UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CENTRO TECNOLÓGICO
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
GILTON CARLOS DE ANDRADE FURTADO
MATRÍCULA 0202100701
ANÁLISE DINÂMICA, ATRAVÉS DO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS, DE UM
COMPENSADOR SÍNCRONO DE 150 MVAr DE FABRICAÇÃO ALSTOM
2º semestre/2006
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CENTRO TECNOLÓGICO
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Gilton Carlos de Andrade Furtado
Matrícula 0202100701
ANÁLISE DINÂMICA, ATRAVÉS DO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS, DE UM
COMPENSADOR SÍNCRONO DE 150 MVAr DE FABRICAÇÃO ALSTOM
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
ao Colegiado do Curso de Engenharia
Mecânica
para
obtenção
do
grau
Engenheiro Mecânico.
Orientador: Prof. Dr. Newton Sure Soeiro
2º Semestre/2006
de
iii
Gilton Carlos de Andrade Furtado
Matrícula 0202100701
ANÁLISE DINÂMICA, ATRAVÉS DO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS, DE UM
COMPENSADOR SÍNCRONO DE 150 MVAr DE FABRICAÇÃO ALSTOM
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico
pela Universidade Federal do Pará.
Submetido à banca examinadora do Colegiado
constituída por:
______________________________________
Prof. Dr. Newton Sure Soeiro
(Orientador)
______________________________________
Eng. Luiz Otávio Sinimbú de Lima
(Membro Externo)
______________________________________
Prof. Dr. Gustavo da Silva Vieira de Melo
(Membro Interno)
Julgado em _____/_____/_______
Conceito: ____________________
iv
A quem construiu minha vida, meu caráter e meu futuro:
Meus pais!
v
Agradecimentos
A Deus...
...que me deu a vida através de pessoas que nunca me negaram apoio e sempre
lutaram para garantir que eu tivesse a mão tudo que precisasse para dedicar toda minha vida,
exclusivamente, ao estudo.
...que me permitiu trabalhar na Eletronorte, com pessoas que sempre estiveram
dispostas a esclarecer dúvidas, discutir problemas e achar soluções: Luiz Sinimbú, João Bosco
e João Paulo. Pessoas que sempre mantiveram postura ética, profissionalismo, compromisso
com o trabalho e reconhecimento pela valorização dos profissionais em formação. Mostrandome que, apesar das circunstâncias e do cenário nacional que vivenciamos, é possível ser um
profissional comprometido com valores morais.
...que sempre me ofereceu ajuda através da pessoa do Erlison Alves para construção
do modelo no ANSYS. Mostrando-se sempre disposto a reservar um pouco de seu tempo para
me auxiliar nessa elaboração.
...que permitiu estudar, em especial, com pessoas como Dalliana Morais, José
Adriano e Maria Adrina. Amizade fortalecida pelos momentos de desespero, alívios e,
principalmente, alegria após superação de todos os obstáculos acadêmicos encontrados.
...que abriu as portas do grupo PET de Engenharia Mecânica da UFPA,
especialmente, através da pessoa do Prof. Luciano que sempre se preocupou em oferecer uma
formação não só técnica, mas também humana e cidadã a todos nós.
...que me direcionou para trabalhar no Grupo de Vibrações e Acústica da
Universidade Federal do Pará, em outras palavras, com Prof. Newton Soeiro: professor,
orientador e, acima de tudo, educador. Totalmente comprometido com a formação e
qualificação dos engenheiros mecânicos na UFPA. Exemplo de profissional.
...que colocou no meu caminho todas as outras pessoas que não foram aqui citadas,
mas que também tiveram importância e influência na realização deste trabalho e na minha
formação acadêmica, como por exemplo, a mãe da Dalliana: D. Nazaré Morais e os pais da
Maria: Sr. Alberto e D. Wanda, que por muitas noites cuidaram de nós enquanto estudávamos
em suas casas.
Muito obrigado.
vi
“A maior recompensa pelo trabalho de
um homem não é o que ele ganha com
isso, mas o que ele se torna com isso”
John Ruskin (Escritor Inglês)
vii
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................16
1.1. Introdução Geral..........................................................................................................16
1.2. Objetivo Geral ..............................................................................................................21
1.3. Objetivos Específicos .................................................................................................21
1.4. Estrutura do Trabalho .................................................................................................22
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ..............................................................................................23
2.1. Características Gerais dos Compensadores Síncronos .........................................23
2.1.1. Breve Descrição do Compensador Síncrono ..........................................................24
a) Estator ................................................................................................................................24
b) Rotor...................................................................................................................................25
c) Mancais ..............................................................................................................................26
d) Anéis Coletores ..................................................................................................................27
2.1.2. Características Nominais...........................................................................................28
2.1.3. Potência Ativa .............................................................................................................29
2.1.4. Potência Reativa .........................................................................................................29
2.2. Método de Elementos Finitos Aplicados a Problemas Numéricos ........................29
2.3. Fundamentos da Dinâmica de Rotores .....................................................................32
2.3.1. Equações de Movimento do Rotor............................................................................34
2.3.2. Forças de Excitação ...................................................................................................34
a) Massa Desbalanceada .......................................................................................................34
b) Força Harmônica Fixa no Espaço ......................................................................................35
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA..........................................................................................36
3.1. Abordagem de Problemas em Engenharia ...............................................................36
3.2. Teoria da Análise Modal em Vigas.............................................................................37
3.3. Teoria da Análise Forçada..........................................................................................48
3.4. Considerações Gerais sobre Modelagem Numérica................................................50
3.4.1. Análises Numéricas Utilizando o Software ANSYS 6.0...........................................51
a) Análise Modal
..............................................................................................................51
b) Análise Harmônica .............................................................................................................54
3.4.2. Tipos de Elementos Finitos Utilizados na Modelagem ...........................................55
a) Descrição do Elemento Beam4 ..........................................................................................55
b) Descrição do Elemento Mass21.........................................................................................56
c) Descrição do Elemento Combin14 .....................................................................................56
d) Descrição do Elemento Solid95 .........................................................................................57
3.5. Considerações Gerais sobre Desbalanceamento Rotativo.....................................58
viii
4. DESCRIÇÃO DA MODELAGEM DINÂMICA DO ROTOR ................................................61
4.1. Hipóteses Simplificadoras..........................................................................................61
4.2. Construção do Modelo................................................................................................62
4.2.1. Pré-Processamento ....................................................................................................64
4.2.2. Solução........................................................................................................................64
4.2.3. Pós-Processamento ...................................................................................................65
4.3. Análises Modal e Harmônica......................................................................................67
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES........................................................................................69
5.1. Resultados para o Modelo com Elementos de Viga ...............................................70
5.1.1. Análise Modal .............................................................................................................70
a) Freqüências Naturais .........................................................................................................70
b) Modos de Vibração.............................................................................................................70
5.1.2. Análise Harmônica .....................................................................................................76
a) Simulação de Desbalanceamento Estático ........................................................................76
b) Simulação de Desbalanceamento Dinâmico......................................................................78
5.2. Resultados para o Modelo com Elementos Sólidos ................................................79
5.2.1. Análise Modal .............................................................................................................79
a) Freqüências Naturais .........................................................................................................80
b) Modos de Vibração.............................................................................................................80
5.2.2. Análise Harmônica .....................................................................................................92
a) Simulação de Desbalanceamento Estático ........................................................................92
b) Simulação de Desbalanceamento Dinâmico......................................................................93
6. CONCLUSÕES E PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS ...................................97
6.1. Conclusões Gerais .....................................................................................................97
6.2. Propostas para trabalhos Futuros...........................................................................100
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................102
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Setor energético nacional interligado.................................................................................17
Figura 2.1 – Compensador síncrono ......................................................................................................23
Figura 2.2 – Representação esquemática da aranha do eixo ..................................................................25
Figura 2.3 – Representação esquemática do rotor com destaque para os pólos.....................................26
Figura 2.4 – Representação dos mancais radial e axial/radial, respectivamente....................................26
Figura 2.5 – Representação esquemática do ventilador montado na ponta do eixo...............................27
Figura 2.6 – Representação dos anéis coletores .....................................................................................28
Figura 2.7 – Atuação da massa desbalanceada.......................................................................................35
Figura 3.1 – Elemento infinitesimal de viga submetido a momento fletor e esforço cortante ...............40
Figura 3.2 – Seis primeiros modos de vibração para uma viga simplesmente apoiada .........................48
Figura 3.3 – Elemento de viga do tipo BEAM4.....................................................................................55
Figura 3.4 – Elemento do tipo MASS21 ................................................................................................56
Figura 3.5 – Elemento de mola tipo COMBIN14 ..................................................................................57
Figura 3.6 – Geometria do elemento sólido tipo SOLID95 ...................................................................58
Figura 4.1 – Representação esquemática geral do rotor em estudo .......................................................62
Figura 4.2 – Ilustração das seções que compõem o modelo do compensador síncrono.........................66
Figura 4.3 – Modelos criados com elemento de viga e elementos sólidos, respectivamente.................67
Figura 4.4 – Ilustração dos planos de balanceamento usados na análise forçada ..................................68
Figura 5.1 – Freqüência fundamental de excitação e seus harmônicos..................................................69
Figura 5.2 – Primeiro modo de vibração do rotor. .................................................................................71
Figura 5.3 – Segundo modo de vibração do rotor. .................................................................................71
Figura 5.4 – Terceiro modo de vibração do rotor...................................................................................72
Figura 5.5 – Quarto modo de vibração do rotor. ....................................................................................72
Figura 5.6 – Quinto modo de vibração do rotor. ....................................................................................73
Figura 5.7 – Sexto modo de vibração do rotor. ......................................................................................73
Figura 5.8 – Sétimo modo de vibração do rotor.....................................................................................74
Figura 5.9 – Oitavo modo de vibração do rotor. ....................................................................................74
Figura 5.10 – Nono modo de vibração do rotor. ....................................................................................75
Figura 5.11 – Décimo modo de vibração do rotor. ................................................................................75
Figura 5.12 – Representação dos modelos dos mancais radial e axial/radial, respectivamente.............76
Figura 5.13 – Órbitas para os mancais radial e axial-radial, respectivamente. ......................................77
Figura 5.14 – Órbitas para os mancais radial e axial-radial, respectivamente. ......................................79
Figura 5.15 – Primeiro modo de vibração do rotor com modelo sólido.................................................81
Figura 5.16 – Segundo modo de vibração do rotor com modelo sólido.................................................81
Figura 5.17 – Terceiro modo de vibração do rotor com modelo sólido. ................................................82
x
Figura 5.18 – Quarto modo de vibração do rotor com modelo sólido ...................................................82
Figura 5.19 – Quinto modo de vibração do rotor com modelo sólido. ..................................................83
Figura 5.20 – Sexto modo de vibração do rotor com modelo sólido. ....................................................83
Figura 5.21 – Sétimo modo de vibração do rotor com modelo sólido. ..................................................84
Figura 5.22 – Oitavo modo de vibração do rotor com modelo sólido....................................................84
Figura 5.23 – Nono modo de vibração do rotor com modelo sólido......................................................85
Figura 5.24 – Décimo modo de vibração do rotor com modelo sólido..................................................85
Figura 5.25 – Décimo primeiro modo de vibração do rotor com modelo sólido. ..................................86
Figura 5.26 – Décimo segundo modo de vibração do rotor com modelo sólido....................................86
Figura 5.27 – Décimo terceiro modo de vibração do rotor com modelo sólido.....................................87
Figura 5.28 – Décimo quarto modo de vibração do rotor com modelo sólido.......................................87
Figura 5.29 – Décimo quinto modo de vibração do rotor com modelo sólido.......................................88
Figura 5.30 – Décimo sexto modo de vibração do rotor com modelo sólido. .......................................88
Figura 5.31 – Décimo sétimo modo de vibração do rotor com modelo sólido. .....................................89
Figura 5.32 – Décimo oitavo modo de vibração do rotor com modelo sólido.......................................89
Figura 5.33 – Décimo nono modo de vibração do rotor com modelo sólido.........................................90
Figura 5.34 – Vigésimo modo de vibração do rotor com modelo sólido. ..............................................90
Figura 5.35 – Representação dos mancais radial e axial-radial para o modelo sólido. ..........................91
Figura 5.36 – Deslocamentos no mancal radial nas direções X e Y, respectivamente. .........................92
Figura 5.37 – Deslocamentos no mancal axial-radial nas direções X, Y e Z, respectivamente. ............93
Figura 5.38 – Deslocamentos no mancal radial nas direções X e Y, respectivamente. .........................93
Figura 5.39 – Deslocamentos no mancal axial-radial nas direções X, Y e Z, respectivamente. ............94
Figura 5.40 – Numeração dos nós que definem os apoios. ....................................................................95
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Folgas nos mancais radial e axial-radial............................................................................27
Tabela 2.2 – Características nominais do compensador síncrono..........................................................28
Tabela 3.1 – Condições de contorno para diferentes tipos de fronteira .................................................42
Tabela 4.1 – Descrição dimensional de cada seção que compõe o eixo do rotor...................................63
Tabela 4.2 – Rigidezes utilizadas nos mancais ......................................................................................64
Tabela 4.3 – Propriedades geométricas das diversas seções do rotor ....................................................66
Tabela 4.4 – Propriedades mecânicas dos materiais usadas no modelo.................................................67
Tabela 5.1 – Freqüências naturais do rotor ............................................................................................70
Tabela 5.2 – Freqüências naturais para modelo sólido ..........................................................................80
Tabela 5.3 – Deslocamentos nos mancais para condições de desbalanceamento ..................................95
Tabela 5.4 – Tabela comparativa entre freqüências e modos dos modelos obtidos...............................96
xii
LISTA DE SÍMBOLOS
r
Resistência elétrica
P
Potencia elétrica
i
Intensidade de corrente
V
Diferença de potencial
p
Perda de energia por efeito Joule
K
Rigidez do sistema
Ke
Rigidez do elemento
d
Deslocamentos nodais
d&
Velocidade nodal
d&&
Aceleração nodal
F
Forças nodais
M
Massa do sistema
Ω
Freqüência de rotação
t
Tempo
c
Amortecimento do sistema
ω
Freqüência de movimento da onda
ωn
Freqüência natural
[G ]
Matriz giroscópica
Fw
Componente da força de desbalanceamento na direção z
Fu
Componente da força de desbalanceamento na direção x
F0
Amplitude da força
τ ( x, t )
Deslocamento longitudinal
x
Coordenada de posição
E
Módulo de elasticidade
S
Área da seção transversal
R
Raio de curvatura
dφ
Diferencial de arco
h
Altura do elemento diferencial
b
Largura do elemento diferencial
xiii
Mo
Momento fletor
I
Momento de inércia da seção transversal
y ( x, t )
Deslocamento transversal
Mx
Momento fletor na posição x
M x + dx
Momento fletor na posição x + dx
Vx
Esforço cortante na posição x
V x + dx
Esforço cortante na posição x + dx
V0
Esforço cortante
ρ
Massa específica
C L2
Relação entre o módulo de elasticidade e densidade do material
rK2
Relação entre o segundo momento de inércia e área da seção
cb
Velocidade de propagação da onda de flexão
kb
Relação entre a freqüência e velocidade de propagação da onda
C , C1 , C 2 , C 3 , C 4 e s
Constantes arbitrárias.
D1 , D2 , D3 e D4
Constantes de integração
A e B
Constantes determináveis através de condições iniciais
CC1 , CC 2 , CC 3 e CC 4
Condições de contorno 1, 2, 3 e quatro, respectivamente
L
Comprimento da viga
N
Número do modo de vibração
φn
Autovetor ou forma modal de vibração
yi
Coordenada modal
y& i
Velocidade da coordenada modal
&y&i
Aceleração da coordenada modal
fi
Excitação harmônica.
f jc
Amplitude complexa de f i
e
Número de Euler
Bj
Contribuição forçada para cada modo
qc
Deslocamentos complexos
ω i2
Autovalor, refere-se à freqüência natural circular ω i do modo i
xiv
I zz
Momento de inércia de área em relação ao eixo z
I yy
Momento de inércia de área em relação ao eixo y
TK y
Espessura do elemento na direção y
TK z
Espessura do elemento na direção z
c y1
Coeficiente de amortecimento do nó um na direção y
cy2
Coeficiente de amortecimento do nó 2 na direção y
G
Classe de qualidade de balanceamento
eeixo
Excentricidade do eixo
nmáx
Máxima velocidade de operação
m
Massa desbalanceada
Fc
Força centrífuga devido ao desbalanceamento
xv
RESUMO
Este trabalho apresenta o desenvolvimento de modelos de elementos finitos usados para
realizar a análise dinâmica de um compensador síncrono de 150 MVAr de fabricação
ALSTOM da Eletronorte, tendo por base software comercial ANSYS 6.0. Dentro do enfoque
deste trabalho, foram desenvolvidos modelos da parte móvel do compensador síncrono
(Rotor) apoiada sobre mancais elásticos, de modo a se caracterizar o comportamento modal
do rotor e verificar os níveis de amplitude de deslocamento quando este é excitado por
desbalanceamento dentro do limite estabelecido em norma técnica (Desbalanceamento
residual Permissível - NBR 8008/83). Duas concepções de modelagem distintas foram
empregadas. Na primeira, o eixo do rotor foi representado por elementos de viga (BEAM4),
enquanto o rotor, propriamente dito, foi representado por inércias concentradas ao longo do
seu comprimento com o elemento MASS21. Na segunda concepção, o sistema foi
representado por elementos sólidos (SOLID95), tal que o modelo reproduzisse ao máximo as
características geométricas reais do sistema modelado. A análise modal pesquisou as
freqüências naturais na faixa de 20 Hz e seus respectivos modos de vibração, uma vez que a
idéia era a de se verificar a presença de ressonâncias abaixo da velocidade operacional do
compensador síncrono, que opera em 900 rpm (15 Hz). Finalmente, foi realizada a análise
harmônica sob condições de desbalanceamento do rotor, conforme estabelecido na Norma
NBR 8008/83, que trata da qualidade do balanceamento e recomenda as condições de
desbalanceamento residual admissível para diversos tipos de rotores.
16
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1.
INTRODUÇÃO GERAL
A eletricidade entrou no Brasil no final do século 19, através da concessão de
privilégio para a exploração da iluminação pública, dada pelo Imperador D. Pedro II a
Thomas Edison. Em 1930, a potência instalada no Brasil atingia cerca de 350 MW, em usinas
hoje consideradas como de pequena potência, pertencentes às indústrias e às prefeituras
municipais, na maioria hidroelétricas, operando a “fio d’água” ou com pequenos reservatórios
de regularização diária (CTEEP, 2006).
Em 1939, no governo Vargas, foi criado o Conselho Nacional de Águas e Energia,
órgão de regulamentação e fiscalização, mais tarde substituído pelo Departamento Nacional
de Águas e Energia Elétrica – DNAEE, subordinado ao Ministério de Minas e Energia. A
primeira metade do século 20 representa a fase de afirmação da geração de eletricidade como
atividade de importância econômica e estratégica para o país (CTEEP, 2006).
A partir do fim da segunda guerra mundial, o sistema elétrico ganhou impulso com a
construção da primeira grande usina, a de Paulo Afonso I, com a potência de 180 MW,
seguida pelas usinas de Furnas, Três Marias e outras, com grandes reservatórios. No final da
década de 60, foi criado o Grupo de Coordenação de Operação Interligada, tomando corpo o
sistema nacional interligado (CTEEP, 2006).
Nos seus 100 anos de existência, o Sistema Elétrico Brasileiro, predominantemente
hídrico, gerou cerca de 5.000 TWh, quantidade de energia que, na geração exclusivamente
térmica, corresponde a mais da metade da reserva brasileira de petróleo, avaliada em 20
bilhões de barris. Nesse século, o sistema passou por períodos com diferentes taxas de
crescimento, decorrentes ora do regime hidrológico, ora de dificuldades econômicas (CTEEP,
2006).
Episódios de queda expressiva da geração são relativamente raros, tendo-se
conhecimento da queda da década de 50, causada por regime hidrológico severamente
Capítulo 1 – Introdução
17
desfavorável, e a recente crise de 2001, causada pela conjunção de regime hidrológico
moderadamente desfavorável com o aumento da demanda devido ao crescimento da atividade
econômica, com a restrição ao investimento em novos empreendimentos e também com o
transiente de implantação do novo modelo de gestão do setor (CTEEP, 2006).
A interligação das usinas hidroelétricas concilia os regimes hidrológicos de diversas
bacias hidrográficas, regularizando o atendimento da demanda na área de abrangência. Do
ponto de vista da economia física, a interligação permite otimizar o aproveitamento da energia
potencial estocada nos reservatórios das usinas. Em contrapartida, as perdas relativas de
energia no sistema interligado são maiores do que nos sistemas regionais interligados devido
à transferência de cargas a longas distâncias, como ilustrado na fig. 1.1 (CTEEP, 2006).
Figura 1.1 – Setor energético nacional interligado (CTEEP, 2006).
Concentrando a discussão a cerca das perdas resistivas, que são as mais importantes,
pode-se apresentar, matematicamente, o problema usando as equações clássicas de potência
elétrica e de perda por efeito Joule.
A potência elétrica transmitida através de um condutor de resistência r é
Capítulo 1 – Introdução
18
P = i ⋅V
(1.1)
sendo, V a diferença de potencial aplicada e i a intensidade da corrente.
A perda por efeito Joule é
p = r ⋅i 2
(1.2)
Dessa forma, relacionando as equações (1.1) e (1.2), obtêm-se:
p = r (P /V )
2
e
p / P = P (r / V 2 )
(1.3)
Portanto, com r e V constantes, a perda relativa é proporcional à potência
transferida. Para reduzir a perda, a transmissão a longa distância é feita a alta tensão ( V ),
procurando-se ainda reduzir a resistência r usando-se, por exemplo, condutores de menor
resistência específica ( W / m ). Além das perdas associadas às grandes distâncias das linhas de
transmissão, outro inconveniente é a instabilidade da tensão transmitida devido,
principalmente, à variação da demanda de energia elétrica fornecida aos consumidores,
caracterizada por períodos de oscilação no consumo.
A Eletronorte - Centrais Elétricas do Norte do Brasil S/A, oferece serviços de geração
e transmissão para toda região amazônica, além da comercialização, em todo território
nacional, da energia elétrica por ela gerada. Nesse contexto, há uma importância fundamental
na qualidade da energia comercializada, no tocante, por exemplo, à estabilidade da tensão
disponibilizada para os consumidores.
No estado do Pará, a Eletronorte fornece energia para grandes empresas do setor
industrial, tais como Albras e Alunorte, que têm na energia elétrica, insumo determinante na
fabricação de seus produtos. Deste modo, são essenciais, por exemplo, manutenção e controle
da estabilidade da tensão. A interrupção do fornecimento de energia elétrica causada por
falhas em equipamentos de geração ou transmissão de energia elétrica, afeta não somente aos
consumidores domésticos, mas principalmente a este setor, o de serviços e o de
desenvolvimento tecnológico, que podem vir a ter prejuízos consideráveis por necessitarem
de um fornecimento contínuo de energia.
Capítulo 1 – Introdução
19
Neste contexto, os compensadores são utilizados para garantir e estabilização da
tensão. Consistem em motores instalados em subestações que controlam a tensão de linhas de
transmissão de grande extensão. Além de três no Pará, a Eletronorte opera cinco no
Maranhão. O funcionamento eficaz dessas máquinas garante tensão estável à energia
transmitida. Ou seja, são fundamentais para a qualidade do serviço prestado pela empresa. Há
dois tipos de compensadores, o estático e o síncrono; ambos são utilizados na compensação
de potência reativa. Os compensadores têm como função prover suporte contínuo e controlado
de tensão em áreas críticas do sistema de potência.
Para o sistema de energia elétrica é recomendável ter uma regulação fina da tensão,
com um ajuste automático, pois quando se tem uma grande perda de carga esta provoca alta
elevação de tensão. O compensador síncrono tem a importância de manter a estabilidade
quando há perturbação no sistema elétrico atuando na ordem de milisegundos para essa
correção, fato que se fosse depender de um ser humano para atuar, levaria alguns segundos,
resultando em problemas bem maiores devido à duração.
Desta forma, a manutenção, o conhecimento das condições operacionais e
propriedades dinâmicas dos compensadores síncronos, instalados nas diversas subestações da
Eletronorte são essenciais para sua eficiente utilização e diagnósticos visando aumento da
confiabilidade deste equipamento em serviço, frente sua importância no sistema daquela
empresa.
Desse modo, a caracterização do comportamento dinâmico daqueles equipamentos,
através da determinação das freqüências naturais e formas modais, em vibração livre, além do
comportamento dinâmico do rotor quando excitado externamente por uma força de
desbalanceamento, por exemplo, fornecem uma visão generalizada do comportamento da
estrutura através desta análise dinâmica.
O primeiro passo na análise dinâmica é definir as propriedades dinâmicas da estrutura.
Isso é feito pela especificação da distribuição de massa, amortecimento e rigidez da estrutura
(modelo no domínio do tempo) ou através dos modos de vibração da estrutura (modelo
modal) (SCHMIDTBERG, 1986).
Baseado nas propriedades do material da estrutura, geometria e condições de contorno,
pode ser formulado um modelo analítico que descreve as propriedades dinâmicas estruturais
em termos da distribuição de massa, amortecimento e rigidez. As equações do movimento
desenvolvidas do modelo são resolvidas para determinar as respostas da estrutura para
qualquer força externa aplicada, porque essas equações contêm as respostas do movimento da
estrutura como função do tempo.
Capítulo 1 – Introdução
20
Um modelo alternativo da estrutura, o qual descreva suas propriedades dinâmicas
como função da freqüência pode ser desenvolvido, ou seja, tendo por base as seguintes
informações: freqüências naturais, fatores de amortecimento modal e formas modais de
vibração. A este modelo denomina-se modelo modal (SCHMIDTBERG, 1986).
O modelo modal e o modelo no domínio do tempo são descrições equivalentes das
propriedades dinâmicas da estrutura. Em princípio, o modelo modal é mais facilmente obtido
da distribuição de massa, amortecimento e rigidez pela transformação matemática do domínio
do tempo para o domínio da freqüência e vice-versa (SCHMIDTBERG, 1986).
Quando as propriedades dinâmicas da estrutura forem determinadas elas podem ser
usadas em cálculos posteriores para predizer as respostas para qualquer excitação arbitrária. A
maioria das análises dinâmicas, inclusive, calcula primeiro o modelo modal da estrutura e
então usa esse resultado para calcular a resposta para a excitação aplicada (SCHMIDTBERG,
1986).
Análise modal é o processo de definição de propriedades dinâmicas de uma estrutura
através de seus modos de vibração. Matematicamente, envolve a determinação de seu modelo
modal. De maneira geral, podemos considerar a análise modal como um procedimento para
identificação das freqüências de ressonância de uma estrutura e das formas defletidas quando
a estrutura é excitada nestas freqüências (SCHMIDTBERG, 1986).
Uma limitação da análise modal é que os modos de vibração podem ser determinados
somente para sistemas dinâmicos lineares. Felizmente, a maioria das estruturas mecânicas
pode ser representada adequadamente por um sistema dinâmico linear sem perda significativa
de precisão (SCHMIDTBERG, 1986).
Capítulo 1 – Introdução
1.2.
21
OBJETIVO GERAL
Desenvolver modelos para inferir o comportamento dinâmico do Rotor de um
Compensador Síncrono, através do método de elementos finitos, usando o Software
Comercial ANSYS 6.0. Os referidos modelos deverão permitir a determinação de freqüências
naturais e formas modais, bem como a amplitude de vibração ao longo do eixo do rotor
devido ao desbalanceamento residual permissível.
1.3.
•
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Desenvolver um modelo dinâmico simplificado do rotor do compensador síncrono de
150 MVAr da Eletronorte, utilizando elementos de viga e elementos sólidos, de tal
modo que os parâmetros e as propriedades de maior influência do rotor do
compensador sejam representados no modelo.
•
Realizar, através do método de elementos finitos, uma análise modal dos modelos,
com elementos de viga e sólido, para obtenção e comparação, entre os diferentes
modelos, dos parâmetros modais da estrutura, tais como, freqüências naturais e formas
modais de vibração.
•
Realizar uma análise harmônica dos modelos propostos através de condições de
carregamento devido ao desbalanceamento residual admissível, presente na estrutura
do rotor, de acordo com a norma NBR 8008/83 que regulamenta os critérios de
balanceamento em máquinas rotativas.
•
Comparar todos os resultados obtidos nas análises modal e harmônica, utilizando os
dois tipos de elementos propostos.
Capítulo 1 – Introdução
1.4.
22
ESTRUTURA DO TRABALHO
No capítulo 1 é feita uma introdução geral que contextualiza o setor energético
brasileiro, bem como insere as Centrais Elétricas do Norte da Brasil S/A – Eletronorte nas
atividades deste setor e, principalmente, identifica a importância da utilização, nas
subestações, dos compensadores síncronos para a qualidade do fornecimento de energia
elétrica a outras empresas do setor industrial.
O capítulo 2 consiste numa revisão bibliográfica a respeito do assunto tratado neste
trabalho, onde são descritas as principais características da máquina em estudo, sua
importância no contexto de transmissão de energia e, finalmente, a apresentação do método de
elementos finitos como ferramenta útil na solução de problemas numéricos.
No capítulo 3 é apresentada a fundamentação das teorias que sustentam a análise
modal, análise harmônica e a dinâmica de rotores. São feitas ainda considerações sobre
análises numéricas utilizando-se o software ANSYS, bem como os tipos de elementos usados
nas análises propostas neste trabalho.
No capítulo 4 é feita a descrição de toda modelagem dinâmica do rotor, descrevendose as considerações feitas na elaboração do modelo simplificado e a construção do modelo
sólido, além do procedimento usado na análise pelo software ANSYS, destacando-se as fases
de pré-processamento, fase de solução e pós-processamento.
No capítulo 5 são apresentados todos os resultados referentes às análises modal e
harmônica, apresentando as freqüências naturais e formas modais de vibração, além das
respostas forçadas nos mancais devido à força de desbalanceamento residual recomendada
pela norma NBR 8008/83 para ambos os modelos.
O capítulo 6 é destinado às conclusões e às propostas para trabalhos futuros, tendo em
vista os resultados alcançados, observando as considerações feitas devido à aplicação das
hipóteses simplificadoras.
23
CAPÍTULO 2
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1.
CARACTERÍSTICAS GERAIS DOS COMPENSADORES SÍNCRONOS
Um compensador síncrono é constituído essencialmente por um motor síncrono,
funcionando em vazio. É alimentado em corrente contínua no conjunto de enrolamentos que
compõe o rotor, também chamado de enrolamentos de campo, através de anéis coletores
acessíveis pela parte externa da máquina. O conjunto de enrolamento do estator é alimentado
em tensão trifásica de 13,8 kV.
Todos os conjuntos de excitação, regulação e frenagem atuam no enrolamento de
campo da máquina. Graças a este sistema o Compensador Síncrono tem a possibilidade de
operar sub-excitado ou sobre-excitado, permitindo a compensação da potência reativa do
sistema, dentro de certos limites de capacidade da máquina.
Esta capacidade do compensador síncrono de funcionar no sistema como um banco de
capacitores ou banco de reatores, variando linearmente de acordo com as necessidades,
favorece a estabilidade do sistema, permitindo, ao mesmo tempo, uma regulação da tensão via
barramento de 230 kV da subestação.
Figura 2.1 – Compensador síncrono.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
24
O compensador síncrono ainda pode ser utilizado como controlador de tensão local,
embora não seja a função principal dele. Para esse tipo de controle há recursos mais indicados
como é o caso do banco de capacitores. Os compensadores são mais uma alternativa para a
regulação de tensão na subestação.
Existem fatores que podem danificar o compensador, podendo o próprio sistema ser o
responsável. Exemplo disso é a perda de excitação, fazendo com que o compensador absorva
reativo. Embora seja função dele, o excesso pode provocar danos ao mesmo. Por isso, a partir
de certo nível de potência reativa absorvida, é aconselhável bloqueio através do
estabelecimento de um limite para impedir a absorção de reativo (LIMA, 2001).
Para evitar que o compensador entre numa zona de sub-excitação ou sobre-excitação,
conseqüentemente ocorrendo sua saída, deve haver um ajuste adequado do sistema de
proteção, o que não é tarefa simples pelo fato dos parâmetros serem ajustados
sistematicamente, levando em consideração os geradores de energia e outros compensadores
dentro do mesmo sistema.
2.1.1. BREVE DESCRIÇÃO DO COMPENSADOR SÍNCRONO
O compensador opera numa atmosfera de hidrogênio. É projetado para ser instalado ao
ar livre, é montado sobre placas ancoradas nas fundações. As tubulações para os circuitos de
H2, CO2, óleo e água estão localizadas dentro de condutos cercados pelos painéis laterais e
pelas tampas que formam a extensão das fundações e entram no prédio de controle onde os
auxiliares estão encaixados.
De maneira geral, o compensador é formado por duas partes fundamentais: o estator e
o rotor, propriamente dito. O estator consiste na estrutura, núcleo e enrolamentos. Por sua vez,
o rotor é formado basicamente por uma aranha de eixo sobre a qual está centralizada uma
nervura que prende os pólos e os anéis coletores.
A) ESTATOR
A Estrutura é o invólucro externo do compensador, sendo um conjunto de chapas de
aço fortemente soldadas formando um envoltório resistente à pressão. É aproximadamente
cilíndrica e dispõe de pés para fixação, além de ser reforçada internamente por nervuras
perpendiculares ao eixo de rotação, proporcionando a rigidez requerida. Possui cinco caixas
horizontais localizadas na parte inferior da estrutura, para acomodar os resfriadores de H2. A
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
25
estrutura proporciona ainda resistência contra explosões provocadas por mistura acidental de
ar e hidrogênio.
O Núcleo do Estator é constituído de lâminas de aço silício de alta permeabilidade. As
laminações são envernizadas em ambos os lados e empilhadas juntas em pacotes, separados
por meio de chapas espaçadoras radiais não magnéticas, através das quais passa o hidrogênio
para resfriar o compensador. As bordas externas de cada laminação têm uma ranhura que
permite a fixação às barras principais, distribuídas regularmente em torno da parte interna da
estrutura.
O Enrolamento consiste em barras transpostas, cada uma delas possuindo sua própria
camada de isolação continuamente envolvida. Cada barra consiste de tranças de cobre ao
longo de toda a extensão do núcleo para minimizar, ao máximo possível, as perdas adicionais
provocadas pelo campo transversal da ranhura. As tranças de cobre são isoladas uma das
outras por um revestimento à base de tecido de vidro impregnado com resina epóxi. O estator
possui ainda uma distância de 35 mm para o rotor, chamada de entreferro.
B) ROTOR
O rotor consiste numa aranha de eixo sobre a qual está centralizada uma nervura para
prender os pólos (ver fig. 2.2). O coletor é montado numa extremidade do eixo e a outra
extremidade é acoplada à bomba de óleo lubrificante. O rotor é apoiado por dois mancais, um
dos quais proporciona bloqueio axial.
Aranha do Eixo: Eixo de aço forjado, vazado em toda sua extensão para permitir
exame boroscópico de sua parte interna; grossas nervuras feitas de aço laminado forjado são
soldadas em toda a extensão do eixo para formar uma aranha. As nervuras criam também o
espaço necessário entre o eixo e a borda para entrada de H2 que elimina as perdas do rotor.
Figura 2.2 – Representação esquemática da aranha do eixo.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
26
A borda consiste de finas chapas furadas sob pressão empilhadas de modo a formar
dutos de ventilação nos eixos interpolares. As chapas são presas por parafusos de aço e assim
formam uma borda sólida que é montada a quente dentro da aranha do eixo, de modo a
produzir um grau de segurança que mantenha o encaixe até a velocidade de 1080 rpm.
Os Pólos consistem de chapas de aço furadas sob pressão (ver fig. 2.3), com 2 mm de
espessura, empilhadas entre duas chapas terminais de aço forjado e presas por parafusos de
aço. Cada pólo é axialmente bloqueado por dois parafusos e uma chapa central.
Figura 2.3 – Representação esquemática do rotor com destaque para os pólos.
C) MANCAIS
Os mancais são apoiados em placas laterais sólidas de aço, parafusadas em ambas as
extremidades da estrutura (ver fig. 2.4). Nervuras de reforço dão às placas laterais rigidezes
em todas as direções. Os mancais radiais são feitos de aço fundido e revestidos com metal
branco. Durante operação normal, o óleo lubrificante dos mancais que serve para eliminação
das perdas por calor é fornecido por uma bomba acoplada ao eixo, na extremidade oposta do
coletor, protegida por uma caixa especial.
Figura 2.4 – Representação dos mancais radial e axial/radial, respectivamente.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
27
O óleo chega ao mancal através de uma cunha feita em seu eixo horizontal e flui entre
o mancal e o munhão através de uma folga que garante que o filme hidrodinâmico seja
formado. É retirado diretamente das extremidades dos mancais localizados no lado do anel
coletor e no lado oposto ao coletor, através de um ressalto. As folgas presentes nos mancais
radial e axial-radial são as mesmas e estão apresentadas na Tab. 2.1.
Tabela 2.1 – Folgas nos mancais radial e axial-radial.
Vertical
Mín (mm)
Máx (mm)
0,55
0,68
Horizontal
1,314
As metades inferiores dos mancais dispõem de bocais usados para injetar óleo sob alta
pressão para levantar o rotor e facilitar a partida. Os diafragmas são montados nas placas
laterais para evitar que o vapor do óleo penetre na máquina. Cada mancal é isolado da terra
para evitar correntes parasitas entre o eixo e o mancal o que pode provocar corrosão do eixo e
acarretar reduções na qualidade do lubrificante.
D) ANÉIS COLETORES
Os anéis coletores formam um conjunto independente fora da caixa de hidrogênio.
Consiste de um eixo, isolado com uma bandagem de fibra de vidro e epóxi, dentro da qual são
montados por interferência os dois anéis. O resfriamento é proporcionado por um ventilador
montado na extremidade do eixo, conforme mostrado na fig. 2.5.
Figura 2.5 – Representação esquemática do ventilador montado na ponta do eixo.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
28
Os anéis são feitos de aço carbono forjado resistente ao desgaste (ver fig. 2.6).
Ranhuras helicoidais em suas circunferências permitem que a poeira seja retirada das
superfícies de contato da escova e proporcionam, juntamente com orifícios especialmente
perfurados, uma maior área de superfície de resfriamento. Os porta-escovas são fixados em
dois anéis de apoio montados dentro da carcaça do coletor. A própria carcaça dispõe de duas
janelas de vidro removíveis, para facilitar a inspeção do desgaste da escova.
Figura 2.6 – Representação dos anéis coletores.
A extremidade do eixo do lado dos anéis coletores é ranhurada de forma a garantir a
leitura da rotação através de um sensor, além do aterramento do rotor. Esta ponta de eixo
ranhurada é fixada diretamente ao eixo do coletor atrás do ventilador centrífugo. O conjunto é
protegido por uma caixa de vidro localizada dentro do compartimento do coletor.
2.1.2. CARACTERÍSTICAS NOMINAIS
As características técnicas do compensador síncrono são apresentadas na Tab. 2.2
Tabela 2.2 – Características nominais do compensador síncrono.
Potência aparente
150.000 kVAr.
Fator de potência
Zero
Tensão
13.800 V
Freqüência
60 Hz
Corrente
6.275 A
Velocidade nominal
900 rpm
Velocidade de disparo
1.080 rpm
GD2
295.000 kgm2
Direção de rotação
Sentido horário (vista lado anel coletor)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
29
2.1.3. POTÊNCIA ATIVA
O kVA é uma medida de potência elétrica, chamada potência aparente. É a energia que
se destina apenas a alimentação de receptores resistivos, ou seja, aquecedores torradeiras, etc.
Este tipo de receptor consome toda energia que recebe. Não armazena energia. A potência que
se consome desta forma chama-se potência ativa. Como estes receptores consomem toda
energia recebida, a potência aparente que lhes é fornecida (kVA) é igual à potência ativa que
consomem (watt) (VALE, 2006).
2.1.4. POTÊNCIA REATIVA
Juntando-se motores elétricos aos receptores mencionados anteriormente, os motores
elétricos consomem energia ativa quando estão realizando trabalho e também devido a perdas
em função do próprio aquecimento, atrito e de origem magnética. Além desta energia ativa, os
motores necessitam de uma parcela de energia que não é consumida. Esta energia, chamada
energia reativa, destina-se a produzir o campo magnético com que o motor funciona. É
necessário fornecer ao motor uma potência aparente maior que a potência ativa que ele
consome. Por este motivo, os fornecedores de energia cobram dos grandes consumidores não
só a energia ativa, mas também a energia reativa (VALE, 2006).
2.2.
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS APLICADOS A PROBLEMAS NUMÉRICOS
O Método de Elementos Finitos (MEF) é um procedimento numérico para resolver
problemas de mecânica do contínuo com precisão aceitável para engenheiros. É seguramente
o processo que mais tem sido usado para discretização de meios contínuos. Além disso, o
MEF é muito utilizado devido à analogia física direta que se estabelece com o sistema físico
real e o modelo simulado computacionalmente (VALE, 2003).
A análise dinâmica pode ser usada para determinar a resposta no tempo de uma
estrutura sujeita a uma força transitória, a resposta em regime permanente de uma estrutura
submetida a uma força periódica, as freqüências naturais e os modos de vibrações (VALE,
2003).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
30
Geralmente, um modelo para análise dinâmica requer mais dados que aquele usado
para análise estática. Por exemplo, um modelo grosseiro dará melhores resultados para
cálculo das freqüências naturais do que para a determinação dos modos de vibração, sendo
que a precisão desta diminui a medida que se aumenta a ordem do modo a ser analisado, pelo
fato de as formas dos modos tornarem-se mais complexas a medida que suas freqüências
naturais aumentam (VALE, 2003).
Então, embora o mesmo modelo possa ser usado para ambas as análises, um modelo
para análise dinâmica deve ter uma discretização em nós e elementos, de tal maneira, que o
modelo possa representar precisamente os modos de vibrar que, normalmente, são mais
complexos que as linhas elásticas estáticas padrões. Uma regra prática para análise de vigas
ou eixos é que o número de elementos deve ser no mínimo duas vezes o numero de modos a
serem analisados (VALE, 2003).
As propriedades dos volumes gerados são introduzidas no programa. O computador
ordena os pontos nodais no centróide de cada volume e calcula suas matrizes de rigidez e
propriedades de massa para cada elemento. Um método alternativo é dividir o volume e
especificar a massa pontual de cada nó. Essas massas concentradas são então introduzidas na
rotina computacional que calcula a rigidez da viga.
Quando o grau de liberdade de rotação é ignorado, pode-se reduzir o número de graus
de liberdade efetivo no modelo sem perda efetiva na precisão do mesmo. Por exemplo, um
modelo com seis massas ou pontos nodais terá erros no cálculo de freqüências em modos, tais
como 0,1% para o primeiro modo de vibração, 0,5% para o segundo e 1,7% para o terceiro
modo (VALE, 2003).
Na análise estática, com elementos finitos, por exemplo, uma matriz de rigidez é
gerada e combinada com um vetor de forças nodais para calcular os deslocamentos nodais.
Em notação matricial isto é dado como:
 K 11




 M



K
 n1
K 12
O
K 1n   d1   F1 
    
    
    
O
    
O
M ⋅ M  =  M 
    
O
    
O
    
L
K nn  d n   Fn 
L
(2.1)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
31
ou
[K ]⋅ [d ] = [F ]
(2.2)
sendo [K ] a matriz de rigidez entre os nós, [d ] a matriz de deslocamentos nodais e [F ] a
matriz de forças nodais.
Na análise dinâmica com elementos finitos, uma matriz de massa também é gerada.
Na formulação da matriz de massa, a massa distribuída de cada elemento é ordenada para os
nós dos elementos da mesma maneira como as rigidezes entre os nós são ordenadas. As
massas relacionam-se com as forças pelas suas acelerações:
[M ]⋅ [d&&]= [F ]
(2.3)
sendo [M ] a matriz das massas concentradas nos nós.
A equação do movimento,
Md&& + Cd& + Kd = F
(2.4)
desprezando-se o amortecimento, pode ser escrita como:
[M ]⋅ [d&&] + [K ]⋅ [d ] = [F ]
(2.5)
As acelerações nos nós não são diretamente resolvidas, porém, elas podem ser
relacionadas com os deslocamentos para movimento senoidal, onde:
d = d máx sen(Ω t )
(2.6)
então:
d 2d
d&& = 2 = −Ω 2 ⋅ d máx sen(Ω t )
dt
(2.7)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
32
Assim, a equação matricial do movimento pode ser escrita da forma:
− [M ]ω 2 [d ] + [K ]⋅ [d ] = [F ]
(2.8)
ou ainda,
{− [M ]⋅ω
2
n
}
+ [K ] [d ] = [F ]
(2.9)
sendo que [F ] = [0] para vibrações livres.
Esta nova equação do movimento deve ser resolvida em duas etapas. As freqüências
naturais ω n devem ser encontradas. Haverá tantas freqüências naturais quantos forem os
deslocamentos (linhas ou colunas das matrizes). Matematicamente, estas freqüências naturais
são conhecidas como autovalores. Para cada freqüência natural existirá um conjunto de
deslocamentos, conhecidos como modos de vibração ou autovetores. Os deslocamentos
calculados para cada modo são normalizados, de tal forma que se tenham valores relativos de
amplitudes.
Através do Método de Elementos Finitos, utilizando-se um modelo com muitos graus
de liberdade, podem ser previstas, mesmo em fase de projeto, as freqüências naturais, bem
como os modos de vibrar. A análise de vibrações de sistemas estruturais simples, através de
métodos analíticos é uma excelente maneira de compreender e se familiarizar com o
fenômeno real, porém, apenas do ponto de vista acadêmico. Na prática, torna-se impossível
qualquer tratamento analítico de estruturas complexas. Assim, o Método de Elementos Finitos
torna-se ferramenta fundamental para solução de problemas dinâmicos que envolvam um
grande número de graus de liberdade (SOEIRO, 2000).
2.3.
FUNDAMENTOS DA DINÂMICA DE ROTORES
Na simulação numérica da dinâmica de rotores, a formulação de um modelo
matemático que represente um sistema rotativo requer o conhecimento prévio de parâmetros
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
33
de projeto, como dimensões e dados dos materiais. O sucesso de um projeto de uma máquina
rotativa consiste principalmente em:
•
Evitar velocidades críticas, se possível;
•
Minimizar a resposta dinâmica nos picos de ressonância, caso seja necessário passar
por uma velocidade crítica;
•
Evitar instabilidade;
•
Minimizar as vibrações e as cargas transmitidas à estrutura da máquina durante todo
o intervalo de operação.
As velocidades críticas pelas quais uma máquina pode passar até atingir sua rotação de
trabalho tornam-se um dos grandes inconvenientes na dinâmica de rotores. Nestas
velocidades, o eixo da máquina pode atingir grandes amplitudes de vibração que podem
causar danos irreversíveis nos mancais e demais componentes do rotor.
No caso de um rotor com o eixo em material convencional, os caminhos possíveis para
reduzir a amplitude nas velocidades críticas são:
(1) Balancear o rotor, que significa ir direto à fonte do problema, mas experimentalmente,
dificilmente se consegue balancear um rotor com perfeição;
(2) Alterar a velocidade de rotação da máquina, distanciando-a das velocidades críticas, ou
alterar a velocidade crítica através da variação da rigidez dos mancais;
(3) Se a máquina opera próximo da velocidade crítica e esta velocidade é imprescindível, a
solução é adicionar amortecimento externo ao rotor. Esta propriedade pode ser utilizada na
dinâmica de rotores, onde se necessitam reduzir as amplitudes de vibração quando este é
excitado em uma de suas velocidades críticas.
É ainda necessário dispor de hipóteses simplificadoras que viabilizam o modelo
numérico, sem, contudo, descaracterizar o seu comportamento. A literatura dispõe de grande
material sobre a obtenção das equações de movimento de rotores, destacando-se os métodos
das Matrizes de Transferência, Rayleigh-Ritz e Elementos Finitos. Para rotores mais
complexos, a análise do comportamento dinâmico geralmente é feita utilizando o método dos
Elementos Finitos. Na sua essência, o método dos elementos finitos expressa o deslocamento
de qualquer ponto do sistema contínuo em termos dos deslocamentos de um conjunto finito de
pontos, ditos pontos nodais, multiplicados por uma função de interpolação. Este método
produz resultados satisfatórios no estudo de problemas estruturais, sendo utilizado em um
grande número de programas comerciais voltados para a análise estática e dinâmica de
sistemas mecânicos.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
34
2.3.1. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DO ROTOR
O sistema de equações diferenciais que descreve o movimento do rotor é obtido
através da montagem das matrizes elementares do(s) disco(s), do eixo e dos mancais, e pode
ser colocado na forma:
[M ][d&&] + [(C + G )][d& ] + [K ][d ] = [F (t )]
(2.10)
sendo:
[F ], o vetor das forças excitadoras do sistema;
[M ] , a matriz de massa global do sistema, obtida a partir das matrizes de massa elementares
do disco e do eixo;
[C ] , a matriz de amortecimento global obtida a partir da matriz de amortecimento de cada
mancal;
[G ],
a matriz giroscópica global anti-simétrica do rotor obtida a partir das matrizes
giroscópicas elementares do disco e do eixo;
[K ] , a matriz de rigidez global simétrica obtida a partir das matrizes de rigidez elementares do
eixo K e e da matriz de rigidez elementar dos mancais;
[d&&], [d& ], e [d ] são os vetores de aceleração nodal, velocidade nodal e deslocamento nodal,
respectivamente.
2.3.2. FORÇAS DE EXCITAÇÃO
Diversas são as formas de excitação dos rotores, por exemplo, devido à força
assíncrona, massa desbalanceada ou força harmônica fixa no espaço. Sendo estas duas últimas
descritas a seguir.
A) MASSA DESBALANCEADA
Massa desbalanceada é definida como sendo uma massa m situada a uma distância d
medida do centro geométrico do eixo, como se observa na fig. 2.7. A massa permanece em
um plano perpendicular ao eixo y que é uma coordenada constante.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
35
Da fig. 2.7, pode-se deduzir que a força provocada pela massa desbalanceada, atuante
no eixo, nas direções referenciadas no sistema de coordenadas, pode ser escrita nas formas:
Fw = mΩ² d sen(Ω t )
(2.11)
Fu = mΩ² d cos(Ω t )
(2.12)
Figura 2.7 – Atuação da massa desbalanceada.
Como se observam nas expressões anteriores, as forças provocadas pela massa
desbalanceada possuem uma freqüência idêntica à freqüência de rotação do eixo ( Ω ). Devido
ao desbalanceamento da massa presente no disco, ao escrever na forma matricial o sistema de
equações, as forças dadas pelas equações (2.11) e (2.12) deverão ficar no vetor de forças na
posição correspondente ao nó onde se encontre o disco desbalanceado.
B) FORÇA HARMÔNICA FIXA NO ESPAÇO
Neste caso, se considera que o rotor gira a velocidade constante. A força atuante é
externa e possui freqüência Ω e amplitude F0 . Pode-se escrever as componentes desta
excitação ao longo dos eixos X e Z , respectivamente, como:
Fu = F0 sen(Ω t )
(2.13)
Fw = F0 cos(Ω t )
(2.14)
e
36
CAPÍTULO 3
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
3.1.
ABORDAGEM DE PROBLEMAS EM ENGENHARIA
Um modelo é uma representação ou interpretação simplificada da realidade, ou uma
interpretação de um fragmento de um sistema segundo uma estrutura de conceitos. O modelo
apresenta apenas uma visão de um fragmento do todo. Normalmente, para estudar um
determinado fenômeno complexo, criam-se vários modelos.
Para representar um fenômeno físico podem-se utilizar: modelos físicos, modelos
matemáticos ou modelos híbridos de vários tipos. Os modelos possuem suas escalas de
semelhança (calculadas com base no Teorema de Buckingham), que representam as relações
entre as variáveis envolvidas no fenômeno. Estes modelos são muito utilizados para estudos
de maiores complexidades como estudos de hidrodinâmica, aerodinâmica, mecânica quântica,
química, etc.
Em engenharia, para solução de problemas, nos mais diversos campos de atuação, é
necessário adequar o problema real à teoria desenvolvida para o fenômeno estudado. No
entanto, a teoria, quando desenvolvida, apropria-se de hipóteses que simplificam o problema e
o torna tratável matematicamente.
Nesse sentido, a solução de problemas reais só se torna possível matematicamente,
quando os problemas são coerentemente simplificados, ou seja, observando-se as questões
relevantes e irrelevantes, de tal forma que o problema possa ser escrito na forma de equações.
No entanto, as soluções das equações devem ser a própria solução do problema real, depois de
serem feitas as devidas considerações, análises, interpretações e determinação e verificação da
influência dos erros associados.
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
3.2.
37
TEORIA DA ANÁLISE MODAL EM VIGAS
Um modelo simples, como uma viga bi-apoiada, pode fornecer através de sua estrutura
seus parâmetros modais. A comparação de modelagens numéricas e experimentais pode
demonstrar claramente o quanto estes dois métodos se aproximam, e, portanto, validar o
método numérico aplicado, neste caso. Algumas hipóteses simplificadoras devem ser
consideradas para o estudo de vibrações em vigas, como por exemplo (VALE, 2003):
ƒ
a barra possui seção transversal constante;
ƒ
a barra possui simetria em relação ao eixo neutro;
ƒ
o comprimento da barra é muito maior que suas dimensões laterais;
ƒ
possui rigidez a flexão constante;
ƒ
as superfícies planas permanecem planas após deformação;
ƒ
o movimento é caracterizado por pequenas amplitudes de vibração.
As forças infinitesimais de tração e compressão na seção infinitesimal de uma viga são
dadas pela relação tensão-deformação, escrita na forma:
dF = ± E dS
∂τ ( x, t )
∂x
(3.1)
sendo
τ ( x, t ) o deslocamento longitudinal;
x a coordenada de posição;
t , o tempo;
E , o módulo de elasticidade;
S , a área da seção transversal do elemento diferencial considerado
O comprimento do arco dx é dado por:
dx = R dφ
onde R representa o raio de curvatura da linha neutra.
(3.2)
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
38
Da mesma maneira, o comprimento do arco de uma seção longitudinal acima da linha
neutra pode ser escrito na forma:
dx + dτ ( x, t ) = (R + r )dφ
(3.3)
Rearranjando esta equação, fica:
dτ ( x, t ) = rdφ
(3.4)
Igualando as equações (3.2) e (3.4):
∂τ ( x, t ) r
=
∂x
R
(3.5)
Substituindo em (3.1):
dF = − E dS
r
R
(3.6)
A integração desta equação, ao longo da altura h , fornece
h2
F = −E
r
dS
R
−h 2
∫
(3.7)
Fazendo b a largura, dS = b dr , então, substituindo em (3.7):
h2
F =−
E
b r dr = 0
R − h∫ 2
(3.8)
O momento atuante sobre a linha neutra é:
r
M o = ∫ r ′ dF
−r
(3.9)
39
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
Substituindo (3.6) em (3.9):
r
E
M o = − ∫ r ′ 2 dS
R −r
(3.10)
r
O termo
∫ r′
2
dS é, por definição, o momento de inércia I da seção transversal, portanto,
−r
Mo = −
EI
R
(3.11)
O raio de curvatura é dado por:
R=
  ∂y (x, t )  2 
 
1 + 
  ∂x  
32
∂ 2 y ( x, t )
∂x 2
(3.12)
Negligenciando o termo elevado ao quadrado:
R=
1
∂ y ( x, t )
∂x 2
2
(3.13)
Sendo y ( x, t ) o deslocamento transversal. Substituindo (3.13) em (3.11), a equação para o
momento fletor fica:
M o = −E I
∂ 2 y ( x, t )
∂x 2
(3.14)
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
40
Figura 3.1 – Elemento infinitesimal de viga submetido a momento fletor e esforço cortante.
Para o elemento de viga representado na fig. 3.1, o somatório dos momentos fletores é:
ΣM o = M x − M x + dx − V x + dx dx
(3.15)
Expandindo os termos M x + dx e V x + dx em series de Taylor:
M x + dx = M x +
∂M o
dx
∂x
e
V x + dx = V x +
∂Vo
dx
∂x
A equação de equilíbrio de momentos torna-se:
ΣM o = −
∂M o
dx − V x dx = 0
∂x
(3.16)
Portanto,
Vx = −
∂M o
∂x
A substituição de (3.14) em (3.17) fornece:
(3.17)
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
Vo = −
41
∂ 2 y ( x, t ) 
∂ 
−
E
I


∂x 
∂x 2 
Vo = E I
∂ 3 y ( x, t )
∂x 3
(3.18)
A somatória das forças na direção y fornece:
ΣFy = V x − V x + dx
(3.19)
Que após expansão em serie de Taylor, resulta:
ΣF y = −
∂V
dx
∂x
(3.20)
A segunda lei de Newton do movimento pode ser escrita na forma:
ΣFy = ρ S dx
∂ 2 y ( x, t )
∂t 2
(3.21)
Utilizando as equações (3.18) e (3.20), a equação acima pode ser escrita na forma:
EI
∂ 4 y ( x, t )
∂ 2 y ( x, t )
+
ρ
S
=0
∂x 4
∂t 2
Definindo C L2 =
C L2 rK2
E
ρ
e o raio de giração rK2 =
(3.22)
I
, a equação pode ser escrita na forma:
S
∂ 4 y ( x, t ) ∂ 2 y ( x, t )
+
=0
∂x 4
∂t 2
Para a solução desta equação são necessárias as condições iniciais:
(3.23)
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
y ( x,0) = y 0
42
e
∂y ( x, t )
= v0
∂t
E as condições de contorno dadas pelo tipo de fronteira.
Tabela 3.1 – Condições de contorno para diferentes tipos de fronteira.
Extremidade
Desenho
Condições de Contorno
Engastada
Pinada
y=0 e
∂y
=0
∂x
y=0 e
∂2 y
=0
∂x 2
Deslizante
∂y
∂2 y
=0 e
=0
∂x
∂x 2
Livre
∂3 y
∂2 y
=0 e
=0
∂x 3
∂x 2
Elástica
∂3 y
∂y ∂ 2 y
e
=0
EI 3 = − kx − c
∂t
∂x 2
∂x
A solução da equação da onda para vibração transversal é da forma:
y ( x, t ) = ψ ( x )T (t )
A substituição da equação (3.24) na equação (3.23), resulta:
(3.24)
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
ψ (x )
43
4
∂ 2T (t )
2 2 ∂ ψ (x )
(
)
+
=0
T
t
c
r
L K
∂t 2
∂x 4
(3.25)
Ou:
1 d 2T (t )
1 d 4ψ ( x )
2 2
c
r
=
−
L K
T (t ) dt 2
ψ ( x ) dx 4
(3.26)
Separando as variáveis:
1 d 2T (t )
= −ω 2
2
T (t ) dt
e
− c L2 rK2
1 d 4ψ ( x )
= −ω 2
4
ψ ( x ) dx
d 2T (t )
+ ω 2T (t ) = 0
2
dt
(3.27)
d 4ψ (x ) ω 2
− 2 2 ψ (x ) = 0
dx 4
c L rK
(3.28)
A solução da equação (3.27) tem a forma:
T (t ) = A cos ω t + B sen ω t
Para solução da equação (3.28) é necessário fazer k b = ω cb , sendo cb =
(3.29)
c L rK ω a
velocidade de propagação da onda de flexão. Dessa forma:
k b4 =
ω2
c L2 rK2
(3.30)
Substituindo (3.30) em (3.28) esta última equação pode ser escrita na forma:
d 4ψ ( x )
− k b4ψ ( x ) = 0
4
dx
(3.31)
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
44
Esta equação tem solução na forma:
ψ ( x ) = Ce s x
(3.32)
Desse modo, a equação (3.31) fica da forma:
s 4 C e s x − K b4 C e s x = 0
s 4 − k b4 = 0
s 4 = k b4
Ou seja, s 2 = ± k b2 , dessa forma, os valores de s são dados por
s1 = k b ;
s 2 = −k b ;
s3 = j k b ;
s 4 = − jk b .
Portanto, a solução da equação (3.32) fica:
ψ ( x ) = C1e k x + C 2 e − k x + C 3 e jk x + C 4 e − jk
b
b
b
b
x
(3.33)
Escrevendo a equação (3.33) na forma retangular, observando que:
e ± jkb x = cos(k b x ) ± j sen (k b x )
(3.34)
e ± kb x = cosh(k b x ) ± senh (k b x )
(3.35)
ψ ( x ) = D1 cosh (k b x ) + D2 senh(k b x ) + D3 cos(k b x ) + D4 sen (k b x )
(3.36)
Assim, a solução geral para equação da onda de flexão é dada pela substituição das
equações (3.36) e (3.29) na equação (3.24), portanto:
45
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
y ( x, t ) = ψ ( x )T (t )
y ( x, t ) = [D1 cosh(k b x ) + D2 senh (k b x ) + D3 cos(k b x ) + D4 sen (k b x )][ A cos ω t + B sen ω t ]
A e B são determinados através de condições iniciais e os coeficientes D1 , D2 , D3 e
D4 , através das condições de contorno:
Assim, é possível agora determinar as freqüências naturais e as formas modais de
vibração transversal livre, para uma viga simplesmente apoiada, por exemplo. Tomando-se as
seguintes condições de contorno
y (0, t ) = 0
CC 1
y ( L, t ) = 0
CC 2
∂2 y
∂x 2
=0
CC 3
x =0
∂2 y
∂x 2
=0
CC 4
x=L
E substituindo nas equações seguintes os coeficientes são determinados
ψ ( x ) = D1 cosh(k b x ) + D2 senh (k b x ) + D3 cos(k b x ) + D4 sen (k b x )
(3.36)
∂ 2ψ (x )
= k b2 [D1 cosh (k b x ) + D2 senh(k b x ) − D3 cos(k b x ) − D4 sen (k b x )]
2
∂x
(3.38)
Assim:
 D1 cosh (0 ) + D2 senh (0) + D3 cos(0 ) + D4 sen (0)


k 2 [D cosh (0) + D senh (0) − D cos(0) − D sen (0)]
2
3
4
 b 1
 D1 + D3 = 0


D − D = 0
3
 1
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
⇒
46
D1 = D3 = 0
Portanto, as equações (3.36) e (3.38) tornam-se:
ψ ( x ) = D2 senh (k b x ) + D4 sen (k b x )
(3.39)
∂ 2ψ ( x )
= k b2 [D2 senh (k b x ) − D4 sen (k b x )]
2
∂x
(3.40)
Aplicando as condições de contorno restantes, ou seja, em x = L , fica:
0 = D2 senh (k b L ) + D4 sen (k b L )


0 = k 2 [D senh (k L ) − D sen (k L )]
b
2
b
4
b

0 = D2 senh (k b L ) + D4 sen (k b L )


0 = D senh (k L ) − D sen (k L )
2
b
4
b

⇒
2 D2 senh (k b L ) = 0
Como senh (k b L ) ≠ 0 , concluímos que D2 = 0 .
Dessa forma, com D1 = D2 = D3 = 0 :
D4 sen (k b L ) = 0
Neste caso, D4 ≠ 0 . Portanto, sen (k b L ) = 0 , ou seja:
kb L = nπ ,
n = 1, 2, 3,...
(3.41)
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
como cb2 = c L rK ω n , k b =
ωn
e k b2 =
cb
47
ωn
c L rK
,
ω n = k b2 c L rK
Assim, as freqüências naturais são dadas por:
2
π n 
ωn = 
 c L rK ,
 L 
n = 1, 2, 3, ...
(3.42)
E as formas modais são dadas por:
ψ n (x ) = D4 sen (k b (n ) x ) ,
(3.43)
Sendo que:
k b (n ) =
nπ
,
L
n = 1, 2, 3, ...
(3.44)
Onde k b (n ) referem-se a valores característicos, ou autovalores do sistema. Assim,
substituindo (3.44) em (3.43):
 nπ
 L
ψ n ( x ) = Dn sen

x  = An φ n (x )

(3.45)
Onde φ n ( x ) são as funções características, ou autovetores do sistema.
As formas modais para os seis primeiros modos de vibração são representadas na
figura a seguir.
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
48
(1º modo)
(2º modo)
(3º modo)
(4º modo)
(5º modo)
(6º modo)
Figura 3.2 – Seis primeiros modos de vibração para uma viga simplesmente apoiada.
3.3.
TEORIA DA ANÁLISE FORÇADA
A equação que governa o movimento vibratório do sistema pode ser dada na forma
matricial como:
[M ]d&& + [C ]d& + [K ]d = [F ]
(3.46)
onde [M ] , [C ] e [K ] são, respectivamente, as matrizes de massa, amortecimento e rigidez do
sistema, e d e [F ] são definidos, respectivamente, como os vetores de deslocamento e carga
aplicada.
A análise de vibrações forçadas, a ser aqui utilizada, é feita através da análise
harmônica, que é uma técnica usada para determinar a resposta forçada de uma estrutura para
cargas que apresentam uma variação temporal harmônica. Esta técnica de análise permite que
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
49
sejam calculadas apenas as vibrações forçadas em regime permanente, não sendo possível a
determinação das características da vibração transiente, ou seja, aquela que ocorre no início da
excitação (VALE, 2003).
Na análise harmônica, aqui realizada, as freqüências naturais e formas modais, obtidas
na análise modal, são usadas com o objetivo de caracterizar a resposta dinâmica da estrutura.
Assim, define-se um conjunto de coordenadas modais y i , tal que:
n
q = ∑ φi yi
(3.47)
i −1
onde φi é a forma modal, correspondente ao i-ésimo modo de vibração, e n o número de
modos usados. Substituindo a equação (3.47) na equação (3.46) e usando-se a condição de
ortogonalidade dos modos de vibração ( φ j [M ]φi = 0 e φ j [K ]φi = 0 para i ≠ j ), bem como
T
T
a hipótese de amortecimento de Rayleigh ( φ j [C ]φi = 0 para i ≠ j ), é possível obter-se o
T
seguinte conjunto de n equações desacopladas:
&y& j + 2 ξ j ω j y& j + ω 2j y j = f j
com
(3.48)
f j = φ Tj [F ] .
A vantagem de se obter um sistema de equações desacopladas é que toda a álgebra
computacional de matriz já foi realizada na fase de análise modal, assim, nesta etapa de
solução, o processo de cálculo é muito rápido. Assume-se que a excitação harmônica, f j tem
a seguinte forma:
f j = f jc e iΩt
(3.49)
onde f jc é a amplitude complexa de f j e Ω a freqüência de excitação. Assim, para que a
equação (3.48) seja verdadeira para qualquer tempo t, y i deve ter uma forma similar a f j , ou
seja:
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
y j = y jc e iΩt
50
(3.50)
onde y jc é a amplitude complexa da coordenada modal para o modo j dada por:
y jc =
(ω
2
j
)
f jc
− Ω 2 + i (2ω j Ωξ j )
(3.51)
A contribuição de cada modo para a vibração forçada é dada por:
B j = φ j y jc
(3.52)
e os deslocamentos complexos, referentes à vibração forçada, são obtidos da equação (3.47)
como:
n
qc = ∑ B j
(3.53)
j =i
3.4.
CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE MODELAGENS NUMÉRICAS
Para a determinação das freqüências naturais e das formas modais de vibração do rotor
em estudo, bem como na análise harmônica, foram utilizados dois modelos numéricos. O
primeiro modelo é constituído por elementos finitos do tipo viga, com condições de contorno
elásticas nos mancais. O segundo modelo faz uso de elementos finitos sólidos, mantendo-se o
apoio elástico nos mancais.
De maneira a avaliar o comportamento do sistema nessas duas situações, as análises
modal e harmônica, utilizou-se o Método de Elementos Finitos através do software ANSYS
6.0. Visto que este software possui algoritmo com elevada eficiência, tanto na análise modal,
necessária para determinação das freqüências e modos de vibração, quanto na análise
harmônica onde se caracteriza o comportamento dinâmico da estrutura submetida a uma
força, por exemplo, devido ao desbalanceamento residual presente em sistemas rotativos,
como o caso do compensador síncrono em estudo.
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
51
3.4.1. ANÁLISES NUMÉRICAS UTILIZANDO O SOFTWARE ANSYS 6.0
(A) ANÁLISE MODAL
As equações resultantes da análise modal, sem a consideração da matriz de
amortecimento, constituem um problema de autosolução, que consiste no cálculo dos
autovalores e autovetores associados, dados pela expressão seguinte:
[K ]{φ i } = ω i2 [M ]{φ i }
(3.44)
Sendo:
[K ]
{φ i }
a matriz de rigidez do sistema;
ωi
a freqüência natural circular do modo i e ω i2 é o autovalor;
[M ]
a matriz de massa do sistema.
o vetor de forma modal do modo i ou autovetor;
O software ANSYS possui diversos algoritmos para obtenção do modelo dinâmico de
estruturas. Os mais utilizados são os métodos do subespaço, bloco de Lanczos, energia
dinâmica, método reduzido, assimétrico e amortecido. Uma breve descrição de cada método é
apresentada a seguir.
8 MÉTODO DO SUBESPAÇO
O método do subespaço usa técnicas de iterações do subespaço, as quais usam
internamente os algoritmos generalizados de iteração de Jacobi. É um método de alta precisão
porque usa matrizes totais de massa e rigidez. Por essa razão, em contraponto, este método é
mais lento que o método reduzido. Este procedimento é usado tipicamente onde é requerido
um alto grau de precisão dos resultados ou onde não se faz necessária a seleção de um grau
mestre de liberdade (VALE, 2003).
Quando se faz uma análise modal com um número elevado de condições de contorno,
usa-se o método do subespaço ou o método de iteração do subespaço ou o método do Bloco
de Lanczos para extração das constantes modais (VALE, 2003).
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
52
8 BLOCO DE LANCZOS
O método de Bloco Lanczos de extração de autovalores é aceitável para problemas de
número elevado de nós e simétricos. Tipicamente, este mecanismo é aplicável para os tipos de
problemas solucionáveis pelo método do subespaço, porém, com uma taxa de convergência
mais rápida (VALE, 2003).
Um bloco, denominado algoritmo de Lanczos, é a base da teoria de autosolução. Este
método emprega uma estratégia automatizada de troca, combinada com a checagem da
seqüência de Sturm, para extrair o número de autovalores requisitados. Esta checagem
também assegura que as freqüências naturais além da faixa de freqüência de análise fornecida
pelo usuário, sejam encontradas sem perda de modos de vibração (VALE, 2003).
O uso deste método para solução de problemas maiores (em torno de 100.000 graus de
liberdade, por exemplo) pode requerer uma quantidade de memória computacional
significativamente maior, devido a geração de um número muito elevado de equações de
restrição (VALE, 2003).
8 ENERGIA DINÂMICA
Este método utiliza internamente as interações do subespaço. Este método pode ser
significativamente mais rápido que os métodos do Bloco Lanczos e do Subespaço, mas não
apresenta boa convergência se os elementos não forem bem modelados ou se a matriz estiver
mal condicionada. Este método é especialmente utilizado em modelos muito grandes, com
cerca de 100 mil graus de liberdade para obter a solução dos primeiros modos (VALE, 2003).
8 MÉTODO REDUZIDO
No caso do método reduzido, o sistema de equações é primeiramente condensado para
os graus de liberdade livres, associados com o grau de liberdade mestre. O conjunto de “n”
graus mestres caracteriza as freqüências naturais de interesse do sistema. Esta técnica preserva
a energia potencial dos modos de baixa freqüência, porém, modifica, até certo ponto, a
energia cinética. Esta energia, para os modos de baixa freqüência é menos sensível à
condensação do que a energia cinética de modos cujas freqüências possuem valores duas
vezes o número de freqüências interesse. Esta forma reduzida deve ser expressa por (VALE,
2003):
[K ]{φ i } = ω 2 i [M ]{φ i }
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
53
Sendo que:
[K ]
{φi }
autovetor (desconhecido);
ωi
autovalor (desconhecido);
matriz reduzida de rigidez (conhecida);
[M̂ ] matriz reduzida de massa (conhecido).
A técnica empregada para extração real dos autovalores consiste em cinco passos, a
saber:
(a) Transformação de um autoproblema Generalizado para um autoproblema padrão;
(b) Redução da matriz de autovalores para a forma tridiagonal;
(c) Cálculo dos autovalores;
(d) Cálculo dos autovetores;
(e) Transformação dos autovetores.
8 MODELO ASSIMÉTRICO
O método assimétrico, o qual também utiliza as matrizes totais de massa e rigidez, é
indicado para problemas onde as matrizes de massa e rigidez são assimétricas (por exemplo,
em condições onde ocorra interação fluido-estrutura). Este método utiliza o algoritmo de
Lanczos que calcula os autovalores e autovetores complexos se o sistema é não conservativo.
A parte real do autovalor representa as freqüências naturais e a parte imaginária é a medida da
estabilidade do sistema. Um valor negativo significa que o sistema é estável e um valor
positivo indica instabilidade. A seqüência de checagem de Sturm não é aceitável para este
método. Então, há a possibilidade de se perder alguns modos se a freqüência de extração
superior assumir valores mais elevados (VALE, 2003).
8 MÉTODO AMORTECIDO
É utilizado em problemas onde o amortecimento não pode ser desprezado, tal como
aplicações em rotores dinâmicos. Este método utiliza matrizes totais de massa e rigidez e a
matriz de amortecimento. O algoritmo aplicado é o Lanczos, que calcula autovalores e
autovetores complexos. A seqüência de checagem de Sturm não é aplicável a este método.
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
54
Portanto, existe a possibilidade de se perderem alguns modos se a freqüência de extração
superior atingir valores mais elevados (VALE, 2003).
(B) ANÁLISE HARMÔNICA
O software ANSYS fornece três métodos para solução do problema de excitação
harmônica: o método completo, o método reduzido e o da superposição modal.
O método completo resolve o problema forçado para sistemas, considerando todos
seus graus de liberdade, de translação ou de rotação, variando os passos de carga em uma
faixa de freqüência pré-determinada pelo usuário. Durante a solução, este procedimento
resolve o problema de autovalor e autovetor, para fornecer a resposta harmônica dos sistemas
nas regiões de ressonância, caso existam freqüências naturais na região de freqüência de
análise, onde ocorrem amplificações consideráveis nas amplitudes de vibração. Por este
motivo esta análise requer um custo computacional mais elevado que as demais (VALE,
2006).
O método reduzido é uma adaptação do completo. A diferença está no fato de que este
procedimento considera apenas o grau mestre de liberdade, que é a direção preferencial de
solução, rebaixando as dimensões das matrizes contendo as propriedades dinâmicas dos
sistemas analisados e simplificando os cálculos numéricos, reduzindo bastante o tempo de
processamento (VALE, 2006).
O método da superposição modal é um procedimento um pouco mais trabalhoso,
porém, de resultados precisos e bem rápidos. Para executar este método, deve-se inicialmente
calcular o modelo modal da estrutura a ser analisada por um método que não leve em
consideração o amortecimento modal, tal como o método do Bloco de Lanczos, por exemplo.
Com o modelo modal calculado, deve-se expandi-lo, ou seja, obter os coeficientes de
participação modal, que fazem com que a solução harmônica tenha validade dentro de toda
faixa de freqüência analisada. A superposição modal baseia-se exatamente nos coeficientes de
participação modal para gerar uma resposta harmônica dentro da faixa a ser estudada. Para
que se analise com correção toda esta faixa, recomenda-se que a freqüência máxima de
excitação harmônica da estrutura seja, pelo menos, 50% maior que a freqüência do último
modo presente dentro deste limite. Isto é feito com a intenção de se obterem os resíduos
superiores presentes nas FRF (Função Resposta de Freqüência) de receptância (ou seja,
deslocamento dividido pela força). Os resíduos consideram a influência dos modos de ordem
superior e inferior nos modos a serem analisados.
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
55
3.4.2. TIPOS DE ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS NAS MODELAGENS
Na modelagem numérica do rotor do compensador síncrono foram utilizados três tipos
de elementos finitos disponíveis na biblioteca do ANSYS, o elemento de viga (BEAM4) que
representa o eixo do rotor, propriamente dito, o elemento de massa (MASS21) que representa,
no modelo, a contribuição inercial dos pólos e bobinas, o elemento de mola (COMBIN14)
usado para inserir as condições de apoio do sistema e o elemento SOLID95 usado na
construção do modelo sólido.
(A) DESCRIÇÃO DO ELEMENTO BEAM4
O elemento BEAM4 é uniaxial com capacidade de adquirir carga de tração,
compressão, torção e flexão. Este elemento tem seis graus de liberdade em cada nó: translação
nodal nas direções x , y e z e rotação em torno dos mesmos eixos.
Figura 3.3 – Elemento de viga do tipo BEAM4 (Fonte: Manual do software ANSYS 6.0).
A geometria, localização dos nós e o sistema de coordenadas para este elemento são
mostrados na fig. 3.3. O elemento é definido por dois ou três nós, área da seção transversal,
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
56
dois momentos de inércia de área ( I zz e I yy ), as espessuras nas direções y e z ( TK y e
TK z ), um ângulo de orientação ( θ ) do elemento em torno do eixo x , o momento de inércia
( I xx ) e as propriedades do material, como densidade, módulo de elasticidade e coeficiente de
Poisson.
(B) DESCRIÇÃO DO ELEMENTO MASS21
O MASS21 (ver fig. 3.4) é um elemento pontual que possui seis graus de liberdade:
translação e rotação nos eixos nodais x , y e z . Devem ser atribuídas diferentes massas e
inércias rotacionais em cada direção do sistema de coordenadas. O elemento de massa é
definido por um único nó, com componentes de massa concentrada nas direções coordenadas
do elemento e inércias rotacionais em relação aos eixos coordenados do elemento.
Figura 3.4 – Elemento do tipo MASS21 (Fonte: Manual do software ANSYS 6.0).
(C) DESCRIÇÃO DO ELEMENTO COMBIN14
O elemento do tipo COMBIN14 tem capacidade de aplicação longitudinal ou torcional
em uma, duas ou nas três dimensões. A opção de mola/amortecedor longitudinal é um
elemento uniaxial de tração-compressão com de três graus de liberdade em cada nó:
translação nas direções nodais x , y e z . Carregamentos de flexão ou torção não são
considerados. A opção mola/amortecedor torcional representa um elemento puramente
rotacional com três graus de liberdade em cada nó: rotação em torno dos eixos nodais x , y e
z . Flexão ou carregamentos axiais não são considerados.
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
57
Figura 3.5 – Elemento de mola tipo COMBIN14 (Fonte: Manual do software ANSYS 6.0).
A geometria, localização dos nós e o sistema de coordenadas para esse elemento são
mostrados na fig. 3.5. O elemento é definido por dois nós, uma constante de rigidez ( k ) e
coeficientes de amortecimento c y 1 e c y 2 . A capacidade de amortecimento não é usada para
análises estáticas ou não amortecidas.
(D) DESCRIÇÃO DO ELEMENTO SOLID95
O elemento SOLID95 é uma versão superior elemento sólido com oito nós. Este
elemento pode tolerar formas irregulares sem tanta perda de precisão. O SOLID95 tem
deslocamentos compatíveis com as formas. É adequado para modelos com superfícies
curvadas nas fronteiras. O elemento é definido por 20 nós, tendo três graus de liberdade por
nó: translação nas direções nodais x, y e z. O elemento SOLID95 possui capacidade de
plasticidade, rigidez a tensão, grandes deflexões e deformações, etc. E várias opções de
plotagem de resultados também estão disponíveis para este elemento. A geometria,
localização dos nós e o sistema de coordenadas são mostrados na fig. 3.6.
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
58
Figura 3.6 – Geometria do elemento sólido tipo SOLID95. (Fonte: Manual do software ANSYS 6.0).
3.5. CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE DESBALANCEAMENTO ROTATIVO
Balanceamento é um processo que visa melhorar a distribuição de massa de um corpo,
de modo que este gire em seus mancais sem forças de desbalanceamento. Este balanceamento
pode ser atingido até certo limite, já que após este processo o rotor ainda apresentará
imperfeição na distribuição de massa, chamada desbalanceamento residual. Neste sentido, o
processo de balanceamento, aqui discutido, refere-se ao desbalanceamento residual admissível
em rotores (ABNT, 1983).
Com
auxílio
dos
equipamentos
de
medição
disponíveis
atualmente,
o
desbalanceamento pode ser reduzido a níveis razoavelmente baixos. Entretanto, seria
antieconômico exagerar os requisitos de qualidade. Deve ser estabelecido até onde o
desbalanceamento deve ser reduzido e onde existe o compromisso ótimo do ponto de vista
econômico e teórico sobre a qualidade do balanceamento (ABNT, 1983).
Deve
ser
observado
que
não
é
possível
concluir
seguramente
que
os
desbalanceamentos residuais admissíveis procedem de recomendações existentes sobre o
comportamento vibratório das máquinas, visto que, em muitos casos, não é fácil conhecer a
relação entre o desbalanceamento do rotor e as vibrações da máquina sob condições
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
59
operacionais. A amplitude das vibrações á influenciada por vários fatores, como por exemplo,
a massa vibratória da carcaça da máquina e suas fundações; as rigidezes dos mancais e
fundação e a aproximação da velocidade de operação em relação às várias freqüências de
ressonância (ABNT, 1983).
Um corpo rotativo desbalanceado causará não somente forças em seus mancais e
fundação, mas também vibrações na máquina. A qualquer velocidade de rotação, ambos os
efeitos dependem essencialmente das proporções geométricas e distribuição de massa do rotor
e máquina, bem como da rigidez dos mancais e fundação (ABNT, 1983).
Em muitos casos, o desbalanceamento estático é de importância primária quando
comparado ao desbalanceamento de conjugado, ou seja, utilizando dois planos de
balanceamento, o efeito de perturbação é maior na mesma direção (estático) que em direções
opostas (dinâmico). Similarmente, há casos em que o desbalanceamento de conjugado é
especialmente perturbado. Por exemplo, para um rotor com discos de balanço em ambas as
extremidades e distância entre mancais menor que a distância entre os planos de correção, a
carga atuante no mancal, devido ao desbalanceamento do conjugado, é maior que o causado
pelo desbalanceamento estático (ABNT, 1983).
Para rotores em forma de disco, o uso de somente um plano de correção pode ser
suficiente, desde que a distância entre os mancais seja suficientemente grande e o disco gire
com deslocamento axial suficientemente pequeno. Se o rotor não satisfaz estas condições,
então dois planos de correção são necessários. No caso de rotores para os quais o centro de
gravidade está localizado no terço intermediário da distância entre mancais metade do valor
recomendado do desbalanceamento residual admissível deve ser tomado para cada plano de
correção se eles são eqüidistantes do centro de gravidade. Para outros rotores pode ser
necessário dividir o valor recomendado de acordo com a distribuição de massa do rotor
(ABNT, 1983).
Geralmente, quanto maior for a massa do rotor, tanto maior é o desbalanceamento
admissível. Portanto, é apropriado relacionar o desbalanceamento residual admissível U com
a massa do rotor m . O desbalanceamento específico e = U m é equivalente ao deslocamento
do centro de gravidade quando este coincide com o plano de desbalanceamento estático
(ABNT, 1983).
A experiência prática mostra que para rotores do mesmo tipo, em geral, o
desbalanceamento residual admissível específico e = U m varia inversamente com a
velocidade de operação, dentro da faixa de velocidade e qualidade de balanceamento
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
60
especificadas na norma NBR 8008/83. Além disto, dados estatísticos empíricos, para rotores
do mesmo tipo, indicam a seguinte relação para a velocidade tangencial: neeixo = constante,
ou, equivalentemente ωeeixo = constante, onde eeixo pode ser tomado como a excentricidade do
centro de gravidade para o caso de desbalanceamento estático (ABNT, 1983).
As classes de balanceamento foram estabelecidas, de acordo com a norma NBR
8008/83, de forma a permitir uma classificação das exigências de qualidade. Cada classe de
qualidade de balanceamento G compreende uma faixa de desbalanceamentos residuais
admissíveis do limite superior, que é dado por certa magnitude do produto ωeeixo até zero.
Registrando as classes de qualidade versus a máxima velocidade de operação nmáx , obtêm-se
os limites superiores de eeixo (ABNT, 1983).
61
CAPÍTULO 4
DESCRIÇÃO DA MODELAGEM DINÂMICA DO ROTOR
4.1.
HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS
Para a construção do modelo numérico, composto por elementos de viga, do rotor do
compensador síncrono foram adotadas algumas hipóteses simplificadoras, de acordo com o
conceito de modelo matemático apresentado no capítulo 3. Dessa forma, foram adotadas
diferentes simplificações para cada elemento constituinte do sistema, como os mancais, eixo e
a seção dos pólos.
→ Cada seção do eixo escalonado é constituída de material constante, homogêneo e com
propriedades constantes em todas as direções, ou seja, isotrópico;
→ Cada seção com diâmetro constante é modelada como elemento tipo
BEAM4, ou seja,
considerado, como elemento de viga;
→ Após
as deflexões, as superfícies, inicialmente planas, permanecem planas,
executando somente movimentos translacionais;
→ Todas as equações que descrevem o comportamento dinâmico do rotor são aplicáveis
para pequenas amplitudes de vibração;
→ As considerações a cerca de homogeneidade e continuidade do material das seções
escalonadas do eixo, resultam em rigidez constante destas;
→ Os mancais são representados no modelo como condições de apoio flexíveis,
restringindo movimentos translacionais;
→ É considerado que o rotor está balanceado de acordo com a norma NBR 8008/83 que
regulamenta a qualidade do balanceamento e recomenda o desbalanceamento residual
admissível, sendo, desta forma, possível simular o comportamento dinâmico da estrutura sob
condições de carregamento externo.
Capítulo 4 – Descrição da Modelagem Dinâmica do Rotor
4.2.
62
CONSTRUÇÃO DO MODELO
Os modelos, com elementos de viga e elementos sólidos, foram desenvolvidos com
base nos dados e informações disponíveis acerca de dimensões, cargas, propriedades
geométricas e mecânicas da estrutura do compensador síncrono, disponíveis no Centro de
Documentação Técnica da Eletronorte.
Figura 4.1 – Representação esquemática geral do rotor em estudo.
O modelo construído (ver fig. 4.1) baseou-se nas dimensões disponíveis nas plantas do
projeto deste rotor. Para construção do modelo usando elementos de viga, foi utilizada,
exclusivamente, a própria tela gráfica do ANSYS 6.0.
Na elaboração do modelo com elementos de viga, foram utilizados aço como material
constituinte e dimensões apresentadas na Tab. 4.1 e, que mostra ainda as diversas variações de
diâmetro que o eixo apresenta ao longo de seu comprimento.
O modelo sólido foi construído com auxílio do software SolidWorks 2007, que dispõe
de excelentes ferramentas de desenho, visualização e, principalmente, interface com
diferentes softwares, que também foram utilizados paralelamente, como o AutoCad 2007 e o
próprio software de elementos finitos, ANSYS 6.0, para onde foi exportado posteriormente.
Capítulo 4 – Descrição da Modelagem Dinâmica do Rotor
63
Tabela 4.1 – Descrição dimensional de cada seção que compõe o eixo do rotor.
SEÇÃO
COMPRIMENTO (mm)
DIÂMETRO (mm)
1
127
150
2
37
280
3
26
1016
4
150
275
5
130
560
6
125
275
7
130
560
8
155
275
9
210
475
10
295
300
11
695
500
12
200
620
13
630
1154
14
2680
2527
15
630
1247
16
285
620
17
80
500
18
35
595
19
500
500
20
70
595
21
80
50
Em se tratando da construção do modelo com elementos de viga, é proposta uma
análise alternativa visando situações nas quais recursos computacionais necessários para
construção de um modelo mais preciso não estejam disponíveis.
Neste contexto:
→ os elementos de viga tridimensional BEAM4, são usados ao longo de todo o
comprimento do eixo;
→ A seção onde se localizam os pólos do compensador é tratada especialmente, tendo as
contribuições inerciais do movimento representadas pelos elementos de massa MASS21
distribuídos ao longo desta seção;
→ As condições de apoio são estabelecidas pelas propriedades dos mancais, sendo aqui
considerada somente a rigidez. São representadas no modelo através do elemento finito
COMBIN14.
As propriedades mecânicas dos mancais foram obtidas de acordo com SANTOS
FILHO, 2001. Sendo as rigidezes mostradas na tabela a seguir.
Capítulo 4 – Descrição da Modelagem Dinâmica do Rotor
64
Tabela 4.2 – Rigidezes utilizadas nos mancais.
Rigidez (N/m)
Radial
Axial-Radial
Kx
1,40E+12
2,70E+08
Ky
1,40E+12
2,70E+08
Kz
-
3,60E+07
O software de elementos finitos ANSYS 6.0 subdivide as análises que serão
realizadas em três fases principais. A fase de construção do modelo, fase de solução e análise
dos resultados.
4.2.1 PRÉ-PROCESSAMENTO
A fase inicial, de pré-processamento, consiste em inserir no ANSYS os tipos de
elementos que serão usados, para o modelo com elementos de viga, os elementos BEAM4,
COMBIN14 e MASS21. Após definição dos tipos de elementos é necessário que seja
informado ao programa as propriedades de cada tipo de elemento. Para o elemento BEAM4, a
área e momentos de inércia nas direções perpendiculares de sua seção transversal; para o
elemento COMBIN14, deve ser fornecida sua constante de rigidez e, quando for o caso, o
amortecimento presente; e, finalmente, para o MASS21, a massa do componente do sistema
físico real que está sendo representado no modelo por este elemento, nas três direções
ortogonais x, y e z. Nesta seção devem ser inseridas também as propriedades mecânicas do
material usado, tais como: módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson e densidade. Além
das informações sobre a linearidade da resposta e isotropia do material. Para o modelo
construído com elementos sólidos foi usado o elemento SOLID95 que dispensa a inserção de
constantes reais, sendo necessário somente a inserção de propriedades mecânicas e físicas.
4.2.2 SOLUÇÃO
Análise Modal: A fase de solução inicia-se após a finalização da construção do
modelo e inserção de todas as propriedades de influência no comportamento dinâmico da
estrutura. Nesta fase, define-se que tipo de análise deve ser realizado, entre as opções
fornecidas: estática, modal, harmônica, transiente, etc. Para este caso, por fornecer os
parâmetros de interesse (freqüências naturais e modos de vibração), foi escolhida a análise
modal.
Capítulo 4 – Descrição da Modelagem Dinâmica do Rotor
65
Para este caso, deve-se identificar qual método de extração modal deve ser usado e o
número de modos a extrair, sendo aqui usado o Método de Block Lanczos e 10 modos de
vibração, respectivamente e para o modelo sólido foram extraídos 20 modos.
Outra informação importante é a faixa de freqüência que deve ser analisada. Neste
trabalho foi estudada uma faixa de 1 a 250 Hz. Todas estas subetapas concluem-se com a
execução do comando Solve que, finalmente, soluciona o problema.
Análise Harmônica: A simulação do comportamento dinâmico com força atuando,
requer aplicação de carregamento externo, na fase de pré-processamento, e continua com a
especificação da faixa de freqüência que se quer analisar, bem como do número de subpassos
usado no cálculo numérico. Com estas informações inseridas é possível executar o comando
de solução.
4.2.3 PÓS-PROCESSAMENTO
A fase de solução por si só não apresenta os resultados obtidos na análise. A fase de
pós-processamento é responsável por toda a apresentação dos resultados nas formas
preferenciais do usuário. Várias opções estão disponíveis de visualização, em forma de listas,
através da opção List Results > Nodal Solution e visualização da configuração deformada,
através do submenu Plot Result, bem como animação em vídeo do comportamento dinâmico,
localizado no menu PlotCtrls > Animate.
Para visualização dos resultados referentes à análise forçada, é necessário verificar
outras opções disponíveis no menu lateral da janela principal do ANSYS, como a opção
TimeHist PostProc que dispõe de recurso para visualização da variação da amplitude no
domínio da freqüência, facilitando assim a identificação das freqüências naturais, bem como
as amplitudes de deslocamento em qualquer nó do sistema.
A construção do modelo sólido foi realizada com auxílio de diferentes softwares.
Primeiramente, a seção transversal referente à região dos pólos foi desenhada no software
AutoCad 2007. Devido a sua facilidade de construção de estruturas sólidas, esta seção
transversal foi exportada para o SolidWorks 2007, onde continuou-se a construção do rotor
até sua conclusão.
Para a realização das análises propostas neste trabalho, foi utilizado o software
ANSYS que possui boa interface com o SolidWorks. Sendo assim, o desenho tridimensional
do rotor foi exportado para o ANSYS, onde se continuou, agora para realização das
Capítulo 4 – Descrição da Modelagem Dinâmica do Rotor
66
simulações propriamente ditas. O modelo tridimensional usado no ANSYS foi discretizado
com elementos finitos tipo SOLID95, que não requer inserção de constantes reais referentes a
dimensões ou propriedades geométricas. A Tab. 4.3 mostra as propriedades geométricas das
seções do rotor escalonado. Os dados apresentados referem-se às constantes reais usadas na
construção do modelo com elementos de viga. A fig. 4.2 ilustra cada uma das seções
presentes no rotor e usadas na construção do modelo.
Figura 4.2 – Ilustração das seções que compõem o modelo do compensador síncrono.
Tabela 4.3 – Propriedades geométricas das diversas seções do rotor.
Seção
Área (mm²)
Momento de Inércia (mm4)
Ixx=Iyy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1,77E+04
6,16E+04
8,11E+05
5,94E+04
2,46E+05
5,94E+04
2,46E+05
5,94E+04
1,77E+05
7,07E+04
1,96E+05
3,02E+05
1,05E+06
5,70E+06
1,22E+06
3,02E+05
1,96E+05
2,78E+05
1,96E+05
2,78E+05
2,49E+07
3,02E+08
5,23E+10
2,81E+08
4,83E+09
2,81E+08
4,83E+09
2,81E+08
2,50E+09
3,98E+08
3,07E+09
7,25E+09
8,72E+10
2,40E+12
1,19E+11
7,25E+09
3,07E+09
6,15E+09
3,07E+09
6,15E+09
21
1,96E+03
3,07E+05
As propriedades mecânicas de cada seção transversal foram definidas de acordo com
o material que constitui o rotor. Em sua maior parte o material presente é aço, com os pólos
Capítulo 4 – Descrição da Modelagem Dinâmica do Rotor
67
considerados constituídos essencialmente de cobre. Desta forma, excluindo-se a parte externa
da seção de número 14 (pólos), todas as demais são constituídas de aço. A tabela a seguir
resume as propriedades destes materiais inseridas na construção do modelo.
Tabela 4.4 – Propriedades mecânicas dos materiais usadas no modelo.
Material
Densidade (kg/m³)
Poisson
Módulo de Elasticidade (MPa)
AÇO
COBRE
7850
8890
0,30
0,34
210000
115000
Tendo em vista todas estas considerações acerca da construção dos modelos, são
apresentados a seguir, na fig. 4.3, os modelos construídos com elementos de viga e elementos
sólidos, através do software de elementos finitos ANSYS.
Mancal Axial-Radial
Mancal Radial
Mancal Axial-Radial
Mancal Radial
Figura 4.3 – Modelos criados com elemento de viga e elementos sólidos, respectivamente.
4.3.
ANÁLISES MODAL E HARMÔNICA
A análise modal realizada no modelo objetivou a determinação das freqüências
naturais e formas modais de vibração do rotor em vibração livre. Diferentemente desta, foi
simulado também o comportamento dinâmico do rotor sob vibração forçada, que se baseou na
condição de desbalanceamento recomendada pela Norma NBR 8008/83, a qual trata da
qualidade do balanceamento para este tipo de rotor. Desta forma, foram simuladas condições
de desbalanceamento estático e dinâmico utilizando-se dois planos de correção como ilustrado
na fig. 4.4.
Capítulo 4 – Descrição da Modelagem Dinâmica do Rotor
68
Figura 4.4 – Ilustração dos planos de balanceamento usados na análise forçada.
A Norma NBR 8008/83, fornece o desbalanceamento residual admissível para rotores
em função do tipo de máquina e da rotação nominal. Para este caso, com a velocidade de
operação de 900 rpm e qualidade de balanceamento G 6,3 (armaduras elétricas normais), o
desbalanceamento residual é de aproximadamente 63 g.mm/kg. A massa total do rotor é de
102000 kg. O desbalanceamento ( m eeixo ), desta forma, resulta em 6,426 kg.m. A força
centrífuga que se origina do desbalanceamento é dada pela equação:
Fc = m eeixo Ω 2
(4.1)
onde Ω é a velocidade angular de operação do rotor.
Desta forma, a força externa de excitação calculada é de 1445,85 N, sendo que metade
desta força centrífuga atua em cada plano de correção, com sentidos iguais, para condição de
balanceamento estático e sentidos opostos para balanceamento dinâmico.
A análise harmônica tem por objetivo descrever o comportamento da estrutura quando
excitado externamente. Neste caso, o rotor foi considerado balanceado, de acordo com a
norma NBR 8008/83, tendo deste modo, uma quantidade de desbalanceamento dado pelas
condições desta norma.
Assim, simulado sob condições de balanceamento estático e dinâmico, foram
registrados deslocamentos nos mancais para cada situação. Além destes dados, foram obtidas
as respostas no domínio da freqüência para os mancais sob excitação na velocidade de
operação do rotor.
69
CAPÍTULO 5
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Devido à dificuldade de se realizar uma análise modal experimental que permitisse a
excitação da estrutura metálica do compensador de uma forma global, foi implementada uma
análise modal numérica, através do método de elementos finitos para determinação de modos
de vibração e freqüências naturais em sintonia ou próximos da freqüência de operação e seus
harmônicos. A fig. 5.1 mostra o espectro de deslocamento do compensador síncrono lido no
mancal radial (direção horizontal), obtido através do software VIBROCOMP, que gerencia o
sistema de monitoramento on-line desta máquina. Nesta figura, é possível observar a presença
das componentes de 15 e 30 Hz, respectivamente, primeiro e segundo harmônicos da
freqüência de operação da máquina.
Figura 5.1 – Freqüência fundamental de excitação e seus harmônicos.
Após a elaboração do modelo, para realização das análises modal e harmônica,
descritas no capítulo anterior, são apresentados, a seguir, todos os resultados de interesse, tais
como as freqüências naturais e os modos de vibração para cada freqüência natural, bem como,
primeiramente (modelo de vigas), os deslocamentos dos mancais para várias direções da força
de desbalanceamento e, posteriormente (modelo sólido), a simulação para a situação crítica
determinada na simulação com elementos de viga.
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
5.1.
70
RESULTADOS PARA O MODELO COM ELEMENTOS DE VIGA
5.1.1. ANÁLISE MODAL
A análise modal do sistema em questão foi realizada numericamente através do
software comercial ANSYS 6.0, baseado no método de elementos finitos. Os resultados
apresentados para as freqüências naturais limitam-se à faixa de freqüência abaixo de 20 Hz, a
qual corresponde à faixa de rotação operacional do rotor do compensador.
(A) FREQÜÊNCIAS NATURAIS
A análise modal, através do algoritmo de extração de Block Lanczos, forneceu como
resultado os valores de freqüências naturais para os dez primeiros modos de vibração, os quais
podem ser visualizados na Tab. 5.1.
Tabela 5.1 – Freqüências naturais do rotor.
Modo
Freqüência (Hz)
Tipo de Modo
1º
2,0752
Flexão da ponta do eixo
2º
2,0752
Flexão da ponta do eixo
3º
2,3032
Axial (corpo rígido)
4º
2,8707
Flexão da ponta do eixo
5º
2,8707
Flexão da ponta do eixo
6º
6,5456
Flexão combinado
7º
13,098
Flexão ponta de eixo
8º
13,098
Flexão ponta de eixo
9º
13,285
Axial
10º
18,571
Axial
(B) MODOS DE VIBRAÇÃO
Cada uma das freqüências naturais do sistema é caracterizada por uma forma de
vibração própria e de fundamental importância para determinação, por exemplo, das
amplitudes nodais em cada seção e verificação da dependência deste movimento com as
características geométricas do rotor estudado. É feita, a seguir, uma descrição de cada modo
de vibração para as dez freqüências naturais determinadas.
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
PRIMEIRO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 2,075 HZ)
Figura 5.2 – Primeiro modo de vibração do rotor.
SEGUNDO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 2,075 HZ)
Figura 5.3 – Segundo modo de vibração do rotor.
71
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
TERCEIRO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 2,303 HZ)
Figura 5.4 – Terceiro modo de vibração do rotor.
QUARTO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 2,871 HZ)
Figura 5.5 – Quarto modo de vibração do rotor.
72
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
QUINTO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 2,871 HZ)
Figura 5.6 – Quinto modo de vibração do rotor.
SEXTO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 6,546 HZ)
Figura 5.7 – Sexto modo de vibração do rotor.
73
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
SÉTIMO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 13,098 HZ)
Figura 5.8 – Sétimo modo de vibração do rotor.
OITAVO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 13,098 HZ)
Figura 5.9 – Oitavo modo de vibração do rotor.
74
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
NONO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 13,285 HZ)
Figura 5.10 – Nono modo de vibração do rotor.
DÉCIMO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 18,571 HZ)
Figura 5.11 – Décimo modo de vibração do rotor.
75
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
76
Os modos apresentados possuem diferentes características no que diz respeito à
configuração deformada. O primeiro modo, juntamente com o segundo, quarto, quinto, sexto,
sétimo e oitavo, constitui-se essencialmente de deformações laterais, caracterizando modos de
flexão. Diferentemente destes, o terceiro, nono e décimo modos de vibração caracterizam-se
por amplitudes de deslocamento na direção axial do eixo do rotor.
É importante ressaltar que alguns modos possuem características bastante peculiares: o
primeiro e segundo constituem o mesmo modo de vibração, em direções oblíquas da seção
transversal, contudo simétricas, como pode ser constatado nas Figs. 5.2 e 5.3. O mesmo
ocorre para o quarto e quinto, sétimo e oitavo modos, o que pode ser explicado pelo fato de se
ter considerado a rigidez dos mancais iguais em ambas as direções (vertical e horizontal) da
seção transversal.
5.1.2. ANÁLISE HARMÔNICA
Através da análise harmônica é possível determinar a configuração deformada do
rotor, em cada nó, em condições operacionais, neste caso, sob condições simuladas de
desbalanceamento estático e dinâmico. Estes resultados de deslocamentos são mostrados a
seguir e referem-se à órbita traçada nos nós que definem os mancais, numerados de acordo
com a figura a seguir.
Elemento
de mola
Elemento
de mola
Nó 266
Nó 1058
Elemento
de viga
Elemento
de viga
Figura 5.12 – Representação dos modelos dos mancais radial e axial/radial, respectivamente.
(A) SIMULAÇÃO DE DESBALANCEAMENTO ESTÁTICO
A seguir são apresentados os gráficos referentes aos deslocamentos nos mancais
devido à excitação externa, causada por uma força de desbalanceamento estático, ou seja,
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
77
considerando dois planos de correção; duas forças agindo neste plano com sentidos iguais. O
procedimento baseou-se na condição de força de desbalanceamento atuando em várias
direções (rotor em movimento) e foram obtidos os deslocamentos em várias direções. Dessa
forma, foi possível determinar o diagrama de órbita para condição de desbalanceamento
estático para os dois mancais.
Órbita - Mancal Radial (Desbalanceamento Estático)
6E-11
4E-11
2E-11
0
-6E-11
-4E-11
-2E-11
0
2E-11
4E-11
6E-11
-2E-11
-4E-11
-6E-11
Órbita - Mancal Axial-Radial (Desbalanceamento Estático)
8,E-08
6,E-08
4,E-08
2,E-08
-8E-08
-6E-08
-4E-08
0,E+00
-2E-08
0
2E-08
4E-08
6E-08
8E-08
-2,E-08
-4,E-08
-6,E-08
-8,E-08
Figura 5.13 – Órbitas para os mancais radial e axial-radial, respectivamente.
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
78
A fig. 5.13 representa as respostas nos mancais, obtidas através do software ANSYS
para vibração forçada com força de desbalanceamento atuando na freqüência de 15 Hz,
freqüência de operação do rotor. Importante observar que os gráficos acima mostram
deslocamentos em 12 direções ao longo da circunferência. As órbitas possuem simetria
circular devido à força de desbalanceamento nos dois primeiros quadrantes ser a mesma que
atua nos terceiro e quarto quadrantes, com sentidos opostos. Além disto, as rigidezes nos
mancais nas direções vertical e horizontal são iguais.
(B) SIMULAÇÃO DE DESBALANCEAMENTO DINÂMICO
Foi simulado ainda o comportamento dinâmico do rotor quando excitado por força
externa de desbalanceamento dinâmico, ou seja, com forças atuando em sentidos opostos nos
planos de balanceamento. Foram obtidas as amplitudes de deslocamento nos mancais radial e
axial-radial. Neste caso, assim como no anterior, as respostas nos mancais foram obtidas para
excitação atuando nas mesmas doze direções, no entanto, com direções opostas nos planos de
correção, gerando o momento que caracteriza a situação de desbalanceamento simulada.
Órbita - Mancal Radial (Desbalanceamento Dinâmico)
6E-15
4E-15
2E-15
0
-6E-15
-4E-15
-2E-15
0
-2E-15
-4E-15
-6E-15
2E-15
4E-15
6E-15
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
79
Órbita - Mancal Axial-Radial (Desbalanceamento Dinâmico)
8E-12
6E-12
4E-12
2E-12
0
-8E-12
-6E-12
-4E-12
-2E-12
0
2E-12
4E-12
6E-12
8E-12
-2E-12
-4E-12
-6E-12
-8E-12
Figura 5.14 – Órbitas para os mancais radial e axial-radial, respectivamente.
A fig. 5.14 apresenta o diagrama de órbita para o mancal radial e axial-radial,
respectivamente. Pode-se observar, assim como as órbitas para a condição de
desbalanceamento estático, que essa figura possui simetria circular, de acordo com os pontos
calculados. Da mesma forma que no caso anterior, a justificativa reside no fato de serem
usadas rigidezes iguais nas direções dos mancais, além da simetria das forças atuando nos
semicírculos superior e inferior da seção transversal do mancal.
5.2.
RESULTADOS PARA O MODELO COM ELEMENTOS SÓLIDOS
5.2.1. ANÁLISE MODAL
Os resultados obtidos na análise modal para o modelo sólido também se limitam à
faixa de freqüência a qual o compensador síncrono passa até atingir sua velocidade de
operação. Desta forma, estes resultados, para as freqüências naturais e formas modais de
vibração, são apresentados a seguir.
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
80
(A) FREQÜÊNCIAS NATURAIS
Na análise modal foram determinados valores de freqüências naturais para os vinte
primeiros modos de vibração, por estarem dentro da faixa de freqüência a qual o rotor passa
até atingir sua velocidade de operação, de acordo com a tabela a seguir.
Tabela 5.2 – Freqüências naturais para modelo sólido.
Modo
Freqüência (Hz)
Tipo de Modo
1º
1,3405
Flexão ponta de eixo
2º
1,3415
Flexão ponta de eixo
3º
1,5578
Axial (corpo rígido)
4º
2,0821
Flexão ponta de eixo
5º
2,0825
Flexão ponta de eixo
6º
3,2723
Flexão em todo rotor
7º
3,2883
Flexão em todo rotor
8º
5,8465
Modo ventilador
9º
6,3970
Modo ventilador
10º
6,4067
Modo ventilador
11º
6,6050
Modo ventilador
12º
7,7654
Modo ventilador
13º
7,8448
Modo ventilador
14º
10,512
Flexão ponta de eixo/ventilador
15º
10,519
Flexão ponta de eixo/ventilador
16º
12,087
Modo ventilador
17º
12,105
Modo ventilador
18º
13,587
Torcional
19º
16,182
Flexão em todo rotor
20º
16,248
Flexão em todo rotor
(B) MODOS DE VIBRAÇÃO
A seguir são mostrados os modos de vibração para o modelo sólido, obtidos para cada
freqüência natural mostrada na Tab. 5.3. As figuras a seguir mostram de diferentes vistas os
modos obtidos de forma a facilitar a observação do comportamento do rotor.
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
PRIMEIRO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 1,341 HZ)
Figura 5.15 – Primeiro modo de vibração do rotor com modelo sólido.
SEGUNDO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 1,341 HZ)
Figura 5.16 – Segundo modo de vibração do rotor com modelo sólido.
81
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
TERCEIRO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 1,558 HZ)
Figura 5.17 – Terceiro modo de vibração do rotor com modelo sólido.
QUARTO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 2,082 HZ)
Figura 5.18 – Quarto modo de vibração do rotor com modelo sólido.
82
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
QUINTO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 2,083 HZ)
Figura 5.19 – Quinto modo de vibração do rotor com modelo sólido.
SEXTO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 3,272 HZ)
Figura 5.20 – Sexto modo de vibração do rotor com modelo sólido.
83
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
SÉTIMO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 3,288 HZ)
Figura 5.21 – Sétimo modo de vibração do rotor com modelo sólido.
OITAVO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 5,847 HZ)
Figura 5.22 – Oitavo modo de vibração do rotor com modelo sólido.
84
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
NONO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 6,397 HZ)
Figura 5.23 – Nono modo de vibração do rotor com modelo sólido.
DÉCIMO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 6,407 HZ)
Figura 5.24 – Décimo modo de vibração do rotor com modelo sólido.
85
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
DÉCIMO PRIMEIRO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 6,605 HZ)
Figura 5.25 – Décimo primeiro modo de vibração do rotor com modelo sólido.
DÉCIMO SEGUNDO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 7,765 HZ)
Figura 5.26 – Décimo segundo modo de vibração do rotor com modelo sólido.
86
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
DÉCIMO TERCEIRO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 7,845 HZ)
Figura 5.27 – Décimo terceiro modo de vibração do rotor com modelo sólido.
DÉCIMO QUARTO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 10,512 HZ)
Figura 5.28 – Décimo quarto modo de vibração do rotor com modelo sólido.
87
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
DÉCIMO QUINTO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 10,519 HZ)
Figura 5.29 – Décimo quinto modo de vibração do rotor com modelo sólido.
DÉCIMO SEXTO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 12,087 HZ)
Figura 5.30 – Décimo sexto modo de vibração do rotor com modelo sólido.
88
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
DÉCIMO SÉTIMO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 12,105 HZ)
Figura 5.31 – Décimo sétimo modo de vibração do rotor com modelo sólido.
DÉCIMO OITAVO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 13,587 HZ)
Figura 5.32 – Décimo oitavo modo de vibração do rotor com modelo sólido.
89
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
DÉCIMO NONO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 16,182 HZ)
Figura 5.33 – Décimo nono modo de vibração do rotor com modelo sólido.
VIGÉSIMO MODO DE VIBRAÇÃO (FREQÜÊNCIA 16,248 HZ)
Figura 5.34 – Vigésimo modo de vibração do rotor com modelo sólido.
90
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
91
Pode-se observar, através dos resultados anteriormente mostrados, que as formas
modais determinadas representam modos de vibração de flexão, longitudinal e modo
torcional. É possível observar ainda que, analogamente ao modelo com elementos de viga,
alguns modos apresentam-se simétricos entre si, como por exemplo, nas freqüências de 1,34;
2,08; 3,2; 6,4; 10,5 e 16,2 Hz.
Verifica-se que a maioria dos modos concentra as deflexões na ponta do eixo, como
também foi verificado no modelo com elementos de viga. Este fato pode ser atribuído à
grande diferença entre as propriedades geométricas (momento de inércia), inerciais (massa) e
mecânicas (rigidez) existente entre a ponta do eixo e a região onde se localizam os pólos. Ou
seja, a ponta do eixo possui facilidade de movimento maior quando comparada com a região
dos pólos.
Alguns modos, mostrados nas Figs. 5.22 a 5.27, 5.30 e 5.31, representam somente
deflexões no ventilador, o qual foi simplificado e inserido no modelo como um disco,
resultando, deste modo, em modos de vibração localizados.
Além dos modos de flexão na ponta do eixo, foram observados também modos de
flexão em todo o rotor, como mostrado nas Figs. 5.20, 5.21, 5.33 e 5.34, representando
deflexões nas direções vertical e horizontal.
Foram determinados ainda modos de vibração axial com deslocamentos de corpo
rígido na freqüência de 1,55 Hz e modo torcional de vibração na freqüência de 13,5 Hz,
conforme pode ser visto nas Figs. 5.17 e 5.32, respectivamente.
Figura 5.35 – Representação dos mancais radial e axial-radial para o modelo sólido.
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
92
5.2.2. ANÁLISE HARMÔNICA
(A) SIMULAÇÃO DE DESBALANCEAMENTO ESTÁTICO
Os resultados para o modelo com elementos de viga mostraram que, para várias
direções, a força de desbalanceamento causa um deslocamento máximo nas direções vertical e
horizontal (condições críticas de deslocamento). Neste sentido, e tendo em vista limitações de
recursos computacionais e tempo de processamento, optou-se por simular com o modelo
sólido somente as respostas em uma dessas condições, sendo escolhida o caso onde a força de
desbalanceamento atua na direção vertical. Dessa forma, os resultados a seguir referem-se
somente aos deslocamentos sofridos nesta direção.
Deslocamentos em Y - Mancal Radial
3,5E-13
Deslocamento em Y (mm)
Deslocamento em X (m m )
Deslocamentos em X - Mancal Radial
3E-13
2,5E-13
2E-13
1,5E-13
1E-13
5E-14
0
0
5
10
15
1,2E-10
1E-10
8E-11
6E-11
4E-11
2E-11
0
20
0
5
Freqüência (Hz)
10
15
20
Freqüência (Hz)
Figura 5.36 – Deslocamentos no mancal radial nas direções X e Y, respectivamente.
Deslocamentos em Y - Mancal Axial-radial
1,4E-09
Deslocam ento em Y (m m )
Deslocam ento em X (m m )
Deslocamentos em X - Mancal Axial-radial
1,2E-09
1E-09
8E-10
6E-10
4E-10
2E-10
0
0
5
10
Freqüência (Hz)
15
20
9,E-07
8,E-07
7,E-07
6,E-07
5,E-07
4,E-07
3,E-07
2,E-07
1,E-07
0,E+00
0
5
10
Freqüência (Hz)
15
20
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
93
Deslocam ento em Z (m m )
Deslocamentos em Z - Mancal Axial-radial
4,E-07
4,E-07
3,E-07
3,E-07
2,E-07
2,E-07
1,E-07
5,E-08
0,E+00
0
5
10
15
20
Freqüência (Hz)
Figura 5.37 – Deslocamentos no mancal axial-radial nas direções X, Y e Z, respectivamente.
Os dados de deslocamento apresentados nas Figs. 5.36 e 5.37 referem-se aos
deslocamentos sofridos nos quatro nós que definem o mancal radial (dois em cada direção da
seção transversal) e aos oito nós do mancal axial-radial (quatro no plano da seção transversal
e quatro na direção longitudinal). A fig. 5.36 mostra os deslocamentos sofridos em cada nó do
mancal radial. Pode-se observar que estes resultados apresentam ordem de grandeza de 10-13 e
10-10 mm. A fig. 5.37 mostra os deslocamentos no mancal axial-radial nas direções radial e
longitudinal que apresenta dois nós com deslocamentos em cada ordem de grandeza de 10-7 e
10-8.
(B) SIMULAÇÃO DE DESBALANCEAMENTO DINÂMICO
Deslocamentos em Y - Mancal Radial
1,2E-13
Deslocam ento em Y (m m )
Deslocamento em X (mm)
Deslocamentos em X - Mancal Radial
1E-13
8E-14
6E-14
4E-14
2E-14
0
0
5
10
Freqüência (Hz)
15
20
3,5E-11
3E-11
2,5E-11
2E-11
1,5E-11
1E-11
5E-12
0
0
5
10
15
Freqüência (Hz)
Figura 5.38 – Deslocamentos no mancal radial nas direções X e Y, respectivamente.
20
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
94
Deslocam ento em X (m m )
Deslocamentos em X - Mancal Axial-radial
1,4E-09
1,2E-09
1E-09
8E-10
6E-10
4E-10
2E-10
0
0
5
10
15
20
Freqüência (Hz)
Deslocam ento em Y (m m )
Deslocamentos em Y - Mancal Axial-radial
9,E-07
8,E-07
7,E-07
6,E-07
5,E-07
4,E-07
3,E-07
2,E-07
1,E-07
0,E+00
0
5
10
15
20
Freqüência (Hz)
Deslo camen to em Z (mm)
Deslocamentos em Z - Mancal Axial-radial
4,E-07
4,E-07
3,E-07
3,E-07
2,E-07
2,E-07
1,E-07
5,E-08
0,E+00
0
5
10
15
20
Freqüência (Hz)
Figura 5.39 – Deslocamentos no mancal axial-radial nas direções X, Y e Z, respectivamente.
As Figs. 5.38 a 5.39 mostram as respostas forçadas nos mancais para excitação externa
na freqüência de rotação da máquina, ou seja, 15 Hz. Esta análise dá subsídios para
diagnósticos de deficiência na lubrificação, quando os resultados são comparados com as
folgas existentes nos mancais. Pode-se observar mais claramente, em termos quantitativos, os
valores de deslocamento através da Tab. 5.3 que apresenta os deslocamentos de cada nó no
mancal para as condições simuladas de desbalanceamento estático e dinâmico. É possível
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
95
notar que os deslocamentos nos nós que definem os mancais atingem, no máximo, valores
absolutos da ordem de 10-7 mm, muito abaixo dos limites físicos existentes entre o mancal e
eixo. A fig. 5.40 apresenta, de forma esquemática, os mancais radial a axial-radial com suas
respectivas numerações de identificação no modelo de elementos finitos e o sistema de
coordenadas usado.
Figura 5.40 – Numeração dos nós que definem os apoios.
Tabela 5.3 – Deslocamentos nos mancais para condições de desbalanceamento.
Deslocamento (mm)
1,79E-13
2,89E-13
1,06E-10
1,06E-10
1,24E-09
5,88E-10
7,91E-07
7,60E-07
-1,89E-08
-3,41E-07
-2,22E-08
3,29E-07
Radial
Nó Direção
55481
X
56209
X
56456
Y
56830
Y
90505
X
90938
X
90496
Y
91319
Y
63123
Z
63099
Z
63098
Z
63111
Z
Desbalanceamento Dinâmico
Freqüência 15 Hz
Axial-Radial
Axial-Radial
Radial
Desbalanceamento Estático
Freqüência 15 Hz
Nó
Direção
55481
X
56209
X
56456
Y
56830
Y
90505
X
90938
X
90496
Y
91319
Y
63123
Z
63099
Z
63098
Z
63111
Z
Deslocamento (mm)
1,61E-14
9,63E-14
-3,29E-11
-3,30E-11
-3,17E-10
-6,36E-10
2,69E-07
2,59E-07
-1,66E-08
-9,33E-08
-1,82E-08
1,17E-07
A seguir é mostrada uma tabela comparativa dos resultados de freqüências naturais e
modos de vibrações obtidos entre os diferentes modelos. É usado um esquema de cores de
modo a facilitar a visualização dos modos equivalentes nos modelos.
É possível verificar que os modos obtidos possuem, de maneira geral, semelhança
quanto à forma, no entanto, em freqüências diferentes.
Capítulo 5 – Resultados e Discussões
96
Tabela 5.4 – Tabela comparativa entre freqüências e modos dos modelos obtidos.
MODO
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
11º
12º
13º
14º
15º
16º
17º
18º
19º
20º
MODELO DE VIGA
Freqüência
Tipo
(Hz)
2,0752
2,0752
2,3032
2,8707
2,8707
6,5456
13,098
13,098
13,285
18,571
Flexão da ponta do eixo
Flexão da ponta do eixo
Axial (corpo rígido)
Flexão da ponta de eixo
Flexão da ponta de eixo
Flexão/torção combinados
Flexão da ponta de eixo
Flexão da ponta de eixo
Axial
Axial
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
MODELO SÓLIDO
Freqüência
(Hz)
Tipo
1,3405
1,3415
1,5578
2,0821
2,0825
3,2723
3,2883
5,8465
6,397
6,4067
6,605
7,7654
7,8448
10,512
10,519
12,087
12,105
13,587
16,182
16,248
Flexão ponta de eixo
Flexão ponta de eixo
Axial (corpo rígido)
Flexão ponta de eixo
Flexão ponta de eixo
Flexão em todo rotor
Flexão em todo rotor
Modo do ventilador
Modo do ventilador
Modo do ventilador
Modo do ventilador
Modo do ventilador
Modo do ventilador
Flexão ponta de eixo/ventilador
Flexão ponta de eixo/ventilador
Modo do ventilador
Modo do ventilador
Torcional
Flexão em todo rotor
Flexão em todo rotor
97
CAPÍTULO 6
CONCLUSÕES E PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS
6.1.
CONCLUSÕES GERAIS
Todos os sistemas que contêm elementos de armazenamento de energia e elementos
que possuam capacidade de se deformar, apresentarão um conjunto de freqüências naturais.
Quando um sistema dinâmico vibra, uma transferência de energia cinética para potencial e
vice-versa ocorre repetidamente dentro do sistema. Os eixos satisfazem esses critérios
rodando com alguma velocidade e defletindo tanto em torção quanto flexão.
Se um eixo estiver sujeito a uma carga que varia ao longo do tempo ele vibrará.
Mesmo quando receber apenas uma carga transiente como um golpe de martelo, ele vibrará
nas suas freqüências naturais, o que é chamado de vibração livre. Tais vibrações se dissiparão
em algum momento se amortecimento estiver presente no sistema. Em outro caso, se a
excitação variável no tempo for mantida, o eixo continuará a vibrar na freqüência da força
excitante, chamada de vibração forçada. Se esta freqüência forçante coincidir com a
freqüência natural do elemento, então a amplitude da resposta será muito maior que aquela da
função excitante. Diz-se então que o sistema está em ressonância. Essas duas situações
(vibrações livre e forçada) foram estudadas através das análises modal e harmônica,
respectivamente, onde foi possível determinar as freqüências naturais e formas modais de
vibração do rotor, além das respostas nos mancais devido à excitação externa causada pela
presença de desbalanceamento estático e dinâmico.
Portanto, as análises modal e harmônica realizadas podem servir como base para
inferir, por exemplo, a possibilidade de ressonância no sistema e através dos deslocamentos
nos mancais, deficiência na lubrificação, quando comparado com a folga presente nestes
apoios.
Um sistema que consista em massas discretas aglomeradas conectadas com elementos
de mola discretos pode ser considerado como tendo um número finito de freqüências naturais
equivalentes ao número de graus cinemáticos de liberdade. Mas um sistema contínuo, como
Capítulo 6 – Conclusões e Propostas para Trabalhos Futuros
98
uma viga ou eixo tem um número infinito de partículas, e sendo cada uma capaz de executar
movimentos elásticos contra suas partículas vizinhas. Assim, um sistema contínuo tem uma
infinidade de freqüências naturais.
Deste modo, este trabalho baseou-se na solução de problemas através do Método de
Elementos Finitos, tendo aplicações através da análise modal de vigas e elementos sólidos
para determinação das freqüências naturais e das formas modais de vibração do rotor de um
compensador síncrono de 150 MVAr de fabricação ALSTOM, instalado em subestações da
Eletronorte.
Foram elaborados dois modelos: um simplificado, de maneira que se pudesse aplicar
teoria da análise modal de vigas, citada anteriormente e um modelo com elementos sólidos
que mais se aproxima do sistema físico real.
Com relação às freqüências naturais, os resultados mostraram, em termos
comparativos, que os modos se assemelham nos dois modelos (excluindo-se os modos
concentrados do ventilador), embora em freqüências diferentes. Isso pode ser explicado tendo
em mente as diferenças entre as características geométricas dos dois modelos. Era esperado
que os modos do modelo de viga se apresentassem em freqüências um pouco maior no
modelo sólido, devido à inserção de rigidez artificial, conferida pelo elemento finito sólido.
No entanto, foi observado que modos semelhantes entre os modelos acontecem em
freqüências diferentes e, ao contrário do esperado, o modelo de viga apresenta freqüências
maiores que o modelo sólido.
Apesar de o elemento sólido possuir rigidez artificial maior que o elemento de viga,
foi verificado que os modelos possuem diferença entre massas: o modelo de viga apresenta
massa menor que o sólido. Isto justifica o fato de as freqüências naturais serem menores neste
último.
Foram obtidos modos concentrados no ventilador, modelado como um disco na ponta
do eixo, resultado impossível de aparecer no modelo com elementos de viga. Além de um
modo torcional. Foi possível verificar ainda que, em ambos os modelos, para uma mesma
freqüência, dois modos de vibração coexistem. Isso pode ser explicado com base nas rigidezes
utilizadas na representação dos mancais no modelo que possuem valores iguais nas direções
vertical e horizontal. Portanto, pode-se considerar um modo resultante como sendo a forma
modal de vibração naquela freqüência.
A análise da Tab. comparativa 5.4 permite fazer algumas considerações sobre os
modos e freqüências obtidos nos modelos: os dois primeiros modos apresentam semelhança
quanto à forma deformada da ponta do eixo, sendo que no modelo sólido o ventilador
Capítulo 6 – Conclusões e Propostas para Trabalhos Futuros
99
comporta-se como um corpo rígido, contribuindo para a diferença de movimento e da
freqüência natural; o terceiro modo representa um modo de vibração axial ou de corpo rígido;
o quarto e quinto modos também são modos de flexão da ponta do eixo; o sétimo e oitavo
modos do modelo de viga correspondem ao décimo quarto e décimo quinto modos do modelo
sólido e possuem diferentes freqüências devido à contribuição do ventilador, no modelo
sólido, ao movimento da ponta do eixo; e os nono e décimo modos são modos axiais de
vibração. Foram observados alguns modos exclusivos no modelo sólido como, por exemplo,
os modos concentrados no ventilador.
Para o modelo de viga, o efeito de desbalanceamento estático é maior que o
desbalanceamento dinâmico, em ambos os mancais. Para o modelo sólido o efeito maior de
desbalanceamento estático sobre o dinâmico também pôde ser verificado nos dois mancais.
Conforme pode ser verificado nos deslocamentos calculados.
Os modelos foram simulados de modo que pudessem representar, com grau razoável
de precisão, as reais condições de operação do rotor. Desse modo, as condições de
desbalanceamento, na análise forçada, resumiram-se à freqüência de operação, 15 Hz. Os
modelos com elementos de viga e elementos sólidos mostraram resultados de deslocamento
nos mancais muito abaixo do limite físico estabelecido pelas folgas vertical e horizontal nos
mancais, garantida pelo filme de óleo lubrificante presente neste espaço, conforme pode ser
verificado pela comparação entre os dados de deslocamento apresentados na Tab. 5.3 e as
folgas apresentadas na Tab. 2.1.
Conforme pôde ser verificado, os diagramas de órbita para os mancais radial e axialradial apresentaram simetria em ambas as situações de desbalanceamento simuladas. Como já
comentado, isto pode ser explicado pelo fato de a força, aplicada em várias direções, possuir
simetria em relação ao eixo horizontal e as rigidezes consideradas no modelo serem iguais nas
direções em que atuam os mancais.
Para o modelo sólido foi simulada somente a condição crítica, determinada no modelo
de viga, ou seja, a força atuando na direção vertical, tendo em vista limitações de tempo de
processamento e recursos computacionais.
Através dos resultados mostrados tanto para o modelo com elementos de viga quanto
para elementos sólidos pôde-se observar que o rotor passa por várias de suas freqüências
naturais até atingir sua velocidade de operação. Já é conhecido que muitas vezes, como neste
caso, a velocidade de operação precisa ser maior que a velocidade crítica do rotor,
especialmente em máquinas com turbinas a gás e a vapor, turbocompressores e etc. Nestes
casos, fica claro que o rotor deve passar por uma de suas velocidades críticas quando
Capítulo 6 – Conclusões e Propostas para Trabalhos Futuros
100
acelerado até sua velocidade de operação. Pode parecer que quando o rotor passa pela
velocidade crítica, a amplitude de deslocamento será a amplitude de ressonância, geralmente
muito alta. No entanto, isto não é necessariamente o que acontece. É possível mostrar que
para um rotor com massa m e rigidez k , com uma excentricidade e , na ressonância a
amplitude de movimento apresenta a forma (VINAUD, 2005):
x(t ) =
eeixo Ω
t sen Ωt
2
(6.1)
ou seja, a resposta à excitação aumenta com o tempo, mas leva tempo para que a amplitude
aumente. Portanto, se a passagem através de uma velocidade crítica for rápida, a amplitude
não terá tempo suficiente para alcançar valores muito altos. A amplitude máxima dependerá
da taxa de aceleração do rotor.
Uma observação importante a cerca das modelagens realizadas diz respeito a uma
característica comum entre os resultados dos modelos desenvolvidos: a maioria dos modos de
vibração concentrou-se na ponta do eixo. Isto sugere ao engenheiro, em uma análise
preliminar e/ou com poucos recursos computacionais que um modelo simplificado somente
da ponta do eixo, com engaste no contato com o restante do eixo, forneceria um resultado
aproximado bastante satisfatório. Isto pode ser justificado pelo fato de a massa da região dos
pólos ser muito maior que a massa da ponta do eixo. Sendo assim, a facilidade de movimento
é muito maior nesta última parte do rotor.
Os resultados numéricos apresentados mostraram que a freqüência de operação não
coincide com nenhuma freqüência natural calculada, como era de se esperar, apesar de haver
proximidade na freqüência de 16,1 Hz com um modo de flexão em todo o rotor.
6.2.
i.
PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS
Neste trabalho, devido a limitações de recursos computacionais, não foi possível
realizar teste de convergência para determinação do tamanho ótimo da malha. Deste
modo, faz-se necessário frente ao aporte de hardware necessário, realizar este teste,
tendo em vista a otimização do modelo tridimensional, de modo a fornecer subsídios
mais confiáveis para diagnóstico de problemas nesta máquina.
Capítulo 6 – Conclusões e Propostas para Trabalhos Futuros
ii.
101
Realizar novas análises de desbalanceamento, simulando condições variáveis de
carregamento de modo a determinar a variação da resposta nos mancais e nos pólos.
iii.
Um exemplo a ser estudado é o comportamento dos mancais, principalmente no que se
refere à determinação mais precisa das rigidezes e amortecimento (não considerado
neste trabalho) devido ao filme hidrodinâmico de óleo lubrificante, visto que estas
propriedades possuem influência direta nos resultados de freqüências naturais e modos
de vibração da máquina.
iv.
Analisar a influência da assimetria de rigidez e amortecimento sobre o comportamento
dinâmico dos elementos que compões a linha de eixo do rotor, uma vez que diversos
sistemas rotativos apresentam em seus mancais características ortotrópicas de rigidez e
amortecimento.
102
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