ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO
POLARIZAÇÃO
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre
ˆ x 0  yE
ˆ y 0  e  jk z z
E  z    xE
Ex 0  Ex 0e jx

E y 0  E y 0e

jy
ˆ x 0e jx  yE
ˆ y 0e jy e jkz z
E  z   xE
ˆ x 0  yE
ˆ y 0  e  jk z z
E  z    xE
Ex 0  Ex 0e jx

E y 0  E y 0e

jy
ˆ x 0e jx  yE
ˆ y 0e jy e jkz z
E  z   xE
ˆ x 0  yE
ˆ y 0  e  jk z z
E  z    xE
Ex 0  Ex 0e jx

E y 0  E y 0e

jy
ˆ x 0e jx  yE
ˆ y 0e jy e jkz z
E  z   xE
ˆ x 0  yE
ˆ y 0  e  jk z z
E  z    xE
Ex 0  Ex 0e jx

E y 0  E y 0e

jy
ˆ x 0e jx  yE
ˆ y 0e jy e jkz z
E  z   xE
ˆ x 0  yE
ˆ y 0  e  jk z z
E  z    xE
Ex 0  Ex 0e jx

E y 0  E y 0e

jy
ˆ x 0e jx  yE
ˆ y 0e jy e jkz z
E  z   xE
ˆ x 0  yE
ˆ y 0  e  jk z z
E  z    xE
Ex 0  Ex 0e jx
E y 0  E y 0e

jy

ˆ x 0e jx  yE
ˆ y 0e jy e jkz z
E  z   xE
j y

E
e
E  z   Ex 0e jx  xˆ  yˆ y 0 jx

Ex 0 e

  jk z
e z


ˆ j  e  jk z z
E  z   Ex 0  xˆ  yAe
A
Ey 0
Ex 0
j
e y
j
e  jx
e
  y  x
ˆ j  e  jk z z
E  z   Ex 0  xˆ  yAe
Ex 0  1
ˆ j  e  jk z z
E  z    xˆ  yAe
Caso 1. A  0
Caso 2. A  1
Caso 3. A  2
Caso 4. A  1
Caso 5. A  1
Caso 6. A  2
 0
 0
  /2
   / 2
   / 2
Caso 1. A  0
ˆ j  e  jk z z   xˆ  e  jk z z
E  z    xˆ  yAe
ˆ  jkz z e jt   cos t  k z z  xˆ
E  r , t   Re  E  z  e jt   Re  xe
E  r, t   cos t  kz z  xˆ
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
Caso 1. A  0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ
t  0
E  r, t   xˆ
y
x
Caso 1. A  0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ
t   2
E  r, t   0
y
x
Caso 1. A  0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ
t  
E  r, t   xˆ
y
x
Caso 1. A  0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ
t  3 2
E  r, t   0
y
x
Caso 1. A  0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ
t  2
E  r, t   xˆ
y
x
Caso 1. A  0
Polarização linear
y
x
Caso 2. A  1
 0
ˆ j  e  jk z z   xˆ  yˆ  e  jk z z
E  z    xˆ  Aye
E  r , t   Re  E  z  e jt   Re  xˆ  yˆ  e  jkz z e jt   cos t  k z z  xˆ  yˆ 
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  yˆ 
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
Caso 2. A  1
 0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ  yˆ 
t  0
E  r, t   xˆ  yˆ
y
x
Caso 2. A  1
 0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ  yˆ 
t   2
E  r, t   0
y
x
Caso 2. A  1
 0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ  yˆ 
t  
E  r, t     xˆ  yˆ 
y
x
Caso 2. A  1
 0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ  yˆ 
t  3 2
E  r, t   0
y
x
Caso 2. A  1
 0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ  yˆ 
t  2
E  r, t    xˆ  yˆ 
y
x
Caso 2. A  1
 0
Polarização linear
y
x
Caso 3. A  2
 0
ˆ j  e  jkz z   xˆ  2 yˆ  e  jk z z
E  z    xˆ  Aye
E  r , t   Re  E  z  e jt   Re  xˆ  2 yˆ  e  jkz z e jt   cos t  k z z  xˆ  2 yˆ 
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  2 yˆ 
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
Caso 3. A  2
 0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ  2 yˆ 
t  0
E  r, t   xˆ  2 yˆ
y
x
Caso 3. A  2
 0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ  2 yˆ 
t   2
E  r, t   0
y
x
Caso 3. A  2
 0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ  2 yˆ 
t  
E  r, t     xˆ  2 yˆ 
y
x
Caso 3. A  2
 0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ  2 yˆ 
t  3 2
E  r, t   0
y
x
Caso 3. A  2
 0
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  xˆ  yˆ 
t  2
E  r, t    xˆ  2 yˆ 
y
x
Caso 3. A  2
 0
Polarização linear
y
x
Caso 4. A  1
  2
ˆ j  e  jkz z   xˆ  jyˆ  e  jk z z
E  z    xˆ  Aye
E  r , t   Re  E  z  e jt   Re  xˆ  jyˆ  e jkz z e jt 
 cos t  k z z  xˆ  sin t  k z z  yˆ
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  sin t  kz z  yˆ
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
Caso 4. A  1
  2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  sin t  kz z  yˆ
E  r, t   xˆ
t  0
y
x
Caso 4. A  1
  2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  sin t  kz z  yˆ
t   2
E  r, t    yˆ
y
x
Caso 4. A  1
  2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  sin t  kz z  yˆ
t  
E  r, t   xˆ
y
x
Caso 4. A  1
  2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  sin t  kz z  yˆ
E  r, t   yˆ
t  3 / 2
y
x
Caso 4. A  1
  2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  sin t  kz z  yˆ
E  r, t   xˆ
t  2
y
x
Caso 4. A  1
  2
Polarização circular da mão esquerda
y
t  3 / 2
x
t  2
t  
Direção de propagação (+z)
t   / 2
Rotação do campo
Caso 5. A  1
   2
ˆ j  e  jkz z   xˆ  jyˆ  e  jk z z
E  z    xˆ  Aye
E  r , t   Re  E  z  e jt   Re  xˆ  jyˆ  e jkz z e jt 
 cos t  k z z  xˆ  sin t  k z z  yˆ
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  sin t  kz z  yˆ
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
Caso 5. A  1
   2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  sin t  kz z  yˆ
E  r, t   xˆ
t  0
y
x
Caso 5. A  1
   2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  sin t  kz z  yˆ
E  r, t   yˆ
t   2
y
x
Caso 5. A  1
   2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  sin t  kz z  yˆ
t  
E  r, t   xˆ
y
x
Caso 5. A  1
   2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  sin t  kz z  yˆ t  3 / 2
E  r, t    yˆ
y
x
Caso 5. A  1
   2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  sin t  kz z  yˆ
E  r, t   xˆ
t  2
y
x
Caso 5. A  1
   2
Polarização circular da mão direita
y
t   / 2
x
t  2
t  
Direção de propagação (+z)
t  3 / 2
Rotação do campo
Caso 6. A  2
   2
ˆ j  e  jkz z   xˆ  2 jyˆ  e  jkz z
E  z    xˆ  Aye
E  r , t   Re  E  z  e jt   Re  xˆ  2 jyˆ  e jkz z e jt 
 cos t  k z z  xˆ  2sin t  k z z  yˆ
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  2sin t  kz z  yˆ
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
Caso 6. A  2
   2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  2sin t  kz z  yˆ
E  r, t   xˆ
t  0
y
x
Caso 6. A  2
   2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  2sin t  kz z  yˆ t   2
E  r, t   2 yˆ
y
x
Caso 6. A  2
   2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  2sin t  kz z  yˆ
t  
E  r, t   xˆ
y
x
Caso 6. A  2
   2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  2sin t  kz z  yˆ
E  r, t   2 yˆ
t  3 / 2
y
x
Caso 6. A  2
   2
Monitorar o campo no plano xy em z = 0 para diversos
instantes de tempo
E  r, t   cos t  kz z  xˆ  2sin t  kz z  yˆ
E  r, t   xˆ
t  2
y
x
Caso 6. A  2
   2
Polarização elíptica da mão direita
y
t   / 2
x
t  2
t  
Direção de propagação (+z)
t  3 / 2
Rotação do campo
Caso Geral
ˆ x 0  yE
ˆ y 0  e  jk z z
E  z    xE
Ex 0  Ex 0e jx

E y 0  E y 0e
jy

ˆ x 0e jx  yE
ˆ y 0e jy e jkz z
E  z   xE
Ex0  ax
Ey 0  ay 0e j
ax  Ex 0 
ay0  Ey0
ˆ x  ya
ˆ y 0e j  e  jk z z
E  z    xa
ˆ x  ya
ˆ y 0e j  e  jk z z
E  z    xa
ˆ x  ya
ˆ y e j  e  jkz z e jt 
E  z, t   Re  E  z  e jt   Re  xa

ˆ x cos t  kz z   ya
ˆ y cos t  kz z   
E  z, t   xa
E  z, t    a cos t  k z z   a cos t  k z z    
2
x
  z, t   tan
2
1
E y  z, t 
Ex  z , t 
2
y
 tan
1
2
1/2
a y cos t  k z z   
ax cos t  k z z 
Ângulo de
elipsidade
y

ay


a
a
0
Eixo
principal
Elipse de
polarização
ax

x
Ângulo de
rotação
Eixo
secundário
tan 0 
ay
ax


0



0


2

sin 2  sin 2 0 sin 

 
    
4
 4
tan 2  tan 2 0 cos 

 
    
2
 2
O sinal do ângulo de rotação é o mesmo sinal do cos 
O sinal do ângulo de elipsidade é o mesmo sinal do sin 
Exemplo:
Determine a polarização de uma onda plana com campo elétrico
E  z , t   xˆ3cos t  k z z  300   yˆ 4sin t  k z z  450 
E  z , t   xˆ3cos t  k z z  300   yˆ 4 cos t  k z z  450  900 
E  z , t   xˆ3cos t  k z z  300   yˆ 4 cos t  k z z  450 
E  z   xˆ 3e  jkz e j 30  yˆ 4e  jkz e  j 45
0
E  z   xˆ 3e
 jkz
E  z   xˆ 3e
e
j 300
 jkz
e
0
 yˆ 4e
j 300
 jkz  j 450
 yˆ 4e
e
 jkz
e
e
j1350
j1800
E  z   xˆ 3e
ax  3
tan 0 
ay
ax

 jkz
e
j 300
 yˆ 4e
ay  4
4
3
 jkz
e
j1350
  1050
 0  53,10
sin 2  sin 2 0 sin   sin106, 20 sin1050
  340
tan 2  tan 2 0 cos   tan106, 20 cos1050
  69, 20
cos1050  0
Problema Proposto
Faça um gráfico detalhado do lugar geométrico em função do tempo e
determine todas as propriedades da polarização do campo elétrico:

E  z , t   xˆ3cos t  kz   yˆ 3cos t  kz  45o

(V/m).