Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Robson Rodrigues
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6ª Lista de Exercícios – Derivadas: cálculos e aplicações
Questão 01. Utilizando a regra do produto, calcule a derivada das funções abaixo:
2
a) y = (2x-3)(x – 5x)
2
b) w = ( t – 1)(t + 3)
c) p = (t – 5)(2t + 3)
Questão 02. Utilizando a regra do quociente, determine a derivada das funções abaixo:
a) y 
2x  3
x5
b) w =
t 2  2t
3t  4
c) p =
5
2
t  3t  5
Questão 03. Utilizando a “regra da cadeia”, diferencie as funções abaixo:
a) y = (5x – 2)
3
b) w =
2t 2  5t
c) p 
3
(2t  5) 2
Questão 04. Um corpo se move em linha reta de acordo com a equação S =
4  3t 2 , onde S é dado
em metros e t em segundos.
a) Determine a velocidade média desse corpo no intervalo [0,2].
b) Determine a velocidade do corpo no instante t = 2s.
Questão 05. Um empresário estima que quando x unidades de certo produto são vendidas, a receita
2
bruta associada ao produto é dada por C = 0,5x + 3x – 2 milhares de reais. Qual é a taxa de variação da
receita quando 3 unidades estão sendo vendidas? Interprete o resultado obtido.
Questão 06. No instante t = 0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura. Como a
2
velocidade inicial do mergulhador é de 16 pés por segundo, sua função posição é: H = -16t +16t + 32.
a) Em que instante o mergulhador atinge a água?
b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto?
Questão 07. O modelo N 
t2  t  1
t2  1
mede a percentagem do nível de oxigênio em uma lagoa; t é o
tempo em semanas, após o lançamento de detritos orgânicos na lagoa. Ache a taxa de variação de N
em relação a t quando:
a) t = 0,5
b) t = 2
c) t = 8.
Questão 08. Determine a taxa de variação do volume V de uma esfera em relação ao seu raio r para:
a) r arbitrário
b) r = 1 m
Questão 09. Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área A
da superfície da mancha em relação ao raio r do círculo para:
a) r arbitrário
b) r = 200 m
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Questão 10. Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um
cone com diâmetro de base igual à altura. Quando a altura do monte é de 3 m, a taxa de variação com
3
que a areia é despejada é de 0,01 m / min. Qual a taxa de variação da altura do monte quando esta for
de 3 m?
Questão 11. Sabemos que a área de um quadrado é função do seu lado. Determinar:
a) A taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 2,5 para
3 m.
b) A taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4 m.
Questão 12. Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o
número n de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro
dia de epidemia) é, aproximadamente, dado por n = 64t 
t3
.
3
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5° dia?
Questão 13. Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no
reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V  50(80  t ) 2 . Determinar:
a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de
escoamento.
b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento.
c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento.
2
Questão 14. Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação l = 2 + t , onde a variável t
representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado quando t = 2.
Questão 15. Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da
3
base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m /h, a que razão aumenta a área da base quando
a altura do monte é de 4 m?
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GABARITO PARCIAL
Questão 01.
2
2
2
2
a) y’ = 2(x – 5x) + (2x – 3)(2x – 5) = 2x – 10x + 4x – 10x – 6x + 15 = 6x – 26x + 15
b) w’ = 1(t + 3) + (t – 1)1 = t + 3 + t – 1 = 2t + 2
2
2
2
2
c) p’ = 2t(2t + 3) + (t – 5)2 = 4t + 6t + 2t – 10 = 6t + 6t – 10
Questão 02.
a) y’ =
13
( x  5)
3t 2  8t  8
b) w’ =
2
(3 t  4 )
c) p’ =
2
10t  15
2
( t  3t  5) 2
Questão 03.
a) y’ = 15(5x – 2)
2
4t  5
b) w’ =
c) p’ =
2 2t 2  5 t
Questão 04. a) vm = 1 m/s
3t
b) v =
 v(2) =
4  3t 2
3 .2
12
( 2t  5 ) 3
= 1,5 m/s
16
Questão 05.
dC
dC
=x+3
(3) = 3 + 3 = 6 mil reais / unidade
dx
dx
Quando a produção é de 3 unidades a receita da empresa está aumentado a uma taxa de 6 mil reais por
unidade produzida.
Questão 06.
a) Na água temos H = 0  - 16t + 16t + 32 = 0  t = 2s
2
b) v =
dH
 v = -32t + 16  v(2) = - 48 m/s.
dt
Questão 07. Como
a)
t2  1
dN
=
temos:
dt
( t 2  1) 2
dN
(0,5) = - 0,48 % / semana
dt
semana
Questão 08. Resolvida em aula
Questão 09. Resolvida em aula
b)
dN
(2) = 0,12 % / semana
dt
c)
dN
(8) = 0,015 % /
dt
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Questão 11. a)
A
= 5,5
l
b)
dA
dA
 2l 
(2)  2.4  8
dl
dl
Questão 12.
a)
dn
dn
2
 64  t 2 
( 4) = 64 – 4 = 48 pessoas/ dia
dt
dt
Logo, no tempo t = 4, a moléstia está se espalhando à razão de 48 pessoas por dia.
b)
dn
(8) = 0. Logo, no tempo t = 8, a epidemia está controlada.
dt
c) O número de pessoas atingidas pela moléstia durante o 5° dia é dado por: n(5) – n(4)  43 pessoas.
Questão 13.
a)
V
= - 7500 litros /hora ( o sinal negativo indica que o volume de água está diminuindo com o tempo)
t
b)
dV
dV
= -100(80 – t) 
(8) = - 7200 litros / hora
dt
dt
c) No início temos V(0) = 320000 litros
5 horas depois o volume de água é dado por V(5) = 281250 litros
Volume de água que saiu do reservatório nas 5 primeiras horas é : 320000 – 281250 = 38750 litros.
Questão 14.
2
2
2 2
Sendo A a área de uma quadrado de lado l segue que A = l , como l = 2 + t temos: A = (2 + t ) .
Queremos
dA
(2).
dt
dA
dA
2
2
= 2(2 + t ).2t = 4t(2 + t ) 
(2) = 48 unidades de área / unidade de tempo
dt
dt