QUESTÕES DISCURSIVAS
Questão 1
Para avaliar a leitura de três jornais A, B e C,
foi feita uma pesquisa com os seguintes resultados: 40 pessoas lêem somente o jornal A, 45
somente B e 55 somente C. 35 pessoas lêem A
e B, 25 lêem A e C, 27 lêem B e C, e 15 lêem os
três jornais. Se todas as pessoas que participaram da pesquisa lêem pelo menos um jornal,
determine o número total de entrevistados.
Logo o total de entrevistados é 40 + 35 + 45 +
+ 25 + 15 + 27 + 55 = 242.
Questão 2
$ = DBC
$ = α,
$ é reto, ABD
Na figura, ACB
AD = x, DC = 1 e BC = 3.
Resposta
O enunciado da questão permite duas interpretações.
• Primeira interpretação:
Do enunciado, lêem somente os jornais A e B,
35 − 15 = 20 entrevistados; somente A e C,
25 − 15 = 10 entrevistados; e somente B e C,
27 − 15 = 12 entrevistados.
Assim, temos o seguinte Diagrama de Venn:
Com as informações dadas, determine o valor
de x.
Resposta
CD
1
e,
=
BC
3
AC
x +1
do triângulo ABC, tg 2 α =
.
=
BC
3
⎛1 ⎞
2 ⋅⎜ ⎟
⎝3 ⎠
2 tg α
x +1
,
Como tg 2 α =
=
⇔
2
3
1 − tg 2 α
⎛1 ⎞
1−⎜ ⎟
⎝3 ⎠
x +1 3
5
.
⇔
=
⇔x =
3
4
4
Do triângulo BDC encontramos tg α =
Logo o número total de entrevistados é 40 + 20 +
+ 45 + 10 + 15 + 12 + 55 = 197.
• Segunda interpretação:
Considerando que o texto "35 pessoas lêem A e
B" significa que essas 35 pessoas não lêem o jornal C, da mesma forma que "25 lêem A e C" significa que tais pessoas não lêem B e "27 lêem B e
C" significa que tais pessoas não lêem A, temos o
seguinte Diagrama de Venn:
Questão 3
Num alvo circular, há três circunferências
concêntricas de raios 10, 20 e 30 cm. Se alguém lançar um dardo e acertar a região do
círculo central, região A, ganha 10 pontos. Se
acertar a faixa compreendida entre os raios de
10 e 20 cm, região B, ganha 5 pontos e, finalmente, se acertar a faixa compreendida entre
os raios de 20 e 30 cm, região C, ganha 3 pontos. Suponha que dois dardos lançados conse-
matemática 2
cutivamente acertaram o alvo. Qual a chance
de a soma de pontos exceder 14?
Resposta
As áreas de cada região são:
• área A = π ⋅ 10 2 =100 π cm2 ;
• área B = π(20 2 − 10 2 ) = 300 π cm2 e
• área C = π(30 2 − 20 2 ) = 500 π cm2 , totalizando π ⋅ 30 2 = 900 π cm 2 .
Supondo que a probabilidade de acertar cada região é proporcional à sua área, as probabilidades
de um dardo que acertou o alvo acertar as regiões
100 π
1
A, B e C são, respectivamente, p A =
= ,
900 π
9
300 π
1
500 π
5
e pC =
pB =
=
= .
900 π
3
900 π
9
Considerando que as pontuações possíveis ao
acerto de um dardo no alvo são 3, 5 e 10, há as
seguintes maneiras de se obter mais de 14 pontos com o lançamento de dois dardos: os dois
acertarem a região A (10 + 10 = 20) ou um
acertar a região A e outro a região B (10 + 5 =
= 5 + 10 = 15), em qualquer ordem.
Considerando o lançamento dos dois dardos independentes, a probabilidade pedida é, então,
1 1
1 1
7
.
⋅
+2 ⋅
⋅
=
9 9
9 3
81
Questão 4
Considere a série seguinte:
7
7
28 − 21 + 14 − 7 + 7 −
+
− ...
3
2
a) Qual o valor do 20o termo da série?
a) Determine o valor da soma dos infinitos
termos dessa série.
Resposta
Vamos supor que as parcelas da série dada no
enunciado são, alternadamente, os termos das
7
⎛
⎞
progressões geométricas ⎜ 28, 14, 7,
, K⎟ , de
⎝
⎠
2
1
7
⎛
⎞
primeiro termo 28 e razão , e ⎜ −21, −7, − , K⎟ ,
⎝
⎠
2
3
1
de primeiro termo −21 e razão .
3
Além disso, entenderemos a palavra "termo"
como "parcela".
a) A vigésima parcela da série é o décimo termo
da segunda progressão geométrica, que é
10 −1
7
⎛1 ⎞
−21 ⋅ ⎜ ⎟
=− 8.
⎝3 ⎠
3
28
−21
b) A soma dos termos é
+
=
1
1
1−
1−
3
2
63
49
.
= 56 −
=
2
2
Questão 5
Considere dois relógios analógicos: o primeiro
atrasa 5 minutos por dia, enquanto o segundo adianta 10. Se o horário indicado em determinado instante for de 11 horas e 20 minutos no primeiro e 2 horas e 5 minutos no
segundo, quantos dias deverão passar para
que, pela primeira vez, ambos marquem a
mesma hora?
Resposta
O primeiro relógio marca 11h20min ou 11 ⋅ 60 +
+ 20 = 680 min. O segundo relógio marca 2h05min
ou 2 ⋅ 60 + 5 = 125 min, portanto a diferença entre as marcações é de 680 − 125 = 555 minutos.
Como um adianta 10 minutos e o outro atrasa 5
minutos, a diferença diminui 15 minutos por dia.
Assim os relógios estarão marcando a mesma
555
hora depois de
= 37 dias.
15
Questão 6
No plano cartesiano, a equação de uma circunferência é ( x − 2)2 + ( y − 2)2 = 4.
A reta t passa pelo ponto P(3; 2 + 3 ) e é tangente a essa circunferência.
a) Represente a circunferência no plano cartesiano e determine a equação da reta que
passa pelo centro da circunferência e pelo
ponto P.
b) Determine o coeficiente angular da reta t.
matemática 3
y
Resposta
B (0; 4)
a) A equação dada é de uma circunferência de
centro C = (2; 2) e raio 2, com a seguinte representação no plano cartesiano.
C
2
0
2 3
A (4 3; 0)
x
Note que, quando x = 0, (0 − 2 3 ) 2 + (y − 2) 2 =
= 16 ⇔ y = 0 ou y = 4 e, quando y = 0,
A reta que passa pelos pontos C e P tem coeficien2 + 3 −2
te angular aCP =
= 3 e equação
3 −2
y − 2 = 3 (x − 2) ⇔ y = 3 x − 2 3 + 2.
b)
Como (3 − 2) 2 + (2 + 3 − 2) 2 = 4, temos que
o ponto P pertence à circunferência dada.
Logo a reta t é perpendicular à CP e, portanto,
3
.
at ⋅ aCP = −1 ⇔ at = −
3
Questão 7
(x − 2 3 ) 2 + (0 − 2) 2 = 16 ⇔ x = 0 ou x = 4 3 .
Portanto, a solução gráfica do sistema é:
b) A área dessa região é igual à área do setor circular AOC menos a área do triângulo AOC. Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo AOC:
$
AO 2 = OC 2 + AC 2 − 2 ⋅ OC ⋅ AC ⋅ cos(ACO)
⇔
2
2
2
$
⇔ (4 3 ) = 4 + 4 − 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ cos(ACO) ⇔
1
$
$
⇔ cos(ACO)
=−
⇔ m (ACO)
= 120o
2
Finalmente, a área pedida é
120o
1
⋅ π ⋅ 42 −
⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ sen 120o =
2
360o
16 π
=
−4 3.
3
Considere o sistema de inequações seguinte:
⎧( x − 2 3 )2 + ( y − 2)2 ≤ 16
⎪
⎨e
⎪y ≤ 0
⎩
Questão 8
Determine o conjunto solução da equação
modular
a) Represente, no plano cartesiano, a região | x2 − x − 6| + | x2 + x − 2| = 0 para x ∈ R.
que constitui a solução gráfica do sistema.
b) Calcule o valor da área dessa região.
Resposta
Resposta
a) Observe que (x − 2 3 ) 2 + (y − 2) 2 ≤ 16 representa, no plano cartesiano, um círculo de raio
16 = 4 e centro C (2 3 ;2), e que y ≤ 0 representa o semiplano que contém e está abaixo do
eixo das abscissas.
Como | x 2 − x − 6 | ≥ 0 e
| x 2 + x − 2 | ≥ 0,
|x2 − x − 6 | + |x2 + x − 2| = 0 ⇔
⇔
|x2 − x − 6 |= 0
|x
2
+ x − 2| = 0
⇔
x2 − x − 6 = 0
x2 + x − 2 = 0
⇔
matemática 4
⇔
(x = 3 ou x = −2)
⇔ x = −2
(x = 1 ou x = −2)
V = { −2}.
Questão 9
Dividindo o binômio P( x ) = 3 x101 + 1 pelo binômio D( x ) = x2 − 1, obtemos como resto o
binômio R( x ) = ax + b. Determine os coeficientes a e b do binômio R(x).
Resposta
Seja Q(x) o quociente de tal divisão. Então
P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + R(x) ⇔ 3x101 + 1 =
= (x 2 − 1) ⋅ Q(x) + ax + b.
Assim, como x 2 − 1 = 0 ⇔ x = −1 ou x = 1,
3( −1)101 + 1 = a( −1) + b
101
3(1)
⇔
+ 1 = a(1) + b
⇔
−a + b = −2
⇔
a+b =4
pectivamente. Determine a região do primeiro quadrante do plano xy, cujos pares ordenados definem as quantidades de peixes vermelhos e amarelos que podem estar no aquário.
b) Determine a quantidade de cada tipo de
peixe no aquário, de forma a consumirem o
total da ração disponível e utilizarem o total
da água do aquário.
Resposta
Temos que:
• x(x ≥ 0) peixes vermelhos necessitam de 5x litros de água e 10x gramas de ração por dia;
•
y(y ≥ 0) peixes amarelos necessitam de 3y litros de água e 4y gramas de ração por dia.
a) De acordo com o enunciado, a região pedida é
a intersecção das regiões definidas pelas relações 5x + 3y ≤ 300 e10x + 4y ≤ 500, como na figura:
a =3
.
b =1
Questão 10
Maria comprou um aquário e deseja criar
dois tipos de peixes: os vermelhos e os amarelos. Cada peixe vermelho necessita de 5 litros
de água e consome 10 gramas de ração por
dia. Cada peixe amarelo necessita de 3 litros
de água e consome 4 gramas de ração por dia.
O aquário de Maria tem 300 litros, e ela deseja gastar, no máximo, 500 gramas de ração
por dia.
a) Considere as quantidades de peixes vermelhos e amarelos como valores reais x e y, res-
b) As quantidades x e y de peixes que consomem
500 g de ração por dia e utilizam 300 litros de
água satisfazem o sistema:
5x + 3y = 300
x = 30
⇔
10x + 4y = 500
y = 50
Ou seja, 30 peixes vermelhos e 50 peixes amarelos.