Prof. Gelfert, IM UFRJ
11
2o semestre 2013
Formas
Exercı́cio 11.1. Seja n = 3. Determine a representação
standard dos seguintes produtos
a) ∆1,2 ∧ ∆1,3
Analise Real
Determine o diferencial exterior das seguintes 2-formas em
R3
e) x2 dx ∧ dy + ez dy ∧ dz
f) (x + sen z) dx ∧ dy + y dx ∧ dz + xyz dy ∧ dz
b) (∆1 + 2∆2 − 3∆3 ) ∧ ∆2,1
c) (4∆1 + 2∆3 ) ∧ (2∆2 − ∆3 )
Exercı́cio 11.6. Sejam ω e ζ formas diferenciais de classe
C 2 . Determine
d(dω ∧ ζ − ω ∧ dζ) .
d) (∆2,3 + ∆3,1 ) ∧ (∆1 + ∆2 )
Exercı́cio 11.2. Sejam n = 3 e
a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ,
b = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3
Φ = a1 ∆1 + a2 ∆2 + a3 ∆3 ,
Ψ = b1 ∆1 + b2 ∆2 + b3 ∆3 .
Escrevendo Φ ∧ Ψ na forma
Φ ∧ Ψ = c1 e1 + c2 e2 + c3 e3 ,
Uma forma diferencial ω é dito fechada se dω = 0.
Exercı́cio 11.7. Mostre que no caso que ω e ζ são
fechadas, ω ∧ ζ é fechada.
Uma 1-forma diferencial ω de classe C 1 num conjunto
aberto U ⊂ Rn é dito exato se existe uma 0-forma g tal
que ω = dg.
a) (ω1 ∧ ω2 )(x, y)
Exercı́cio 11.8. Mostre que uma forma exata é fechada.
Pn
Exercı́cio 11.9. Seja ω =
i=1 fi dxi uma 1-forma de
classe C 1 em U ⊂ Rn . Mostre que
X ∂fi
∂fj
−
dxj ∧ dxi .
dω =
∂xj
∂xi
j<i
1
2
b) (ω1 ∧ ω2 )(x, y)
,
1
−1
Mostre que ω é fechada se, e somente se, ∂fi /∂xj =
∂fj /∂xi para i, j = 1, . . . , n.
mostre que
a × b = c1 e1 + c2 e2 + c3 e3 .
Exercı́cio 11.3. Dado as 1-formas ω1 (x, y) = ydx + 2dy
e ω2 (x, y) = 3dx − xdy, determinar
Exercı́cio 11.4. Dado a 1-forma
Exercı́cio 11.10. Mostre que a 1-forma
ω(x, y) = (y cos x + 2xey )dx + (sen x + x2 ey + 3)dy ,
ω=
determina uma função F (x, y) tal que dF = dω.
Exercı́cio 11.5. Determine o diferencial exterior das
seguintes 1-formas em R3
é fechada mas não é exacta em U = R2 \ {0}.
Exercı́cio 11.11. Mostre que a 2-forma
2
a) x dx + y dy
b) x dx + xy dy + xz dz
c) exy dx − (sen y) dy + x dz
d) (x + cos y) dy + 3 dz
−y
x
dx + 2
dy
x2 + y 2
x + y2
ω=
x
y
z
dy ∧ dz + 3 dz ∧ dx + 3 dx ∧ dy ,
3
r
r
r
onde r = (x2 + y 2 + z 2 )1/2 , é fechada mas não é exacta em
U = R3 \ {0} (observa que U é simplesmente conexa, mas
não é estrela).