MATEMÁTICA 3
17. Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como
ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um
ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos CBA =
57o e ACB = 59o. Sabendo que BC mede 30m, indique, em metros, a distância
o
o
AB. (Dado: use as aproximações sen(59 ) ≅ 0,87 e sen(64 ) ≅ 0,90)
A
59°
C
57°
B
Resposta: 29
Solução:
O ângulo CAB mede 180-57-59 = 64 graus. Usando a Lei dos Senos no
triângulo ABC obtemos AB/sen(59º) = BC/sen(64º), e portanto AB ≅
30.0,87/0,9 = 29 metros.
18. A probabilidade de um estudante de certo colégio ser aprovado na primeira
etapa do vestibular é de 5/6. Tendo sido aprovado na primeira etapa, a
probabilidade de ele ser aprovado na segunda etapa é de 3/5. Escolhendo,
aleatoriamente, um estudante deste colégio, qual a probabilidade percentual de
ele ser aprovado nas duas etapas do vestibular? (Suponha que os eventos “ser
aprovado na primeira etapa” e “ser aprovado na segunda etapa” são
independentes.)
Resposta: 50
Solução:
Trata-se da probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos
independes e vale 100.5/6.3/5 % = 50 %.
19. O preço da corrida de táxi na cidade R é calculado adicionando um valor fixo de
R$ 2,50 a R$ 1,30 por cada quilômetro rodado, enquanto na cidade S o preço é
obtido adicionando um valor fixo de R$ 3,40 a R$ 1,25 por quilômetro rodado. A
partir de quantos quilômetros rodados, o táxi da cidade R deixa de ser mais
barato que o da cidade S?
Resposta: 18
Solução:
Para rodar x km na cidade R paga-se 2,5+1,3x e na cidade S paga-se
3,4+1,25x e temos que 2,5+1,3x ≥ 3,4+1,25x quando 0,05x ≥ 0,9 ou x ≥ 18.
20. Se a taxa acumulada de inflação em 2 anos foi de 56% e no primeiro ano a
taxa foi de 20%, determine seu valor percentual no segundo ano.
Resposta: 30
Solução:
Seja x% a taxa percentual no segundo ano: Temos 1,20.(1+x/100) = 1,56 e
daí 0,012x = 0,36, portanto x = 30.
21. As duas pirâmides ilustradas abaixo têm base quadrada e faces laterais
formadas por triângulos equiláteros de lado 10 3 . As bases das pirâmides
estão no mesmo plano, têm pares de lados opostos paralelos e distâncias
indicadas na figura. Qual a menor distância a ser percorrida para se ir do vértice
A de uma das pirâmides ao vértice B da outra, caminhando ou sobre a
superfície das pirâmides ou pelo plano?
B
A
15
6
Sugestão: Planifique as faces a serem percorridas para se obter a menor
distância como a seguir.
Resposta: 39
Solução:
A medida da altura dos triângulos das faces é dada por 10 3 . 3 /2 = 15. A
distância procurada é a medida da hipotenusa de um triângulo de catetos
medindo 15 e 36 e vale
15 2 + 36 2 = 39 .
22. Na figura ilustrada abaixo, os segmentos AB, BC, CD, DE e EA são
congruentes. Determine, em graus, a medida do ângulo CAD.
A
B
E
D
C
Resposta: 36
Solução:
Seja α o ângulo CAD. Como o triângulo ABC é isósceles, temos BCA = α e
segue que CBD = 2α ; como o triângulo CBD é isósceles temos CDB = 2α; da
mesma forma DCE = 2α; portanto os ângulos do triângulo ACD medem α, 2α
º
º
e 2α e consequentemente α+2α+2α = 180 e daí α = 36 .
23. O preço de venda de um automóvel é de R$ 20.000,00. Este valor pode ser
dividido em 40 prestações iguais calculadas da seguinte maneira: adiciona-se
ao valor do automóvel juros mensais e cumulativos de 1% durante 40 meses e
divide-se o montante por 40. Determine o valor da prestação, em reais, e
40
indique a soma de seus dígitos. (Use as aproximações 1,01 ≅ 1,5.)
Resposta: 12
Solução:
40
O montante será 20000.(1+0,01)
prestação será 30000/40 = 750 reais.
≅ 20000.1,5
= 30000 e o valor da
24. Segundo o regulamento de uma companhia de transporte, a bagagem de mão
de um passageiro, na forma de um paralelepípedo reto, deve ter altura de no
máximo 45cm e a soma da largura e do comprimento não pode ultrapassar
80cm. Para qual valor da largura, medida em cm, o volume da bagagem de
mão será máximo?
Resposta: 40
Solução:
Denote a largura e o comprimento da bagagem por l e c, respectivamente;
para o volume ser máximo devemos escolher a altura máxima permitida e o
volume será dado por V = 45.l.c. Temos que l e c satisfazem l+c ≤ 80 e para
o valor máximo V deveremos ter l+c = 80 e V = 45.l.c = 45.l(80-l). A função
l(80-l) assume valor máximo para l = 80/2 = 40 e c = 40.
25. Os 80 candidatos aprovados em Matemática em um vestibular foram divididos
em duas turmas: na turma A ficaram os 40 possuidores das maiores notas de
classificação e na turma B ficaram os demais. As médias das notas dos alunos
das turmas A e B foram então mA e mB , respectivamente. Foi decidido a
transferência do aluno com maior nota da turma B para a turma A e as novas
médias foram MA e MB, respectivamente, para as turmas A e B. Supondo que
as notas dos 80 alunos foram diferentes, analise a veracidade das afirmações
seguintes:
0-0) mA = MA
1-1) MA < mA
2-2) mB < MB
3-3) MB = mB
4-4) mA > mB
Resposta: FVFFV
Solução:
Sejam n1>n2>...>n80 as notas obtidas. Então mA = (n1+...+n40)/40 e mB =
(n41+...+n80)/40. Observe que mA > n41 > mB. Então MA = (n1 +...+ n40 + n41)/41
= (40mA+n41)/41 < (40mA + mA)/41 = mA. Analogamente, MB = (n42 +...+ n80)/39
= (40mB - n41)/39 < 39mB/39 = mB. Logo 0-0, 2-2 e 3-3 são falsas e 1-1 é
verdadeira. 4-4 é verdadeira pois ni < ni+41 para i = 1, 2, 3,...,40.
26. Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero de lado 12, os arcos DE, EF, FD
estão contidos em circunferências de raio 6, e a circunferência de menor raio é
tangente aos três arcos. Qual o inteiro mais próximo da área da região
hachurada? (Dados: use as aproximações π ≅ 3,14 e
3 ≅ 1,73).
C
F
D
A
E
B
Resposta: 3
Solução:
O centro da circunferência menor é o baricentro do triângulo ABC, logo, se
seu raio é r, temos: 6+r = 2/3(12 3 )/2 = 4 3 e daí r = 4 3 -6. A área da
região hachurada vale 12
48 3 π
2
3 /4 - π62/2 - π (4 3 -6)2 = 36 3 -102π +
≅ 2,75.
27. Quantas soluções a equação
sen 2 x +
sen 4 x sen 6 x
+
+ ... = 2 ,
2
4
cujo lado esquerdo consiste da soma infinita dos termos de uma progressão
sen 2 x
, admite, no intervalo
2
geométrica, de primeiro termo sen2x e razão
[0,20π]?
Resposta: 20
Solução:
sen 2 x
) =
2
2
2
2
2sen x/(2-sen x). Logo, a equação é equivalente a 2sen x = 2 ou sen x = ± 1.
As soluções são da forma π/2 + kπ e estão no intervalo [0,20π] quando 0 ≤ π/2
+ kπ ≤ 20π ou –1/2 ≤ k ≤ 39/2 logo k = 0, 1, 2,..., 19.
2
A soma dos termos da progressão geométrica é sen x/(1-
28. Um plano que passa pelo vértice de um cone reto intercepta o círculo da base
deste em uma corda de comprimento 6. Este plano forma com o plano da base
º
do cone um ângulo de 40 e a altura do cone é 3,36. Indique o inteiro mais
º
próximo do volume do cone. (Dado: use as aproximações tg(40 ) ≅ 0,84 e
π ≅ 3,14).
Resposta: 88
Solução:
A distância entre o centro do base do cone e o ponto médio da corda é dada
por 3,36/tg(40º) ≅ 3,36/0,84 = 4. O raio da base do cone é
volume será 3,14.52.3,36/3 = 87,92.
3 2 + 4 2 =5 e seu
29. A figura abaixo ilustra parte do gráfico de um polinômio quadrático p(x) = ax2 +
bx + c com coeficientes a, b e c reais.
25
20
15
10
5
-3
-2
-1
0
-5
1
x
2
Analise a veracidade das afirmações seguintes:
0-0) p(x) admite duas raízes reais.
1-1) b > 0
2-2) p(x) define uma função decrescente para todo real x.
3-3) p(x) < 30 para todo real x.
4-4) c > 0.
Resposta: VFFFV
3
Solução:
Do gráfico de p(x) temos que c = p(0) > 0 e que a > 0 pois a parábola tem
concavidade voltada para cima. A abscissa do vértice da parábola é positiva,
logo –b/(2a) > 0 e b < 0. Daí, p(x) admite duas raízes reais, p(x) é crescente
se x>-b/(2a) e assume valores maiores que qualquer número real dado.
30. Qual a inclinação da reta que passa pelo ponto (2,4) e que intercepta a
2
parábola y = x em um único ponto?
Resposta: 4
Solução: A reta tem equação y – 4 = m(x – 2) e intercepta a parábola na
abscissa solução de 4 + m(x – 2 ) = x2 ou x2 – mx + 2m – 4 = 0. A interseção
será unicamente o ponto (2,4) se x = 2 for raiz dupla da equação ou se m/2 =
2 ou m = 4.
31. O sólido ilustrado na figura abaixo foi obtido perfurando-se um cubo de aresta 4
com uma broca circular de raio 1, cujo o eixo passou pelos pontos médios de
duas faces adjacentes do cubo. Indique o inteiro mais próximo do volume do
cubo perfurado. (Dados: use as aproximações π ≅ 3,14 e
2 ≅ 1,41).
Resposta: 55
Solução:
Sejam P e Q os pontos médios das faces do cubo que estão no eixo do
cilindro. Temos que PQ = 2 2 . Note que as faces que contém P e Q fazem
ângulos de 45º com o eixo. Portanto, retira-se do cubo um cilindro circular
reto de raio 1 cortado por dois planos. Logo, o volume do sólido é
3
2
4 - π1 2 2 ≅ 64 – 8,85 = 55,15.
32. Sejam x1, x2 e x3 as raízes da equação x3 - 6x2+3x–1=0. Determine o
3
2
polinômio x +ax +bx+c que tem raízes x1x2, x1x3 e x2x3 e indique o valor do
produto abc.
Resposta: 18
Solução:
Seja y1= x1x2, y2= x1x3 e y3= x2x3. Das relações de Girard, temos
y1+y2+y3=x1x2+x1x3+x2x3=3, y1y2+y1y3+y2y3 = x1x1x2x3 + x2x1x2x3+ x3x1x2x3 =
2
2
(x1+x2+x3) x1x2x3= 6.1 e y1y2y3 = (x1x2x3) =1 =1. Portanto y1, y2, y3 são raízes
3
2
da equação x -3x +6x-1 = 0.