- Aula de Exercícios 1 e 2 – Equilíbrio de corpo rígido Prof.: Dr. Cláudio S. Sartori
1. Determine o módulo, a direção e o sentido
e escreva o vetor força resultante que atua no pino na
figura: (1 lb = 0.455N).
Laboratório de Física 2
(a)
1
4. A escora de madeira AB, a qual é
utilizada temporariamente para sustentar um
pequeno telhado, exerce no ponto A uma força
de 57 lb. Determine o momento sobre o ponto C
da força.
(b)
2. A tensão no cabo AB é 525 lb e no cabo AD 315 lb.
Encontre a força resultante no ponto A da estrutura.
5. Uma antena é sustentada por 3 cabos
conforme ilustrado. Sabendo que a tensão no
cabo AB é 288 lb, encontre o momento dessa
força em relação ao ponto O.
(3.93 Beer Johnston)
3. Determine o momento da força de 200N
aplicada no ponto C da dobradiça em relação ao ponto
A.
1
6.
Determine as reações nos apoios das
figuras:
(b)
(a) Uma barra prismática AB de peso 300 N
bi-apoiada, encontra-se em equilíbrio conforme
ilustrado. Pedem-se as reações de apoio em A e B.
3.0 m 2.0 m 2.0m
210N
140N
A
2
B
(b) Na figura:
PAB  150kgf  Q  200kgf
9. Um aro semicircular de raio r e peso
W está conectado ao pino A e apoiado no ponto
B. Determine as reações de apoio em A e B.
Q
3.0 m
2.0 m
200
A
B
Determine as reações no apoio A e a tensão
no fio.
7. Um homem segura uma barra de 10 kg.
Determine a tensão no fio e a reação no apoio A.
(4.6 Beer Johnston pg. 185)
10. Determine o centro de massa da
figura abaixo.
8. Determine o centroide da figura plana com
desnsidade superficial de massa constante.
(a)
11, Encontre o torque, em relação ao ponto A da
força exercida pelo cabo CD, cujo módulo é 200 N.
2
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3
12. Determine o ângulo formado pelos cabos de
sustentação da rede:
(a) AC e AD (b) AC e AB. Use:
u  v  u  v  cos 
15. A placa da figura tem 80 lb de peso e está
sustentada por três cabos como ilustra a figura. Determine a
tensão de cada cabo.
13. 4 navios estão atracados em um píer como mostra a
figura abaixo. Cada um exerce uma força de módulo 5000 lb.
Determine a resultante sobre o píer e torque resultante sobre o ponto
O.
16. Uma tampa de tubo uniforme de raio r = 240 mm e
30 kg de massa é mantida numa posição horizontal pelo CD
cabo.
Supondo-se que o rolamento em B não exerce
qualquer pressão axial, determinar a tensão no cabo e as
reações em A e B.
14. Determine a tensão em cada cabo e a reação no
soquete A.
3
O
processo
de
perfuração
foi
iniciado
ao
ligar
o
motor
e
girando
o
de forma a o bit em contato com a peça de trabalho.
Substituir a força e pares exercida pela prensa de
perfuração
com
um
sistema
equivalente
sistema no centro O da base da vertical
coluna. (Optativo).
4
17. Uma placa de 5 x 8 ft e densidade uniforme pesa
270 lb e é suportada por uma articulação em esfera em A e por dois
cabos.
Determinar
a
tensão
em
cada
e cabo a reação a A.
19. Uma força de 20 lb é aplicado à
haste AB como mostrado. Sabendo-se que o
comprimento da haste é em 9 in e o ângulo
formado é  = 250, determinar o momento da
força sobre o ponto B através das componentes
horizontais e verticais das forças.
18. O conjunto de cabeça e motor de uma furadeira radial está
originalmente posicionado AB posicionado com o braço paralelo ao
eixo z e o eixo suporte paralelo ao eixo y. O conjunto foi então
rodado de 25° em torno do eixo y e a 20° em torno do eixo da
horizontal braço AB, trazendo-o para a posição mostrada.
4
20. Uma caixa de massa de 80 kg é
mantido na posição mostrada. Determinar (a) o
momento produzido pelo peso W da grade sobre
E, (b) a menor força aplicada em B que cria um
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momento de igual magnitude e um sentido oposto
sobre E.
23. Sabe-se que a haste de ligação AB
exerce sobre a manivela BC uma força de 500 lb
dirigida para baixo e para a esquerda ao longo
da linha central de AB. Determine o momento
da força sobre C.
5
21. Uma força P de 300 N é aplicada no
ponto A da manivela de sino mostrada. (a) Calcula-se
o momento da força P sobre O, resolvendo-o em
componentes horizontais e verticais. (b) Usando o
resultado da parte (a), determinar a distância
perpendicular a partir de O para a linha de acção de P.
24. Sabe-se que uma força com um
momento de 960 N.m sobre D é necessária para
endireitar o poste da cerca CD. Se a capacidade
de guincho puxador AB é 2400 N, determinar o
valor mínimo da distância d para criar o
momento especificado em torno do ponto D.
22. Uma força P de 400 N é aplicada no
ponto A do balanceiro mostrado. (a) Calcule o
momento da força P sobre O, resolvendo-o em
componentes ao longo da linha OA e numa direcção
perpendicular a essa linha. (b) Determinar a
magnitude e direção da menor força Q aplicada no
menor B que tem o mesmo momento de P sobre O.
5
25. Um mecânico usa um pedaço de tubo
AB como uma alavanca ao apertar uma correia
do alternador. Quando ele empurra para baixo
em A, uma força de 485 N é exercida sobre o
alternador à B. Determine o momento da força
sobre o parafuso C, se a sua linha de ação passa
por O.
26. O fio de AE é esticada entre os cantos A e E
de uma placa dobrada. Sabendo que a tensão no fio é
de 435 N, determinar o momento de cerca de O a
força exercida pelo fio (a) no canto A, (b) no canto E.
Beer Johnston pag.93 3.21
extremidade livre da lança B para um ponto C
localizado na parede vertical. Se a tensão do
cabo é de 2,5 kN, determinar o momento em A
de uma força exercida pelo cabo em B.
6
27. Uma vara de pesca de 6 pés de comprimento
AB está firmemente ancorada na areia de uma praia.
Depois de um peixe morder a isca, a força resultante
na linha é 6 lb. Determinar o momento sobre A da
força exercida pela linha em B.
30. Um cubo de lado a = 1 é actuado
por uma força P como mostrado. Determinar o
momento de P (a) cerca de A, (b) sobre a borda
AB, (c) sobre a diagonal AG do cubo, (d)
Usando o resultado da parte (c), determinar a
distância perpendicular entre AG e FC.
28. A seção de parede de concreto prémoldado é temporariamente mantida por dois cabos
como mostrado. Sabendo que a tensão no cabo BD é
de 900 N, determinar o momento em torno do ponto O
da força exercida pelo cabo em B.
29. Uma lança AB de 6 m tem uma extremidade
fixa A. Um cabo de aço é esticado a partir da
6
31. As cordas AB e BC são usadas para
apoiar uma barraca. Os dois cabos estão ligados
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a uma estaca em B. Se a tensão na corda AB é de 540
N, determine (a) o ângulo entre corda AB e da estaca,
(b) a projeção sobre a estaca da força exercida pela
corda AB no ponto B.
7
32. Uma única força P actua em C, numa direcção
perpendicular à manivela BC mostrado. Sabendo que
Mx = 20 N.m e My = - 8.75 N.m, e Mz = - 30 N.m,
determinar a magnitude de P e os valores de  e .
35.
A figura ilustra uma placa
quadrada de densidade uniforme. Removendose os cantos do quadrado indicados, em cada
caso, determine o centro de massa da figura que
sobra. A densidade superficial da placa é
uniforme.
33. Calcule o Centro de massa da molécula de
H2O. Dados: mH = 1 u. MO = 16 u.
d = 9.57.10-11m.
1 u = 1.661.10-27 kg.
(a) 1. (b) 1 e 2
(c) 1 e 3 (d) 1, 2 e 3.
36. Na figura, encontre a posição do
centro de massa.
Determine a força resultante, se:
F1 = 6N, F2 = 12 N e F3 = 14 N.
Encontre a aceleração do centro de
massa acm pelas relações:
FCM  M  acm e FCM  F1  F2  F3
34. Três partículas de massas m1 = 1.2 kg, m2 =
2.5 kg e m3 = 3.4 kg formam um triângulo equilátero
de lado d = 140 cm. Determine o Centro de massa do
conjunto de partículas C(xcm, ycm) e localize-o pelo
vetor rcm .
7
37. Encontre o centro e massa das figuras de
densidade uniforme.
(a)
(b)
38. Um aro semicircular de peso W está
conectado aos apoios A e B da figura, cujas
reações estão indicadas. Determine-as.
8
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
39. O aro da figura possui raio 10 in e
peso 8 lb. Determine as reações em B e C e a
tensão no fio AB.
40. Duas amostras, uma de ferro (Fe =7.8 g/cm3)
e outra de alumínio (Al = 2.7 g/cm3) estão dispostas como
mostra a figura. As dimensões dadas são: d1 = 11 cm, d2 =
2.8 cm, d3 = 13 cm. Encontre as coordenadas do centro de
massa C(xG ,yG, zG )
(j)
41. Na molécula de amônia, NH3, os três átomos
de hidrogênio formam um triângulo equilátero, onde o
centro do triângulo está a uma distância d = 9.4 . 10-11 m. A
relação entre as massas do nitrogênio e o hidrogênio é de
8
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13.9 e o átomo de nitrogênio está no topo da pirâmide cuja base é o
triângulo equilátero. A distância entre os átomos de N e H vale L =
10.14.10-11 m. Determine as coordenadas x e y do centro de massa
da molécula.
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9
45. Encontre o centro de massa para a figura.
42. Determine o centro de massa da figura, formada por
uma meia esfera e um cilindro sólido.
43. Determine o centro de massa da figura abaixo.
44. Encontre o centro de massa para a figura onde: h =
2b;
9
Forma da
Superfície
Figura
x
y
A
4r
3
h
3
4r
3
bh
2
 r2
4
4r
3
 r2
4b
3
4b
3
 ab
2ah
3
4ah
3
Parabolóide
de
revolução
ah
3
Cone
h
4
1 2
a h
3
Pirâmide
h
4
1
abh
3
Triângulo
Quarto de
círculo
semicírculo
Quarto de elipse
Meia elipse
0
4a
3
0
4
 ab
2
parábola
0
Arco de
parábola
3a
3
3h
10
Curva geral
n 1
a
n2
n 1
h
4n  2
Setor circular
2rsen
3
0
r2
2r
r
2
Quarto de Arco
Semi arco
Arco
2r


0
2r
rsen

Hemisfério
Figura
x
V
3a
8
2 310
a
3
3h
8
2 2
a h
3
2
3h
5
3h
5
Semi parábola
4a
8
Forma
Semielipsóide
de
revolução
h
3
1 2
a h
2
ah
n 1

r
0
2 r
10
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Exercícios de Atividade em Aulas
1. Uma força vertical de 500N é aplicada na
extremidade de uma manivela fixada a um eixo
em O. Determinar:
(a) O momento da força de 500N em relação a O
(b) a intensidade da força horizontal aplicada em
A que produz o mesmo momento em relação a O.
(c) a menor força aplicada em A que produz o
mesmo momento em relação a O.
(d) a distância a que uma força vertical de 1200N
deverá estar do eixo para gerar o mesmo momento em
relação a O.
(e) se alguma das forças obtidas nos itens
anteriores é equivalente a força original.
11
Solução:
M A  rCA  F
rCA : vetor que liga de A a C.

rCA  AC  0.3iˆ  0.08kˆ
F  F  nˆCD  nˆ
CD


CD

CD
2. Uma força de 800N é aplicada como ilustrado.
Determine o momento da força em relação a B.
5. Calcule o torque (módulo, direção e
sentido) em torno de um ponto O de uma força
F em cada uma das situações esquematizadas
na Figura 4. Em cada caso, a força F e a barra
estão no plano da página, o comprimento da
barra é igual a 4.00 m e a força possui módulo
de valor F = 10.0 N.
Figura 4
3. Uma força de 150N atua na extremidade de
uma alavanca de 0.9m, como ilustrado. Determinar o
momento da força em relação a O.
4. Uma placa retangular é sustentada por suportes
em A e em B e por um fio CD. Sabendo que a tração
no cabo é de 200N, determine o momento da força
exercida pelo fio na placa, em relação ao ponto A.
11
6. Calcule o torque resultante em torno
de um ponto O para as duas forças aplicadas
mostradas na Figura 5.
(b) Use a regra da mão direita para
determinar a direção e o sentido do torque.
(c) Determine algebricamente o vetor
torque produzido por essa torça. Verifique se a
direção e o sentido do torque são iguais aos
obtidos no item (b).
Figura 5
Figura 8 - Regra da mão direita.
7. Uma placa metálica quadrda de lado igual
a 0.180 m possui o eixo pivotado perpendicularmente
ao plano da página passando pelo seu centro O (Figura
6). Calcule o torque resultante em torno desse eixo
produzido pelas três forças mostradas na figura,
sabendo que F1 = 18.0 N, F2 = 26.0 N e F3 = 14.0 N.
O plano da placa e de todas as forças é o plano da
página.
Figura 6
12
Em cada problema, esboce o diagrama de
corpo livre.
10. Encontre as reações de apoio na barra
mostrada. Suponha peso da barra desprezível.
8. As forças F1 = 7.50 N e F2 = 5.30 N são
aplicadas tangencialmente a uma roda com raio igual a
0.330 m, conforme mostra a figura 7. Qual é o torque
resultante da roda produzido por estas duas forças em
relação a um eixo perpendicular à roda passando
através de seu centro? Resolva o caso (b).
11. Determine a tensão na corda
supondo que não haja atrito e a polia seja
ideal.
Figura 7 (a)
(b)
9. Uma força atuando sobre uma parte de
uma máquina é dada pela expressão:
F   5.00 N   iˆ   4.00 N   ˆj
O vetor da origem ao ponto onde a força é
aplicada e dado por:
r   0.45m   iˆ   0.15m   ˆj
(a) Faça um diagrama mostrando
r Fe
a
origem.
12
12. A peça da figura está conectada no
pono A e apoiada em B. Determine as reações
de apoio e forças de contato.
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13
15. Determine as forças nos apoios A e
B.
13.
Determine a força de apoio na barra da
figura:
16. Compare as forças exercidas
sobre os pontos A e B do solo quando uma
mulher de 120 lb utiliza um sapato normal e um
sapato de salto alto.
17. Determinar a tensão T no cabo de
sustentação da barra da figura, de massa 95 kg.
14. Um caminhão possui uma rampa de 400
lb de peso conforme mostrado. Determine a tensão no
fio que a segura.
13
Repita o problema 1 considerando o
peso da Barra de 150N.
22. Na figura o peso do bloco vale P =
200N. A densidade linear da barra é  = 5 kg/m.
Determine o comprimento da barra L para que
fique em equilíbrio na posição horizontal.
3.0 m
18. O centro de gravidade G do carro
mostrado está indicado. A massa do carro vale 1400
kg. Determine as forças normais em cada ponto de
contato.
14
C
B
L
P
23. Na figura:
PAB  50kgf  Q  200kgf
Q
3.0 m
2.0 m
19. Determine as forças nos apoios A e B
que a barra de 12 lb de peso faz sobre o carregador.
300
A
B
Determine as reações no apoio A e a
tensão no fio.
20. A barra de 450 kg suporta o barril na
posição indicada. Determine as forças nos apoiuos
indicados.
24. Uma barra prismática AB biapoiada, encontra-se em equilíbrio conforme
ilustrado. Se o peso da barra for 200N, encontre
as reações de apoio em A e B.
4.0 m 3.0 m 3.0m
320N
A
260N
B
25. Uma força de 30 lb atua na
extremidade de uma alavanca de 3 ft, como
ilustrado. Determinar o momento da força em
relação a O.
21. Uma barra prismática AB bi-apoiada,
encontra-se em equilíbrio conforme ilustrado. Pedemse as reações de apoio em A e B.
3.0 m 2.0 m 2.0m
210N
A
140N
B
26. Na estrutura indicada, a torre está
amarrada em dois suportes fixos no solo. A
tensão no cabo AB é 2100 N; no cabo AC é
14
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1800N e no cabo AD é 2300N. Determine a força
BA  A  B e nˆ  BA .
resultante no ponto A da estrutura.
BA
BA
F  Fx  iˆ  Fy  ˆj  Fz  kˆ  F  Fx2  Fy2  Fz2
 Fy
 Fx 
  y  arccos 

F
F
 x  arccos 

 Fz 
   z  arccos  
F

 Momento de uma força FB aplicada no
ponto B de um sólido em relação ao ponto O:
 O  OB  FB
OB  B  O
29. Uma esfera homogênea e lisa
repousa sobre a inclinação A e apoia-se contra a
parede B. verticais lisas. Calcular as forças de
contato em A e B.
27. Determine o centroide da figura plana
com densidade superficial de massa constante.
FA = 566 N, FB = 283 N
28. Determine o momento da força de 200N
aplicada no ponto C da dobradiça em relação ao ponto
A.
30. O peso da bicicleta é 29 lb com o
centro de gravidade em G. Determine as forças
normais em A e B, quando a bicicleta está em
equilíbrio.
NA = 15.91 lb, NB = 13.09 lb

31. O feixe uniforme tem uma massa
de 50 kg por metro de comprimento. Determinar
as reacções nos apoios.
Dados: Estática do corpo rígido:
15
15
T = 19.61 kN
34. Calcular as forças de reações no
ponto O de base aparafusada do conjunto de
sinais de trânsito em cima. Cada sinal de
trânsito tem uma massa de 36 kg, enquanto
as massas de membros OC e AC são de 50
kg e 55 kg, respectivamente. O centro de
massa do membro AC está em G.
Ay =1864 N, By = 2840 N
32. O feixe uniforme de 500 kg é submetido
às três cargas externas mostrados. Calcule as reacções
no ponto de apoio O. O plano xy é vertical.
Ox = 0, Oy = 1736 N,
MO = 7460 N.m CW
35. Três cabos estão ligados ao anel
de junção C. Determinar as tensões nos
cabos de AC e BC causada pelo peso do
cilindro de 30 kg .
Ox = 1500 N, Oy = 6100 N
MO = 7560 N.m CCW
33. Determinar a magnitude de T a tensão no
cabo de suporte e a magnitude da força exercida sobre
o pino em A para a lança da grua mostrado. A viga AB
possui 5 m com uma massa de 95 kg por metro de
comprimento.
TAC = 215 N, TBC = 264 N
36. A localização do centro de
gravidade da caminhonete de 3600-lb está
indicado para o veículo sem carga. Se uma
carga cujo centro de gravidade se encontra
atrás do eixo traseiro é adicionado ao
caminhão, determinar o peso da carga para
que as forças normais e sob as rodas
dianteiras e traseiras sejam iguais.
Ax = 17.77 kN; Ay = 6.37 kN; A = 18.88 kN
16
16
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1 in = 25.4mm
1 lb (massa) = 0.4536 kg
1 slug = 14.59 kg
g = 10 m/s2 ou g = 9.81 m/s2 ou g = 32.2 ft/s2.
WL = 550 lb.
37. Um bloco colocado sob a cabeça do
martelo como mostrado facilita muito a extração
do prego. Se uma força de 50 lb é necessária para
puxar o prego, calcular a força de tensão T no
prego e a magnitude da força A exercida pela
cabeça de martelo sobre o bloco. As superfícies
de contato em A são suficientemente áspera para
evitar escorregamento.
T = 200 lb, A= 188.8 lb
Referências:
1. G.L. Squires, "Practical Physics" (Cambridge University
Press, 1991), capítulo 10, pp. 139-146; e D.W. Preston,
"Experiments in Physics" (John Wiley & Sons, 1985), pp. 2-3.
2. C. H. de Brito Cruz, H. L. Fragnito, Guia para Física
Experimental Caderno de Laboratório, Gráficos e Erros, Instituto
de Física, Unicamp, IFGW1997.
3. D.W. Preston, "Experiments in Physics" (John Wiley
& Sons, 1985), pp. 21-32; G.L.
4. C.E. Hennies, W.O.N. Guimarães e J.A. Roversi,
"Problemas Experimentais em Física" 3ª edição, (Editora da
Unicamp, 1989), capítulo V, pp.168-187.
5.
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica
vetorial para engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São
Paulo: Makron, 1994.
6. HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia.
8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil, 2004.
7. KRAIGE, L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio de
Janeiro: LTC,2004.

Unidades
1 kip = 4.448 kN
1 lb = 4.48 N
1 ft = 0.3048 m
17
17