Radiação de Dipolo Elétrico ou Radiação Dipolar Elétrica
Considerando apenas a zona de radiação, obtivemos uma expansão aproximada
para o potencial vetorial, supondo que o número de onda multiplicado pelo
tamanho característico da distribuição localizada de corrente era muito menor
do que a unidade:
ˆ
exp (ikr)
d3 r0 Jc (r0 )
rc
V
ˆ
exp (ikr)
d3 r0 (r̂ · r0 ) Jc (r0 ) .
− ik
rc
V
Ac (r) ≈
Quando consideramos apenas o primeiro termo da expansão acima,
ˆ
exp (ikr)
ADE (r) =
d3 r0 Jc (r0 ) .
rc
V
Da equação da continuidade temos
∇ · J (r, t)
=
−
∂ρ (r, t)
.
∂t
Como
J (r, t)
=
Re [Jc (r) exp (−iωt)]
ρ (r, t)
=
Re [ρc (r) exp (−iωt)] ,
e, analogamente,
a equação da continuidade fornece
∇0 · Jc (r0 )
= iωρc (r0 ) .
No entanto, no integrando da integral que dá ADE (r) aparece apenas Jc (r0 ),
ao invés de ∇0 · Jc (r0 ). Para resolver isso, consideremos:
Jc (r0 )
= x̂i x̂i · Jc (r0 ) ,
onde estamos usando a convenção de Einstein para somas. Assim, como
∇0 x0i
= x̂i ,
segue que
Jc (r0 )
= x̂i ∇0 x0i · Jc (r0 )
= x̂i ∇0 · [x0i Jc (r0 )] − x̂i x0i ∇0 · Jc (r0 )
= x̂i ∇0 · [x0i Jc (r0 )] − r0 ∇0 · Jc (r0 ) .
1
Portanto,
ADE (r)
=
exp (ikr)
x̂i
rc
ˆ
0
3 0
[x0i Jc
d r∇ ·
V
exp (ikr)
(r )] −
rc
ˆ
d3 r0 r0 ∇0 · Jc (r0 ) .
0
V
Pelo Teorema da Divergência de Gauss, a primeira das integrais volumétricas
pode ser transformada em uma integral na superfície S (V ), fronteira de V :
ˆ
˛
d3 r0 ∇0 · [x0i Jc (r0 )] =
da0 x0i n̂0 · Jc (r0 ) .
V
S(V )
Na superfície, fronteira da região onde a densidade de corrente não é nula,
porque envolve toda essa região,
n̂0 · Jc (r0 )|S(V )
=
0,
pois, se a densidade de corrente tivesse uma componente normal à fronteira, então, por continuidade, haveria corrente através da fronteira, o que contradiziria
a hipótese de a superfície ser a fronteira da região onde a densidade de corrente
não se anula. Logo, na aproximação dipolar elétrica,
ˆ
exp (ikr)
d3 r0 r0 ∇0 · Jc (r0 )
ADE (r) = −
rc
V
ˆ
iω exp (ikr)
d3 r0 r0 ρc (r0 ) ,
= −
rc
V
isto é,
ADE (r)
−ik
=
exp (ikr)
pc ,
r
onde, como acima,
ω
c
e definimos o momento de dipolo elétrico complexo como
ˆ
pc =
d3 r0 r0 ρc (r0 ) .
k
=
V
Os campos de radiação
O campo indução magnética complexo de radiação pode ser obtido a partir de
ADE (r), na aproximação de dipolo elétrico, através da equação
BDE (r)
=
∇ × ADE (r)
e desprezando termos que não sejam proporcionais a r−1 . Assim,
exp (ikr)
pc
BDE (r) = −ik∇ ×
r
exp (ikr)
= ikpc × ∇
r
exp (ikr) exp (ikr)
= ikpc × r̂ ik
−
r
r2
2
e, portanto,
Brad
DE (r)
= k2
r̂ × pc
exp (ikr) .
r
Da Lei de Ampère-Maxwell, podemos escrever
∇ × BDE (r)
=
−ikEDE (r) ,
ou seja,
EDE (r)
i
∇ × BDE (r)
k
=
e, assim, o campo elétrico de radiação fica
Erad
DE (r)
=
=
=
≈
=
=
i
∇ × Brad
DE (r)
k
r̂ × pc
exp (ikr)
ik∇ ×
r
r × pc
ik∇ ×
exp (ikr)
r2
1
ik 2 ∇ × [r × pc exp (ikr)]
r
exp (ikr)
1
ik
∇ × (r × pc ) + ik 2 [∇ exp (ikr)] × (r × pc )
r2
r
exp (ikr)
exp (ikr)
r̂ × (r̂ × pc ) .
ik
∇ × (r × pc ) − k 2
r2
r
Mas,
∇ × (r × pc )
h
i
= x̂l εlmn ∂m εnpq xp (pc )q
= x̂l εlmn εnpq δmp (pc )q
= x̂l εlmn εnmq (pc )q
= x̂l (δlm δmq − δlq δmm ) (pc )q
= x̂l δlm δmq (pc )q − x̂l δlq δmm (pc )q
= pc − 3pc
= −2pc .
Logo,
Erad
DE (r)
=
≈
exp (ikr)
exp (ikr)
pc − k 2
r̂ × (r̂ × pc ) .
r2
r
exp (ikr)
−k 2
r̂ × (r̂ × pc ) ,
r
−2ik
3
onde desprezamos o termo proporcional a r−2 . Definimos o campo de radiação
dipolar elétrica como
Erad
DE (r)
exp (ikr)
= −k 2
r̂ × (r̂ × pc )
r
1
=
k 2 (r̂ × pc ) exp (ikr) × r̂
r
1
=
k 2 (r̂ × pc ) exp (ikr) × r̂
r
= Brad
DE (r) × r̂.
4