5910187 – Biofísica II – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque
Primeira lista de exercícios
Primeira Lista de Exercícios de Biofísica II
1. Considere uma célula composta por um corpo celular ao qual está preso
um longo e fino “processo” tubular (por exemplo, o axônio de um
neurônio ou o flagelo de um espermatozoide) de comprimento l cm
(figura abaixo). Suponha que alguma substância n (por exemplo, um
metabólito) é gerada no corpo celular e se difunde ao longo do processo.
Suponha que, ao mover-se pelo processo, a substância é consumida a
uma taxa uniforme constante de αn moles/s por unidade de comprimento.
A equação de continuidade para esta substância é, portanto:
∂cn
∂φ α
=− n − n,
∂t
∂x
A
onde A é a área da seção reta do processo (suposta como constante) e cn e
Jn são, respectivamente, a concentração e o fluxo da substância.
a) Combine a equação de continuidade modificada acima com a lei de
Fick para obter a forma modificada da equação de difusão que deve
ser obedecida por cn.
b) Mostre que a solução dessa equação no estado estacionário
(∂cn ∂t = ∂φn ∂t = 0) é
cn (x) =
αn 2
x + a0 x + b0 ,
2DA
e determine os valores das constantes a0 e b0 a partir das condições de
contorno cn(0) = C0 e φn(l) = 0.
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c) Mostre que (supondo C0, Dn, A e αn constantes) existe um limite
superior para o comprimento l do processo e obtenha uma fórmula
para este limite superior.
2. Duas células adjacentes têm suas membranas apostas (justapostas) como
no desenho abaixo. Um arranjo de membranas como este é chamado de
arranjo em série.
Suponha que um soluto neutro n tenha concentrações cn1 e cn2 no interior
das células 1 e 2, respectivamente, e cne no espaço intercelular. As
permeabilidades das membranas 1 e 2 ao soluto n são P1 e P2,
respectivamente. No estado estacionário, o fluxo φn do soluto n entre o
interior da célula 1 e o interior da célula 2, em mol/(cm2.s), pode ser
escrito como
φ n = P ( c1n − cn2 ),
onde P é a permeabilidade do arranjo em série de membranas. Obtenha a
expressão para P em termos de P1 e P2.
3. Um experimento foi realizado para se determinar a permeabilidade, PX,
da membrana de uma célula ao soluto X. A célula, cuja forma é a de uma
esfera de raio 72 µm, foi colocada inicialmente em uma solução
contendo o soluto X por um tempo suficientemente longo para que ela
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fique com uma quantidade de moles igual a NX do soluto X em seu
interior. Preparou-se então um conjunto de cubas idênticas contendo
soluções idênticas sem o menor traço do soluto X. Em t = 0 a célula foi
imersa na primeira cuba e mantida dentro dela por um tempo T = 10
minutos. Subsequentemente, ela foi retirada da primeira cuba e imersa na
segunda também por T = 10 minutos, retirada da segunda e imersa na
terceira por T = 10 minutos, etc. Supõe-se que o tempo gasto para retirar
a célula de uma cuba e colocá-la na seguinte é zero. Este processo está
ilustrado na figura abaixo.
Após a retirada da célula de uma cuba k, o número de moles do soluto
que fica na cuba é nX(k). Assuma que o volume da célula permanece
constante durante todo o processo e que a concentração de soluto em
cada cuba é desprezível em comparação com a concentração de soluto no
interior da célula. Assuma que o soluto se difunde pela membrana da
célula de acordo com a lei de Fick para membranas
V dcXi (t)
ϕ X (t) = PX ( c (t) − c (t)) = −
,
A dt
i
X
e
X
onde V é o volume da célula e A é a área superficial de sua membrana.
a) Determine uma expressão para o número de moles de X na célula em
função do tempo, n iX (t ) . Essa expressão deve ser dada em termos do
número inicial de moles NX e de uma constante temporal τ definida
em função dos parâmetros do problema.
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b) Determine uma expressão para o número total de moles de X que fica
na k-ésima cuba após a retirada da célula, nX(k). Essa expressão deve
depender de NX, da constante temporal que você determinou no item
(a) e de T.
c) O gráfico abaixo dá os resultados das medidas experimentais do
número de moles de X em cada cuba. A partir do gráfico, obtenha os
valores numéricos da permeabilidade PX e do número inicial de moles
NX.
4. Suponha que partículas de soluto estejam dentro de um béquer contendo
água. As partículas se difundem na água devido à agitação térmica e
sofrem um arrasto devido à força da gravidade, de maneira que o fluxo
total é φ = φD + φG, onde φD é o fluxo por difusão e φG é o fluxo
provocado pela força da gravidade.
a. Supondo que as partículas sejam esferas de raio r, mostre que no
equilíbrio
D
,
λ
= (4/3)πr3(ρp − ρa). Nessas equações, a
φG = −c(y)
onde λ = kT/mefeg e mefe
coordenada y mede a altura a partir da base do béquer; c(y) é a
concentração de partículas no equilíbrio; D é o coeficiente de difusão;
g é a aceleração da gravidade; mefe é a massa efetiva da partícula, de
maneira que mefeg é a força líquida sobre a partícula, igual à força
gravitacional menos a força de empuxo; k é a constante de Boltzmann;
T é a temperatura absoluta; ρp é a densidade da partícula; e ρa é a
densidade da água.
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b.Obtenha uma expressão para c(y) em termos da concentração de
partículas em y = 0.
c.Assuma que as partículas tenham densidade igual ao dobro da
densidade da água (ρágua = 1 g/cm3). À temperatura ambiente (T = 300
K), obtenha o valor da constante espacial λ para os casos (a) em que r
= 1 mm e (b) em que r = 1 nm.
d.Suponha que você tenha dois béqueres cheios com água até uma
altura de h = 15 cm. O primeiro contém uma solução com as
partículas de r = 1 mm e o segundo contém uma solução com as
partículas de r = 1 nm. Esboce graficamente como serão as
distribuições espaciais c(y) das partículas nos dois béqueres no
equilíbrio.
5. A figura abaixo mostra um arranjo experimental em que um recipiente
está separado em duas metades por uma membrana permeável apenas à
água, com condutividade hidráulica LV. A metade da esquerda contém
uma solução de glicose e água e a metade da direita contém uma solução
de NaCl e água, ambas bem agitadas de maneira que os solutos estão
uniformemente distribuídos nas soluções. O volume da esquerda é V1 e o
volume da direita é V2. Os dois volumes estão submetidos a pressões
externas, p1 e p2 respectivamente, exercidas por pistões ideais, isto é, que
não têm atrito com as paredes do recipiente e que transmitem totalmente
as pressões p1 e p2 aos seus respectivos volumes.
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Primeira lista de exercícios
a) Qual é a condição para que haja equilíbrio do fluxo de volume de
água entre os dois compartimentos, ΦV = 0?
b) No instante inicial, t = 0, os volumes V1 e V2 são iguais a um litro:
V1(0) = V2(0) = 1 L. Neste instante, a concentração de glicose no
compartimento 1 é igual a 0,01 mol/L e a concentração de NaCl no
compartimento 2 é igual a 0,01 mol/L. Se p1 = p2, quais são os valores
de equilíbrio dos volumes dos compartimentos 1 e 2, V1(∞) e V2(∞)?
c) Escreva uma equação diferencial para a variação do volume V1 em
função do tempo, da forma:
τ
dV1 (t )
= f (V1 (t )) .
dt
Como τ depende dos parâmetros do sistema, LV e A?
Data de entrega da lista resolvida: 15/09/2015 (até a meia-noite)
As discussões entre os alunos sobre as questões da lista são benvindas,
mas cada aluno deve entregar sua resolução independentemente e feita
à mão.