Distâncias e ângulos
MA13 - Unidade 18
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
Distância de ponto a reta
Dados um ponto P e uma reta r seja α o plano que passa por P e
é perpendicular à r . Seja Q o ponto de interseção de r com α. O
segmento PQ é perpendicular à r e o comprimento de PQ é a
distância de P à reta r .
r
b
Q
b
P
α
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Distância de ponto a plano
Dados o ponto P e o plano α seja Q a projeção ortogonal de P
sobre α. O comprimento do segmento PQ é a distância de P ao
plano α.
b
P
α
b
Q
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Ângulo entre reta e plano
O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta faz com
sua projeção sobre o plano.
r
P
b
b
θ
b
A
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P′
r’
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Perpendicular comum entre retas reversas
Teorema
Dadas duas retas reversas existe uma e, só uma, perpendicular
comum a ambas.
Construção:
α
P
b
r
A
Por um ponto P qualquer da reta r trace
PQ perpendicular a β (Q ∈ β).
b
β
b
b
B
Dadas as reversas r e s considere os planos
paralelos α ⊃ r e β ⊃ s.
Q
r’
s
Trace por Q a reta r 0 paralela a r . A reta
r 0 está contida em β e corta s no ponto B.
Trace por B uma reta paralela à reta PQ
que intersecta r em A.
A reta AB é perpendicular a α e β e, portanto, perpendicular às reversas
r e s.
AB é a perpenicular comum a r e s.
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Distância entre retas reversas
A distância entre retas reversas é o comprimento do segmento da
perpendicular comum.
r
A
b
b
s
B
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Uma possı́vel visualização da perpendicular comum
Sejam r e s duas retas reversas e seja AB
o segmento da perpendicular comum.
P
α
A
b
t
b
b
Q
b
s
B
r
Para visualizar, uma opção é a de projetar
as retas em um plano α perpendicular a r .
A projeção de r é o ponto P, a projeção
de s é a reta t e a projeção de AB é o
segmento PQ, perpendicular a t.
Obs:
Não estou recomendando que você deva usar sempre a visualização
acima. Ao contrário, procure inicialmente propriedades da figura
que possibilitem visualisá-la de forma natural. O problema a seguir
mostra isso.
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Problema
Calcule a distância entre duas arestas opostas de um tetraedro
regular de aresta a.
Solução:
A figura abaixo mostra o tetraedro regular ABCD.
Sejam M e N os pontos médios das
arestas BC e AD.
D
b
N
MA e MD são alturas dos triângulos
equiláteros ABC e DBC .
Como MA = MB então AD é perpendicular a MN.
b
d
a/2
b
A
b
b
a
M
b
B
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Como BC é perpendicular a MA e a
MB então BC é perpendicular ao plano
C (MAD). Logo, BC é perpendicular a
MN.
MN é a perpendicular comum entre AD
e BC .
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Vamos aos cálculos.
D
Seja MN = d.
b
N
b
d
a/2
b
A
b
b
M
a
b
B
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C
Como AM é altura de um triângulo
√
a 3
equilátero de lado a então AM =
.
2
No triângulo retângulo NAM o teorema
√ !2 a 3
a 2
+ d 2.
de Pitágoras dá
+
2
2
√
a 2
Logo, d =
.
2
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O tetraedro regular inscrito no cubo
A figura mostra um tetraedro regular inscrito em um cubo de
aresta a.
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
A aresta do tetraedro mede:
A perpendicular comum a duas arestas opostas do tetraedro mede:
A esfera circunscrita ao cubo é a mesma esfera circunscrita ao
tetraedro.
A esfera inscrita no cubo é:
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