Lista sobre Distribuição de Probabilidade, valor esperado e variância
1. Suponha que um investidor esteja preocupado com uma escolha de
investimentos envolvendo três alternativas possíveis, cujas respectivas
probabilidade e retornos são os seguintes:
Probabilidade Retorno
0,2
$100
0,4
$50
0,4
$25
Qual é o valor esperado do investimento? Qual é sua variância?
2. Considere uma loteria com três possíveis resultados: uma probabilidade de 0,1
para o recebimento de $100, uma probabilidade de 0,2 para o recebimento de
$50 e uma probabilidade de 0,7 para o recebimento de $10.
Qual é o valor esperado do investimento? Qual é sua variância?
3. Uma variável aleatória contínua tem a seguinte função de densidade de
probabilidade:
a.
b.
c.
d.
Verifique que
Obtenha o valor esperado de X
Obtenha a variância de X
Obtenha o desvio padrão de X
4. O presidente da Martin Corporation está considerando duas alternativas de
investimento X e Y. Se cada uma das alternativas for levada em frente, há 4
possibilidades de resultado. O lucro líquido e sua respectiva probabilidade de
ocorrência são mostrados abaixo:
Investimento X
Investimento Y
Lucro
Lucro
Resultado (milhoes)
Probabilidade Resultado (milhoes)
Probabilidade
1
20
0,2
1
12
0,1
2
8
0,3
2
9
0,3
3
10
0,4
3
16
0,1
4
3
0,1
4
11
0,5
a. Qual é o valor esperado do lucro para os investimentos X e Y? E qual das
oportunidades é a mais interessante (maior valor esperado do Lucro)?
b. Qual a variância do lucro para os investimentos X e Y? E qual das
oportunidades é a mais arriscada (maior variância do Lucro)?
5. A porcentagem de álcool em certo composto pode ser considerada uma
variável aleatória X, com a seguinte função de distribuição de probabilidade:
a.
b.
c.
d.
Verifique que
Obtenha E(X)
Obtenha V(X)
Suponha que o preço de venda desse composto dependa do conteúdo de
álcool. Especificamente, se 1/3 ≤ x ≤ 2/3, o composto é vendido por C1
(R$/galão); caso contrário, ele é vendido por C2 (R$/galão). Se o custo do
composto é C3 (R$/galão), calcule a distribuição de probabilidade da receita
por galão e o valor esperado do lucro.
6. Em um determinado processo de fabricação, 10% das peças são consideradas
defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma.
Pergunta-se:
a. Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas em uma
caixa?
b. Qual a probabilidade de haver 2 ou mais peças defeituosas em uma
caixa?
c. Se a empresa paga uma multa de R$10,00 por caixa em que houver
alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de
1.000 caixas?
7. A Indústria Controlada S.A. tem dois eventuais compradores de seu produto,
que pagam preços em função da qualidade:
i. O comprador A paga R$150,00 por peça, se em uma amostra de 100 peças não
encontrar nenhuma defeituosa e R$50,00 por peça, caso contrário;
ii. O comprador B paga R$200,00 por peça, desde que não encontre nenhuma peça
defeituosa em 120 peças e R$30,00 por peça, caso contrário.
Para qual dos dois compradores o empresário deveria vender se ele sabe que na
produção 3% das peças são defeituosas?
8. Seja um sistema de teste de celulares. Cada celular tem 80% de chance de ser
reprovado em um teste. Em um experimento, três equipamentos são testados.
Supondo que cada equipamento é independente do outro, estabeleça a
distribuição de probabilidade do número X de equipamentos que são reprovados, e
também a função distribuição de probabilidade acumulada.
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Gabarito
1) E(X) = 50 ; E(X2)= 3250 e V(X)=750
2) E(X)=27; E(X2)=1570 e V(X)=841
3)
E(X) =
E(X2) =
V(X) = 15/18 – 49/81 = 0,23
σ= 0,48 (d v p d ã )
4E(X)=10,7 E(Y)=11
Melhor é o investimento Y (maior valor esperado)
V(X) = 25,61 e V(Y)=3,8
Mais arriscado é o investimento X (maior variancia)
5
b- 2/3
c- 2/63
d- p(y) = 101/243 se y=C1 e 142/243 se y=C2
E(Lucro=Y-C3)=(101C1+142C2)/243 – C3
6
a- 5!/(3!2!)*0,13*0,92
b- 1-(0,95+5*0,94*0,1)
c- 1000*10*(1-0,95)=R$4095,1
7
Seja Ya o valor pago por peça pelo comprador A e Yb o valor pago por peça pelo
comprador B
E(Ya)= 150*0,97100+50*(1-0,97100) = R$54,76
E(Yb)= 200*0,97120+30*(1-0,97120) =R$34,40
Logo proposta do comprador A é mais vantajosa a longo prazo.
8
Distribuição de probabilidade de X:
x
0
1
2
3
Distribuição Acumulada de X
x
0
1
2
3
P(x)
0,23
3*0,22*0,8
3*0,2*0,82
0,83
FA(x)
0,008
0,104
0,488
1