Questão 16
Dado x > 0, considere o retângulo de base 4 cm
e altura x cm. Seja y, em centímetros quadrados, a área desse retângulo menos a área de
um quadrado de lado x/2 cm.
a) Obtenha os valores de x para os quais y > 0.
b) Obtenha o valor de x para o qual y assume
o maior valor possível, e dê o valor máximo
de y.
Resposta
⎛x⎞
Temos y = 4x − ⎜ ⎟
⎝2 ⎠
2
⇔y =−
2
x
+ 4x .
4
x2
+ 4x > 0 ⇔ x ⋅ (x − 16) < 0 ⇔
4
⇔ 0 < x < 16, que satisfaz a condição x > 0.
x2
b) Como y = −
+ 4x representa a equação de
4
uma parábola, o valor de x para o qual y assume
o maior valor possível é dado pela abscissa do
−4
vértice x =
= 8 . Assim o valor máximo
⎛ −1 ⎞
2 ⋅⎜
⎟
⎝ 4 ⎠
a) y > 0 ⇔ −
82
de y é −
+ 4 ⋅ 8 = 16.
4
Questão 17
Considere a função y = f(x) = 1 + sen(2π x −
π
),
2
definida para todo x real.
a) Dê o período e o conjunto imagem da função f.
b) Obtenha todos os valores de x no intervalo
[0, 1], tais que y = 1.
π⎞
⎛
b) y = 1 ⇔ 1 + sen ⎜ 2 πx − ⎟ = 1 ⇔
⎝
2⎠
π⎞
π
⎛
⇔ sen ⎜ 2 πx − ⎟ = 0 ⇔ 2 πx −
= kπ, k ∈ Z ⇔
⎝
2⎠
2
1
k
, k ∈ Z.
⇔x =
+
4
2
1
3
ou x =
.
Como x ∈ [0; 1], temos x =
4
4
Questão 18
Suponha que Moacir esqueceu o número do
telefone de seu amigo. Ele tem apenas duas
fichas, suficientes para dois telefonemas.
a) Se Moacir só esqueceu os dois últimos dígitos, mas sabe que a soma desses dois dígitos
é 15, encontre o número de possibilidades
para os dois últimos dígitos.
b) Se Moacir só esqueceu o último dígito e decide escolher um dígito ao acaso, encontre a
probabilidade de acertar o número do telefone, com as duas tentativas.
Resposta
a) Os dois últimos dígitos do telefone do amigo de
Moacir podem ser 69, 78, 87 ou 96, totalizando 4
possibilidades.
b) Existem 10 dígitos e as duas tentativas correspondem a escolhas de 2 dígitos distintos. Logo a
2
1
probabilidade pedida é
=
.
10
5
Questão 19
Na figura, os triângulos ABD e BCD são isósceles. O triângulo BCD é retângulo, com o ângulo C reto, e A, B, C estão alinhados.
Resposta
D
π⎞
⎛
a) Temos −1 ≤ sen ⎜ 2 πx − ⎟ ≤ 1 ⇔
⎝
2⎠
π⎞
⎛
⇔ 0 ≤ 1 + sen ⎜ 2 πx − ⎟ ≤ 2 ⇔ 0 ≤ y ≤ 2 .
⎝
2⎠
Logo a função f tem imagem [0; 2] e período
2π
= 1.
|2 π |
A
B
C
matemática 2
$ em graus.
a) Dê a medida do ângulo BAD
b) Se BD = x, obtenha a área do triângulo
ABD em função de x.
Resposta
a) Como o triângulo BCD é retângulo e isósceles,
180o − 90o
$
m (CBD)
=
= 45 o .
2
No triângulo isósceles ABD, como os pontos A,
$ é um ângulo aguB e C estão alinhados e CBD
$
do, ABD será obtuso, portanto oposto ao maior
e
lado
do
triângulo.
Logo
AB = BD
$
$
$
m (BAD)
+ m (BDA)
= m (CBD)
⇔
$
$
⇔ m (BAD)
+ m (BAD)
= 45 o ⇔
o
$
⇔ m (BAD)
= 22,5 .
b) Com BD = AB = x , a área do triângulo ABD é
1
⋅ AB ⋅ BD ⋅ sen(AB$ D) =
2
1
x2
=
⋅ x ⋅ x ⋅ sen(180o − 45 o ) =
⋅ sen 45 o =
2
2
=
a) Dê o número de faces do poliedro construído.
b) Obtenha o valor de x, 0 < x ≤ a/2, para o
qual o volume do poliedro construído fique
igual a cinco sextos do volume do cubo original. A altura de cada pirâmide cortada, relativa à base eqüilateral, é x/ 3 .
Resposta
a) Cada vértice do cubo original gera uma face do
poliedro. Além disso, o sólido possui faces contidas nas faces do cubo. Logo o total de faces do
poliedro construído é 8 + 6 = 14.
b) O volume do poliedro construído é cinco sextos
do volume do cubo original se, e somente se, a
soma dos volumes das oito pirâmides retiradas é
um sexto do volume do cubo original.
A base de cada pirâmide retirada é um triângulo
retângulo isósceles de catetos de medida x. Além
disso, a altura da pirâmide também é x, conforme
a figura a seguir:
x2
2
x2 2
.
⋅
=
2
2
4
x
Questão 20
x
Um poliedro é construído a partir de um
cubo de aresta a > 0, cortando-se em cada
um de seus cantos uma pirâmide regular de
base triangular eqüilateral (os três lados da
base da pirâmide são iguais). Denote por x,
0 < x ≤ a/2, a aresta lateral das pirâmides
cortadas.
x
x
Face lateral das
pirâmides cortadas
x
Logo 8 ⋅
1 x2
1
a
.
⋅
⋅x =
⋅ a3 ⇔ x =
3
2
6
2