Escola Superior Nautica Infante D. Henrique
CET Manutenção Mecânica Naval
Fundamentos de Resistência de Materiais
Introdução à Torção de veios
Tradução: V. Franco
Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.
Esforços de Torção em veios circulares
3-2
Tensões de corte
• Um momento torçor aplicado ao veio
origina tensões de corte nas faces
perpendiculares ao eixo axial.
• As condições de equilibrio requerem a
existência de tensões iguais nas faces dos
dois planos que contêm o eixo do veio.
3-3
Deformações por torção em veios
• O ângulo de torção no veio é proporcional ao
momento troçor aplicado T e ao comprimento
do veio L.
φ ∝T
φ∝L
• Num veio circular sujeito a torção,
as secções transversais mantém-se
planas e circulares, porque o veio
circular é axisimétrico.
• As secções transversais de veios
não-circulares (não axisimétricos)
sofrem distorção quando sujeitos
a torção.
3-4
convenções
3-5
Tensões de corte no domínio elástico
• As tensões de corte devidas ao momento torçor
T, numa secção circular, variam linearmente
com o raio, sendo máximas na periferia do veio
de raio c:
τ max =
Tc
J
sendo J o momento polar de inércia da
secção. Para uma secção circular maciça é
dado por
J = 12 π c 4
e para uma secção circular ôca será:
(
J = 12 π c24 − c14
)
• A tensão de corte num ponto com raio ρ, são
dadas por:
Tρ
τ=
J
3-6
Tensões normais
• Os elementos com faces paralelas e
perpendiculares ao eixo do veio estão sujeitos
apenas a tensões de corte. Para outras
orientações, podem surgir tensões normais, ou
combinações de tensões de corte com tensões
normais.
• Se considerarmos um elemento orientado a 45o
com o eixo do veio, temos
F = 2(τ max A0 )cos 45 = τ max A0 2
σ
45o
=
F τ max A0 2
=
= τ max
A
A0 2
• O elemento a está sujeito a corte puro
• O elemento c está sujeito a tensões normais
de tracção em duas faces e de compressão nas
outras duas.
3-7
Modos de falha por torção
• Os materiais dúcteis normalmente
sofrem falha por tensões de corte.
Os materiais frágeis são menos
resistentes em tracção que em corte.
• Quando sujeito a torção, um provete de
um material dúctil, rompe ao longo de
um plano de tensões de corte máximas,
ie. num plano perpendicular ao eixo do
veio.
• Quando sujeito a torção, um provete de
um material frágil, rompe ao longo de
planos perpendiculares à direcção na
qual a tensão normal de tracção é
máxima, ie. ao longo das superfícies
que fazem 45o com o eixo longitudinal
do veio.
3-8
Angulo de torção no domínio elástico
• Relação entre o ângulo de torção e a distorção de
corte máxima:
γ max =
cφ
L
• No domínio elástico, a deformação de corte e a
tensão de corte são relacionadas pela Lei de
Hooke:
τ max Tc
γ max =
G
=
JG
• Igualando e resolvendo em ordem ao ângulo de
torção:
TL
φ=
JG
• Se os momentos torçores e/ou a secção do veio
variarem ao longo do seu comprimento, o ângulo
de torção será dado por:
Ti Li
i J i Gi
φ =∑
3-9
Diagrama de momentos torçores
3 - 10
Exemplo
3 - 11
Cont.
3 - 12
Exemplo
O tubo BA tem um diâmetro interior de 80
mm e um diametro exterior de 100 mm.
Calcular as tensões de corte.
3 - 13
Exemplo
3 - 14
3 - 15
Exemplo 3.1
O veio BC tem uma secção circular
ôca com diametro interior 90 mm e
diametro exterior de 120 mm.
Os veios AB e CD são de secção
circular maciça com diamtero d.
Para os carregamentos ilustrados na
figura, determinar:
(a) As tensões de corte no veio BC,
(b) O diametro minimo d para os
veios AB e CD se a tensão de corte
admissivel para o material destes
veios for 65 MPa.
3 - 16
Exemplo
SOLUTION: 3.1 cont.
• Considerar secções nos veios AB e BC e
efectuar o equilibrio estático para
calcular os momentos torçores aplicados
em cada troço do veio:
∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) − TAB
∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) + (14 kN ⋅ m ) − TBC
TAB = 6 kN ⋅ m = TCD
TBC = 20 kN ⋅ m
3 - 17
Exemplo 3.1 cont.
• Tensões de corte no veio BC
(veio circular ôco)
J=
π
(
c24 − c14 ) = [(0.060 )4 − (0.045)4 ]
2
2
π
= 13.92 × 10− 6 m 4
τ max = τ 2 =
TBC c2 (20 kN ⋅ m )(0.060 m )
=
J
13.92 × 10− 6 m 4
= 86.2 MPa
τ min c1
=
τ max c2
τ min
86.2 MPa
τ min = 64.7 MPa
=
45 mm
60 mm
τ max = 86.2 MPa
τ min = 64.7 MPa
3 - 18
Exemplo 3.1 cont.
• Para o veio AB (ou CD), sabendo a
tensão de corte admissivel, calcular
diametro d minimo:
τ max =
Tc Tc
= π 4
J
2 c
τ max ≤ τadm = 65MPa
6 kN ⋅ m
−3
≤
65
MPa
⇒
c
≥
38
.
9
×
10
m
π 3
c
2
d = 2c = 77.8 mm
3 - 19
Projecto de veios de transmissão
• As principais especificações para
um veio de transmissão são:
- potência
- velocidade
• O projectista tems de selecionar
o material para construção do
veio e a determinar a secção
transversal do mesmo (diametro;
secção maciça; secção ôca; etc.)
por forma a garantir as
especificações pretendidas, sem
que sejam excedidas as tensões
de corte admissiveis para o
material seleccionado.
• Determinar o binário aplicado ao veio
para uma especificada potência a
velocidade:
P = Tω = 2πf T
P
P
T =
=
ω
2πf
• Calcular a secção transversal do veio:
τ max =
Tc
J
J π 3
T
= c =
c 2
τ max
(veios circulares maciços)
J
π 4 4
T
(
=
c2 − c1 ) =
c2 2c2
τ max
(veios circulares ôcos)
3 - 20
Exemplo
P.5-44 pag. 207, Hibbeler, 5th ed. (adaptado v2)
O navio hidrofoil representado na figura possui um veio fabricado em aço S355 EN10025,
com um comprimento de 100ft. Está ligado em linha a um motor diesel com uma potencia
máxima de 2500 hp para uma velocidade de rotação no veio de 1700 rpm. Sendo o veio de
secção circular ôca com um diametro exterior de 203 mm e uma espessura de parede de
9.5 mm, determine a tensão de corte máxima no veio.
3 - 21