apcinex1 – O exercício explora a função horária do espaço do movimento uniforme, qualquer que seja o
intervalo de tempo considerado, a velocidade calculada será sempre a mesma.
a) Da tabela tiramos diretamente: s0 = 0
A velocidade pode ser calculada a partir da definição. Considerando o intervalo de tempo entre 0 e 2 s, o
deslocamento correspondente é de 10 m. Então, a velocidade vale:
No MU a função horária é: s = s0 + v · t, com s0 e v constantes.
Com os valores obtidos acima, temos:
s = 5 · t (SI)
b) Para t = 1,2 s, o espaço s do móvel vale:
apcinex2 – O exercício é semelhante ao anterior. Dessa vez foi nos dada a função horária do espaço.
a) Comparando a função dada, s = 15 – 5 · t, com s = s0 + v · t, resulta:
Portanto: s0 = 15 m e v = –5 m/s.
b) O móvel passa pela origem no instante em que seu espaço se anula, ou seja, quando s = 0. Então,
com a função dada, temos:
apcinex3 – O exercício é semelhante ao primeiro da série. Dada a tabela com os espaços, em função do
tempo, devemos obter a função horária do espaço e, com ela, o gráfico s × t.
Devemos usar os dados da tabela para obter s0 e v.
- no instante t = 0, o espaço inicial é s0 = 20 m;
- no primeiro segundo de movimento ( t = 1 s), a velocidade (constante) é dada por
A função horária do movimento, portanto, é:
O gráfico s × t para esse movimento é uma reta. Portanto devemos conhecer dois pontos da reta para
poder traçá-lo.
Já sabemos que, para t = 0 o espaço é s = s0 = 20 m.
Para s = 0, a função horária fornece o instante t = 5 s.
Assim, temos o gráfico:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.
apcenix4 – Nesse exercício, dado o gráfico s × t, devemos obter a correspondente função horária.
Do gráfico, para o instante t = 0, temos: s = s0 = 200 km.
Calculemos agora a velocidade do móvel no intervalo entre 0 e 4 h. Com os dados do gráfico, obtemos:
Portanto, a função horária do espaço é:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.
apcinex5 – O exercício, simples, exige a análise de um gráfico s × t.
No intervalo de 0 a 10 s temos um MU de velocidade:
No intervalo de 10 s a 20 s o móvel está em repouso: v = 0. Observe que, nesse intervalo de tempo, o
espaço s é constante e igual a 50 m.
Finalmente, no intervalo de 20 s a 40 s temos outro MU de velocidade:
No intervalo de 0 a 10 s o módulo da velocidade é maior.
A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.
apecinex6 – O exercício explora, de maneira bastante completa, dois movimentos uniformes de
sentidos opostos.
a) A figura que acompanha o enunciado, reproduzida a seguir, permite obter as constantes s0 e v de
cada móvel.
Para o móvel A, temos: s0 = 0 e v = 12 m/s.
E, para o móvel B: s0 = 200 m e v = -8 m/s.
Podemos, então, escrever as funções horárias de A e de B:
b) No instante do encontro, os móveis A e B deverão estar no mesmo ponto da trajetória, ou seja, sA =
sB. Então:
c) Para o instante t = 10 s, determinemos o espaço s do móvel A. Teremos:
Como o móvel A partiu da origem (s = 0), podemos concluir que o encontro dos móveis ocorreu a 120 m
da posição inicial de A.
d) O gráfico abaixo mostra o espaço s dos móveis, em função do tempo t.
apcinex7 – O exercício explora o cálculo do tempo gasto em um deslocamento realizado por um móvel
em MU. Lembrando que para calcular o perímetro p de um círculo de raio R: p = 2 ·
 · R.
Calculemos o tempo gasto pelo rapaz que percorre o diâmetro AC, de 60 m, da praça circular:
Calculemos agora o tempo gasto pelo rapaz que segue o contorno ABC, correspondente a metade da
circunferência de raio 30 m. O deslocamento do rapaz é igual a
 · R. Considerando  = 3,1, temos,
então:
O atraso é dado por:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.
apcinex8 – O exercício é semelhante ao 6 dessa série. Dessa vez foi dado o gráfico s × t de dois móveis
que se deslocam em sentidos opostos.
Calculemos a velocidade escalar do ônibus B (que partiu de Caruaru para Recife). Pelo gráfico, temos:
A função horária do espaço para o ônibus B é:
sB = 210 – 70 · t (h; km)
O instante de encontro dos dois ônibus é t = 2,0 h. Nesse instante, a posição do ônibus B, em relação a
Recife (origem dos espaços) é:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.
apcinex9 – O exercício é uma boa oportunidade para ver o conceito de período e de freqüência.
O móvel realiza um movimento uniforme sobre uma circunferência, de raio 5 m, com freqüência de 0,2
Hz.
Da relação entre o período T e a freqüência f, temos:
Se o período do movimento é de 5 s, isso significa que o móvel descreve uma volta completa na
circunferência (s = 2 ·  · R) em 5 s. Então, sua velocidade é:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.
apcinex10 – O exercício explora as funções horárias de um móvel em MUV e os correspondentes
gráficos.
a) Comparando a função horária da velocidade, na forma genérica, com a função horária dada, temos:
Portanto: v0 = 1 m/s e  = 2 m/s2.
b) Considerando s0 = 0 e com os valores conhecidos de v0 e de , a função horária do espaço será:
c) Os gráficos da aceleração, da velocidade e do espaço, em função do tempo, são mostrados a seguir:
apcinex11 – O exercício explora a função horária da velocidade de um móvel em MUV.
Comparando a função horária da velocidade, na forma genérica, com a função horária dada, temos:
Portanto: = –4,0 m/s2. Tal aceleração é constante durante todo o movimento, pois o móvel descreve
um MUV.
Para t = 5,0 s, a velocidade instantânea do móvel é obtida a partir da função horária da velocidade.
Temos, então:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.
apcinex12 – Mais uma vez o exercício explora as funções horárias do MUV.
a) Comparando a função horária do espaço, na forma genérica, com a função horária dada, temos:
Portanto, dessa comparação, concluimos que: s0 = 10 m, v0 = –5 m/s e  = 10 m/s2.
Com os valores de v0 e de , podemos escrever a função horária da velocidade:
b) No instante em que o móvel inverte o sentido do movimento, sua velocidade instantânea deve anularse, ou seja, para inverter o sentido do movimento, o móvel deve, necessariamente, parar por um
instante. Então:
apcinex13 – Exercício simples que explora as funções horárias da velocidade e do espaço de um MUV.
Do enunciado, temos: v0 = 0 e  = 4,0 m/s2.
O tempo T para que o avião atinja a velocidade de 160 m/s é obtido a partir da função horária da
velocidade:
Considerando que o avião partiu da origem dos espaços (s0 = 0), o espaço D, no instante da decolagem
é obtido com a função horária do espaço:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.
apcinex14 – Exercício clássico sobre encontro de móveis: um deles em MU e o outro em MUV.
Consideraremos a origem dos espaços no ponto de partida dos móveis. A figura abaixo ilustra a situação
inicial dos dois móveis.
As funções horárias do espaço, para os móveis A e B, podem ser escritas com as informações da figura.
No instante do encontro, ambos os móveis deverão estar ocupando o mesmo espaço s na trajetória.
Então:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.
apcinex15 – O exercício é semelhante ao anterior.
A figura abaixo ilustra a situação da viatura policial e da moto no instante inicial t = 0.
As funções horárias do espaço podem ser escritas com os dados do enunciado (ou da figura).
No instante do encontro, ambos os móveis devem estar no mesmo espaço s da trajetória. Então:
A posição de encontro é obtida substituindo-se o instante do encontro em qualquer uma das duas
funções horárias do espaço. Usando-se a função horária do espaço da moto, temos:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.
Observação: no instante do encontro, a viatura da Polícia Rodoviária Federal terá velocidade (dada pela
função horária da velocidade v = 2 · t) igual a 60 m/s ou 216 km/h.
apcinex16 – O exercício é o primeiro da série que explora as propriedades dos gráficos da Cinemática.
O deslocamento sofrido pelo móvel, no intervalo de 0 a 10 s, é dado pela “área” sob a curva do gráfico v
× t.
No caso, a área procurada corresponde à área de um trapézio. Então:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.
apcinex17 – O exercício é semelhante ao anterior.
Calculemos, inicialmente, o deslocamento no intervalo de 0 a 10s.
Temos:
Como a posição inicial do corpo é s0 = 10 m, então sua posição s no instante t = 10s será:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.
apcinex18 – O exercício é semelhante ao anterior.
A figura abaixo mostra a altura (equivalente à área sob a curva correspondente) de cada uma das duas
plantas, A e B.
Visualmente constatamos que a área sB é maior do que a área sA.
Logo, a planta B atinge uma altura final maior a atingida por A.
A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.
apcinex19 – O exercício exige a construção do gráfico v × t para um movimento que, de início, é
uniformemente variado e, mais tarde, torna-se uniforme.
a) Calculemos, inicialmente, a velocidade atingida pelo atleta que, partindo do repouso, acelera a 5,0
m/s2, durante 2,0s. Pela função horária da velocidade, temos:
A figura abaixo mostra o gráfico da velocidade em função do tempo durante a corrida.
b) A distância total percorrida durante a corrida corresponde ao deslocamento do atleta durante os 5 s
de duração da corrida. Tal deslocamento é dado pela área destacada no gráfico abaixo:
Temos, então:
apcinex20 – O exercício é uma aplicação das propriedades do gráfico v × t. Analisemos detalhadamente
cada uma das alternativas do teste.
a) No intervalo de 0 a 10 s, a aceleração média pode ser calculada fazendo-se:
Portanto, essa altrernativa está correta.
b) Observe que o movimento é, na verdade, constituído por dois MUV sucessivos. O primeiro deles no
intervalo de 0 a 10 s e o segundo no intervalo de 10 s a 40 s. Logo, essa alternativa está errada.
c) Para calcular a velocidade média no intervalo de 0 a 40 s, devemos antes calcular o deslocamento
total nesse intervalo de tempo. Tal deslocamento é dado pela área total abaixo da curva no diagrama v
× t: a área de um trapézio (entre 0 e 10s) mais a área de um triângulo(entre 10 s e 40 s).
Temos, então:
A velocidade média pode, agora, ser calculada. Obtemos:
Essa alternativa também está errada.
d) No intervalo de 10 s a 40 s, o deslocamento corresponde à área sob a curva naquele intervalo de
tempo (a área de um triângulo). Temos, então:
A alternativa está errada.
A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.
apcinex21 – O exercício pode ser resolvido usando-se as funções horárias do espaço, conforme fizemos
anteriormente nos exercícios 14 e 15. Entretanto, esse exercício, em particular, pode ser mais
rapidamente resolvido se usarmos as propriedades do gráfico v × t.
Observe que Paula encontra Cláudia no instante t = 7s, pois de 0 a 7 s as áreas sob as retas são iguais.
Calculando tal área obtemos:  sPaula = sCláudia = 10,5 m.
A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.
apcinex22 – O exercício explora a propriedade do gráfico s × t de que a inclinação da reta tangente à
curva, em dado instante, corresponde à velocidade instantânea v naquele instante.
A velocidade instantânea do objeto anula-se nos instantes em que a reta tangente à curva torna-se
horizontal.
Isso acontece nos instantes 2 s, 5 s, 7 s e 11 s, correspondentes aos vértices da curva.
A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.
apcinex23 – O exercício é uma aplicação simples e imediata da equação de Torricelli. Atenção para a
necessidade de se converter a velocidade final de km/h para m/s.
Do enunciado, temos: v0 = 0; v = 54 km/h = 15 m/s e s = 75 m.
A equação de Torricelli fornece:
apcinex24 – Mais uma aplicação da equação de Torricelli.
Dessa vez temos: v0 = 2 m/s;  s = 8 m e v = 6 m/s.
Pela equação de Torricelli, temos:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.
apcinex25 – Semelhante ao anterior.
Temos: s = 200 m, v0 = 25 m/s e v = 5 m/s.
Pela equação de Torricelli, temos:
Observe que poderíamos ter resolvido esse exercício, assim como os dois anteriores, com a propriedade
da velocidade média no MUV.
A velocidade média durante a travessia do túnel é de 15 m/s (obtida pela média entre 25 m/s e 5 m/s).
Com essa velocidade média, o tempo para percorrer 200 m é de 200/15 s.
Conhecido o tempo, podemos calcular a aceleração:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.
apcinex26 – O exercício explora a velocidade média no MUV.
a) Com a função horária da velocidade, v = 10 + 4 · t (SI), podemos obter a velocidade instantânea em
qualquer instante.
b) No MUV, a velocidade média, em dado intervalo de tempo, é igual à média aritmética entre as
velocidades no início e no final do trecho. Então:
Observe que, a partir da função horária da velocidade, poderíamos obter a aceleração  para, com a
equação de Torricelli, calcular s. Poderíamos, então calcular a velocidade média.
apcinex27 – Vamos resolver esse exercício usando exclusivamente a propriedade da velocidade média
no MUV.
O enunciado fornece: vA = 5 m/s; vB = 10 m/s e t = 10 s.
Podemos obter o deslocamento s, fazendo.
apcinex28 – O exercício explora a função horária da velocidade (para o cálculo da aceleração) e a
propriedade da velocidade média (para o cálculo do deslocamento).
Do enunciado, temos: v0 = 15 m/s, v = 0 e t = 10 s.
A aceleração  do trem pode ser obtida pela função horária da velocidade:
Pela propriedade da velocidade média no MUV temos:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.
apcinex29 – O exercício explora um movimento vertical nas proximidades da superfície terrestre. Uma
boa dica seria fazer uma figura com os dados do enunciado e uma trajetória, com uma origem e
devidamente orientada.
A bolinha é abandonada (v0 = 0) do alto do edifício demora 3 s para atingir o solo.
Adotaremos uma trajetória orientada para baixo e com origem no ponto de partida da bolinha (s0 = 0). A
aceleração será  = +10 m/s2.
A função horária do espaço é:
Para t = 3 s, vem:
Observe que poderíamos aplicar a propriedade da velocidade média do MUV para resolver o exercício.
Partindo do repouso, 3 s mais tarde a bolinha terá velocidade de 30 m/s (pois a aceleração é de 10
m/s2). A velocidade média é, portanto, de 15 m/s (média aritmética entre 0 e 30 m/s). Com tal
velocidade média, em 3 s, a bolinha percorre 45 m.
apcinex30 – O exercício explora, dessa vez, um lançamento vertical para cima.
a) Adotaremos uma trajetória vertical, com origem no ponto de lançamento (s0 = 0) e orientada para
cima ( = –10 m/s2). A equação de Torriceli fornece:
b) O tempo de subida pode ser obtido a partir da função horária da velocidade:
apcinex31 – O exercício é bastante simples: uma queda livre vertical a partir do repouso.
Orientando-se a trajetória vertical para baixo ( = +10 m/s2), temos:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.
apcinex32 – O exercício visa relacionar o tempo de queda com a altura inicial.
Adotando-se uma trajetória vertical orientada para baixo ( = +g) e com origem no ponto de partida de
cada maçã, temos:
Dividindo (I) por (II), temos:
apcinex33 – Primeiro exercício da série sobre lançamento horizontal. Você deve ficar atento para o fato
que o movimento é uma composição de dois movimentos simultâneos independentes um do outro: um
MU na horizontal e um MUV vertical com aceleração igual à aceleração gravitacional.
a) Com os dados do enunciado podemos fazer a figura a seguir, com as trajetórias, vertical e horizontal,
devidamente orientadas e com uma origem comum.
Na vertical (MUV), temos:
b) E, na horizontal (MU), temos:
apcinex34 – Mais um exercício que explora o lançamento horizontal.
A figura a seguir mostra os dados do enunciado.
Podemos calcular o tempo de queda se analisarmos o movimento vertical da bolinha. Temos:
A velocidade (horizontal) inicial do lançamento é calculada a partir do deslocamento horizontal sofrido
pela bolinha. Temos:
apcinex35 – O exercício é importante para mostrar que os movimentos que compõem o lançamento
horizontal ocorrem simultaneamente e são independentes.
Os dois corpos atingem o solo ao mesmo tempo pois o movimento vertical é igual para os dois corpos.
Portanto, o tempo de queda é o mesmo.
A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.
apcinex36 – Exercício clássico sobre lançamento horizontal.
Os pacotes, lançados do avião, deverão cair por 500 m, medidos na vertical. O tempo de queda é obtido
analisando-se o movimento vertical do pacote. Na vertical, temos:
Na horizontal, o pacote desloca-se com velocidade constante e igual à velocidade do avião, 360 km/h ou
100 m/s, e o movimento deverá durar 10 s. Então, o alcance A vale:
apcinex37 – Primeiro exercício da série sobre lançamento oblíqüo, bastante completo.
a) A figura a seguir mostra os dados do enunciado e as trajetórias, vertical e horizontal, devidamente
orientadas e com uma origem comum.
O tempo de subida do projétil é obtido a partir da análise do movimento vertical.
A velocidade inicial na vertical vale:
Considerando que no ponto mais alto da trajetória a velocidade vertical se anula (o projétil pára de
subir), temos:
b) O tempo de subida é igual ao tempo de descida pois a trajetória é simétrica em relação ao ponto mais
alto. Então: td = 1,5 s.
c) O tempo total de vôo corresponde à soma do tempo de subida com o tempo de descida. Como, nesse
caso, tais tempos são iguais, o tempo total de vôo será:
d) A altura máxima atingida pelo projétil pode ser obtida com a equação de Torricelli aplicada ao
movimento vertical. Considerando-se o ponto de partida e o ponto mais alto da trajetória, vem:
e) O alcance horizontal a do projétil é calculado considerando-se que na horizontal o projétil desloca-se
com velocidade constante. A componente horizontal da velocidade vale:
Então, o alcance a será:
f) No ponto mais alto da trajetória, o projétil possui apenas a componente horizontal da velocidade.
Então:
apcinex38 – O exercício exige o cálculo da altura máxima de um disco lançado com velocidade inicial de
72 km/h (portanto, 20 m/s) segundo um ângulo de 30º com a horizontal.
A velocidade inicial na vertical é dada por:
No ponto mais alto da trajetória a velocidade vertical se anula. Com a equação de Torricelli podemos
obter a altura máxima atingida pelo disco:
A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.
apcinex39 – O exercício, simples, pede a aceleração e a velocidade de um projétil, lançado a partir do
solo, no ponto mais alto da trajetória e no ponto de retorno ao solo. Durante todo o movimento, o
projétil está sujeito apenas à força peso. Logo, durante todo o movimento o projétil está sujeito à
aceleração da gravidade.
No ponto P, mais alto, a velocidade do projétil corresponde à componente horizontal da velocidade inicial
de lançamento (vP = v0 · cos ) e a aceleração é a aceleração da gravidade ( = g).
No ponto Q, ponto de retorno ao solo, a velocidade do projétil é igual à velocidade inicial de lançamento
(vQ = v0). Temos conservação de energia. A aceleração é a aceleração gravitacional ( = g).
A resposta ao teste encontra-se na alternativa e