Caderno de Exercícios Resolvidos
Estatística Descritiva
Exercício 1.
A figura seguinte representa, através de um polígono integral, a distribuição do
rendimento nas famílias dos alunos de duas turmas.
Distribuição do rendimento
Frequências relativas acumuladas
1,00
1,00
0,84
0,75
Turma B
0,72Turma A
0,60
0,50
0,26
0,34
0,25
0,00
0,00 0,00
0
0,06
100
200
300
400
500
600
Contos/mês
Calcule o índice de Gini correspondente à turma A.
Classes
Pmi
0-100
50
100 - 200
150
200 - 300
250
300 - 600
450
Total (média aritm.)
fi
0,0600
0,2800
0,3800
0,2800
fi*Pmi
Fi
0,0600
0,3400
0,7200
1,0000
3
42
95
126
266
Ti
0,0113
0,1692
0,5263
1,0000
Fi - Ti
0,0487
0,1708
0,1937
0,0000
n −1
n −1
∑F =
i =1
ti
0,0113
0,1579
0,3571
0,4737
1,1200
i
∑ (F − T ) =
i =1
i
i
0,4132
n −1
∑ (F − T )
i
i =1
i
n −1
∑F
i =1
Análise da Informação Económica e Empresarial
=
0,3690
i
Pág. 1
Exercício 2.
Considere o quadro seguinte com as frequências relativas simples associadas às
distribuições A, B e C.
Classe
A
B
C
0-50
0
0
0
50-100
30
25
20
100-150
50
40
60
150-200
20
35
20
200-250
0
0
0
a) Represente as distribuições A, B, e C utilizando um histograma. Através da análise das
figuras, considera possível indicar qual a que tem uma moda mais baixa? Em caso
afirmativo, faça-o. Em caso negativo, explicite que elemento(s) lhe falta(m).
0,6
0,6
0,6
0,5
0,5
0,5
0,4
0,4
0,4
0,3
0,3
0,3
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
0
0
0
50
100
150
200
250
0
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
Em rigor quando temos dados classificados não sabemos qual é, ou se existe a moda. A
convenção que se faz é a de admitir que a moda se encontra na classe modal e que a sua
localização dentro desta é proporcional à diferença entre a respectiva frequência e as
frequências das classes adjacentes, estando a moda mais perto da classe que tem maior
frequência.
No caso deste exercício, verifica-se que a classe modal é a mesma nas três distribuições
consideradas. Mas é na distribuição A que a classe anterior apresenta a maior frequência
relativamente à classe que se segue à classe modal. Desta forma é claro que é essa
distribuição A que apresenta a moda mais baixa.
b) Considerando os valores apresentados qual a distribuição cujo valor para a mediana é o
mais baixo. Justifique utilizando o polígono integral de frequências.
1,00
0,75
A
B
C
0,50
0,25
0,00
0
50
Análise da Informação Económica e Empresarial
100
Mediana A =
150
200
Pág. 2
200
250
A partir da análise do polígono integral é evidente que é a distribuição A que tem a mediana
mais baixa. Quando as distribuições não são muito assimétricas a moda, a mediana e a
média estão relativamente próximas. Quando são simétricas as três medidas coincidem: é
esse o caso da distribuição C onde a média está no centro do intervalo de variação e no
centro da classe modal (125). Por outro lado a média é o centro de gravidade da distribuição
e a simples observação dos histogramas representados na alínea anterior permitiria dizer (i)
que B tem uma média mais alta do que C (porque o peso da classe com valores mais
elevados é muito superior) e que (ii) a média de C é necessariamente mais alta do que a
média de A. Em distribuições regulares como estas a mediana está sempre entre a média e
a moda. Isso permitiria dizer que também no caso da mediana é a distribuição A que
apresenta o valor mais baixo.
Nota: Com base nos elementos fornecidos seria possível calcular analiticamente o valor da mediana
das diversas distribuições mas não era isso que se pedia no enunciado.
c) Compare, apresentando e justificando todos os cálculos, a dispersão associada às três
distribuições. Na primeira (Distribuição A), a média é de 120 e o desvio padrão de 41,13;
na segunda (Distribuição B), a média é de 130 e o desvio padrão de 39,52.
A comparação da dispersão das diversas distribuições deve fazer-se com base no
coeficiente de variação. Para isso torna-se necessário calcular a média e o desvio padrão da
distribuição C:
PM i
Classes
fi
f i .PM i
fi ( PM i − x) 2
50 - 100
75
0,20
15
100 - 150
125
0,60
75
0
150 - 200
175
0,20
35
500
Total (média aritm.)
Total (variância)
Desvio padrão
Desvio-padrão
125
1000
31,6228
A
B
C
41,13
39,52
36,62
120
130
125
34,3%
30,4%
29,3%
Média
Coef. Variação
500
Vê-se assim que a é a distribuição C que apresenta a menor dispersão tanto em termos
absolutos (desvio padrão) como relativos (coeficiente de variação).
Exercício 3.
Considere o quadro seguinte onde se resume a estrutura etária da população de uma
região de acordo com os censos de 1960 e 2001
Escalão de idade
1960
2001
0 – 10
19,7
12
10 – 25
25,7
24,3
25 – 40
21,5
21,1
40 – 60
21,3
23,6
60 – 80
11,8
19
Total
100
100
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 3
a) Compare as duas distribuições no que respeita à média e mediana, e discuta até que
ponto há sinais de envelhecimento da população.
1960
fi .PM i
fi
( X − PM ) ( X − PM )
2
fi .
( X − PM )
2
Classes
PM i
0 - 10
5
0,197
0,9850
26,38
695,9044
137,0932
10 - 25
17,5
0,257
4,4975
13,88
192,6544
49,5122
0,454
25 - 40
32,5
0,215
6,9875
-1,12
1,2544
0,2697
0,669
40 - 60
50
0,213
10,6500
-18,62
346,7044
73,8480
0,882
60 - 80
70
0,118
8,2600
-38,62
1491,5044
175,9975
1,000
1
31,3800
Média Aritm.
31,38
Σ
2001
fi .PM i
fi
i
i
Fi
i
0,197
436,7206
Variância
436,7206
Desvio padrão
20,90
Coef. Variação
66,6%
( X − PM ) ( X − PM )
2
fi .
( X − PM )
2
Classes
PM i
0 - 10
5
0,120
0,6000
31,81
1011,8761
121,4251
0,120
10 - 25
17,5
0,243
4,2525
19,31
372,8761
90,6089
0,363
25 - 40
32,5
0,211
6,8575
4,31
18,5761
3,9196
0,574
40 - 60
50
0,236
11,8000
-13,19
173,9761
41,0584
0,810
60 - 80
70
0,190
13,3000
-33,19
1101,5761
209,2995
1,000
1
36,8100
9,05
2678,8805
466,3114
Média Aritm.
36,81
Total
i
i
Variância
Fi
i
466,3114
Desvio padrão
21,59
Coef. Variação
58,7%
Cálculo da mediana
X me = Lg −1 +
X 1960 = 25 +
me
0,5 − Fg −1
f g −1
.( Lg − Lg −1 )
0,5 − 0, 456
0,5 − 0,363
.(40 − 25) = 28, 07 X 2001 = 25 +
.(40 − 25) = 34, 74
me
0, 215
0, 211
A média e a mediana são medidas de localização de tendência central, que descrevem a
distribuição de frequências. O facto de ambas aumentarem de valor de forma significativa
representa uma deslocação para a direita da distribuição de frequências que traduz um claro
envelhecimento da população.
b) Compare a dispersão das duas distribuições com base num indicador de dispersão
relativo.
A medida de dispersão relativa mais habitual é o coeficiente de variação que relaciona o
desvio padrão com a média. A importância da distinção entre dispersão absoluta e relativa
está bem ilustrada neste exemplo. De facto entre 1960 e 2001 o desvio padrão das idades
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 4
passa de 20,9 anos para
22,6 anos (NB: é importante notar que o desvio padrão se
expressa nas mesmas unidades da variável original). Mas o aumento da dispersão absoluta
não é acompanhado pelo aumento da dispersão relativa, porque a média aritmética (que
está no denominador do coeficiente de variação) aumenta mais do que o desvio padrão. Isto
é, relativamente, (ao valor da média) verifica-se uma diminuição da dispersão das idades: o
C.V passa de 67% para 59% .
Uma medida alternativa de dispersão relativa é o quociente entre a amplitude do intervalo
interquartil (AIQ) — que é, em si, uma medida de dispersão absoluta — e a mediana. Os
cálculos que a seguir se apresentam confirmam as conclusões anteriores: aumenta a
dispersão absoluta e diminui a dispersão relativa.
Q1960 = 10 +
0, 25 − 0,197
.(25 − 10) = 13, 09
0, 257
Q31960 = 40 +
0, 75 − 0, 669
.(60 − 40) = 47, 61
0, 213
Q 2001 = 10 +
0, 25 − 0,120
.(25 − 10) = 18, 02
0, 243
Q32001 = 40 +
0, 75 − 0,574
.(60 − 40) = 54,92
0, 236
1
1
Medida de dispersão absoluta: Amplitude do intervalo interquartil (AIQ)
AIQ1960 = Q31960 − Q11960 = 47, 61 − 13, 09 = 34,52
AIQ 2001 = Q32001 − Q12001 = 54,92 − 18, 02 = 36, 02
Medida de dispersão relativa:
1960
 AIQ 


 X me 
 AIQ 


 X me 
=
34,52
= 1, 23
28, 07
=
36, 02
= 1, 06
34, 74
2001
AIQ
Mediana
c) Elabore um polígono integral de frequências para as duas distribuições e compare a
situação a nível de primeiro, segundo e terceiro quartil, deduzidos graficamente.
O polígono integral de frequências é construído com base nas frequências acumuladas, que
estão na última coluna dos quadros onde se apresentam os cálculos. A sua grande
vantagem é permitir uma estimativa rápida dos quartis (incluindo a mediana que é o segundo
quartil). Note-se igualmente como a deslocação do polígono para a direita traduz o
envelhecimento da população. Admitindo que a população era colocada por ordem de idades
a uma dada percentagem da população em 1960 corresponde em 2001, uma idade mais
avançada. E isto acontece qualquer que seja a percentagem escolhida como referência: as
duas curvas nunca se cruzam.
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 5
1
1960
2001
0,75
0,5
0,25
0
0
10
20
Q11960
30
Q12001
40
Mediana
Mediana
1960
2001
50
60
Q31960
Q32001
70
80
d) Elabore o diagrama de extremos e quartis para as duas distribuições e comente.
Exercício 4.
O quadro seguinte apresenta as frequências relativas acumuladas das idades de três
grupos de pessoas: A, B e C.
A
B
C
30 – 40
20
20
30
40 – 50
70
80
80
50 – 60
100
100
100
a) Das afirmações seguintes, indique, justificando, quais as que são falsas ou verdadeiras:
i.
A distribuição que tem a média mais baixa é a mesma que tem a moda mais
elevada.
ii. A distribuição que tem a moda mais elevada é a que tem a mediana mais elevada.
Comecemos por calcular as frequências simples e a média por distribuição.
Limites
Inferior Superior
Pmi
A
Fi
f1
B
Pmi * fi
Fi
f1
C
Pmi * fi
Fi
f1
Pmi*fi
30
40
35
0,2
0,2
7
0,2
0,2
7
0,3
0,3
10,5
40
50
45
0,7
0,5
22,5
0,8
0,6
27
0,8
0,5
22,5
50
60
55
1
0,3
16,5
1
0,2
11
1
0,2
11
Média
46
Média
45
Média
44
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 6
Representemos graficamente as frequências simples.
0,7
A
0,6
fi
0,5
B
C
0,4
Series1
0,3
0,2
0,1
0
30-40 40-50 50-60
30-40 40-50 50-60
30-40 40-50 50-60
Intervalos de Idade
A afirmação i é falsa. A distribuição que tem a média mais baixa é a C (44). A partir do
gráfico de frequências relativas constata-se que a distribuição que tem a moda mais elevada
é a A (40-50 é a classe modal, na A a moda é puxada pela frequência relativa para a
vizinhança do 50).
Representemos agora graficamente as frequências acumuladas.
1
Fi
0,75
A
B
0,5
C
0,25
0
30
40
50
60
Idades
Constata-se que é a distribuição A que tem a mediana mais elevada. Portanto, a afirmação II é
verdadeira.
relações
b) Será correcto dizer que em qualquer dos casos, há pelo menos 50% das pessoas com
idade entre 40 e 50 anos? Justifique.
É correcto, como se pode ver consultando o quadro com as frequências relativas simples na linha
relativa a 40-50.
c) Compare a dispersão relativa das três distribuições, sabendo que o desvio padrão é de 7
anos em A e em C.
Sendo as médias diferentes, a medida de dispersão a utilizar é o coeficiente de variação. Comecemos
por calcular o desvio padrão de B.
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 7
Pmi
Fi
f1
Pmi*fi
Desvios
Quadrado
dos desvio
30
40
35
0,2
0,2
7
-10
100
40
50
45
0,8
0,6
27
0
0
20
0
50
60
55
1
0,2
11
10
100
20
Média
45
40
Var
Desvio
Padrão
6,324555
Virá CVA = 7/46 = 0,152; CVB = 6,32/45 = 0,1405; CVC = 7/44=0,159 Î maior dispersão em C, menor dispersão
em B.
Exercício 5.
No quadro seguinte apresentam-se o número de transacções efectuadas em cada uma das
lojas dos Supermercados XXX, classificadas por níveis de despesa, e o número de
empregados existentes em cada uma delas.
Número de transacções
Escalão de despesas
Loja 1
Loja 2
0 – 10 u.m.
29
74
10 - 20 u.m.
44
78
20 - 30 u.m.
26
30
30 - 40 u.m.
9
18
Nºde empregados
20
30
Tratamento:
Loja 1
Classes
Pmi
ni
fi
fi*PMi
Fi
0 - 10
5
29
0,269
1,343
0,269
10 - 20
15
44
0,407
6,111
20 - 30
25
26
0,241
6,019
20 - 40
35
9
0,083
108
1,000
2,917
16,4
Pmi
ni
fi
fi*PMi
Fi
∑
)
2
ti
Ti
34,829
0,082
0,082
0,676
0,786
0,373
0,455
0,917
17,851
0,367
0,822
1,000
28,864
82,3
0,178
1,000
ti
Ti
(média)
(variância)
Loja 2
Classes
(
fi PM i − x
(
fi PM i − x
)
2
0 - 10
5
74
0,370
0,370
1,850
34,099
0,127
0,127
10 - 20
15
78
0,390
0,760
5,850
0,062
0,401
0,527
20 - 30
25
30
0,150
0,910
3,750
16,224
0,257
0,784
20 - 40
35
18
0,090
3,150
37,454
0,216
1,000
∑
200
1,000
1,000
14,6
Análise da Informação Económica e Empresarial
(média)
87,8
(variância)
Pág. 8
Nota: ti representa a proporção da despesa total feita pelos clientes da classe de despesa i . Ti
representa o total da despesa acumulada até à classe i.
a) Será possível afirmar que “em ambos as lojas, mais de 70% das transacções têm um
valor inferior a 20 u.m.”?
A análise das frequências relativas acumuladas mostra que só há 67,6% de transacções
abaixo de 20 u.m. na loja 1: A afirmação não é verdadeira.
b) Represente graficamente o polígono integral de frequências de cada uma das
distribuições e, com base no mesmo, explicite a localização dos quartis.
1,000
1
1,000
0,910
0,917
0,760
0,75
0,676
Loja 2
0,5
0,370
Loja 1
0,269
0,25
0
0
0
0
10
Q1(Lo ja 2)
Q1(Lo ja 1)
20
30
Q3 (Lo ja 2)
40
Q3 (Lo ja 1)
c) Determine o valor médio por transacção e o valor médio das transacções por
empregado, em cada uma das lojas.
Valor médio por transacção por loja (ver quadro):
Loja 1: 16,38 um.
Loja 2: 14,6 um.
Valor médio das transacções por empregado
1770
= 88,5 um
20
2920
Loja 2:
= 97,3 um
30
Loja 1:
d) Calcule o desvio padrão da distribuição das transacções na loja 2 sabendo que o valor
correspondente para a outra loja é de 9,1 u.m.. Em qual das duas distribuições é mais
elevada a dispersão? Justifique.
s=
(
ni PM i − x
N
Pmi
ni
fi
5
15
25
35
Total
74
78
30
18
0,370
0,390
0,150
0,090
200
1,0
Análise da Informação Económica e Empresarial
)
2
=
(
f i PM i − x
Fi
0
0,370
0,760
0,910
1,000
)
2
fi*(PMi-xbarra)^2
34,099
0,062
16,224
37,454
s2=87,84
Pág. 9
S=
87,84 = 9,37 um
A dispersão em termos absolutos é mais elevada na loja 2.
Como a média das transacções é mais baixa na loja 2 é também aqui que a dispersão relativa é
maior (o respectivo coeficiente de variação é maior na loja 2).
e) Represente graficamente a concentração das transacções na loja 2, utilizando uma
curva de Lorenz.
Classes
0 – 10
10 – 20
20 – 30
30 - 40
ti
0.1267
0.4007
0.2568
0.2158
Ti
0.1267
0.5274
0.7842
1.0000
Fi
0.37
0.76
0.91
1.00
Ti
1
0,9
(0.78 , 0.91)
0,8
0,7
0,6
(0.53, 0.76)
0,5
0,4
0,3
0,2
(0,37; 0,13)
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Fi
Exercício 6.
A empresa Lanipor procedeu a um estudo sobre a distribuição etária da sua população
feminina e masculina do qual resultou o seguinte quadro resumo:
Grupo Etário
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
50-55
55-60
> 60
Mulheres (%)
15
18
20
20
10
10
7
0
Homens (%)
10
15
12
13
25
15
10
0
a)
Represente o polígono integral de frequências de cada uma das distribuições. Com
base nesta representação gráfica calcule aproximadamente as medidas de localização e
dispersão que lhe permitem comparar as populações feminina e masculina. Comente
sucintamente os resultados que obteve.
Para representar o polígono integral de frequências precisamos de uma tabela de frequências para
homens e mulheres com acumulação.
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 10
QUADRO DE FREQUÊNCIAS
Mulheres
Homens
Classes
fi
Fi
fi
Fi
25 - 30
0,15
0,15
0,1
0,1
30 - 35
0,18
0,33
0,15
0,25
35 - 40
0,20
0,53
0,12
0,37
40 - 45
0,20
0,73
0,13
0,5
45 - 50
0,10
0,83
0,25
0,75
50 - 55
0,10
0,93
0,15
0,9
55 - 60
0,07
1
0,1
1
1
1
Utilizando os limites dos intervalos de classe e os valores para a frequência acumulada, chegamos
ao polígono integral de frequências.
Frequência Relativa
Acumulada
Polígono Integral de Frequências
1
0,75
0,5
0,25
0
0
20
40
60
80
Mulheres
Idade
Homens
Com base neste polígono, as medidas de localização e dispersão que podem ser aproximadamente
calculadas são as relacionadas com os quartis.
Mulheres:
Como se pode deduzir a partir do quadro de frequências, a classe mediana (primeira classe
com frequência acumulada maior ou igual a 50%) é a classe 35-40 com 53% de frequência
acumulada. Utilizando a expressão para a mediana constante do formulário, virá:
Mediana = 35 +
50 − 33
(40 − 35) = 35 + 4,25 = 39,25
20
Idênticas expressões podem ser utilizadas para os quartis com a necessária adaptação
relativamente à classe em que os mesmos se situam.
Q1 = 30 +
25 − 15
(35 − 30) = 32,7
18
e Q3 = 45 +
75 − 73
(50 − 45) = 46
10
A partir destes valores é possível determinar uma medida de dispersão que leva em conta
50% das observações: a amplitude interquartil.
AIQ = Q3-Q1=46-32,7=13,3
Homens:
Os valores constantes no quadro de frequências relativamente aos homens permitem a
determinação das medidas anteriores com mais facilidade, pois não necessitam de
interpolação. Virá imediatamente
Mediana = 45, Q1= 35, Q3= 50 e AIQ = 15
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 11
Quer o quadro apresentado, quer o gráfico relativo às frequências acumuladas permitem
constatar que a população feminina é sensivelmente mais jovem que a masculina. O
polígono integral de frequências permite ainda visualizar que essa diferença cresce até à
zona da mediana começando a partir daí a reduzir-se. Tal significa que, em todos os escalões
de idade até sensivelmente os 40 anos, a frequência relativa de mulheres é superior à de
homens.
É possível ainda constatar uma maior dispersão (medida pelo AIQ) na população masculina.
Tal é visível no polígono integral de frequências onde o crescimento da população feminina
entre o 1º e o 3º quartil é praticamente linear ao passo que o da população masculina
descreve uma curva que atinge um máximo sensivelmente junto à mediana.
b)
Justifique e comente a seguinte afirmação: “Metade da população feminina da empresa
tem uma idade inferior à média de idades dessa população”.
Há que determinar a mediana (metade da população feminina) e a média da mesma população. A
mediana já é conhecida da alínea anterior: 39,25.
A média de idades da população feminina pode ser determinada a partir das frequências simples.
Para tal é preciso determinar o ponto médio de cada intervalo (Pmi) e multiplicá-lo pelo valor da
frequência relativa simples. A expressão utilizada é a que consta do formulário.
DETERMINAÇÃO DA MÉDIA DA POPULAÇÃO FEMININA
Classes
fi
PM PMi*f
i
i
25 - 30
0,15 27,5
4,125
30 - 35
0,18 32,5
5,850
35 - 40
0,20 37,5
7,500
40 - 45
0,20 42,5
8,500
45 - 50
0,10 47,5
4,750
50 - 55
0,10 52,5
5,250
55 - 60
0,07 57,5
4,025
1
40,000
Assim a afirmação é verdadeira, pois o valor da mediana é inferior ao da média de idades na
população feminina. Mais uma vez isso chama a atenção para o peso que, nessa população (e no
total da empresa, se levarmos em conta o que se constatou na alínea anterior), assumem os escalões
mais jovens. O valor da média mais elevado revela entretanto a possibilidade de algumas pessoas
existirem com uma idade bastante avançada o que puxa a média para a direita da mediana
sugerindo um enviezamento da distribuição à direita. Tal é visível no polígono de frequências
seguinte.
Frequência relativa
simples
Polígono de Frequências
0,3
0,2
0,1
0
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
Idade
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Pág. 12
Exercício 7.
No âmbito de um estudo sobre o rendimento disponível mensal de duas populações, A e B,
foram extraídas amostras de 10 elementos de cada uma delas. Os resultados em milhares
de euros foram os seguintes.
Rendimento disponível mensal
(milhares de euros)
A
12
40
24
45
68
32
68
23
34
45
B
14
61
24
68
41
62
14
67
51
70
Fonte: Sistemas de Informação Estatística dos países A e B
a) Crie uma tabela de frequências relativamente a cada um dos casos, depois de classificar
os dados utilizando os intervalos 10-30, 30-50 e 50-70.
b)
Considerando a média aritmética como indicador explicite qual a população com maior
rendimento.
Para determinar a Média, basta multiplicar o ponto médio de cada intervalo pela
respectiva frequência relativa simples e somar. Virá:
A Média aritmética permite-nos concluir que a população B tem maior Rendimento
Disponível que a população A.
c)
Represente graficamente a determinação da Moda e da Mediana e diga, exclusivamente
pelo exame das figuras, se as conclusões tomadas a partir das mesmas corroboram a
que pode tirar da alínea anterior.
Determinação gráfica da Moda. Utiliza a representação das frequências relativas e a
proximidade entre estas a nível da da classe modal para as adjacentes. Os dois gráficos
que se seguem mostram que a Moda em A está perto de 40 e em B está perto de 60.
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 13
Representação gráfica da Mediana. Utiliza a representação das frequências acumuladas.
Nos gráficos seguintes podemos constatar que também aqui o valor é superior para B,
sensivelmente 53, enquanto o de A não atinge 40. Assim qualquer das medidas de
localização permite concluir sobre a existÊncia de um menor nível de rendimento disponível
em A.
d) Tendo em consideração que a variância de B é de 324, utilize uma medida adequada
para comparar a dispersão das duas distribuições.
Sendo as médias diferentes, o coeficiente de variação ( =Desvio Padrão / Média) é a
medida de dispersão adequada. O quadro seguinte resume o cálculo do Coeficiente de
variação para A a partir dos resultados anteriores e para B a partir da Variância dada e
da média já calculada.
É possível concluir que a dispersão é superior em B
e) Verifique se a conclusão a que chegou na alínea anterior é corroborada pela análise
comparada dos diagramas de extremos e quartis (“caixa de bigodes”) destas
distribuições.
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 14
Para apresentarmos o diagrama de extremos e quartis precisamos de determinar os
quartis. Vamos considerar o mínimo 10 e o máximo 70. A determinação dos quartis é
operada através da respectiva expressão do glossário. Vindo:
A partir dos valores encontrados é possível determinar o diagrama de extremos e quartis
o qual nos permite concluir que, tal como na alínea anterior, a dispersão, agora
visualizada na amplitude inter-quartil, é superior em B.
f)
Compare a concentração do rendimento nas duas amostras através da respectiva
representação gráfica.
A representação gráfica da concentração faz-se através da Curva de Lorenz que carece
dos valores dos Fi e dos Ti.
O gráfico permite ver que a concentração é diferente nos dois países. Assim, ao nível
dos 40% mais pobres, o rendimento disponível de A é superior, o que se inverte para os
40% mais ricos. Isto sugere uma concentração em B muito mais elevada o que poderia
ser determinada pelo índice de Gini.
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 15
g) Se todos os elementos deste grupo tiveram um acréscimo no rendimento disponível
mensal de 2000 euros, quais serão as consequências sobre a medida da concentração
do rendimento no grupo B?
A concentração diminuiria pois um acréscimo igual para todos em termos absolutos alteraria a
proporção da distribuição do rendimento no total da população, favorecendo os que detêm
menores rendimentos.
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 16
Índices Simples
Exercício 1
Suponha que lhe é dada a seguinte informação sobre a evolução da quantidade vendida do
produto X por um estabelecimento comercial nos primeiros dez meses do ano de 2006,
medida em toneladas do produto X.
ton X
jan
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
2245,3
2358,0
2827,0
2753,2
3179,1
3561,0
4094,6
4586,2
4591,0
4659,4
a) Calcule, para cada mês desta série, a taxa de variação, relativamente ao mês anterior, da
quantidade vendida do bem X por este estabelecimento.
jan
Taxa anual (%)
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
5,0
19,9
-2,6
15,5
12,0
15,0
12,0
0,1
1,5
b) Tomando por base os valores calculados na alínea anterior, construa uma série de índices
de base móvel relativamente a esta variável para o período em análise.
jan
Índice base
móvel
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
105,0
119,9
97,4
115,5
112,0
115,0
112,0
100,1
101,5
c) Construa, com base nos valores do quadro, uma série de índices de base fixa em Janeiro
de 2006.
índice base fixa
(Jan=100)
jan
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
100,0
105,0
125,9
122,6
141,6
158,6
182,4
204,3
204,5
207,5
d) Acha que poderia ter obtido as taxas de variação calculadas na alínea a) e obtido a série
de base móvel calculada em b) com base na série calculada em c)? Justifique e enuncie
uma propriedade que respeite ao resultado obtido.
Sim. Calculando o índice de base móvel a partir dos índices de base fixa – a circularidade
dos índices
e) Tomando por base a série calculada em c), calcule uma nova série de índices de base fixa
em Março de 2006. Diga o que entende por mudança de base de um índice e enuncie,
em termos sintéticos e de modo formalizado, a regra que descreve essa mudança.
jan
índice base fixa
(Mar=100)
79,4
fev
83,4
it ,0
A mudança de base:
mar
ib ,0
abr
100,0
97,4
mai
jun
jul
ago
set
out
112,5
126,0
144,8
162,2
162,4
164,8
= it ,b
f) Tomando por base a série calculada em b), calcule a série de índices de base fixa em
Março de 2006. Porque é que obtém os mesmos valores que obteve em e)? Diga o que
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 17
entende por circularidade dos índices e represente, de modo formalizado, esta
propriedade.
Sim encadeando os índices. i1,0
∗ i2,1 = i2,0
Exercício 2
Considere a evolução das vendas do produto X do exercício 1. e admita que sabe que o
preço deste bem, em Janeiro de 2006, era de 1200 €/ton. X.
a) Calcule uma série do valor das vendas deste produto admitindo que o seu preço se
manteve inalterado ao longo do ano de 2006.
Valor vendas
jan
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
2694360
2829600
3392400
3303840
3814920
4273200
4913520
5503440
5509200
5591280
b) Construa uma série de índices de base fixa em Janeiro de 2006 relativa ao valor das
vendas deste produto.
Índice de valor
jan
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
100,0
105,0
125,9
122,6
141,6
158,6
182,4
204,3
204,5
207,5
c) Compare a série construída em c) com a que obteve na alínea c) do exercício anterior.
Interprete o resultado dessa comparação à luz das propriedades conhecidas dos índices.
É igual pois como os preços são sempre iguais, a única alteração que ocorreu nos valores
das vendas foi a variação das quantidades.
Admita agora que conhece a evolução dos preços deste produto ao longo do ano, que pode
ser bem descrita pela seguinte série, de base fixa em Janeiro de 2006:
jan
100,0
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
101,2
102,2
105,1
107,4
110,2
112,6
118,4
110,4
112,5
jul
ago
set
d) Construa uma nova série do valor das vendas deste produto.
jan
fev
mar
abr
mai
jun
out
Valor vendas 2694360,0 2863555,2 3467032,8 3472335,8 4097224,1 4709066,4 5532623,5 6516073,0 6082156,8 6290190,0
e) Construa uma nova série de índices, de base fixa em Janeiro de 2006, relativa ao valor
das vendas deste produto tendo em conta a evolução verificada dos preços.
Índice de valor
jan
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
100,0
106,3
128,7
128,9
152,1
174,8
205,3
241,8
225,7
233,5
f) Acha que pode obter a série do índice do valor das vendas obtida em e) a partir da série
do índice do volume de vendas calculado no exercício 2.c) e da série dos índices de
preços apresentada acima?
Sim. Multiplicando ambos
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 18
Índices Agregativos
Exercício 1.
Em 2002, a empresa Sol da Eira atingiu o valor de vendas 271.364 em milhares de euros.
Sabe-se que o índice de preços com base fixa em 2002 e o crescimento das vendas a
preços constantes tiveram os valores seguintes:
Índice de preços
Base: 2002= 100
Crescimento das vendas
a preços constantes
2002
2003
2004
2005
100,0
104,4
108,3
111,8
--
0,57%
-0,67%
0,68%
a) Determine o crescimento dos preços em 2003, 2004 e 2005.
O crescimento dos preços em cada um dos anos pode ser obtido a partir do índice de base móvel:
Índice
2002
1,000
2003
1,044
2004
1, 083
1, 044
4,4%
Variação %
= 1, 037
2005
1,118
1,083
3,7%
=1,0323
3,2%
b) Determine o valor das vendas a preços constantes de 2005.
Alternativa 1: Para se obter a série a preços constantes de 2005 é preciso:
1º - Calcular as quantidades vendidas em cada ano, se os preços se mantivessem constantes,
i.e., a série a preços constantes de 2002.
2º - Inflacionar cada uma das quantidades vendidas em cada ano para obter o valor que teriam
se os preços praticados fossem os que vigoraram em 2005.
2002
[1] Valores das vendas a
preços constantes de
2002
[2] Índice de preços de
2005 (base 2002)
[3]=[1]*[2] Valores das
vendas a preços
constantes de 2005
271 364
2003
271364*1.0057=
2004
2005
272910,77*(1-0,0067) 271 082,27*1,0068=
272910,77
=271082,27
=272925.63
1,118
1,118
1,118
1,118
303 384,95
305 114,24
303 069,98
305 130,85
c) Determine o valor das vendas em 2003, 2004 e 2005 a preços correntes.
As vendas a preços correntes obtém-se multiplicando cada valor a preços constantes de 2002 (linha 1
do quadro anterior) pelo índice de preços com base fixa nesse ano.
Valores das vendas a
preços correntes
2002
2003
2004
2005
271 364
272910,77*1.044=
271082,27*1,083=
272925,63*1,118=
284 919
=293 582
=305 130,85
Nota: o valor de 2005 é igual pois os preços de referência são os mesmos.
d) Determine a taxa média de crescimento dos preços entre 2002 e 2005.
Taxa média de crescimento dos preços: r2005,2002 = 3 1,118 − 1 = 0, 03788 ; 3,8%
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Pág. 19
Exercício 2.
O quadro seguinte apresenta as estruturas de consumo de dois tipos de famílias e os índices
de preços, com base em 2000, dos grandes grupos de produtos que integram o índice de
preços no consumidor.
Índices de preços
Estruturas de consumo
(2000 = 100)
Família A
Família B
Dez 2004
Dez 2005
Alimentação
0,25
0,35
105,0
106,9
Transportes
0,10
0,20
110,3
115,2
Outros
0,65
0,45
107,1
109,6
a) Diga, quantificando, qual dos tipos de famílias suportou um maior aumento do respectivo
custo de vida durante o ano de 2005.
Cálculo do índice de variação dos preços em 2005:
Alimentação
1, 069
1,152
1, 096
= 1, 018 ; Transportes:
= 1, 044 Outros:
= 1, 023
1, 05
1,103
1, 071
Sendo estes os índices elementares de preços de cada um dos grupos de produtos o índice
sintético para cada tipo de famílias é uma média ponderada em que os ponderadores são os
respectivos coeficientes orçamentais. Assim :
Índice de custo de vida para as Famílias A:
(0,25*1,018)+(0,1*1,04)+(0,65*1,023) = 1,0241=102,41
Índice de custo de vida para as Famílias B:
(0,35*1,018)+(0,2*1,04)+(0,45*1,023) = 1,0257=102,57
Conclusão: As Famílias B tiveram um aumento maior no respectivo custo de vida.
b) Admitindo que 40% das famílias do país são famílias A, sendo as restantes famílias B,
qual foi o valor da inflação em 2005?
O índice geral de inflação nestas condições é uma média ponderada dos dois grupos de famílias:
0,4 * 1,0241 + 0,6 * 1,0257 = 1,0251=102,51
c) Qual deverá ser o índice de preços da alimentação em Dezembro de 2006 se o ritmo de
crescimento dos respectivos preços for o que se verificou em média desde 2000?
Taxa média de crescimento dos preços da alimentação desde 2000:
5
1, 069 − 1 = 0, 0134 (1,34%)
Se o índice de preços da alimentação crescer à mesma taxa durante 2006 deverá ser, em
Dezembro de 2006:
1,069 * 1,0134 = 1,0833=108,33
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Pág. 20
Exercício 3.
Considere o seguinte quadro relativo ao comportamento das exportações da empresa no
período 1995-2004
Ano
1995
1996
Índice dos preços
implícitos nas
100,0
99,4
exportações
(1995=100)
Exportações a
preços constantes
26476,6 27990,2
de 2000
(Milhares euros)
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
102,6
103,8
104,0
109,4
110,7
111,0
108,1
109,4
29687,3
32228,5
33192,9
35951,4
36716,5
37284,6
38952
40735,7
a) Determine as taxas anuais de crescimentos dos preços implícitos nas exportações
Obtém-se pelo cálculo da taxa de variação do índice dos preços
Taxa
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
-0,6
3,2
1,2
0,2
5,2
1,2
0,3
-2,6
1,2
b) Determine a taxa média de crescimento entre 1995 e 2004 dos preços implícitos das
exportações. Verifique e explicite razões para a taxa média de crescimento ser diferente
relativamente à média das taxas.
9
1, 094 − 1 = 0, 01 = 1% . É igual à média geométrica das taxas mas não à média aritmética.
c) Determine a taxa média de crescimento das exportações a preços constantes no
período.
9
40735, 7
− 1 = 0, 049 = 4,9%
26476, 6
d) Faça uma breve reflexão sobre o crescimento do valor a preços correntes das
exportações no período, apresentando todos os cálculos que julgue necessários.
e) Determine para todos os anos o valor das exportações a preços constantes de 2004.
Obtém-se inflacionando os valores a preços de 2000 pelo índice de preços entre 2000 e
2004. Neste caso os valores são iguais dado que a os preços das exportações em 2000 são
iguais aos de 2004 (mesmo valor do índice).
Ano
1995
1996
Exportações a
preços constantes
26476,6 27990,2
de 2004
(Milhares euros)
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
29687,3
32228,5
33192,9
35951,4
36716,5
37284,6
38952
40735,7
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Pág. 21
Exercício 4.
Considere a informação apresentada no Quadro seguinte relativa à economia Portuguesa.
Quadro1. Evolução da FBCF em Portugal
Unidade
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
FBCF
(Preços
correntes)
Milhões
de euros
19159
20841
24692
28244
30617
33103
34218
33841
30951
31933
31766
FBCF (taxa
de variação
anual dos
preços)
%
3,0
3,7
2,4
2,1
4,5
1,9
2,1
1,8
2,3
2,5
Fonte: INE
a)
Construa o índice de base fixa em 1995 da FBCF a preços correntes.
O índice de base fixa em 1995 da FBCF a preços correntes obtém-se dividindo todos os
valores da FBCF a preços correntes pelo valor de 1995. Para 1996, o valor é dado por
20841/19159=108,78
1995
Índice de base fixa
FBCF a preços
100,00
correntes
(1995=100)
b)
1996
1996
1998
1997
2000
1998
2002
1999
2004
2005
108,8
128,9
147,4
159,8
172,8
178,6
176,6
161,5
166,7
165,8
Construa o índice de base fixa em 2000 da evolução dos preços da FBCF.
Para obter o índice de base fixa em 2000 da evolução dos preços podemos, por exemplo,
seguir os três seguintes passos:
1) construir o índice de base móvel – igual a 1+a taxa de variação anual
2) construir o índice de base fixa em 1995 – utilizar a propriedade da circularidade
( i2,0 = i1,0 * i2,1 )
3) mudar a base do índice para 2000, dividindo todos os valores obtidos em 2 pelo valor de
2000.
1995
índice de base móvel
índice de base fixa em
1995
índice de base fixa
2000
c)
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
103
103,7
102,4
102,1
104,5
101,9
102,1
101,8
102,3
102,5
100,00
103,00
106,81
109,37
111,67
116,70
118,91
121,41
123,60
126,44
129,60
85,69
88,26
91,53
93,73
95,69
100,00
101,90
104,04
105,91
108,35
111,05
Calcule a taxa anual média de crescimento dos preços da FBCF entre 1995 e 2005.
A taxa média de crescimento dos preços pode ser obtida como a média geométrica das
taxas anuais de crescimento dos preços dadas no enunciado.
r1995,2005 = (10 (1 + 0, 03) * (1 + 0, 037) * (1 + 0, 024) * (1 + 0, 021) * (1 + 0, 045) * (1 + 0, 019) * (1 + 0, 021) * (1 + 0, 018) * (1 + 0, 023) * (1 + 0, 025) − 1) *100
=2,63%
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 22
d)
Calcule os valores da FBCF entre 1995 e 2005 a preços de 2000.
Os valores da FBCF a preços de 2000 podem ser obtidos dividindo os valores a preços
correntes pelo índice de preços base fixa em 2000 calculado na alínea b).
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
FBCF a preços
22357,89 23612,35 26977,29 30134,79 31994,77 33103,00 33579,98 32526,94 29223,15 29472,46 28605,13
2000
e)
Calcule a taxa de crescimento anual em volume da FBCF.
A partir dos valores calculados na alínea anterior, é preciso calcular a taxa de variação ente
dois anos consecutivos utilizando a fórmula da taxa de variação.
Taxa de variação
anual em volume
f)
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
5,6
14,3
11,7
6,2
3,5
1,4
-3,1
-10,2
0,9
-2,9
Admitindo que em 2006 a FBCF registará uma diminuição em volume de 1% e que os
respectivos preços crescerão 2,3%, calcule o valor da FBCF a preços de 2000 e a
preços correntes em 2006.
Para calcular o valor estimado para 2006 a preços correntes temos que considerar a
variação em valor. Para calcular a FBCF a preços de 2000 temos que considerar só a
variação em volume.
Assim, o valor estimado da FBCF em 2006 a preços correntes é igual à FBCF em 2005 a
preços correntes multiplicado pelo índice em valor. O índice em valor é igual, por sua vez, ao
produto dos índices de preços e de volume:
FBCF 2006 a preços correntes=31766*0,99*1,025=32234,55
O valor estimado da FBCF a preços de 2000 é igual ao valor de 2005 a preços de 2000
calculado na alínea d) multiplicado pelo índice em volume.
FBCF 2006 a preços 2000=28605,13*0,99=28319,08
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 23
Exercício 5.
O consumo das famílias Silva e Antunes em “Bens” e “Serviços”, nos anos de 2001 e 2005, é
apresentado no quadro seguinte (valores em milhares de euros).
Família
Antunes
Família
Silva
2001
2005
“Bens”
18,0
18,6
“Serviços”
18,0
19,2
“Bens”
36,0
41,4
“Serviços”
48,0
56,0
Admitindo que são conhecidos os seguintes índices de preços para “Bens” e “Serviços”.
(Base: 1997=100)
2001
2005
“Bens”
108
102
“Serviços”
105
110
a) Calcule o coeficiente orçamental dos “Bens” e dos “Serviços” para o conjunto formado
pelas duas famílias, em 2001.
α Bens =
Despesa em Bens 18 + 36
=
= 0.45
120
Total da Despesa
α Serviços =
Despesa em Serviços 18 + 48
=
= 0.55
120
Total da Despesa
b) Admitindo que a economia era constituída por estas duas famílias calcule o Índice de
Preços no Consumidor (Índice de Preços de Laspeyres) tomando como base o ano de
2001.
O índice de preços de Laspeyres pode escrever-se como uma média ponderada dos índices simples de
preços, respectivamente dos “Bens” e dos “Serviços”, em que os ponderadores são os coeficientes
orçamentais no ano base (2001) de cada uma destas categorias. Como os índices de preços
apresentados são índices de base fixa em 1997, a variação entre 2001 e 2005 obtém-se operando uma
mudança de base do índice para 2001. Assim têm-se os índices simples:
Bens
p2005,2001
=
102
= 0.9444
108
e
Serviços
p2005,2001
=
110
= 1.0476
105
... e o índice sintético de preços (Índice Laspeyres de preços)
Bens
Serviços
LP = α Bens × p2004,2001
+ α Serviços × p2004,2001
=
= 0.45 × 0.9444 + 0.55 × 1.0476 =
= 1.00116 = 100,116
Alternativamente podia aplicar-se directamente a fórmula, considerando os índices no ano base (2001)
iguais a 1:
Bens , Serviços
LP =
∑
pi1 .qi0
∑
pi0 .qi0
i
Bens , Serviços
=
0.9444 × 54 + 1.0476 × 66
= 1, 00116 = 100,116
1 × 54 + 1 × 66
i
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 24
c) Em termos reais onde é que a família Antunes aumentou mais o seu consumo: em
“Bens” ou em “Serviços”?
Considerando os valores dos índices de preços, correspondentes à variação entre 2001 e 2005,
calculados na alínea anterior é fácil calcular o valor do consumo de “Bens” e de “Serviços” a preços
constantes. Vem para a família Antunes:
18.6
= 19.7
0.9444
19.2
= 16.7
Consumos de “Serviços” a preços de 2001:
1.0476
Consumos de “Bens” a preços de 2001:
Verifica-se assim que, dado o efeito dos preços relativos, a família Antunes aumentou (em termos reais
ou “em volume”) o consumo de “Bens” (passando de 18 para 19,7 Mil €) enquanto reduziu, em termos
reais, o consumo de “Serviços” (de 18 para 16,7 Mil €).
Análise da Informação Económica e Empresarial
Pág. 25