1o Teste
Sinais e Sistemas (LERCI)
2004/2005
28 de Outubro de 2004
Respostas
i
Problema 1.
Considere a função escalão unitário discreto. A componente par da função vale:
1
1
1/2
Nenhuma das restantes respostas está certa
δ(n) + 1/2
Problema 2.
Considere os sinais:
1
∀t ∈ ’, x(t) = u(t) − u(t − 1), y(t) = x(t) ∗ x(t)
em que u(t) é a função escalão unitário e ∗ significa a operação de convolução. O valor de y(3/2) é:
Nenhuma das restantes respostas está certa
1
1/2
0
Problema 3.
Considere o sinal
1
∀t ∈ ’, x(t) = t[u(t + 1) − u(t − 2)]
em que u(t) é a função escalão unitário. Para y(t) = x(3 − t) e t ∈ ’, diga qual das seguintes proposições é
verdadeira:
Nenhuma das respostas anteriores está certa
y(t) = 0, ∀t > 3
y(t) = 0, ∀t < 0
y(t) = 0, ∀t > 0
Problema 4.
Considere um sistema discreto, linear e invariante no tempo caracterizado pela equação às diferenças:
∀n ∈ š, y(n) = x(n) + y(n − 1)
O sistema inverso deste é:
Nenhuma das restantes respostas está certa
y(t) = x(n) + x(n − 1)
y(n) = 1/[x(n) + y(n − 1)]
y(n) = x(n) − x(n − 1)
1
1
Problema 5.
Considere que x(t) é um sinal par. Se este sinal for a entrada de um sistema em que:
1
y(t) = x(−t/2)
diga qual das afirmações está correcta:
Nenhuma das restantes respostas está certa
y(t) é simétrico em relação a t = 1/2
y(t) é um sinal par
y(t) é um sinal ı́mpar
Problema 6.
Considere um sistema continuo, linear e invariante no tempo caracterizado pela equação diferencial:
1
dy(t)
+ 4y(t) = 2x(t)
dt
Qual será a forma da solução da equação homogénea:
∀t ∈ ’,
Nenhuma das restantes respostas está certa
yh (t) = Ae2t
yh (t) = Ae−4t
yh (t) = Ae4t
Problema 7.
Considere o sinal contı́nuo:
1
∀t ∈ ’, x(t) =
+∞
X
(−1)k u(t − 4k)
k=−∞
Assinale a afirmação correcta:
Nenhuma das restantes respostas está certa
x(t) é um sinal periódico com perı́odo fundamental 8
x(n) é um sinal periódico com perı́odo fundamental 4
x(n) é um sinal periódico com perı́odo fundamental 2
Problema 8.
Considere um sistema linear e invariante no tempo caracterizado pela resposta impulsiva:
∀t ∈ ’, h(t) = tu(1 − t)
em que u(t) é a função escalão. Escolha a afirmação verdadeira:
Nenhuma das restantes respostas está certa
o sistema não é estável
o sistema é estável
o sistema é causal
2
1
Problema 9.
Considere o sinal discreto:
1
∀n ∈ š, x(n) = e j(3nπ+1)/16
Assinale a afirmação correcta:
x(n) é um sinal periódico com perı́odo fundamental 16
Nenhuma das restantes respostas está certa
x(n) é um sinal periódico com perı́odo fundamental 48
x(t) é um sinal periódico com perı́odo fundamental 32
Problema 10.
Considere um sistema linear e invariante no tempo caracterizado pela resposta impulsiva:
1
∀n ∈ š, h(n) = 3n u(3 − n)
em que u(n) é a função escalão. Escolha a afirmação verdadeira:
a resposta ao impulso não é absolutamente somável
Nenhuma das restantes respostas está certa
o sistema é causal
a resposta ao impulso é absolutamente somável
Problema 11.
Considere o sistema discreto definido pela seguinte equação às diferenças:
1
y(n) = x(n) + x(n + 1) + 2y(n − 1)
Escolha a afirmação verdadeira:
a equação define um sistema estável
Nenhuma das restantes respostas está certa
a equação define um sistema causal
a equação define um sistema instável
Problema 12.
Considere um sistema contı́nuo que para o sinal de entrada x(t) produz na saı́da o sinal
∀t ∈ ’, y(t) = x(t) + 3
Escolha a afirmação verdadeira:
o sistema é variante no tempo
o sistema não é estável
Nenhuma das restantes respostas está certa
o sistema não é linear
3
1
Problema 13.
Considere a cascata de dois sistemas discretos, lineares e invariantes no tempo caracterizados pelas suas respostas impulsivas:
h1 (n) =
h2 (n) =
!n
1
u(n)
3
!n
1
[u(n) − u(n − 10)]
3
em que u(n) é a função escalão unitário. Determine a resposta ao impulso do sistema resultante da composição.
Resposta:
A resposta impulsiva do sistema composto é a convolução das respostas impulsivas dos dois sistemas:
!k !n−k
9
X
1
1
u(n − k)
3
3
k=0
h(n) = h1 (n) ∗ h2 (n) =
Se n < 0 a função u(n − k) = 0 e:
h(n) = 0, n < 0
Se 0 ≤ n < 9:
h(n) =
1
3
!n
(n + 1)
1
3
!n
Para n ≥ 9:
h(n) =
4
10
4
Problema 14.
Considere o sinal contı́nuo:
∀t ∈ ’, x(t) = e−at u(t)
e o sinal y(t) obtido pela convolução:
y(t) = x(t) ∗ x(−t)
Dimensione o valor a por forma a que y(0) = 1/8. Qual o significado de y(0)?
4
Resposta:
y(t) = x(t) ∗ x(−t)
Z +∞
x(τ)x(τ − t)dτ
=
(1)
(2)
−∞
(3)
então:
y(0) =
=
+∞
Z
Z−∞
+∞
x(τ)x(τ)dτ
(4)
(x(τ))2 dτ
(5)
−∞
= E∞
Z +∞
e−2aτ dτ
=
0
= 1/(2a)
(6)
(7)
(8)
(9)
ou seja a = 4. Como se viu, y(0) é a energia do sinal real x(t).
5