (.
Caso contrário repete-se o procedimento anterior.
Então, como o Q~PHURGHJHUDGRUHVpILQLWR (e pelo menos
um deles não é nulo) este processo acabará por encontrar um
VXEFRQMXQWR de { X X XQ } formado por vectores que
são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV e que JHUDP (, ou seja, uma
EDVH de (.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR45
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Seja ( um espaço vectorial sobre £. Qualquer conjunto
x
3RUWDQWR:
x
O exemplo seguinte mostra FRPR FRQVWUXLUXPDEDVH de um espaço vectorial
finitamente gerado, a partir de um FRQMXQWRILQLWRGHJHUDGRUHV.
x
finito de geradores WHPFRPRVXEFRQMXQWRXPDEDVH de (.
Por exemplo, sabendo que,
¸3 = Ä ±±Ô
YHULILTXH
pretendemos descobrir uma EDVHFRQWLGDQRFRQMXQWR,
6
{ ±± }
Comecemos por verificar se os vectores são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV.
Sejam então D,
E, J, G ∈ ¸
tais que,
D E ±J G ± e desta igualdade obtemos o VLVWHPD,
E J G
DJ±G
que tem por PDWUL]DPSOLDGD,
D ± E J G
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR46
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
e que escalonando,
donde obtemos,
D
E
J
G
G
±G
Então este sistema admite VROXo}HVQmRQXODV,
como por exemplo,
D
E
G
J
±
e portanto os vectores são OLQHDUPHQWHGHSHQGHQWHV.
Logo, XP GHOHV pode escrever-se como FRPELQDomROLQHDUGRVUHVWDQWHV.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR47
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
A partir da VROXomRQmRQXOD considerada:
±±± podemos escrever um deles como combinação linear dos restantes,
como por exemplo,
± ±±±
E pela proposição na página 43,
¸3 = Ä ±±Ô
se
então
¸3 = Ä ±Ô
Vejamos então se estes três vectores são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV.
Sejam D,
E, J ∈ ¸
tais que,
D E ±J DJ
e desta igualdade obtemos o VLVWHPD,
EJ
D±EJ
que tem como VROXomR~QLFD,
D
E
J
Portanto os vectores são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV e,
)
p XPDEDVHde ¸ .
{ ±}
3
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR48
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Um espaço vectorial pode ter YiULDVEDVHV. Por exemplo em ¸ ,
2
O conjunto de vectores
{ }
é XPDEDVH
porque são linearmente independentes e geram o espaço,
pois todo o vector [\ pode ser escrito como,
[\ \±[[±\
Mas também os vectores
formam XPDEDVH,
H
H
pois são linearmente independentes
e todo o vector [\ pode obviamente ser escrito como,
[\ [\
Esta é chamada a EDVHFDQyQLFD de ¸ .
2
x
Para cada base, a cada vector [\corresponde uma FRPELQDomROLQHDU
~QLFD, ou UHSUHVHQWDomRnessa base.
Por exemplo o vector ,
na base {
na base {
x
} escreve-se } escreve-se Aos escalares dessas combinações lineares chamam-se FRRUGHQDGDVGR
YHFWRU nessa base.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR49
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
± ´, a EDVHFDQyQLFD ou EDVHSDGUmR do espaço vectorial ¸n é
formada pelos Q vectores,
Para todo o Q
H
H
HQ HQ
É simples verificar que são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV e que JHUDPRHVSDoR
n
vectorial ¸ .
A EDVHFDQyQLFD de ¸ é uma EDVHRUGHQDGD e escreve-se,
n
)¸n
x
H H HQ
O termo EDVHRUGHQDGD significa que a RUGHPGDVFRRUGHQDGDV é importante.
Por exemplo em ¸ , o vector tem as coordenadas e na base
2
canónica, enquanto que na base seria o vector .
x
Outras bases podem ser consideradas para o espaço vectorial ¸ ,
n
Por exemplo verifique que para,
Y
Y
YQ Y Y YQ
YQ
é também uma EDVH de ¸ .
n
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR50
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSRVLomR:
x
Ao Q~PHURGHYHFWRUHVGHTXDOTXHUEDVH de um espaço vectorial( chama-se
GLPHQVmRGH
Todas as bases de um espaço vectorial têm R PHVPR
Q~PHURGHHOHPHQWRV.
( e representa-se por GLP (.
,
x
Por exemplo em ¸ , consideremos uma recta que passa pela origem \
ou seja, o VXEHVSDoRYHFWRULDO definido por,
3
GLP ¸
Q.
Naturalmente que GLP ¸
2
GLP ¸
, ... ,
x
n
2
)
P[
{ [\ ± ¸2 : \ P[ }
{ [P[ ± ¸2 }
Qual a GLPHQVmR de ) ?
Visto que
[P[ [P
para qualquer [
então o vector P JHUD ), ou seja,
± ¸,
) = Ä PÔ.
Por outro lado como Pz , então é OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWH.
Portanto
x
) P é uma base de )
e então GLP )
.
Para o espaço vectorial 3Q[[] dos polinómios de grau até Q,
a EDVHFDQyQLFD é formada por (
[[ [Q ).
Mostre que se trata de uma base e portanto GLP
3Q[[]
Q.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR51
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Consideremos por exemplo o VXEHVSDoR de ¸ definido por,
3
$
{ [\] ± ¸3 : [ }
Qual será a GLPHQVmR de $ ?
Como todo o vector Y
±$
então podemos escrever,
tem a forma,
Y \]
Y \]
ou seja, todo o vector de $ se escreve como FRPELQDomROLQHDU
de e .
Também é simples verificar que são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV.
Formam então uma EDVH de $ e portanto GLP $
,
o que seria de esperar, visto $ ser um SODQR no espaço ¸ .
3
x
No espaço vectorial 3Q[[] dos polinómios de grau até Q, com Q
t ,
consideremos o conjunto dos polinómios com WHUPRLQGHSHQGHQWHQXOR,
ou seja,
*
{ S[ ± 3Q[[] : S }
Mostremos que *
GLPHQVmR.
d 3Q[[], ou seja, que p VXEHVSDoR e determinemos a sua
* é subespaço de 3Q[[] pois,
L
o SROLQyPLR QXOR 3Q[[]
[[Q ± *
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR52
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
LL
S[, T[∈ * Á ST[∈ *
pois se
então
LLL
S T e
ST ST D ∈ ¸, S[∈ * Á D S[∈ *
pois se
então
S D S D S D E assim mostrámos que *
d 3Q[[].
Para encontrarXPDEDVH de *,
basta verificar que todo o
S[ ∈ *
tem a forma,
S[ D D[ D[ DQ[Q ,
D[ D[ DQ[Q
ou seja, uma FRPELQDomROLQHDU dos vectores
Portanto o conjunto de vectores {
comD
e DL  ¸
[[[Q.
[[[Q } JHUD *.
Por outro lado, o conjunto de vectores {
[[[Q }, sendo um VXEFRQMXQWR
GDEDVHFDQyQLFD de 3Q[[], é também um conjunto de YHFWRUHVOLQHDUPHQWH
LQGHSHQGHQWHV.
[Q) p XPDEDVH de *
E assim mostrámos que ([[
e portanto GLP*
Q.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR53
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
No espaço vectorial 0l(¸) a EDVH FDQyQLFD é formada por,
Verifique que (
( ( ( () é efectivamente uma base de 0l(¸)
e portanto que GLP 0l(¸)
x
No espaço vectorial 0l(¸) a EDVH FDQyQLFD é formada por,
e portanto GLP 0l(¸)
x
.
.
Generalizando, no espaço vectorial 0PlQ(¸) a EDVHFDQyQLFD é formada
pelo conjunto ordenado de matrizes,
( %LML PM Q )
onde %LM é a matriz do tipo PlQ cujo único elemento não nulo é ELM
Como o conjunto tem PlQ elementos, GLP 0PlQ(¸)
.
PlQ.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR54
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSRVLomR:
Seja
(
um espaço vectorial sobre £ tal que GLP (
Q.
Então:
L Quaisquer Q vectores de ( linearmente independentes
formam uma base de (
LL Qualquer conjunto de geradores de ( com Q elementos
forma uma base de (
LLL Qualquer conjunto de vectores de ( com mais de Q
elementos é linearmente dependente.
x
Assim, num espaço vectorial de GLPHQVmR Q,
Q é o número Pi[LPR de vectoresOLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV
Q é o número PtQLPR de JHUDGRUHVGRHVSDoR.
Portanto, SDUDGHWHUPLQDUVH um dado conjunto de Q vectores p XPDEDVH,
basta YHULILFDUDSHQDVXPD das duas condições:
se são linearmente independentes
ou se geram o espaço
x
Por exemplo, mostremos que o conjunto,
3
p XPDEDVH do espaço vectorial¸ ,
Como se trata de um conjunto de vectores e GLP ¸
basta verificar se são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV.
3
,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR55
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Consideremos então os escalares
D, E , J ∈ ¸
tais que,
D E J igualdade que conduz à resolução do sistema,
x
D
que tem por solução única,
E
J
DE
EJ
DJ
Então os três vectores são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV e portanto IRUPDP
3
XPDEDVH de ¸ .
3
No espaço vectorial¸ , considere o subconjunto,
6
{ [\] ± ¸3 : [ ±\] }
D Verifique que 6 d ¸
3
E Determine um FRQMXQWRGHJHUDGRUHV de 6 e verifique se esse conjunto é
formado por vectores OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV
F Calcule a GLPHQVmR de 6
D 6 é um VXEHVSDoR de ¸ pois,
3
L
 6
LLL
o produto de um escalar por um vector de 6 pertence a 6
LL
a soma de dois vectores de 6 pertence a 6
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR56
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
E Para determinar um FRQMXQWRGHJHUDGRUHV de 6
notemos que,
6
{ [\] ± ¸3 : [ ±\] }
{ \±]\] , \]± ¸ }
{ \ ]± \]± ¸ }
Ä ±Ô
ou seja, os vectores e
±JHUDP6.
Verifiquemos se são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV.
Para os escalares
D, E ∈ ¸
tais que,
D E ±
D ± E
donde obtemos o sistema,
cuja solução única é D
D
E
E
e assim mostrámos que os dois vectores são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV.
F Portanto, se ± p XPDEDVH de 6,
podemos concluir que GLP 6
.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR57
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3UREOHPD:
Determine a GLPHQVmRGRVXEHVSDoR : de ¸ JHUDGRSRU,
4
{ ±±±}
ou seja, calcule GLP
:
:
tal que,
Ä ±±±Ô
Comecemos por chamar,
Y
±
Y
±
Y
±
Para saber a GLPHQVmR do subespaço, precisamos identificar XPD
EDVH.
Como sabemos que os vectores Y, Y e Y JHUDP :, resta
verificar se são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV.
Mas analisando as componentes, notamos que,
Y
Y ± Y
ou seja, Y é uma FRPELQDomROLQHDUGRVUHVWDQWHV.
Então, pela propriedade na página 43, os UHVWDQWHVYHFWRUHV
ainda JHUDPRPHVPRVXEHVSDoR :.
Resta verificar se Y e Y são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV.
Construindo a combinação linear nula,
ou
D Y EY
D ± E± BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR58
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
± DE obtemos o sistema,
D DE ±E que só tem a VROXomRQXOD
D E .
Então Y e Y JHUDP : e são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV e
portanto IRUPDPXPDEDVH de :.
Consequentemente a resposta é GLP :
E se não tivéssemos observado que,
Y
Y ± Y
.
"
Esta relação deveria surgir do processo habitual para verificar se
os vectores Y, Y e Y são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV.
Construindo a combinação linear nula,
ou
D Y EY FY
D ± E±
F± e resolvendo o sistema resultante, GHGX]D DUHODomR,
Y
Y ± Y
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR59
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSRVLomR:
Seja
(
e seja
um espaço vectorial sobre £ de dimensãoQ
)
H H HQ uma EDVH de (.
Então, qualquer vector [
± ( se HVFUHYHGHIRUPD~QLFD
como combinação linear dos vectores da base ),
ou seja, existem HVFDODUHV~QLFRV
tais que,
'HPRQVWUDomR: Se
[
D, D, ..., DQ ± £
D H D H DQ HQ
H H HQ é uma EDVH,
)
então JHUDRHVSDoR e qualquer vector
[±(
se escreve
como uma combinação linear dos seus elementos,
ou seja, existem D, D, ...,
[
DQ ± £
tais que,
D H D H DQ HQ
Para provar que esta FRPELQDomROLQHDUp~QLFD,
suponhamos que existiam também,
tais que,
[
E, E, ..., EQ ± £
E H E H EQ HQ
Então nesse caso teríamos duas combinações,
[
[
D H D H DQ HQ
E H E H EQ HQ
mas subtraindo,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR60
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
obtemos,
D ± E H D ± E H DQ ± EQ HQ
Ora sendo os H
H HQ
(
vectores da EDVH, isso significa que
são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV e portanto esta igualdade,
só pode ocorrer se,
D ± E
ou,
DL
EL
D ± E
DQ ± EQ
para todo o L Q
As GXDV combinações lineares que considerámos são portanto LJXDLV.
E assim podemos concluir que H[LVWHXPD~QLFDIRUPD
de escrever [ como FRPELQDomROLQHDUGRVYHFWRUHVGDEDVH.
x
Portanto, num espaço vectorial ( finitamente gerado de dimensão Q,
com uma EDVH )
H H HQ,
SDUDTXDOTXHUYHFWRU [
existem Q escalares XQLYRFDPHQWHGHWHUPLQDGRV O
[
Ao n-uplo (O
O H O H OQ HQ
±(
O OQ
tais que,
O OQ ) chamamos,
FRRUGHQDGDV ou FRPSRQHQWHV de [ QDEDVH ou UHODWLYDPHQWHjEDVH
e escrevemos,
[ (O O OQ ))
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR61
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
De um modo geral, quando indicamos o vector [
assumimos que [
[ [Q
ou seja que,
[ [ [Q
Por exemplo, o vector [\
[ [Q ± ¸n
são DVFRRUGHQDGDVQDEDVHFDQyQLFD de ¸
n
[ [ [Q)¸n
± ¸2 indica que,
[\ [\
x
Sabendo que
± é uma EDVH de ¸2,
)
determinemos a H[SUHVVmRJHUDOGDVFRRUGHQDGDV
de qualquer vector [\
± ¸2 QDEDVH ).
Procuremos então os valores únicos dos escalares
D E ±
D E
ou seja tais que,
D±E
[\
D, E ∈ ¸
tais que,
[
\
Construindo a matriz ampliada e escalonando,
donde,
E
D
[±\
[\
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR62
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
E assim obtivemos, para H[SUHVVmRJHUDOGDVFRRUGHQDGDV
de qualquer vector [\
± ¸2
QDEDVH )
±,
Note que, a partir dos valores das FRRUGHQDGDV [ e \ de qualquer vector QD
EDVHFDQyQLFD, esta expressão permite obter os valores das FRRUGHQDGDV
desse vectorQDQRYDEDVH ).
x
No espaço vectorial ¸ consideremos a EDVH,
4
)
Determine as FRRUGHQDGDV de [
±relativamente à base ).
Procuremos então os escalares D, E, F, G ±
¸
tais que,
± DE
FG
ou seja,
D F ±
F ±
E E D E G D G e portanto,
± ±)
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR63
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
,QWHUVHFomR GH 6XEHVSDoRV
x
Sejam ( um espaço vectorial sobre
Chama-se LQWHUVHFomRGRVVXEHVSDoRV ) e * e representa-se por )
ao VXEFRQMXQWR de
(
{ X ± ( : X ± ) ¼ X ± * }
3URSRVLomR: Seja ( um espaço vectorial sobre
vectoriais de (.
Então a LQWHUVHFomR )
'HPRQVWUDomR: L
« *,
definido por,
)«*
x
£, e ) e * VXEHVSDoRVYHFWRULDLV de (.
Se
«*
£
e sejam ) e * subespaços
p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO de (.
) e * são subespaços vectoriais de (,
então
( ± )
Portanto
e
( ± *.
( ± ) « *
LL Sejam X e Y ± ) « *
Por definição de LQWHUVHFomR,
Á
X± ) « *
Á
Y± ) « *
X±)
Y±)
e
e
X± *
Y± *
mas como ) e * são VXEHVSDoRV vectoriais de (,
então
X Y ± )
pelo que
e
X Y ± *
X Y ± ) « *
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR64
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
LLL Sejam D ± £ e X ± ) « *
Por definição de LQWHUVHFomR,
X± ) « *
Á
X±)
e
X± *
mas como ) e * são VXEHVSDoRV vectoriais de (,
então
DX ± )
pelo que
x
e
DX ± *
DX ± ) « *
Por exemplo no espaço vectorial ¸ , sendo dados os VXEHVSDoRV vectoriais,
3
)
*
{ [\] ± ¸3 : [ \] }
Ä ±Ô
calculemos a sua LQWHUVHFomR )
« *.
Em primeiro lugar, é necessário LGHQWLILFDU *,
o subespaço cujos vectores são da forma,
[\] D E ±
ou seja, os YDORUHV de [, \ e
]
para os quais é SRVVtYHORVLVWHPD,
D±E
E
\
D E
[
]
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR65
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Construindo a matriz ampliada e escalonando,
concluímos que o sistema só é SRVVtYHO para
Está assim LGHQWLILFDGRRVXEHVSDoR *,
*
] ±[±\ .
{ [\] ± ¸3 : ] ±[±\ }
Podemos agora calcular a LQWHUVHFomR,
)«*
{ [\] ± ¸3 : [ \] ¼ ] ±[±\ }
o que conduz à resolução do sistema,
[\] ] ±[±\ [ ±\
] \
e finalmente temos,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR66
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Note que, em ¸ os subespaços ) e *
3
representam dois planos, pelo que a sua LQWHUVHFomR
) « * representa uma recta.
x
([HUFtFLR: No espaço vectorial ¸ , dados os subespaços vectoriais,
3
8
9
{ [\] ± ¸3 : [ \] }
Ä ±±Ô
determine uma EDVH de 8
« 9.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR67
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
5HXQLmR GH 6XEHVSDoRV
x
Sejam ( um espaço vectorial sobre
Chama-se UHXQLmRGRVVXEHVSDoRV ) e * e representa-se por )
ao VXEFRQMXQWR de
(
x
ª *,
definido por,
)ª*
x
£, e ) e * VXEHVSDoRVYHFWRULDLV de (.
{ X ± ( : X ± ) ½ X ± * }
Em geral, D UHXQLmR de dois subespaços vectoriais QmR p XPVXEHVSDoR
vectorial.
Como por exemplo, dados os GRLVVXEHVSDoRV vectoriais de ¸ ,
2
+
)
{ [\ ± ¸2 : [ }
{ [\ ± ¸2 : \ }
{ \ : \ ± ¸ }
{ [ : [ ± ¸ }
obviamente a sua reunião,
+ ª ) { [\ ± ¸2 : [ ½ \ }
QmRpXPVXEHVSDoR vectorial, pois QmR pIHFKDGRSDUDDDGLomR de vectores.
Basta verificar, por exemplo que,
± + ª )
± + ª )
² + ª )
x
É FRQGLomRQHFHVViULDHVXILFLHQWH para que a reunião de dois subespaços
vectoriais seja um subespaço vectorial, que XP HVWHMDFRQWLGRQRRXWUR.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR68
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSRVLomR:
Seja
(
um espaço vectorial sobre £
e sejam ) e
*
)ª*
Então
VHHVyVH
subespaços vectoriais de (.
p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO de (
)°*
RX *
° ).
'HPRQVWUDomR: ¿
Se
)°*
então
Se
) ª * *
que é um subespaço vectorial de (.
) ª * )
que é um subespaço vectorial de (.
*°)
então
Á
Suponhamos SRUDEVXUGR que,
)ª*
é um subespaço vectorial mas
Quer isto dizer que:
Ora se )
ª*
I ±)
J ±*
:
:
)p*
I ²*
e
* p ).
J²)
fosse um subespaço vectorial
então seria fechado para a adição, ou seja,
IJ ± ) ª *
então
isto é,
Mas nesse caso,
se
se
V ±)
V ±*
então
então
I J V ± ) ª *
V ±)
ou
V ±*
J V±I± )
I V±J± *
Sendo as duas situações impossíveis, concluímos que,
)°*
ou
* ° ).
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR69
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSRVLomR:
Seja
(
um espaço vectorial sobre £ de GLPHQVmR Q
e seja ) um VXEHVSDoR vectorial de (.
Então) tem GLPHQVmRILQLWD e GLP )
e além disso, se GLP )
x
Q então ) (.
Consideremos por exemplo o subespaço vectorial
)
dQ
)
Ä Ô
de ¸ ,
3
Como são três vectores linearmente independentes, então GLP)
e podemos portanto concluir que )
x
Por convenção, o VXEHVSDoRWULYLDOWHPGLPHQVmRQXOD, GLP{(}
e todo o subespaço vectorial
Portanto,
Å
¸3 .
GLP)
) QmRWULYLDO tem dimensão GLP)t .
¾ ) {(}
6RPD GH 6XEHVSDoRV
x
Sejam ( um espaço vectorial sobre
£, e ) e * VXEHVSDoRVYHFWRULDLV de (.
Chama-se VRPDGRVVXEHVSDoRV ) e * e representa-se por )
ao VXEFRQMXQWR de
(
+ *,
definido por,
) *
{ X Y: X ± ) ¼ Y ± * }
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR70
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSRVLomR:
Seja ( um espaço vectorial sobre
£
subespaços vectoriais de (.
) *
Então a VRPD
'HPRQVWUDomR: L
Se
)e*
então
p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO de (.
são subespaços vectoriais de (,
( ± )
Portanto
e sejam ) e * dois
(
e
( ± *.
( ( ± ) *
LL Sejam X e Y ± ) *
Por definição de VRPDGHVXEHVSDoRV,
X X X
Y Y Y
então,
com
com
X ± )
Y ± )
e
e
X ± *
Y ± *
X Y X X Y Y
X Y X Y
e portanto X
±)
±*
Y ± ) *
LLL Sejam D ± £ e X ± ) *
Por definição de VRPDGHVXEHVSDoRV,
X X X
então,
DX
com
e
X ± *
D X X
D X D X
±)
e portanto
X ± )
D X ± ) *
±*
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR71
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Para o exemplo anterior, dos GRLVVXEHVSDoRV vectoriais de ¸ ,
2
+
)
{ \ : \ ± ¸ }
{ [ : [ ± ¸ }
O VXEHVSDoRVRPD +
+ )
)
é dado por,
{ \[ : [ \ ± ¸ }
{ [\ : [ \ ± ¸ }
{ [\± ¸2 }
¸2
Note que os subespaços + e ) representam os eixos coordenados em ¸ .
2
Enquanto que a sua UHXQLmR não é um subespaço vectorial, a sua VRPD é o
2
próprio ¸ .
Por outro lado a sua LQWHUVHFomR é a origem, ou seja, o subespaço trivial {(}.
x
Ou por exemplo, dados os GRLVVXEHVSDoRV vectoriais de ¸ ,
3
)
*
{ ] : ] ± ¸ }
{ \ : \ ± ¸ }
O VXEHVSDoRVRPD )
) *
*
é dado por,
{ ]\ : \ ] ± ¸ }
{ \] : \ ] ± ¸ }
{ [\]± ¸3 : [ }
Neste caso, os subespaços representam dois eixos coordenados de ¸ e a sua
VRPD representa um plano.
3
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR72
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSRVLomR:
Seja ( um espaço vectorial sobre
subespaços vectoriais de (.
Então )
*
precisamos provar que:
Para qualquer X
e sejam ) e * dois
Ä ) ª * Ô.
'HPRQVWUDomR: Para provar a LJXDOGDGH,
L
£
) *
Ä)ª* Ô
Ä ) ª * Ô ° ) *
L
LL ) * ° Ä) ª * Ô
±Ä)ª* Ô
provemos que
X ± ) *
± Ä ) ª * Ô então escreve-se como uma FRPELQDomR
OLQHDUGHYHFWRUHV de ) ª *,
Ora se X
X D Y D Y DQ YQ
onde cada YL ,
YL ± ) ou YL ± *
Pela FRPXWDWLYLGDGHGDDGLomR de vectores, podemos sempre
ordenar a combinação linear de modo a,
X D Y D Y DN YN DNYNDQ YQ
onde
e como
)e*
Y Y YN ± )
YNYQ ± *
são VXEHVSDoRV vectoriais,
X D Y D Y DN YN DNYNDQ YQ
±)
±*
e portanto,
X ± ) *
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR73
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
LL Para qualquer X ± ) * provemos que X ± Ä ) ª * Ô
Ora se
X ± ) *
então
X X X
ou seja,
X±Ä)ª* Ô
com
X ± )
e
X ± *
e portanto X é uma FRPELQDomROLQHDUGHYHFWRUHV de )
x
ª*
Para o exemplo anterior, dos GRLVVXEHVSDoRV vectoriais de ¸ ,
2
+
)
{ \ : \ ± ¸ }
{ [ : [ ± ¸ }
tal como já calculámos,
e
+ª)
{ \ : \ ± ¸ } ª { [ : [ ± ¸ }
+ )
{ [\: [\ ± ¸ }
E efectivamente,
{ [\ ± ¸2 : [ ½ \ }
+ )
¸2
Ä+ª) Ô
pois WRGRRYHFWRU [\de ¸ pode ser escrito como uma FRPELQDomR
2
OLQHDU envolvendo vectores da forma [ e da forma \.
Em termos geométricos, RVGRLVHL[RVFRRUGHQDGRVJHUDP ¸ .
2
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR74
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSRVLomR: Seja
(
um espaço vectorial sobre £ e sejam ) e * GRLV
VXEHVSDoRV vectoriais de ( tais que,
) ÄX X XQÔ
* ÄY Y YNÔ
então,
) * ÄX X XQ Y Y YNÔ
'HPRQVWUDomR: L Para qualquer
provemos que
Ora se
[ ± ) *
[ ± ÄX X XQ Y Y YNÔ
[ ± ) *
[ ± )
então
[ [ [
mas se
[ ± )
então
[
ÄX X XQÔ
e se
[ ± *
ÄY Y YNÔ
então
[
e portanto,
[ [ [
ou seja,
com
e
[ ± *
D X D X DQ XQ
E Y E Y EN YN
D X D X DQ XQ
E Y E Y EN YN
[ ± ÄX X XQ Y Y YNÔ
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR75
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
LL Para qualquer
provemos que
Ora se
[ ± ÄX X XQ Y Y YNÔ
[ ± ) *
[ ± ÄX X XQ Y Y YNÔ
então,
[ D X D X DQ XQ E Y E Y EN YN
± ÄX X XQÔ
)
± ÄY Y YNÔ
*
e portanto,
[ ± ) *
x
Para o exemplo anterior em ¸ , em termos das respectivas EDVHVFDQyQLFDV
temos,
2
+
)
ou seja,
e portanto,
Ä Ô
Ä Ô
+ª)
+ )
Ä Ô ªÄ Ô
Ä+ª) Ô
Ä , Ô
¸2
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR76
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
No espaço vectorial ¸ , retomando o exemplo dos subespaços vectoriais,
3
)
*
{ [\] ± ¸3 : [ \] }
Ä ±Ô
Determinemos um FRQMXQWRGHJHUDGRUHVGH
) *.
Como já temos um conjunto de geradores para *, basta encontrar um conjunto
de geradores para ) e juntar.
{ [\] ± ¸3 : [ ±\±] }
)
{ ±\±]\] : \]± ¸ }
{ \ ±]± : \]± ¸ }
Ä ±, ±Ô
Assim temos,
)
*
Ä ±, ±Ô
Ä ±Ô
e portanto,
) *
Ä ±, ±±Ô
Resta saber TXDQWRV destes vectores VmROLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV, ou
seja, TXDODGLPHQVmRGHVWHHVSDoR...
x
No espaço vectorial ¸ , considere os subespaços vectoriais,
4
6
7
Determine 6
{ [\]Z ± ¸4 : [ ±\ ¼ [ \Z }
Ä Ô
7e indique uma sua EDVH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR77
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
2 7HRUHPD GDV 'LPHQV}HV
x
3URSRVLomR: Sejam ) e * dois subespaços vectoriais de um espaço
ILQLWDPHQWHJHUDGR.
Então,
GLP )*
GLP ) GLP * ± GLP )« *
$UJXPHQWDomR:
Se DOJXP dos subespaços for o VXEHVSDoRWULYLDO, por exemplo )
então,
) « * {(}
e
) * *
{(}
o resultado é óbvio pois teremos,
Como GLP {(}
GLP *
GLP * ± Analisemos o caso geral, em que nenhum dos subespaço é o trivial.
Por hipótese ) e * têm GLPHQVmRILQLWD e portanto o subespaço vectorial
)«*
também tem GLPHQVmRILQLWD.
Consideremos uma EDVHde )
))«*
Como os
« *,
H H HQ
H H HQ ± ) « * ° )
são linearmente independentes,
para obter uma EDVH ordenada de ), teremos de juntar PDLVYHFWRUHVGH ),
por forma a obter,
) Ä H H HQ , I I IS Ô
e de modo análogo para *,
* Ä H H HQ , J J JT Ô
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR78
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
e então, para o VXEHVSDoRVRPD,
) * Ä H H HQ , I I IS , J J JT Ô
3URYDVH que este conjunto de geradores p OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWH
e que portanto formam uma EDVH de )
Deste modo,
*.
GLP )« * Q
GLP ) Q S
GLP * Q T
GLP )* Q ST
Ou seja, o WHRUHPDGDVGLPHQV}HV garante-nos que,
GLP )*
x
Para o exemplo anterior, dos GRLVVXEHVSDoRV vectoriais de ¸ ,
2
+
)
obviamente que,
{ \ : \ ± ¸ }
{ [ : [ ± ¸ }
GLP +)
GLP ) GLP * ± GLP )« *
Ä Ô
Ä Ô
GLP + GLP ) ± GLP +« )
±
GLP¸2
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR79
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
No espaço vectorial ¸ , voltemos ao exemplo dos subespaços vectoriais,
3
)
*
{ [\] ± ¸3 : [ \] }
Ä ±Ô
Nas SiJLQDVH, calculámos a sua LQWHUVHFomR,
)«*
{ \ ±: \ ± ¸ }
{ ò \±: \ ± ¸ }
{ \¶±: \¶± ¸ }
Ä ± Ô
Como ±
œ ,
podemos concluir que GLP )«*
e que conhecemos uma EDVHRUGHQDGD,
))«*
±.
Na SiJLQD encontrámos um conjunto de JHUDGRUHV para ),
)
{ ±\±]\] : \]± ¸ }
{ \ ±]± : \]± ¸ }
Ä ±, ±Ô
Depois de verificar que estes dois vectores são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV,
podemos concluir que GLP )
e que conhecemos XPDEDVHRUGHQDGD de ),
))
±, ±.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR80
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Contudo, a partir de
))«*
±
é possível obter RXWUDVEDVHV de ).
Basta juntar a ±, um vector de ) que lhe seja LQGHSHQGHQWH.
Por exemplo ±
± ) não é da forma D±.
Deste modo obtivemos RXWUDEDVHRUGHQDGD de ),
))
±, ±.
Por outro lado, para o espaço vectorial *,
*
Ä ±Ô
como * está definido por GRLVJHUDGRUHV (e porque D GLPHQVmRpRQ~PHUR
PtQLPRGHJHUDGRUHV) então GLP *
d .
Também neste caso, a partir de ))«*
EDVHV de *.
± é possível obter
Basta juntar a ±, um vector de * que lhe seja LQGHSHQGHQWH.
± *, XP GRVJHUDGRUHVGDGRV, não é combinação
linear de ±, por não ser da forma D±.
Por exemplo Sendo e ±, dois vectores de * linearmente
independentes,(e porque D GLPHQVmRpRQ~PHURPi[LPRGHYHFWRUHV
OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV) então GLP *
Portanto GLP *
t .
.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR81
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Temos assim as EDVHVRUGHQDGDV,
±, ±
))
, ±.
)*
donde podemos obter uma EDVHRUGHQDGD para )
*,
))* ±, ±
e naturalmente que,
GLP )*
Å
GLP ) GLP * ± GLP )« *
±
6RPD 'LUHFWD
x
Sejam ( um espaço vectorial sobre
£, e ) e * VXEHVSDoRVYHFWRULDLV de (.
Diz-se que ) e * HVWmRHPVRPDGLUHFWD ou que D VRPD
se, para todo o X
tais que,
± ) * , existem
e
X [\
Nesse caso escreve-se
)¨*
XP HXPVy
XP HXPVy
em vez de
) + * p GLUHFWD
[±)
\± *
) + *.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR82
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Por exemplo, para os dois subespaços vectoriais de ¸ ,
3
)
*
{ ] : ] ± ¸ }
{ \ : \ ± ¸ }
cujo VXEHVSDoRVRPD )
) *
*
é dado por,
{ ]\ : \ ] ± ¸ }
{ \] : \ ] ± ¸ }
{ [\]± ¸3 : [ }
vemos que, TXDOTXHU vector do HVSDoRVRPD,
X DEF ± ) *
tem a forma
X EF
pelo que só pode ser escrito GH XP~QLFRPRGR como a soma de um elemento
de ) com um elemento de *,
X EF
Então ) HVWiHPVRPDGLUHFWD com *.
x
Consideremos agora os dois subespaços vectoriais de ¸ ,
3
)
*
{ [\] ± ¸3 : [ }
{ [\] ± ¸3 : \ [ }
Calculemos o VXEHVSDoRVRPD
) * e vejamos VHHVWDVRPDpGLUHFWD.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR83
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
2EVHUYDomR: Note que,
e que,
)
{ [\] ± ¸3 : [ }
*
{ [\] ± ¸3 : \ [ }
{ \]: \]± ¸ }
{ \\]: \]± ¸ }
ou seja, no cálculo dos vectores geradores do VXEHVSDoRVRPD,
é necessário GLVWLQJXLU FRPSRQHQWHVFRPRPHVPRQRPH,
mas de vectores de subespaços diferentes.
Por essa razão explicitamos,
) * { \]\¶\¶]¶ : \]\¶]¶± ¸ }
{ \¶\\¶]]¶ : \]\¶]¶± ¸ }
{ DEF : DEF± ¸ }
¸3
e portanto, o VXEHVSDoRVRPDé todo o espaço vectorial ¸ .
3
Nesse caso é óbvio que podemos obter, por exemplo,
mas WDPEpP,
±)
±*
±
±)
±*
pelo que podemos concluir que ) QmR HVWiHPVRPDGLUHFWD com *.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR84
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
)
2EVHUYDomR: Como,
*
e
{ [\] ± ¸3 : [ }
{ [\] ± ¸3 : \ [ }
o VXEHVSDoRLQWHUVHFomR )
)«*
« * é dado por,
{ [\] ± ¸3 : [ \ }
{ ]: ] ± ¸ }
Ä Ô
e porque œ
então GLP )« * .
Assim, pelo Teorema das Dimensões,
GLP )*
podemos concluir que
x
3URSRVLomR: Seja
(
GLP ) GLP * ± GLP )« *
± GLP¸3
) * ¸3.
um espaço vectorial sobre £ e sejam ) e * dois
subespaços vectoriais de ( .
São HTXLYDOHQWHV as três condições:
L
A soma
) *
é directa
LL O vector nulo escreve-se de modo único como a soma de
um vector de ) com um vector de *
LLL ) « *
{ ( }
'HPRQVWUDomR: Basta mostrar que, L
L
Á
LL
Á
LL
Á
LLL
Á L
É imediato, pela definição de soma directa.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR85
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
LL
Á
LLL
Provemos que {
( } ° ) « *
{ ( } ° ) « *
±)«*
« * ° { ( }
porque o vector nulo pertence a todos os
subespaços.
Mostremos que, se X
Ora se X
e que )
±)«*
então X
±)
então X
e
X±*
(
e se * é um subespaço vectorial, então existe
X ±X (
tal que,
mas como,
( (
±X ± *
(
e, SRU KLSyWHVH, o vector nulo se escreve GH PRGR~QLFR
como a soma de um vector de ) com um vector de *
então, X
Portanto
(
) « * ° { ( }
«*
{ ( }
)«*
{ ( }
e consequentemente )
LLL
Á
L
Provemos que, se
então a soma )
6XSRQKDPRVTXHH[LVWLD um X
* é GLUHFWD.
± ) *
capaz de ser FDOFXODGRGHGRLVPRGRV,
X X X
X X¶ X¶
com X ± ) e
com X¶ ± ) e
X ± *
X¶ ± *
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR86
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
e nesse caso,
X X
X ± X¶
ou
X¶ X¶
X¶ ± X
±)
ou seja,
±*
X ± X¶ ± ) « *
X¶ ± X ± ) « *
e
mas como, por hipótese, )
então,
e
X ± X¶
X¶ ± X
e portanto,
X
X¶
(
(
e
«*
X
{ ( }
X¶
e o vector X só pode ser calculado de um modo, ou seja,
D VRPDpGLUHFWD.
x
Por exemplo, para os dois subespaços vectoriais de ¸ ,
4
)
*
{ [\]Z ± ¸4 : [ \ ¼ ] Z }
{ [\]Z ± ¸4 : [ ¼ Z }
Como a LQWHUVHFomR,
)«*
{ }
então ) HVWiHPVRPDGLUHFWDFRP *.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR87
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
No espaço vectorial
3[[] dos polinómios de coeficientes reais e de grau até ,
consideremos os subespaços vectoriais,
) { D D[ D[ D[ ± 3[[] : D D
*
¼ D
{ D D[ D[ D[ ± 3[[] : D D D
}
}
calculando a LQWHUVHFomR,
)«*
{ D D[ D[ D[ ± 3[[] : D D
¼ D
¼ D D D
{ D D[ D[ D[ ± 3[[] : D D
{ ±D D[ : D ± ¸ }
como
x
) « * œ { ( } então D VRPD ) *
No espaço vectorial ¸ , considere os vectores :
3
¼ D
¼ D
}
}
QmR pGLUHFWD.
D ±
E ±±
F G Seja ) o subespaço gerado pelos vectores D e E e seja * o subespaço gerado
pelos vectores F e G. 'HWHUPLQHXPDEDVH para:
D ) « *
E ) *
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR88
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
(VTXHPD GDUHVROXomR
Dados,
)
*
Ä ± ±± Ô
Ä Ô
A partir uma FRPELQDomROLQHDU dos vectores geradores de ), construir o
VLVWHPD e, da GLVFXVVmRGRVLVWHPD, PRVWUDUTXH,
) { [\] ± ¸3 : ] ±[ }
e o mesmo para *,
* { [\] ± ¸3 : ] \±[ }
D ) « *
Calcular a LQWHUVHFomR,
)«*
{ [\] ± ¸3 : ] ±[¼ ] \±[}
{ [±[: [ ± ¸ }
{ x ±: [ ± ¸ }
= Ä ±Ô
então a intersecção é JHUDGD por um só vector, que sendo±œ
é portanto OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWH,
(,
logo, forma uma EDVH,
))«*
{ ± }
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR89
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
E ) *
8PDUHVROXomR
A partir de,
)
{ [\] ± ¸3 : ] ±[ }
*
{ [\] ± ¸3 : ] \±[ }
{ [\±[ : [\± ¸ }
{ \±]\] : \]± ¸ }
calcular a VRPD,
) * { X Y: X ± ) Y ± * }
onde,
X±)
Á
X [\±[
com
[\± ¸
e, não esquecendo de GLVWLQJXLUFRPSRQHQWHVGHVXEHVSDoRVGLIHUHQWHV,
Y±*
Á
Y \¶±]¶\¶]¶
com
\¶]¶± ¸
somando,
X Y [\¶±]¶\\¶±[]¶
[±\\¶]¶±
Analisemos o conjunto de vectores,
{ ±± }
serão OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV?
Notamos que, ±
±±
eliminemos um destes e analisemos o conjunto dos UHVWDQWHV,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR90
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
{ ± }
Construindo a combinação linear nula e resolvendo os sistema resultante,
concluímos que são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV.
Portanto,
))* { ± }
E ) *
2XWUDUHVROXomR
A partir de,
e de
)
*
Ä ± ±± Ô
Ä Ô
Começamos por YHULILFDU que, para o subespaço ), o conjunto de vectores,
{ ± ±± }
é OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWH. Daqui concluímos que GLP)
.
Sabendo que,
) « * = Ä ±Ô
Para FRQVWUXLUXPDEDVHGH ), basta juntar a ±um vector de ) que
QmR VHMDFRPELQDomROLQHDU (neste caso, que não seja múltiplo) dele.
Como por exemplo o YHFWRUJHUDGRU ±.
Então temos o conjunto { ±
são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV.
± } de vectores de ), que
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR91
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Como GLP)
XPDEDVH,
Para,
, estes GRLVYHFWRUHV linearmente independentes IRUPDP
))
{ ± ± }
*
Ä Ô
se é um subespaço vectorial JHUDGRSRUGRLVYHFWRUHV, então GLP *
d .
E mais uma vez partindo do vector gerador da LQWHUVHFomR,
) « * = Ä ±Ô
vamos juntar a ±um vector de * que QmR VHMDFRPELQDomROLQHDU
dele, como por exemplo o vector gerador .
Ora se temos GRLV YHFWRUHVOLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV, então GLP*
E combinando as duas desigualdades, GLP*
.
t .
Portanto os GRLVYHFWRUHV formam uma EDVH de *,
)*
{ ± }
E como já tínhamos,
))
{ ± ± }
podemos então concluir que,
))* { ± ± }
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR92
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
(
3URSRVLomR: Seja
um espaço vectorial sobre £ e sejam ) e * dois
subespaços vectoriais de ( GHGLPHQVmRILQLWD.
Seja ainda 6
)*.
São HTXLYDOHQWHV as três condições:
6 )¨ *
L
LL GLP )* GLP ) GLP *
LLL Se
e
I I IS é uma base ordenada de )
))
)*
então
)
J J JT é uma base ordenada de *
I I ISJ J JT
é uma base ordenada de
) * 6.
'HPRQVWUDomR: Neste caso, é mais simples provar que,
L
¾
L
Á
Se 6
.
LL
¼
LL
¾ LLL
LL
)¨ *, pela proposição anterior, ) « *
e então, GLP )«
* { ( }
logo, pelo teorema das dimensões,
GLP )*
LL
Á
L
GLP ) GLP * ±
Inversamente, se GLP )*
GLP ) GLP *
então, pelo teorema das dimensões, GLP )«
ou seja, )
«*
{ ( } e a soma é directa.
* BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR93
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
LL
¾ LLL
Na demonstração do teorema das dimensões,
basta considerar o FDVRSDUWLFXODU em que,
GLP )«
.
x
* ¾ ) « *
{ ( } ¾ ))«*
©
No espaço vectorial ¸ consideremos,
4
)
*
{ [\]Z ± ¸4 : [ \] \]±Z }
Ä ± Ô
D Verifique que ) é um VXEHVSDoRYHFWRULDO.
E Mostre que )
¨ * ¸4
E (VTXHPDGHXPDUHVROXomR
Basta mostrar que
) * ¸4 e que ) « *
{ ( } .
Comecemos por determinar YHFWRUHVJHUDGRUHV de ),
)
{ [\]Z ± ¸4 : [ ±\±]¼
Z \] }
{ ±\±]\]\]: \]± ¸ }
{ \ ±]±: \]± ¸ }
Ä ±±Ô
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR94
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Depois de SURYDU que estes vectores são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV,
podemos concluir que GLP)
e que temos,
))
±±
)*
±
Do mesmo modo, SURYDU também que GLP*
Calculemos agora )
Ora se um vector X
ou seja,
e que,
« * , D SDUWLUGDVEDVHV de ) e de *.
± ) « * , então X ± )
X ±) Á u
X±* Á u
e
X ± *,
D±E±
FG±
mas nesse caso, podemos VXEWUDLU,
D ±E±
± F±G± o que conduz à UHVROXomR do VLVWHPDKRPRJpQHR,
± D±E±F D±F±G E±F DE±FG BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR95
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
sistema cuja VROXomR~QLFD é a trivial
D E F G .
Podemos então concluir que a LQWHUVHFomR,
)«*
{ }
e portanto que ) está em VRPDGLUHFWDcom *.
Por outro lado, pelo WHRUHPDGDVGLPHQV}HV,
GLP )*
e como )
* d ¸4
GLP ) GLP * ± GLP )« *
± GLP¸4
podemos concluir que
É assim mostrámos que )
x
) *
¸4 .
¨ * ¸4
No espaço vectorial ¸ considere os subconjuntos,
3
)
{ [\ : [\ ± ¸ }
* { \] : \] ± ¸ }
D Mostre que ) e * são subespaços vectoriais de ¸ .
3
E Investigue se )
¨ * ¸3
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR96
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
6XEHVSDoR &RPSOHPHQWDU
x
Sejam ( um espaço vectorial sobre
), um subespaço vectorial de (
£ e seja ) um subespaço vectorial de (.
tal que,
(
chama-se VXEHVSDoRFRPSOHPHQWDU de ).
x
3URSRVLomR: Seja
(
) ¨ )
um espaço vectorial sobre £ de dimensão finitaQ.
Todo o subespaço vectorial de (
tem SHORPHQRVXPVXEHVSDoRFRPSOHPHQWDU.
'HPRQVWUDomR: Seja ) um subespaço vectorial de (.
No caso particular de ser o subespaço trivial
)
{ ( }
então
e no caso de
)
(
) (então )
{ ( }
Analisemos então o FDVRJHUDO,
e seja I I
Como )
œ(
IN uma EDVH de ).
existem vectores de ( que não estão em ).
Podemos então FRPSOHWDUHVWDEDVH,
por forma a obter uma base de (.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR97
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Seja (f1, f2,
Façamos,
)
Ä ek+1, ..., en Ô
então, GLP)GLP)
Q GLP(
e, pela proposição anterior,
(
)
Portanto
x
..., fk , ek+1, ..., en) essa EDVH de (.
) ¨ )
é XP VXEHVSDoRFRPSOHPHQWDU de ).
Voltemos a considerar o subespaço vectorial de ¸ ,
4
)
{ [\]Z ± ¸4 : [ \] \]±Z }
Já sabemos que GLP)
±±
))
Como
) ° ¸4 e
basta MXQWDUa
e temos uma base de ),
GLP ¸
4
, para obter HVSDoRVFRPSOHPHQWDUHV de ),
GRLVYHFWRUHVTXHQmRSHUWHQoDPD ), de modo a
))
formar uma base de
¸4 .
8PH[HPSOR:
Os GRLVYHFWRUHV de ¸ , e
4
pois não verificam
Como GLP ¸
4
[ \] .
QmR SHUWHQFHP a ),
, resta verificar que os TXDWURVYHFWRUHV do conjunto
resultante são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR98
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Efectivamente, construindo a combinação linear nula,
D EF±G±
e resolvendo o sistema resultante, é simples concluir que,
D E F G .
Temos assim uma EDVH de ¸ ,
4
±±
)
e, SHODSURSRVLomRDQWHULRU, também XP VXEHVSDoRFRPSOHPHQWDU de ),
) Ä Ô
ou seja,
¸4
)¨ ) .
Como os vectores de ) são da forma,
[\]Z D E podemos identificar,
) { [\]Z ± ¸4 : ] Z }
2XWURH[HPSOR:
De modo análogo, mostre que juntando os dois vectores, e
é possível obter RXWURVXEHVSDoRFRPSOHPHQWDU de ),
) Ä Ô
{ [\]Z ± ¸4 : \ Z }
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV