NOME:
PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores
ANO: 3º
DATA:
Nº:
REVISÃO – Lista 06 – Triângulos e Quadriláteros
Algumas definições
Triângulos:

Classificação quanto aos lados: Escaleno (todos os lados diferentes), Isósceles (dois lados iguais)
e Equilátero (três lados iguais).

Classificação quanto aos ângulos: Acutângulo (três ângulos agudos), Retângulo (um ângulo reto)
e Obtusângulo (um ângulo obtuso).

Soma dos ângulos internos: 180 .

Ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes a ele.

Casos de congruência de triângulos: ALA , LAL , LLL e LAAo .

Casos de semelhança de triângulos: AA , LAL e LLL .

Elementos do triângulo: Altura (perpendicular ao lado passando pelo vértice oposto), Mediatriz
(perpendicular ao lado passando pelo seu ponto médio), Bissetriz (divide o ângulo em duas partes
congruentes) e Mediana (liga um vértice ao ponto médio do lado oposto).

Relações métricas no triângulo retângulo:
ah  bc
c
b
h2  m  n
h
Teorema de
Pitágoras
b2  m  a
c2  n  a
n
m
a2  b2  c2
a

Razões trigonométricas no triângulo retângulo:
cateto oposto
hipotenusa
cateto adjacente
cos x 
hipotenusa
cateto oposto
tgx 
cateto adjacente
30
45
60
sen
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1
3
senx 
Quadriláteros:

Soma dos ângulos internos: 360 .

Quadriláteros notáveis:
- Trapézio: um par de lados paralelos
- Paralelogramo: dois pares de lados paralelos
- Retângulo: dois pares de lados paralelos e quatro ângulos retos
- Losango: dois pares de lados paralelos e todos os lados congruentes
- Quadrado: dois pares de lados paralelos, quatro ângulos retos e todos os lados congruentes
Exercícios básicos
1. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Todo triângulo isósceles é equilátero.
b) Todo triângulo equilátero é isósceles.
c) Um triângulo escaleno pode ser isósceles.
d) Todo triângulo isósceles é triângulo acutângulo.
e) Todo triângulo retângulo é triângulo escaleno.
f) Existe triângulo retângulo e isósceles.
g) Existe triângulo isósceles obtusângulo.
h) Todo triângulo acutângulo ou é isósceles ou é equilátero.
2. Determine o perímetro do triângulo ABC nos casos:
a) Triângulo equilátero com AB  x  2 y , AC  2 x  7 e BC  x  y  3 .
b) Triângulo isósceles de base BC com AB  2 x  3 , AC  3x  3 e BC  x  3 .
3. Na figura, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Determine o valor de x e y e a razão
entre os perímetros desses triângulos.
4. Na figura, temos que MN // AB . Nessas condições:
a) Determine as medidas x, y e c indicadas.
b) Existem dois triângulos que são semelhantes, quais são esses triângulos?
5. Na figura são dados AB  12cm e BD  6cm . Como o ABC ~ ABD , determine a medida, em
centímetros, do segmento CD .
6. Se as retas r e s são paralelas, determine x, y e z nos casos:
7. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Todo retângulo é um paralelogramo
b) Todo paralelogramo é retângulo.
c) Todo quadrado é retângulo.
d) Todo retângulo é quadrado.
e) Todo paralelogramo é losango.
f) Todo quadrado é losango.
g) Todo retângulo que tem dois lados congruentes é quadrado.
h) Todo paralelogramo que tem dois lados adjacentes congruentes é losango.
i) Se dois ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um paralelogramo.
j) As diagonais de um losango são congruentes.
k) As diagonais de um retângulo são perpendiculares.
l) As diagonais de um retângulo são bissetrizes dos seus ângulos.
m) Se as diagonais de um quadrilátero são bissetrizes e congruentes, então ele é um quadrado.
8. ABCD é trapézio de bases AB e CD . Se DP e CP são bissetrizes, determine x e BCˆ D .
9. Calcule os lados de um paralelogramo, sabendo que o seu perímetro mede 84m e que a soma dos
lados menores representa 2/5 da soma dos lados maiores.
Exercícios de Vestibular
10. (FUVEST) No triângulo ABC, AB  20cm , BC  5cm e o ângulo ABˆ C é obtuso. O quadrilátero
MBNP é um losango, de área 8cm2 .
A medida, em graus, do ângulo BNˆ P é:
a) 15
b) 30
c) 45
d) 60
e) 75
11. (FUVEST) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo  mede 45 e o ângulo  mede
55 .

r


s
A medida, em graus, do ângulo  é:
a) 50
b) 55
c) 60
d) 80
e) 100
12. (UNICAMP) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto
em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la,
nota que, após caminhar 12,3m sobre a rampa está a 1,5m de altura em relação ao solo.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
13. (VUNESP) Um obelisco de 12m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4,8m de
extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80m de altura poderá se afastar do
centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra.
14. (FUVEST) No triângulo ABC, seja D um ponto da hipotenusa AC tal que os ângulos DAˆ B e
ABˆ D tenham a mesma medida. Então o valor de
AD
é:
DC
a)
2
b)
1
2
c) 2
d)
1
2
e) 1
15. (FUVEST) No triângulo ABC, AC  5cm , BC  20cm e cos 
3
. O maior valor possível para
5
a área do retângulo MNPQ, construído conforme mostra a figura, é:
a) 16
b) 18
c) 20
d) 22
e) 24
16. (VUNESP) Na figura, os pontos C, D e B são colineares e os triângulos ABD e ABC são
retângulos em B. Se a medida do ângulo ADB é 60º e a medida do ângulo ACB é 30º, demonstre
que:
a) AD  DC
b) CD  2  DB
17. (FUVEST) As retas t e s são paralelas.
x
120
140
A medida do ângulo x, em graus, é:
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 70
18. (FUVEST) No quadrilátero ABCD, temos AD  BC  2 e os prolongamentos desses lados
formam um ângulo de 60º.
a) Indicando por  , B̂ , Ĉ e D̂ , respectivamente as medidas dos ângulos internos do
quadrilátero de vértices A, B, C e D, calcule Aˆ  Bˆ e Cˆ  Dˆ .
b) Sejam J o ponto médio do segmento DC, M o ponto médio do segmento AC e N o ponto
médio do segmento BD. Calcule JM e JN.
c) Calcule a medida do ângulo MJˆN .
19. (FUVEST) Na figura, o valor, em graus, de    é:
40


a) 50
b) 90
c) 120
d) 130
e) 220
20. (FUVEST) Considere um triângulo ABC tal que a altura BH seja interna ao triângulo e os
ângulos BAˆ H e HBˆ C sejam congruentes.
a) Determine a medida do ângulo ABˆ C .
b) Calcule a medida de AC , sabendo que AB  4cm e a razão entre as áreas dos triângulos ABH
e BCH é igual a 2.
21. (UNICAMP) Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos
retos, um ângulo agudo  e um ângulo obtuso  . Suponha que, em um tal trapézio, a medida de
 seja igual a cinco vezes a medida de  .
a) Calcule a medida de  , em graus.
b) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes de  e  é reto.
22. (FUVEST) Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4. O perímetro desse trapézio é:
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
23. (FUVEST) Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de mesma
medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de lados 2m e 5m. Os lados das lajotas
devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. Quais são
os possíveis valores dos lados das lajotas?
24. (FUVEST) O triângulo retângulo ABC, cujos catetos
AC e
AB medem 1 e
3,
respectivamente, é dobrado de tal forma que o vértice C coincida com o ponto D do lado AB .
Seja MN o segmento ao longo do qual ocorreu a dobra. Sabendo que NDˆ B é reto, determine:
a) O comprimento dos segmentos CN e CM.
b) A área do triângulo CMN.
25. (FUVEST) Um triângulo ABC tem lado de comprimento AB  5 , BC  4 e AC  2 . Sejam M e
N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACˆ B e CN é a altura relativa
ao lado AB . Determinar o comprimento de MN .
Respostas
1. a) F b) V c) F d) F
e) F f) V g) V h) F
2. a) 57
3.
b) 39
x  14 , y  10 e a razão é 1
4. a) x  37 , y 115 e c  28
b) ABC ~ MNC
5.
14. E
15. C
16. Demonstração
17. E
18. a) Aˆ  Bˆ  120 e Cˆ  Dˆ  240
b) JM  JN  1
CD  18cm
6. a) x  50 , y  60 e z  70
b) x  40 e y  z  120
7. a) V b) F c) V d) F e) F f) V g) F
8.
13. 4,08m
c) 60
19. D
20. a) 90º
b) 2 6 cm
21. a) 30
b) demonstração
h) V i) V j) F k) F l) F m) V
22. D
x 140 e BCˆ D  40
23. 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100
9. 12m, 12m, 30m e 30m
24. a) CN  CM 
10. B
11. E
12. a) figura
25.
b) 20,5m
11
30
2
3
b)
3
9