PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS.
1. Uniforme Discreta: ocorre quando cada um dos k valores poss€veis de uma v.a.
discreta X tem mesma probabilidade.
f.d.p.:
P( X  x) 
1
k
x i  ( x1 , x 2 ,  , x k ), i = 1,2,  , k .
k
k
 xi
E( X ) 
f.d.a.:
2
 xi
i 1
Var ( X ) 
k
i 1
k
F  x   P ( X  x )   P ( X  xi ) 
xi  x
 E ( X ) 
2
n( x )
,
k
onde n( x ) • o n‚mero de valores xi  x .
2. Bernoulli: a distribuiƒ„o de Bernoulli ocorre quando a v.a. discreta X assume apenas
dois valores: sucesso (1) ou fracasso (0), com probabilidades p e (1 – p), 0  p  1 ,
respectivamente:
Notação: X ~ Bernoulli( p ) .
E( X )  p
x
0
1
Total
p x 
1–p
p
1
Var ( X )  p (1  p )
obs: Cada experimento de uma v.a. de Bernoulli • chamado ensaio de Bernoulli.
f.d.a.:
x<0
0,

F ( x )  (1  p ), 0  x  1 ,
1,
x 1

0  p  1.
3. Binomial: Considere n ensaios de Bernoulli, independentes. Seja X a v.a. que conta
o número de sucessos nesses n ensaios. Então X tem distribuição binomial com
parâmetros n e p.
X : número de sucessos em n ensaios de Bernoulli, independentes.
Notação: X ~ binomial( n, p ) .
f.d.p.:
n
P ( X  x )    p x (1  p ) n  x
 x
E( X )  n p
f.d.a.:
x  0 , 1,  , n e 0  p  1 .
Var ( X )  n p (1  p )
F ( x )  P ( X  x )   P ( X  xi )
xi  x
4. Hipergeométrica: Esta distribuição ocorre quando executamos extrações, sem
reposi€•o, de uma população finita e verificamos a ocorrência de um dado evento.
Seja uma população de tamanho N, tal que m elementos dessa população apresentam
uma certa característica e (N – m) não a apresentam. Se selecionamos ao acaso n
elementos sem reposição, então a probabilidade de que nessa amostra existam
exatamente k elementos com a característica de interesse é:
X : número de elementos com a característica na amostra de tamanho n.
Notação: X ~ HG ( N , m, n) .
f.d.p.:
 m  N  m 
 

 k  n  k 
P( X  k ) 
N 
 
n 
E( X ) 
nm
N
f.d.a.:
F ( x )  P ( X  x )   P ( X  xi )
Var ( X ) 
max0, n  ( N  m )  k  min( m, n) .
nm 
m  N  n 
1  

N 
N  N  1 
xi  x
obs: Se N é grande, então a distribuição Hipergeométrica pode ser aproximada pela
distribuição binomial.
5. Geométrica: Ocorre quando contamos o número de ensaios de Bernoulli,
independentes, que resultam em fracasso até a ocorrência do primeiro sucesso, em
que P ( sucesso)  p .
X : número de fracassos até a ocorrência do primeiro sucesso.
Notação: X ~ geométrica( p) .
f.d.p.:
P ( X  x )  p (1  p ) x
E( X ) 
(1  p )
p
f.d.a.:
F ( x )  P ( X  x )  1  P ( X  x  1)  1  (1  p ) x 1
Var ( X ) 
x  0, 1, 2,  e 0  p  1 .
(1  p)
p2
obs: A geométrica pode, ainda, ser definida pela contagem do número de ensaios até o
primeiro sucesso, sendo P ( X  x )  p (1  p) x 1 , x  1, 2,  e 0  p  1 .
6. Binomial Negativa ou Pascal: Se agora estamos interessados em contar o número
de falhas até a ocorrência do r-ésimo sucesso, tal que P sucesso  p , então a v.a. X
tem distribuição binomial negativa com parâmetros r e p, e f.d.p. dada por:
X : número de falhas até a ocorrência do r-ésimo sucesso.
Notação: X ~ BN ( r , p ) .
f.d.p.:
 r  x  1 r
 p (1  p ) x x  0, 1, 2,  , r  1 e 0  p  1 .
P ( X  x )  
r


E( X ) 
r (1  p )
p
f.d.a.:
F ( x )  P ( X  x )   P ( X  xi ) .
Var ( X ) 
r (1  p )
p2
xi  x
Quando r = 1 temos a distribuição geométrica com parâmetro p.
obs: Da mesma forma como a geométrica, a distribuição binomial negativa pode ser
definida pela contagem do número de ensaios até o r-ésimo sucesso.
7. Poisson: a distribuição de Poisson ocorre quando contamos o número de eventos, de
um certo tipo, que ocorrem num intervalo de tempo, superfície ou volume.
Notação: X ~ Poisson ( ) .
f.d.p.:
e  x
P( X  x) 
x!
E( X )  
f.d.a.:
x  0, 1, 2,  e   0 .
Var ( X )  
F ( x )  P ( X  x )   P ( X  xi )
xi  x
obs: A distribuição de Poisson é uma aproximação da distribuição binomial quando
n  , p  0, com   n p constante.
PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS.
1. Uniforme: Seja X uma v.a. continua com distribuição Uniforme no intervalo
[ a ; b]   , a < b , então sua f.d.p. é dada por:
Notação: X ~ U (a , b) .
f.d.p.:
 1
 b  a
f ( x)  

0
E( X ) 
ab
2
f.d.a.:
F ( x) 
a xb
se
se
x < a ou x > b
Var ( X ) 
(b  a) 2
12
xa
, se a  x  b
ba
2. Normal: Uma v.a. X tem distribuição normal com parâmetros  e  2 ,  2  0 e
     , se sua f.d.p. é dada por:
Notação: X ~ N ( ,  2 ) .
f.d.p.:
 ( x   )
exp 
2 

2 2
1
f ( x) 
2

,

   x  ;
      e   0
.
Var ( X )   2
E( X )  
x
f.d.a.:
F ( x )   f (u )du . F ( x ) não tem solução algébrica e seus valores

devem ser obtidos por intermédio de tabela.
obs: Se Z é uma v.a. tal que z  ( X   )  , então Z tem distribuição Normal
Padronizada com média 0 e variância 1, ou seja, Z ~ N (0,1) e sua f.d.p. é dada por:
f.d.p.:
f (z) 
1
2
2
e z 2 ,
  z  .
3. Exponencial: Dizemos que uma v.a. X tem distribuição exponencial, ou distribuição
dos tempos de vida, com parâmetro  ,   0, se a sua f.d.p. é:
Notação: X ~ exponencial () .
f.d.p.:
1 x
  e
f ( x)  

0

x0
se
se
x<0
Var ( X )   2
E( X )  
x
f.d.a.:
F ( x )   f (u )du  1  e  x  .
0
obs: Para   1 temos a exponencial padrão com f.d.p. f ( x )  e  x , se x  0 .
4.
Gama: Uma extensão da distribuição exponencial é dada pela distribuição gama
com parâmetros  ,   0 , e sua f.d.p. é dada por:
Notação: X ~ gama(, ) .
f.d.p.:
    1  x
x e


f ( x )    ( )

0
se
x0
se
x<0

onde  ( )   x  1 e  x  dx é chamada função gama.
0
E( X ) 


f.d.a.:
F ( x )   f (u )du .
Var ( X ) 

2
x
F (x ) não tem solução algébrica.

obs: Para   1 temos a distribuição exponencial com parâmetro   1 /  .
5. Qui-quadrado: Uma v.a. X tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade
se a sua f.d.p. for:
Nota€•o: X ~  2n .
f.d.p.:
1

xn
 n
   2 n 2
f ( x)    2 


 0
E( X )  n
2 1  x 2
e
se
se
x0
x<0
Var ( X )  2n
obs: A distribuição qui-qaudrado é um caso especial da gama, para   n 2 e   1 2 .
6. t–Student: Uma v.a. X tem distribuição t–Student com n graus de liberdade se tiver
f.d.p. dada por:
Notaۥo: X ~ t n .
f.d.p.:
 n  1
  n 1 2


x 2 
 2  
,
f ( x) 
1
n 
 n  
n  
2
E( X )  0
Var ( X ) 
n
,
n2
   x   .
n  2.
obs: Quando o valor de n é grande, a distribuição t-Student aproxima-se da N (0,1) .
7. F de Snedcor: Sejam X 1 ~  2m e X 2 ~  2n , independentes. A v.a. W, definida por
W 
X1 m
, tem distribuição F de Snedcor com m e n graus de liberdade, com f.d.p:
X2 n
Notação: Y ~ Fm ,n .
f.d.p.:
E (W ) 
m  n


m
 2  m
f ( w) 
 
m n n 
    
 2  2
n
n2
Var ( X ) 
2
w (m 2 )
 mw
1 

n 

2n 2 ( m  n  2)
m ( n  2) 2 ( n  4)
2
(m  n) 2
,
,
w  0.
n  4.