Mestrado em Finanças e Economia Empresarial
Competição Estratégica e Organização de Mercados - 2003
Primeira prova: 30/08/2003
Questão 1:
Considere o jogo do covarde (The Chicken Game), representado abaixo na
forma normal:
empresa 1
empresa 2
I
−3, −3
0, 2
I
NI
NI
2, 0
1, 1
Nesse jogo duas firmas dividem um mercado de um produto de alta tecnologia. Em um determinado momento, cada empresa deve decidir se investe ou
não em pesquisa e desenvolvimento (P&D) de um novo produto. Se nenhuma
das firmas investe (ambas jogam NI), então nada se altera e elas têm ganhos de
duopólio. Se uma empresa investe (joga I) e a outra não (joga NI), então quem
investiu tem o ganho da patente do produto, o que lhe dá poder de mercado por
um certo perı́odo e provocará uma redução nos payoffs da empresa que optou
por não investir em P&D. Caso ambas as firmas façam o investimento, a patente
se torna um bem público e o custo do projeto leva as firmas à falência.
Determine:
1. (1 pt) o resultado do jogo por eliminação iterada de estratégias estritamente dominadas.
• Não existe estratégia estritamente dominada para nenhum dos jogadores.
Logo não é possı́vel eliminar nenhuma estratégia e o equilı́brio é o próprio
jogo.
2. (1 pt) o equilı́brio de Nash do jogo, em estratégias puras.
• Há dois equilı́brios de Nash em estratégias puras: (N I, I) e (I, NI).
3. (1 pt) o equilı́brio de Nash do jogo em estratégias mistas. Se ambas
as firmas adotarem estratégias mistas, qual é a probabilidade não haver
bancarrota (falência) de ambas as firmas?
• Nessa questão seria suficiente caracterizar o equilı́brio de Nash em
es-
tratégias mistas como “o jogador 1 jogar (I, N I) com probabilidade 14 , 34
e o jogador 2 jogar (I, N I) com probabilidade 14 , 34 ”. A probabilidade
de haver bancarrota é a probababilidade de o resultado do jogo ser (I, I),
1
o que, pelo equilı́brio descrito, é igual a 14 × 14 = 16
. Logo a probabilidade
1
de não haver falência de ambas as firmas é dada por 1 − 16
= 15
16 .
1
4. (1 pt) suponha que o jogo descrito acima seja jogado sequencialmente e
que o primeiro a decidir seja o jogador 1. Represente o jogo na sua forma
extensiva e determine o resultado por indução retroativa.
• O equilı́brio desse jogo por indução retroativa é a firma 1 jogar investir e
a firma 2 jogar não investir dado que a firma 1 investiu. Os payoffs são
(2, 0).
5. (1 pt) considere agora que o primeiro movimento seja do jogador 2. Qual
será o resultado por indução retroativa? O que você conclui?
• Já o equilı́brio desse jogo por indução retroativa é a firma 2 jogar investir
e a firma 1 jogar não investir dado que a firma 2 investiu. Os payoffs
são (2, 0). Repare que a firma que joga primeiro tem vantagem sobre a
seguidora, o que decorre do fato de se tratar de um jogo de informação
completa.
Questão 2:
Uma associação patronal e um sindicato de trabalhadores vão negociar como
dividir os benefı́cios da produção de um determinado ano. Ambas as associações
desejam obter o máximo possı́vel para os seus associados e a negociação ocorre
do seguinte modo:
1. a associação patronal propõe uma divisão;
2. o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta: se o sindicato aceita, o jogo
termina e cada jogador obtém o acordado; se não aceita o jogo continua;
3. o sindicato propõe uma divisão;
4. a associação patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta: se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado; se rejeita a proposta, então
a Justiça do Trabalho impõem uma divisão de 50% para cada uma das
partes e o jogo também termina.
É necessário algum tempo para preparar cada proposta e contraproposta.
Por isso, se o acordo for fechado em 2, então os jogadores têm 1 (100%) para
repartir. Se terminar com a associação patronal aceitando a proposta em 4, os
benefı́cios serão apenas de δ, (δ < 1); e se a barganha terminar com a intervenção
da Justiça, então os benefı́cios são apenas de δ 2 . Pede-se:
1. (0.5 pt) represente o jogo na sua forma extensiva.
• A resposta dessa questão eu faço em sala. Os payoffs são (x,
1 − x) no
δ 2 δ2
primeiro estágio, (δy, δ (1 − y)) no segundo estágio e 2 , 2 caso seja
necessária a intervenção da Justiça do Trabalho.
2. (0.25 pt) quanto cada jogador vai obter em equilı́brio perfeito.
2
• Por indução retroativa, no segundo (e último) estágio da barganha, o
sindicato oferece (y) aos empresários, que aceitam se e somente se
δy ≥
δ2
2
Logo a proposta será
δ
2
2
2
e os ganhos nesse estágio seriam Up = δy = δ2 e Ut = δ (1 − y) = δ − δ2 .
No primeiro estágio do jogo os empresários ofertam (1 − x) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
y=
1−x≥δ−
δ2
2
de modo que a oferta ótima será
1−x=δ−
δ2
2
2
2
e os ganhos seriam Up = x = 1 − δ + δ2 e Ut = 1 − x = δ − δ2 .
Logo o equilı́brio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao resultado por indução retroativa) será a associação patronal ofertar
2
(1 − x) = δ − δ2 aos trabalhadores no primeiro estágio, os trabalhadores
aceitarem a proposta feita, o jogo terminar e os ganhos serão dados por
2
2
Up = 1 − δ + δ2 e Ut = δ − δ2 .
3. (0.25 pt) se você representasse os trabalhadores, você preferiria fazer a
proposta em primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresários?
• A primeira coisa a ser feita é representar o jogo na forma extensiva supondo
que o sindicato de trabalhadores faça a oferta em primeiro lugar, no
primeiro estágio. Nesse caso os payoffs seriam
2 2(1
− x, x) no primeiro
δ
δ
estágio, (δ (1 − y) , δy) no segundo estágio e 2 , 2 caso fosse necessária
a intervenção da Justiça do Trabalho. Resolvemos o jogo da mesma
maneira, de modo que no segundo estágio da barganha, os empresários
oferecem (1 − y) aos trabalhadores, que aceitam se e somente se
δ (1 − y) ≥
δ2
2
Logo a proposta será
δ
2
2
2
e os ganhos nesse estágio seriam Up = δy = δ − δ2 e Ut = δ (1 − y) = δ2 .
No primeiro estágio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresários.
Estes aceitam se e somente se
1−y =
x≥δ−
3
δ2
2
de modo que a oferta ótima será
x=δ−
δ2
2
2
2
e os ganhos seriam Up = x = δ − δ2 e Ut = 1 − x = 1 − δ + δ2 . Segue que o
equilı́brio de Nash perfeito em subjogos será o sindicato dos trabalhadores
2
ofertar x = δ− δ2 aos patrões no primeiro estágio, os empresários aceitarem
essa proposta e o jogo terminar ali. Os ganhos seriam dados por Up =
2
2
δ − δ2 e Ut = 1−δ + δ2 . Note que os trabalhadores estarão melhor fazendo
a oferta no primeiro estágio se
1−δ+
ou seja, se
δ2
δ2
≥δ−
2
2
δ 2 − 2δ + 1 ≥ 0
o que é sempre verdade para todo δ ∈ [0, 1].
Questão 3: Responda V ou F. Justifique todas as suas respostas!
Considere um duopólio em que a demanda inversa de mercado é dada por
P (Q) = a − bQ. O custo fixo das duas empresas é zero, de modo que o custo
marginal é constante e igual a c para ambas as empresas.
1. (0.5 pt) no equilı́brio de Cournot cada empresa vende a−c
3b .






• o problema de uma firma qualquer, por exemplo, da firma 1, é max a − b (q1 + q2 ) q1 − cq1 
q1
P (Q)
de modo que as CPO’s nos mostram que a furnção de reação dessa firma
2
será q1 (q2 ) = a−c−bq
. Analogamente, a função de reação da firma 2
2b
a−c−bq1
será q2 (q1) = 2b . Na interseção das melhores respostas temos que
q1 = q2 = a−c
3b . A afirmativa é verdadeira.
c
2. (0.5 pt) no equilı́brio de Bertrand o preço de mercado é dado por 2b
.
• A afirmativa é falsa. Note que temos exatamente o paradoxo de Bertrand,
onde em mercados de produtos homogêneos as firmas escolhem o preço
igual ao custo marginal. Logo P = c.
3. (0.5 pt) se a firma 2 for lı́der em quantidade, venderá a−c
unidades.
2b
• Por indução retroativa o problema da seguidora, da firma 1, é max [(a − b (q1 + q2 )) q1 − cq1 ]
q1
2
tal que a função de reação é q1 = a−c−bq
. O problema da lı́der é maxi2b
mizar o seu lucro incorporando essa informação da seguidora de modo a induzir à reação ótima do seu prisma, max [(a − b (q1 (q2 ) + q2 )) q2 − cq2 ] =
q2
4
2
a − b a−c−bq
+ q2 q2 − cq2 , de modo que as CPO’s nos mostram
2b
q2
que q2 = a−c
e a resposta é verdadeiro.
2b
max
4. (0.25 pt)em caso
de conluio, as duas empresas vendem conjuntamente um
total de a−c
unidades.
b
• Em caso de conluio as firmas se coordenam para aumentar o poder de
determinação do preço de mercado através do controle da oferta. Nesse
sentido essa coordenação implica que o cartel se comporta como um monopolista, de modo que o problema do cartel seria max [(a − bqc ) qc − cqc ].
qc
As CPO’s mostram que qc = a−c
,
de
maneira
que
a resposta é falso.
2b
5. (0.25 pt) caso as empresas tenham custos diferenciados, sendo o custo
marginal da empresa 1 dado por c1 e o custo marginal da empresa 2 dado
por c2 , e c1 < c2 , então, no equilı́brio de Bertrand, as duas empresas
dividem o mercado entre si e o preço será igual a c2 .
• Falso. Nesse caso, se a firma 2 resolve competir com a firma 1 estaria em
dificuldades: a firma 1 pode cobrar P = c1 < c2 tal que a firma 2 teria
prejuı́zo. Segue que o equilı́brio é a firma firma 1 constituir um monopólio
e estabelecer preço (de monopólio) P = 12 (a + c).
Questão 4:
Três oligopolistas operam em um mercado com demanda inversa dada por
P (Q) = a − Q, Q =
3
qi
i=1
onde qi , i = 1, 2, 3 é a quantidade produzida pela i-ésima firma. Cada firma
possui um custo marginal de produção constante, c, e não há custo fixo. As
firmas escolhem as suas ofertas como se segue: (1) a firma 1 escolhe q1 ≥ 0; (2)
as firmas 2 e 3 observam e então escolhem simultaneamente q2 ≥ 0 e q3 ≥ 0,
respectivamente. Responda:
1. (0.5 pt) Suponha que cada firma, ao escolher, tenha apenas duas opções.
Represente esse jogo na sua forma extensiva.
• Faremos na monitoria.
2. (0.5 pt) Qual é o resultado de subjogo perfeito?
• Faremos na monitoria e será questão da lista 3.
5
Questão 5:
Considere o Dilema dos Prisioneiros abaixo,
jogador 1
NC
C
jogador 2
NC
−1, −1
0, −9
C
−9, 0
−6, −6
Responda:
1. (0.5 pt) Se esse jogo for repetido um número finito de vezes, não haverá
cooperação entre os jogadores. Explique porque (seja sucinto).
• Ainda que seja possı́vel haver cooperação em jogos finitos, as condições
são restritivas e não estão satisfeitas no jogo acima. Seria necessário que
houvesse mais de um equilı́brio de Nash no jogo não repetido, que fosse
possı́vel ranqueá-los em função do critério de eficiência de Pareto e que
houvesse um resultado Pareto-superior aos equilı́brios e que não fosse um
Nash no jogo não repetido. Note que há apenas um equilı́brio de Nash no
jogo não repetido, (C, C).
2. (0.5 pt) Suponha que se trata de um jogo repetido infinito, onde os jogadores descontam o futuro a uma taxa constante e igual a δ ∈ [0, 1) para
ambos. Enuncie uma estratégia de disparo (“trigger”) que sustente o resultado (N C, N C) como um equilı́brio perfeito do jogo repetido. Calcule
a taxa de desconto mı́nima que sustenta esse resultado.
• Uma estratégia que pode dar suporte à cooperação nesse jogo seria cada
jogador “jogar N C em t = T se em todo t = 1, 2, ..., T − 1 o resultado do
jogo foi (N C, NC). Caso contrário joga C em t = T ”. Note que se um
jogador qualquer coopera sempre (sempre joga N C), o seu ganho esperado
é
−1
u (cooperar) = u (c) = −1 − 1δ − 1δ 2 − ... =
1−δ
e o seu ganho esperado em não-cooperar (trair o acordo em algum estágio
e depois ter o ganho associado ao equilı́brio de Nash do jogo não repetido)
seria
u (não cooperar) = u (nc) = 0 − 6δ − 6δ 2 − 6δ 3 − ... =
de modo que
u (c) ≥ u (nc) ↔
Isto é, é possı́vel cooperar se
−1
−6δ
≥
1−δ
1−δ
1
δ≥ .
6
6
−6δ
1−δ