ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL – ZONA SUL
CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA
II.1 CIRCUITOS ELÉTRICOS
Aula 01
TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS
Prof. Marcio Leite
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Circuitos.doc
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Circuitos – Prof. Marcio Leite
01
TEOREMA DA ANÁLISE DE CIRCUITOS
1.0
Introdução 3
2.0
Teorema da Superposição 3
3.0
Teorema de Thévenin 4
4.0
Teorema de Norton 5
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1.0 Introdução
Os teoremas da análise de circuitos visam facilitar
o
estudo
do
circuito
elétrico
I
abordado,
dispensando muitas vezes o uso de ferramentas
matemáticas,
como
os
determinantes,
por
Figura 2 – Remoção de fonte de corrente ideal
exemplo.
Para fontes de tensão e/ou corrente reais a
2.0 Teorema da
Superposição
resistência interna ou condutância interna deve
ser mantida.
O enunciado do teorema é o seguinte:
A corrente através de um elemento, ou a tensão
entre seus terminais em um circuito linear bilateral
é igual à soma algébrica das correntes ou das
EXEMPLO 2.1
Determine I1 para o circuito abaixo:
tensões produzidas independentemente por cada
uma das fontes.
Em geral:
Nº de circuitos a
serem analisados
=
Nº fontes
independentes
Figura 3 – Exemplo 2.1
Solução:
fonte
Passo 1: Para analisar o efeito da fonte de
independente é necessário que estas sejam
corrente, remova a fonte de tensão substituindo-a
removidas e substituídas sem afetar o resultado
por um curto circuito conforme abaixo:
Para considerar
os
efeitos
de cada
final.
Para remover uma fonte de tensão ao aplicar este
teorema deve-se substituí-la por um curto
circuito:
Figura 4 – Contribuição de I para I1
E
Observe que toda corrente fornecida pela fonte
de 3A passa pelo ramo onde está o curto-circuito
A NATUREZA É SÁBIA! POR ISSO, A CORRENTE
Figura 1 – Remoção de fonte de tensão ideal
PREFERE O CAMINHO MAIS FÁCIL
Portanto, a corrente I’1 = 0
Já para remover uma fonte de corrente ao aplicar
Para ter certeza disso, aplicaremos a regra dos
este teorema deve-se substituí-la por um circuito
divisores de tensão:
aberto:
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I 1 
Rcc  I
0  I
 0A

Rcc  R1 0  6
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Passo 2: Para analisar o efeito da fonte de
tensão, remova a fonte de corrente substituindo-a
por um circuito aberto.
Figura 6 – Circuito Equivalente de Thévenin
Figura 5 – Contribuição de E para I1
Usando o teorema de Thévenin é possível
substituir tudo o que existe no interior da caixa
Calculemos a corrente I’’1:
por uma fonte e um resistor, como mostrado na
E 30V
I 1 

 5A
R1 6
Figura 7, sem mudar as características do circuito
entre os terminais a e b
Passo 3: Soma das correntes encontradas no
passo 1 e 2:
I 1  I 1  I 1  0 A  5 A  5 A
Note que neste caso a fonte de corrente não afeta
a corrente no resistor de 6Ω. A tensão nos
terminais do resistor é de 30V, pois ele está em
Figura 7 – Efeito da aplicação do Teorema de
paralelo com a fonte de tensão
Thévenin
IMPORTANTE: O princípio da superposição NÃO
pode ser usado para calcular a potência dissipada
componentes do equivalente de Thévenin têm de
em um circuito.
A potência total fornecida a um elemento resistivo
deve ser determinada usando a corrente total que
o atravessa ou a tensão total entre os seus
terminais, e não simplesmente somando as
potências
É importante ressaltar que os valores dos
fornecidas
pelas
fontes
separadamente.
ser escolhidos de modo a garantir que o resistor
RL (Ver Figura 8) se comporte em (b) da mesma
forma que no circuito (a). Em outras palavras, a
corrente no resistor RL e a tensão entre seus
terminais devem ser as mesmas no circuito (a) e
(b), para qualquer valor de RL.
3.0 Teorema de Thévenin
O enunciado do teorema é o seguinte:
Qualquer circuito de corrente linear bilateral de 2
terminais pode ser substituído por um circuito
Figura 8 – Aplicação de Thévenin
equivalente constituído por uma fonte de tensão e
um resistor em série conforme abaixo:
IMPORTANTE:
O
circuito
equivalente
de
Thévenin oferece uma equivalência APENAS nos
terminais considerados. A disposição interna e as
características do circuito original comparadas
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com as de seu equivalente de Thévenin são em
Passo 4: Calcule ETh, retornando primeiro todas
geral bem diferentes.
as fontes às suas posições originais e em
Vamos aprender passo a passo como determinar
seguida, determine a tensão nos terminais
o circuito equivalente de Thévenin, determinando
definidos no passo 2
RTh e ETh no Exemplo 3.1:
EXEMPLO 3.1
Determine o circuito equivalente de Thévenin
para a parte sombreada do circuito abaixo:
Figura 12 – Determinação de ETh
Passo 5: Por fim, desenhe o circuito equivalente
de Thévenin e recoloque entre os terminais do
Figura 9 – Exemplo 3.1
circuito equivalente a parte que foi removida no
passo 1, neste caso, o resistor R3.
Passos Preliminares:
Passo 1: Remova a parte do circuito para o qual
se deseja obter um equivalente de Thévenin. No
caso do Exemplo 3.1, é necessário remover
temporariamente o resistor R3
Passo 2: Assinale os terminais do circuito
Figura 13 – Substituição do circuito sombreado da
Figura 9 pelo seu equivalente de Thévenin
remanescente.
4.0 Teorema de Norton
O enunciado do teorema é o seguinte:
Qualquer circuito de corrente linear bilateral de 2
terminais pode ser substituído por um circuito
Figura 10 – Identificação dos terminais de saída
da Figura 9
equivalente formado por uma fonte de corrente e
um resistor em paralelo conforme abaixo:
Passo 3: Calcule RTh, colocando primeiro todas
as fontes em zero (substituindo fontes de tensão
por curtos-circuitos e fontes de corrente por
circuitos abertos) e em seguida, determine a
resistência equivalente nos terminais definidos no
Figura 14 – Circuito Equivalente de Norton
passo 2
Observe que o circuito com fonte de corrente
equivalente ao circuito de Thévenin pode ser
obtido através do Teorema de Norton.
Podemos também obter o circuito equivalente de
Figura 11 – Determinação de RTh
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Norton a partir do circuito equivalente de
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Thévenin e vice-versa utilizando as técnicas de
conversão de fontes:
Figura 18 – Determinação de RN para a Figura 16
Figura 15 – Conversão entre circuitos
equivalentes de Thévenin e Norton
Portanto:
R N  R1 || R 2  3 || 6 
3  6 18
   2
3  6 9
Enfim, vamos aprender passo a passo como
determinar o circuito equivalente de Norton,
determinando RN e IN no Exemplo 4.1:
EXEMPLO 4.1
Determine o circuito equivalente de Norton para a
parte sombreada do circuito abaixo:
Passo 4: Calcule IN, retornando primeiro todas as
fontes às suas posições originais e em seguida,
determine a corrente de curto circuito entre os
terminais assinalados no passo 2.
Observe na figura abaixo, que o curto-circuito
entre os terminais a e b está em paralelo com a
resistência R2 eliminando qualquer efeito dessa
resistência. Portanto, IN é a corrente que
atravessa R1.
Figura 16 – Exemplo 4.1
Os primeiros passos, de 1 a 3, são idênticos ao
Teorema de Thévenin, sendo RTh = RN
Os passos 1 e 2 são mostrados na figura abaixo:
Figura 19 – Determinação de IN para a Figura 16
Portanto:
IN 
E 9V

 3A
R1 3
Passo 5: Por fim, desenhe o circuito equivalente
Figura 17 – Identificação dos terminais de
de Norton e recoloque entre os terminais do
interesse para se obter o equivalente Norton
circuito equivalente a parte que foi removida no
passo 1, neste caso, o resistor RL.
Passo 3: Cálculo de RN:
Substituindo a fonte de tensão por um curtocircuito, observe na Figura 18 que a resistência
equivalente do circuito é a resistência R1 e R2 em
paralelo.
Figura 20 – Substituição do circuito sombreado da
Figura 16 pelo seu equivalente de Norton
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Ainda podemos obter o equivalente de Thévenin
aplicando a técnica de conversão de fontes
conforme a figura abaixo:
Figura 24 – Exercício 3
Seção 3.0 – Teorema de Thévenin
Figura 21 – Conversão do circuito equivalente de
Norton pelo de Thévenin
4. Determine o circuito equivalente de Thévenin
para a parte sombreada da Figura 25
EXERCÍCIOS
Seção 2.0 – Teorema da Superposição
1. Usando o teorema da superposição, determine
a corrente no resistor de 4Ω visto na Figura 22.
Figura 25 – Exercício 4
5. Determine o circuito equivalente de Thévenin
para a parte sombreada da Figura 26
Figura 22 – Exercício 1
2. Leia abaixo:
a) Usando o teorema da superposição, determine
a corrente no resistor de 6Ω do circuito mostrado
Figura 26 – Exercício 5
na Figura 23.
b) Demonstre que o teorema da superposição
não pode ser aplicado no cálculo de valores de
6. Determine o circuito equivalente de Thévenin
potência.
para a parte sombreada da Figura 27
Figura 23 – Exercício 2
3. Usando o teorema da superposição, determine
Figura 27 – Exercício 6
a corrente I2 no resistor de 12kΩ mostrado na
Figura 24.
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Seção 4.0 – Teorema de Norton
tensões
de
contribuição
de
cada
fonte
7. Determine o circuito equivalente de Norton
independentemente.
para o circuito externo ao resistor de 9Ω da
Teorema de Thévenin - Teorema que permite a
Figura 28.
redução de qualquer circuito de corrente contínua
linear de dois terminais para um circuito contendo
uma única fonte de tensão em série com um
resistor.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BOYLESTAD, ROBERT L.
Figura 28 – Exercício 7
Introdução à Análise de Circuitos; 10ª edição /
Robert L. Boylestad ; tradução: José Lucimar do
8. Determine o circuito equivalente de Norton
Nascimento ; revisão técnica: Antônio Pertence
para parte do circuito à esquerda dos pontos a e
Junior – São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004
b vistos na Figura 29
Figura 29 – Exercício 8
GLOSSÁRIO
Linear Bilateral – O termo linear indica que as
características dos elementos do circuito (tais
como resistores) são independentes da tensão
entre seus terminais e da corrente através deles.
O segundo termo, bilateral, refere-se ao fato de
que
há
mudanças
no
comportamento
ou
características de um elemento e a corrente ou a
tensão entre seus terminais for revertida.
Teorema de Norton - Teorema que permite a
redução de qualquer circuito de corrente contínua
linear de dois terminais para um circuito contendo
uma única fonte de corrente e um resistor em
paralelo
Teorema da Superposição – Um teorema
circuito que permite considerar os efeitos de cada
fonte independentemente. A corrente e/ou tensão
resultantes é a soma algébrica das correntes e/ou
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