Mecânica dos Materiais
Torção
Tradução e adaptação: Victor Franco
Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.
Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.
Esforços de Torção em veios circulares
3-2
Tensões de corte
• Um momento torçor aplicado ao veio
origina tensões de corte nas faces
perpendiculares ao eixo axial.
• As condições de equilibrio requerem a
existência de tensões iguais nas faces dos
dois planos que contêm o eixo do veio.
3-3
Deformações por torção em veios
• O ângulo de torção no veio é proporcional ao
momento troçor aplicado T e ao comprimento
do veio L.
φ ∝T
φ∝L
• Num veio circular sujeito a torção,
as secções transversais mantém-se
planas e circulares, porque o veio
circular é axisimétrico.
• As secções transversais de veios
não-circulares (não axisimétricos)
sofrem distorção quando sujeitos
a torção.
3-4
convenções
3-5
Tensão de corte
• Considere-se o elemento representado num
veio de secção circular. Quando um momento
torçor é aplicado, o elemento considerado
sofre uma deformação como se representa na
figura.
• Dado que as extremidades do elemento se
mantêm planas, a deformação de corte γ é
igual ao ângulo de torção φ:
Lγ = ρφ ou γ =
ρφ
L
• A deformação de corte é proporcional ao
ângulo de torção e ao raio do veio:
γ max =
cφ
ρ
e γ = γ max
L
c
3-6
Tensões no domínio elástico
• Multiplicando a equação anterior pelo
módulo de distorção de corte G:
ρ
Gγ = Gγ max
c
Da Lei de Hooke,
ρ
τ = τ max
τ = Gγ , e então
c
A tensão de corte varia linearmente com a cota
radial da secção transversal.
J = 12 π c 4
• Notando que o somatório dos momentos da
distribuíção de tensões de corte tem de equilibrar
o momento torçor aplicado ao veio na secção em
causa,
τ
τ
T = ∫ ρτ dA = max ∫ ρ 2 dA = max J
c
c
• Obtendo-se:
J=
(
1 π c4
2
2
− c14
)
τ max =
Tc
J
e
τ=
Tρ
J
3-7
Tensões normais
• Os elementos com faces paralelas e
perpendiculares ao eixo do veio estão sujeitos
apenas a tensões de corte. Para outras
orientações, podem surgir tensões normais, ou
combinações de tensões de corte com tensões
normais.
• Se considerarmos um elemento orientado a 45o
com o eixo do veio, temos
F = 2(τ max A0 )cos 45 = τ max A0 2
σ
45o
=
F τ max A0 2
=
= τ max
A
A0 2
• O elemento a está sujeito a corte puro
• O elemento c está sujeito a tensões normais
de tracção em duas faces e de compressão nas
outras duas.
3-8
Modos de falha por torção
• Os materiais dúcteis normalmente
sofrem falha por tensões de corte.
Os materiais frágeis são menos
resistentes em tracção que em corte.
• Quando sujeito a torção, um provete de
um material dúctil, rompe ao longo de
um plano de tensões de corte máximas,
ie. num plano perpendicular ao eixo do
veio.
• Quando sujeito a torção, um provete de
um material frágil, rompe ao longo de
planos perpendiculares à direcção na
qual a tensão normal de tracção é
máxima, ie. ao longo das superfícies
que fazem 45o com o eixo longitudinal
do veio.
3-9
Exemplo – diagrama de momentos torçores
3 - 10
Diagrama de momentos torçores
3 - 11
Exemplo
3 - 12
Cont.
3 - 13
Exemplo 3.1
O veio BC tem uma secção circular
ôca com diametro interior 90 mm e
diametro exterior de 120 mm.
Os veios AB e CD são de secção
circular maciça com diamtero d.
Para os carregamentos ilustrados na
figura, determinar:
(a) As tensões de corte no veio BC,
(b) O diametro minimo d para os
veios AB e CD se a tensão de corte
admissivel para o material destes
veios for 65 MPa.
3 - 14
Exemplo
SOLUTION: 3.1 cont.
• Considerar secções nos veios AB e BC e
efectuar o equilibrio estático para
calcular os momentos torçores aplicados
em cada troço do veio:
∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) − TAB
∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) + (14 kN ⋅ m ) − TBC
TAB = 6 kN ⋅ m = TCD
TBC = 20 kN ⋅ m
3 - 15
Exemplo 3.1 cont.
• Tensões de corte no veio BC
(veio circular ôco)
J=
π
(
c24 − c14 ) = [(0.060 )4 − (0.045)4 ]
2
2
π
= 13.92 × 10− 6 m 4
τ max = τ 2 =
TBC c2 (20 kN ⋅ m )(0.060 m )
=
J
13.92 × 10− 6 m 4
= 86.2 MPa
τ min c1
=
τ max c2
τ min
86.2 MPa
τ min = 64.7 MPa
=
45 mm
60 mm
τ max = 86.2 MPa
τ min = 64.7 MPa
3 - 16
Exemplo 3.1 cont.
• Para o veio AB (ou CD), sabendo a
tensão de corte admissivel, calcular
diametro d minimo:
τ max
Tc Tc
=
= π 4
J
2 c
τ max ≤ τadm = 65MPa
6 kN ⋅ m
−3
≤
65
MPa
⇒
c
≥
38
.
9
×
10
m
π 3
2 c
d = 2c = 77.8 mm
3 - 17
Angulo de torção no domínio elástico
• Relação entre o ângulo de torção e a distorção de
corte máxima:
γ max =
cφ
L
• No domínio elástico, a deformação de corte e a
tensão de corte são relacionadas pela Lei de
Hooke:
τ max Tc
γ max =
G
=
JG
• Igualando e resolvendo em ordem ao ângulo de
torção:
TL
φ=
JG
• Se os momentos torçores e/ou a secção do veio
variarem ao longo do seu comprimento, o ângulo
de torção será dado por:
Ti Li
i J i Gi
φ =∑
3 - 18
Exemplo
Os dois veios em aço representados na figura estão acoplados através da
engrenagem. Determinar o angulo de torção da extremidade A do veio AB
quando é aplicado um binário T=45 Nm.
O veio AB é livre de rodar nas chumaceiras E e F, enquanto o veio DC está fixo
em D. Todos os veios têm um diametro d=20 mm e são maciços.
G=80GPa
Resp.: +0.0850 rad
3 - 19
Cont.
3 - 20
Cont.
3 - 21
Veios estaticamente indeterminados
L1
L2
• Sendo dados as dimensões do veio e os momentos
torçores aplicados, pretende-se calcular os
momentos de reação nos apoios A e B.
• Efectuando a análise de corpo livre do veio:
TC
TA + TB = TC
temos apenas uma equação, que não é suficiente
para calcular os momentos em A e B: problema
estaticamente indeterminado
TC
• Vamos dividir o veio em duas partes e impor a
compatibilidade de deformações em C:
φ1 + φ2 = 0 ⇒
TA L1 TB L2
LJ
−
= 0 ⇒ TB = 1 2 TA
J 1G J 2G
L2 J 1
• Substituindo na equação de equilibrio anterior:
TA +
L1 J 2
TA = TC
L2 J 1
3 - 22
3 - 23
3 - 24
Projecto de veios de transmissão
• As principais especificações para
um veio de transmissão são:
- potência
- velocidade
• O projectista tem de selecionar o
material para construção do veio
e determinar a secção transversal
do mesmo por forma a garantir
as especificações pretendidas,
sem que sejam excedidas as
tensões de corte admissiveis para
o material seleccionado.
Nota: neste capitulo considera-se apenas o caso de
veios de trasnmissão sujeitos exclusivamente a
esforços de torção.
• Determinar o binário aplicado ao veio
para uma especificada potência e
velocidade de rotação:
P = Tω = 2πf T
T =
P
P
=
ω
2πf
• Calcular a secção transversal do veio:
τ max =
Tc
J
J π 3
T
= c =
c 2
τ max
(veios circulares maciços)
J
π 4 4
T
(
=
c2 − c1 ) =
c2 2c2
τ max
(veios circulares ôcos)
3 - 25
Concentração de tensões
• A obtenção da equação
τ max =
Tc
J
foi baseada na torção de um veio de secção
circular com secção uniforme e em que as
secções tranversais se mantêm planas.
• A necessidade da utilização de acoplamentos,
flanges, engrenagens, roldanas, tambores, etc.
ligados aos veios através de chavetas ou
outros processos que implicam
descontinuídades e reduções de secção podem
causar concentrações de tensão.
• Os factores de concentração de tensões são
aplicados através da equação:
Tc
τ max = K
J
3 - 26
Concentração de tensões
3 - 27
Concentração de tensões (cont.)
3 - 28
Exemplo
P.5-44 pag. 207, Hibbeler, 5th ed. (adaptado)
O navio hidrofoil representado na figura possui um veio fabricado em aço S355 EN10025,
com um comprimento de 100ft. Está ligado em linha a um motor diesel com uma potencia
máxima de 2500 hp para uma velocidade de rotação no veio de 1700 rpm. Sendo o veio de
secção circular ôca com um diametro exterior de 203 mm e uma espessura de parede de
9.5 mm, determine a tensão de corte máxima no veio. Determine também o angulo de
torção no veio para a potencia máxima.
3 - 29
Torção de secções não axisimétricas
3 - 30
3 - 31
Torção de secções não-circulares
• As equações anteriores são válidas
apenas para a torção de veios com
secções axisimétricas
• As secções transversais planas de veios
não circulares não se mantêm planas e as
tensões e deformações não variam
linearmente.
• Para secções transversais rectangulares:
τ max =
T
c1ab 2
φ=
TL
c2 ab3G
• Para relações elevadas de a/b, a tensão
de corte máxima e o ângulo de torção
para outras “secções abertas” são as
mesmas que para a secção rectangular.
3 - 32
Torção de secções não-circulares (cont.)
3 - 33
Torção de secções fechadas com paredes finas
• Somando as forças na direcção x em AB,
∑F
x
= 0 = τ A (t A ∆ x ) − τ B (t B ∆ x )
τ A t A = τ B t B = τ t = q = fluxo de corte
a tensão de corte varia inversamente com
a espessura da parede da secção.
• Cálculo do binário de torção a partir do
integral dos momentos elementares resultantes
da tensão de corte na parede:
dM 0 = p dF = pτ (t ds ) = q( pds ) = 2q dA
T = ∫ dM 0 = ∫ 2q dA = 2qA
τ=
T
2tA
• Ângulo de torção (Cap. 11)
φ=
TL
ds
∫
4 A2G t
3 - 34
Problema
Os 3 eixos circulares
maciços, encontram-se
ligados por engrenagens
conforme representado na
figura.
Sabendo que todos os eixos
têm o mesmo diâmetro de
19 mm e que o módulo de
elasticidade transversal é
G = 75.8 GPa, determine:
a) O ângulo de torção da
extremidade A
b) O ângulo de torção da
extremidade E
3 - 35
Problema
O trem de engrenagens da
figura transmite uma
potência de 7.5 kW, do
motor em A à máquina em F.
Considerando a frequência
do motor de 30 Hz, e uma
tensão de corte admissível de
60 MPa para o material
utilizado nos veios,
determinar os diâmetros dos
diferentes veios.
(dAB=15 mm, dCD=20.4 mm,
dEF=27.6 mm)
3 - 36
Problema
φB = 0.648º
φC = 0.486º
3 - 37
Problema
3 - 38
Problema
3 - 39