FUNÇÃO
QUADRÁTICA
Função quadrática
Uma função f: ℝ  ℝ é função quadrática quando existem números
reais a, b e c, com a  0, tal que f(x) = ax2 + bx + c, para todo x
real.
Exemplos
 f(x) = 2x2 + 3x – 15, em que a = 2, b = 3 e c = –15
 g(x) =
 h(x) = –x +
, em que a = –
, em que a =
,b=0ec=5
, b = –1 e c = 0
Valor de uma função quadrática
Dada a função quadrática g(x) = 5x – x2, vamos calcular
Nesse caso, temos
Logo:
; então:
.
Lei de formação de uma função quadrática
Vamos determinar a lei de formação da função quadrática f.
f(x) = ax2 + bx + c , em que a, b e c  ℝ e a ≠ 0, sabendo que f(0) = 2,
f(2) = 12 e f(– 1) = 6.
Resolução:
 Se f(0) = 2, temos o ponto (0,2), então 2 = a ∙ 02 + b ∙ 0 + c  c = 2 (I)
 Se f(2) = 12, temos o ponto (2, 12), então 12 = a ∙ 22 + b ∙ 2 + c 
4a + 2b + c = 12 (II)
 Se f(–1) = 6, temos o ponto (– 1, 6), então 6 = a ∙ (–1)2 + b ∙ (–1) + c 
a – b + c = 6 (III)
Resolução:
De (I), (II) e (III), obtemos o sistema:
Pela equação (I), temos c = 2.
Para determinar os valores de a e b, basta resolver o sistema formado pelas
equações (II) e (III), substituindo c por 2:
a=3
Substituindo a por 3 em a – b = 4, temos:
Assim, a lei de formação dessa função é: f(x) = 3x2 – x + 2
Exercício:
1. Dada a função quadrática g(x)
a) g(
)
b) x tal que g(x) =
Resolução
a) g(
)
b)
x = 0 ou x =
, calcular:
Exercício:
2. Projeto. Uma peça metálica é construída conforme o molde de um
setor circular.
a) Escrever a lei que relaciona o raio desse
setor e a área da figura.
b) Considerando  = 3,14, determinar o raio
para que a área da peça seja igual a 25 cm2.
Resolução
a) O molde da peça metálica, ou seja, o setor circular, corresponde a
círculo.
do
Sabendo que a área do círculo é r2, sendo r seu raio,
então a área do setor circular é:
b) Para que a área da peça seja igual a 25 cm2, fazemos
A = 25; então:
A = 25
r2
31,85
r2 =
r
5,64
Logo, o raio do setor circular é aproximadamente 5,64 cm.
Gráfico da função quadrática – Parábola
Vamos construir o gráfico da função quadrática h(x) = x2 – 4x + 3.
x
h(x)
–1
8
0
3
1
0
2
–1
3
0
4
3
5
8
O gráfico de uma função
quadrática é uma parábola.
Gráfico da função quadrática – Parábola
Vamos construir o gráfico da função f(x) = x2 – 9.
x
f(x)
0
–9
1
–8
3
0
–1
–8
–3
0
Gráfico da função quadrática – Parábola
Vamos construir o gráfico da função g(x) = –x2 + 8x – 12.
X
g(x)
1
–5
2
0
4
4
6
0
7
–5
Concavidade da parábola
Dada a função f(x) = ax² + bx + c.
Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
 Na função j(x) = 2x2 + 4, como a = 2 > 0, então a concavidade da
parábola é voltada para cima.
 Na função
, como
da parábola é voltada para baixo.
, então a concavidade
Exercício:
3. Seja a função quadrática f(x) = (m – 3)x2 + 2x – m.
a) Analisar a concavidade da parábola em função de m.
b) Existe algum valor para m de modo que o gráfico da função passe
pelo ponto (0, –3)?
Resolução
a) Para o gráfico ter a concavidade voltada para cima, o coeficiente de x2 deve ser
positivo: m – 3 > 0  m > 3
b) Substituindo as coordenadas do ponto (0, –3) na lei da função, temos:
–3 = (m – 3) ∙ 0 + 2 ∙ 0 – m  m = 3
Mas, se m = 3, a função f não é quadrática, pois:
a = 3 – 3 = 0. Portanto, não existe m  ℝ tal que a parábola passe pelo ponto (0, –3).
O ponto em que a parábola intercepta o eixo y
Dada a função f(x) = – x2 – 1.
A parábola que representa a função f intercepta o eixo y no ponto
(0, –1). A ordenada –1 desse ponto é o coeficiente c da função f.
Os pontos em que a parábola intercepta os eixos
Considerando uma função quadrática cuja lei é
f(x) = ax2 + bx + c, com a  0, as coordenadas do ponto onde a
parábola intercepta o eixo y são (0, c).
Considerando uma função quadrática cuja lei é
f(x) = ax2 + bx + c, com a  0, as coordenadas do ponto onde a
parábola intercepta o eixo x são (x’, 0) e (x’, 0).
Ou seja, a parábola intercepta os eixo x, nas raízes e, o eixo y, no
valor de c.
Zeros ou raízes da função quadrática
f(x) = ax2 + bx + c (a, b e c  ℝ e a  0)
f(x) = 0
ax2 + bx + c = 0
em que  = b2 – 4ac
Daí, temos as raízes ou zeros, x’ e x”.
Existência das raízes da função quadrática
 Quando  > 0, a função tem dois zeros reais distintos.
e
A parábola intercepta o eixo x em dois pontos:
Existência das raízes da função quadrática
 Quando  = 0, a função tem um zero real duplo.
A parábola intercepta o eixo x em um único ponto:
Existência das raízes da função quadrática
 Quando  < 0, a função não tem zeros reais.
A parábola não intercepta o eixo x:
Exemplos
a) Vamos determinar os zeros da função f(x) = x2 – 4x + 3 e os
pontos em que a parábola intercepta o eixo x
Para isso, vamos resolver a seguinte equação do 2o grau x2 – 4x + 3 = 0
 = (–4)2 – 4  1  3 = 16 – 12 = 14
x = 3 ou x = 1
Assim, os zeros da função são: x1 = 1 e x2 = 3
Logo, o gráfico da função intercepta o eixo x
em dois pontos: (1, 0) e (3, 0)
Exemplos
b) Vamos determinar os zeros da função f(x) = x2 – 4x + 4 e os
pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
Para isso, vamos encontrar as raízes reais da equação x2 – 4x + 4 = 0.
 = (–4)2 – 4  1  4 = 0
Assim, x1 = x2 = 2 (f(x) possui um zero real duplo)
Logo, o gráfico da função intercepta o eixo x em um
único ponto: (2, 0)
Exemplos
c) Vamos verificar se a função f(x) = –x2 – 4x – 5 tem zeros reais e
se a parábola correspondente intercepta o eixo x.
Para isso, vamos resolver a equação do 2o grau x2 – 4x – 5 = 0.
 = (–4)2 – 4  (–1)  (–5) = 16 – 20 = –4
Como  < 0, a equação –x2 – 4x – 5 não tem raízes reais e,
portanto, a função f(x) = –x2 – 4x – 5 não tem zeros reais.
Logo, o gráfico da função não intercepta o eixo x:
Exercício:
4. Considerando a função quadrática determinada por
f(x) = –2x2 – 6x – k, para quais valores de k a função admite dois
zeros reais distintos?
Resolução
Vamos calcular o discriminante da equação –2x2 – 6x – k = 0.
= (–6)2 – 4
 (– 2)  (–k) = 36 – 8k
Para a função ter dois zeros, o discriminante deve ser positivo (  > 0).
Exercício:
5. Determine k para que o gráfico da função quadrática f(x) = kx2 + 2
passe pelo ponto A(1, 5).
Resolução
Substituindo as coordenadas do ponto A na lei da função f, obtemos a
equação:
f(1)= 5  k ∙ 12 + 2 = 5  k = 3
Portanto, a função quadrática que passa pelo ponto A(1, 5) é:
f(x) = 3x2 + 2
Exercício:
6. Determinar a lei da função quadrática com base no gráfico.
Resolução
A parábola intercepta o eixo y no ponto (0, –6).
Logo, f(0) = –6; assim, c = –6.
Então, temos: f(x) = ax2 + bx – 6
A parábola intercepta o eixo x no ponto (3, 0). Isso
significa que 3 é zero da função f. Logo: f(3) = 0
Assim: a(–3)2 + b(–3) – 6 = 0  9a – 3b = 6 (I)
A parábola passa pelo ponto (3, 6). Logo: f(3) = 6
Somando membro a membro (I) e (II), temos que:
Substituindo a = 1 na equação (I) ou (II), obtemos: b = 1
Portanto, a lei da função quadrática representada pelo gráfico
é: f(x) = x2 + x – 6