INPE – Instituto Nacional de
Pesquisas Espaciais
Seminário de Dinâmica Orbital I
Sistemas de Equações
Gauss-Jordan com
pivotamento diagonal
Eliel Wellington Marcelino
Professor: Dr. Mário Ricci
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SUMÁRIO
Introdução – Sistemas de Equações..............................................03
Sistema Linear...............................................................................04
Métodos Diretos.............................................................................05
Método de Eliminação de Gauss.....................................................06
Método de Eliminação de Gauss com pivotamento na diagonal....07
Método de Gauss-Jordan...............................................................08
Uso do Pivotamento.......................................................................09
Pivotamento Diagonal....................................................................10
Método de Gauss-Jordan com Pivotamento Diagonal....................11
Bibliografia.....................................................................................19
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Introdução – Sistemas de
Equações
Os métodos de discretização por diferenças
finitas, e de fato a maioria dos métodos de
discretização de equações diferenciais
parciais, reduz o problema contínuo a um
problema discreto que se resume, em última
instância, na solução de um conjunto de
equações lineares. Existem alguns métodos
utilizados na resolução de sistemas de
equações tais como: Métodos iterativos tipo
Gauss-Seidel e Jacobi e Métodos diretos tipo
Gauss (Eliminação gaussiana com
pivotamento).
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Sistema Linear
Um sistema linear é descrito da seguinte
maneira:
(1)
A solução clássica de um sistema linear é
formalmente resolvida pela Regra de Cramer.
(2)
Onde
é o determinante da matriz obtida
pela substituição da j-ésima coluna de A com
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o lado direito b.
Métodos Diretos
Métodos diretos consistem na anulação
de certos coeficientes por meio de
adições das equações dos sistemas
modificando o seu aspecto primitivo,
mas transformando-o em um sistema
de solução imediata.
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Método de Eliminação de
Gauss
O método de eliminação gaussiana
reduz o sistema da Eq.(1) a um sistema
equivalente da forma Ux=b, onde U é
uma matriz triangular superior e b é um
vetor atualizado do lado direito da
equação.
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Método de Eliminação de
Gauss com pivotamento na
diagonal
O Método de eliminação de Gauss com
pivotamento na diagonal consiste em
transformar o sistema dado num
sistema triangular pela aplicação
repetida da operação de subtrair de
uma equação, outra equação
multiplicada por uma constante
diferente de zero.
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Método de Gauss-Jordan
O método de Gauss-Jordan tem como
propósito, reduzir a matriz A da Eq.(1) em
uma estrutura diagonal através das
operações da álgebra elementar. Um dos
diversos algoritmos de eliminação gaussiana
é descrito abaixo, chamado de Gauss-Jordan.
(3)
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Uso do Pivotamento
A fim de se evitar prováveis divisões
por zero dos elementos akk e também
garantir a estabilidade numérica do
algoritmo (devido à problemas de
arredondamento), faz-se necessário o
uso de técnicas de pivotamento.
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Pivotamento Diagonal
Pivotamento são operações de troca de
linhas e/ou colunas de modo a obter
uma matriz que tenha em sua diagonal,
elementos com maior valor absoluto.
Diz-se pivotamento diagonal ou parcial
quando são efetuadas apenas trocas de
linhas.
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Método de Gauss-Jordan com
Pivotamento Diagonal
Define-se o método de Gauss-Jordan
com Pivotamento Diagonal, como sendo
a redução da matriz A da Eq. (1) em
uma estrutura diagonal, utilizando
apenas trocas de linhas.
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Método de Gauss-Jordan com
Pivotamento Diagonal
Suponha-se um sistema de equações lineares, representado
por:
Ax=b
Onde A é a matriz dos coeficientes (não singular), x o vetor
das incógnitas e b o vetor constante.
Escrevendo sistema Ax=b na forma matricial temos:
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Método de Gauss-Jordan com
Pivotamento Diagonal
O sistema pode ser indicado pela matriz nx(n+1)
Onde a última coluna é idêntica ao vetor constante, e que é
denominada matriz aumentada.
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Método de Gauss-Jordan com
Pivotamento Diagonal
Para achar as incógnitas xj, para j=1,2,....,n, Gauss propôs
triangularizar e Jordan propôs diagonalizar a matriz
aumentada, o que resulta no fato da última coluna assumir os
valores procurados.
Após todo o procedimento temos a matriz aumentada da
seguinte forma:
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Método de Gauss-Jordan com
Pivotamento Diagonal
Após obtida a matriz aumentada triangular, multiplica-se cada
linha por a1z, onde z é igual a posição da linha de cima para
baixo a partir da segunda, subtraem-se os valores obtidos da
primeira linha.
Repetindo este procedimento até z=n-1, para as linhas
subseqüentes, obtém-se:
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Método de Gauss-Jordan com
Pivotamento Diagonal
Procedimentos para aplicação do método
1º) Encontra-se o maior valor da primeira coluna ai1 e
coloca-o na posição a11, por meio de trocas de linhas,
obtém-se o pivô. Divide-se então a linha 1, isto é, a linha
do pivô pelo próprio pivô (a11) e subtrai-se das linhas
abaixo a primeira linha multiplicada por ai1, que será
igual a identidade.
2º) Repete-se o 1º)procedimento, tomando como pivô
sempre os maiores valores das colunas, translada-os
para as posições azz, até z=n-1, e divide-se a última
linha por ann.
3º) Após obtida a matriz triangular pelo 2º)procedimento,
multiplica-se cada linha por a1z, onde z é igual a posição
da linha de cima para baixo a partir da segunda e
subtraem-se os valores obtidos da primeira linha.
Repete-se estas operações até z=n-1, para as linhas
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subseqüentes.
Método de Gauss-Jordan com
Pivotamento Diagonal
Exemplo:
Seja a equação
A matriz aumentada é:
Fazendo o 1º procedimento temos:
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Método de Gauss-Jordan com
Pivotamento Diagonal
Fazendo o 2º procedimento temos:
E Finalmente após o 3º procedimento
temos o resultado:
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Bibliografia
- Applied Numerical Methods
Carnahan, Brice; Luther H. Wilkes J.O.
John Wiley & Sons.
- Métodos numéricos para a resolução de sistemas de
equações lineares
Pilchowski, Hans- Ulrich. (PI - INPE)
- Computer methods for mathematical computations
George E. Forsythe, Michael A. Malcolm.
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