O USO DA LITERATURA NAS AULAS DE MATEMÁTICA: LEWIS
CARROLL EM SALA DE AULA
Rafael Montoito
[email protected]
Instituto Federal Sul-Rio-Grandense – Brasil
CB
Nível Médio
Investigação didática
Literatura e matemática. Lewis Carroll. Educação matemática
A literatura evoca a imaginação e a criação. Pensando nisso, e em como aliar estas
faculdades do aluno com aquelas que normalmente se exige numa aula de matemática,
temos pesquisado o uso da literatura em sala de aula, com a finalidade de introduzir
conteúdos e conceitos matemáticos. Apesar de serem muitos os livros que se poderia
usar para estas tarefas, temos dado especial enfoque às obras de Lewis Carroll, autor
de "Alice no país das maravilhas", pois ele era professor de matemática e já
manifestava esta intenção (de aliar matemática e literatura), inserindo em suas obras
passagens que abordam partes da disciplina. Nossa proposta aqui é discutir este elo
entre as duas disciplinas, falar de algumas pontencialidades cognitivas que, cremos,
são alavancadas pelos livros de Carroll e mostrar alguns exemplos e resultados do
nosso trabalho.
Matemática e Literatura: o Universo de Lewis Carroll
Quando pensamos em educação, há uma palavra chave, denominada motivação, que se
assemelha a um enigma que precisa ser desvendado em cada época, em cada ambiente
de ensino. Na matemática, este enigma parece, ainda, mais difícil de ser desvendado,
pois a racionalização exigida pela disciplina escolar tende a conduzir os alunos a um
mundo de objetividade que, desprezando muitas vezes a criatividade, a intuição e a
imaginação, desmotiva o estudante, o qual se vê reduzido a uma repetição de processos
e fórmulas que lhe são destituídas de significado. Isto ocorre porque, “privilegiando o
cálculo, a objetividade e a lógica e recusando tudo o que é entendido como ilusório,
fantasioso e irreal, o ensino formal opera uma redução em relação às potencialidades
cognitivas do sujeito humano. Isso porque somos constituídos por dois itinerários do
pensamento que se parasitam permanentemente: um empírico-lógico-racional, outro
mítico-simbólico-mágico. Qualquer redução de um desses pólos do espírito ao outro
compromete a amplitude de nossas concepções de mundo, nos faz andar com uma perna
só. O ilusório sozinho nos encerra no delírio. A razão sozinha se torna racionalização, se
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embrutece, fica cega para tudo o que não é cálculo, regra, lógica” (ALMEIDA, 2006, p.
12).
Em nossas pesquisas, deparamo-nos com Charles Lutwidge Dodgson, professor da
Universidade de Oxford e matemático do século XIX que, já em sua época, preocupavase em motivar seus alunos para a aprendizagem e, talvez ainda mais importante, tentava
unir os dois pólos descrito por Almeida numa educação matemática significativa. Mais
conhecido pelo pseudônimo de Lewis Carroll, sua fama deve-se principalmente à
publicação do romance matemático1 Alice no país das maravilhas. A maioria dos
leitores, sejam estes professores de matemática ou não, desconhecem que, neste
romance, Carroll apresenta personagens e acontecimentos propícios para o
desenvolvimento do pensamento lógico-matemático do leitor.
Desde que percebeu que seus alunos chegavam à universidade sem domínio dos
conhecimentos considerados básicos, Carroll foi, habilmente, inventando e escrevendo
histórias, construindo, sobremaneira, um universo de nonsense2 que lhe serviu de apoio
para o desenvolvimento do raciocino lógico-matemático do leitor. Este universo parece,
em muitas vezes, contradizer as regras do universo físico em que vivemos, quebrando as
noções instintivas de tempo, ordem e espaço, mas é exatamente com este artifício que
ele força o leitor a refletir sobre todas as possibilidades e extrapolar o senso comum. Ao
mexer com a percepção e o imaginário do leitor, este, sem se dar conta deste processo, é
conduzido por Carroll através de armadilhas lógicas que sempre apresentam, no final,
um resultado coerente e matematicamente correto, pois “seus escritos não desmantelam
ou destroem a lógica, nem são uma crítica à razão; são um canto à glória do raciocínio,
um canto de glória sarcástico, já que demonstra que, tão pura é [a] perfeição [da lógica]
e tão perfeita é sua pureza, que ela pode funcionar, ainda que lhe sejam propostas
resoluções absurdas, e que, mesmo nutrida de nonsense, a lógica mantém inabalável o
seu sentido” (THÉRIAULT, 2007, tradução nossa).
Esta lógica matemática baseada na provocação das ideias, na desordem e confusão
aparentes, a qual chamaremos daqui para frente de lógica do nonsense, é o principal
1
Chamaremos de romance matemático à literatura que, explicita ou implicitamente, apresenta
personagens ou passagens que podem ser interpretadas matematicamente com o objetivo de desenvolver o
raciocínio matemático do leitor.
2
Nonsense, oriundo do termo francês non-sens, é um termo utilizado para designar algo fora dos
parâmetros comuns e sem sentido no mundo real, mas cuja estrutura, através da sua construção sintática
ou sequência de acontecimentos, forma um sentido em si mesmo. Segundo Myriam Ávila, em seu livro
Rima e solução: a poesia nonsense de Lewis Carroll e Edward Lear (1996), somente estes dois autores
escreveram obras nonsências. O estilo nonsense, que teria acabado com a morte de Carroll, deixou
influências para os estilos literários e artísticos posteriores.
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argumento motivacional das obras de Carroll: é possível encontrá-la nos seus romances
matemáticos, nos desafios que inventava, nos artigos (matemáticos ou não) que
escrevia, nas cartas que enviava, em seus poemas e, até mesmo, nas suas publicações
matemáticas. A lógica do nonsense é, então, a característica que difere Carroll de
qualquer outro escritor/matemático da história da matemática e, também, a que o torna
um escritor didático com o objetivo de fomentar a imaginação, ou seja, mexer com os
aspectos cognitivos do leitor, pois “a imaginação vem seduzir ou inquietar – mas
sempre despertar – o ser adormecido nos seus automotismos” (BACHELARD apud
VERGANI, 2003, p. 50). Isto equivale a dizer que somente leitores com capacidade de
imaginar além do comum conseguirão romper a formatação existente no ensino
tradicional e, consequentemente, terão maior aprendizagem matemática, pois “a
matemática vive da função imaginal” (VERGANI, 2003, p.125).
Nosso estudo surgiu, então, com o objetivo de verificar as principais características da
lógica do nonsense, as suas materializações nas obras de Carroll e suas implicações para
a Educação Matemática. Acreditamos, pelo que se segue, que ela é um fator motivador
para a aprendizagem e que o universo carrolliano, com seus conteúdos matemáticos
escondidos, é capaz de despertar no leitor o interesse em aprender, fazendo-o tomar
parte em um ambiente no qual a construção do conhecimento matemático é feita de
maneira divertida.
Elementos Cognitivos das Obras de Lewis Carroll
Carroll não foi o único a escrever romances matemáticos. Podemos citar, como
exemplo, dentre tantos, os livros Aritmética da Emilia (Monteiro Lobato, 1935), O
Homem que Calculava (Malba Tahan, 1939) e As Viagens de Gulliver (Jonathan Swift,
1726). A diferença entre os livros destes autores e as obras de Carroll é que a narrativa
destes evidencia uma matemática explícita: os termos matemáticos aparecem presentes
na história, muitas vezes algum trecho se desdobra em contas a serem feitas, figuras
geométricas são facilmente identificadas nas narrativas etc. Os romances matemáticos
de Carroll, ao contrário, possuem uma matemática implícita que é esfumaçada através
da narrativa, deixando a compreensão e as conclusões finais disponíveis para os que
aprenderam a ver o mundo matemático através da sua lógica do nonsense. Para
explicitar a diferença de linguagens e abordagens, transcrevemos a seguir um extrato de
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As Viagens de Gulliver (1) e de Algumas Aventuras de Sílvia e Bruno (Lewis Carroll,
1997) (2).
(1) “Meu jantar foi trazido e quatro pessoas de qualidade, que eu lembrava de ter
visto postadas bastante próximas do rei, deram-me a honra de acompanhar-me no
jantar. Foram dois cursos de três pratos cada. No primeiro havia um quarto dianteiro
de carneiro, cortado na forma de um triângulo equilátero, uma peça de carne na
forma de um romboide e um pudim formando um cicloide (...). Os servos cortaram
nosso pão em cones, cilindros, paralelogramos e várias outras formas matemáticas
(SWIFT, 2003)”.
(2) “ ‘Qual é o valor do meu débito este ano, meu rapaz?’ O alfaiate apareceu enquanto
ele fazia a pergunta.
‘Bem, como você sabe, ele duplica a cada ano’, replicou o alfaiate um pouco
grosseiramente. ‘E eu gostaria de receber o meu dinheiro agora. O débito é de 2000
libras, exatamente!’
‘Oh, não é nada!’, comentou despreocupadamente o Professor, examinando os bolsos,
como se ele sempre trouxesse consigo aquela quantia. ‘Mas, diga-me uma coisa: você
não gostaria de esperar mais um ano e receber 4000 libras? Pense nisso: você se tornaria
rico! Você poderia mesmo ser um Rei, se o desejasse!’
‘Não sei se desejo ser um Rei’, respondeu o alfaiate pensativamente. ‘Mas o que você
me oferece é muito dinheiro! Bem, eu penso que esperarei...’
‘É claro que esperará!’, disse o Professor. ‘Você possui bom senso, posso ver isso.
Adeus, meu rapaz!’
‘Então você vai lhe entregar 4000 libras?’, perguntou Sílvia quando a porta se fechou
atrás do credor.
‘Nunca minha criança!’, o Professor replicou enfaticamente. ‘Deixarei que o Valor da
Dívida se duplique, de ano para ano, até que meu credor morra. Você percebe que será
sempre proveitoso esperar mais um ano, a fim de obter duas vezes mais dinheiro!’”
(Carroll, 1997, p. 64 - 65).
Ainda que haja números na narrativa de Carroll – o que pode levar nosso leitor a pensar
que sua literatura contém uma matemática explícita como a de Swift –, está implícita
nesta passagem a ideia de sequência numérica (progressão geométrica) e, dependendo
do nível de ensino com a qual se desejar trabalhá-la, a idéia de limite no infinito. Muitas
vezes, dependendo do grau de estudo do leitor, o conceito comunicado em determinada
passagem pode ser absorvido de maneiras e em profundidades diferentes.
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Para comunicar os conceitos que deseja aos seus leitores, ou seja, para desenvolver sua
narrativa através da lógica do nonsense, o autor utiliza-se comumente de três
‘artimanhas’, por nós chamadas de elementos cognitivos:
1) Diálogo com o leitor: em muitas ocasiões, Carroll interrompe a narrativa e chama a
atenção do leitor, dirigindo-se diretamente a ele, o que torna o leitor um participante da
história. Há um forte impacto quando o narrador dirige-se ao leitor e, em algumas vezes,
Carroll usa este artifício como uma provocação, como podemos perceber no Documento
de zoologia, n. 4 – A pomba de uma asa só, publicado em The Rectory Umbrella,
conforme o trecho transcrito abaixo:
“ ‘Mas’ você me pergunta ‘como poderiam os ‘pexes’3 matar a Pomba?’ Oh estulto e
ignorante Leitor! não têm ‘ângulos’ os ‘pexes’? Não são ‘ângulos’ afiados e capazes de
ferir? Quão fácil não há de ser, pois, ferir de morte a uma criatura tão terna com a
Pomba de Asa Única! E agora, passemos à grande questão de ‘como a Pomba perdeu
sua asa’ e à misteriosa relação entre as afirmações 1 e 6. Leitor, pense outra vez! A
Pomba escreve no Punch, e para semelhante mister necessita uma pena bem cortada;
então... vem esta ou não de uma pluma... pluma de... Sim! Acertou! ‘usa suas próprias
plumas’. Talvez você não saiba que o Punch sai há nove anos; assim, se a Pomba
contribuiu com ele desde o primeiro, a perda da sua asa se explica com claridade total.
Admite, querido leitor, que até o momento relacionamos nossas conjecturas
inteiramente com a realidade?” (CARROLL, 1998, p. 49, tradução nossa).
2) Uso desordenado das noções de tempo e espaço: no capítulo 13 de Algumas
aventuras de Sílvia e Bruno, ao apertar o pino do relógio, a família que está sendo
observada pelo Professor, na hora do jantar, começa um estranho diálogo no qual
primeiro aparecem as respostas e, posteriormente, as perguntas e, nesta cena, toda a
ordem de suas ações é invertida:
Oh, leitor hipercrítico que decidiu resolutamente não acreditar em nenhuma palavra da
minha fantástica aventura! De que valerá narrar-lhe agora como o carneiro foi colocado
de volta no espeto e lentamente tornou-se cru: ou como as batatas recuperaram a sua
casca e foram entregues ao jardineiro, para serem outra vez enterradas; ou como o fogo,
quando a carne do carneiro estava inteiramente crua, foi perdendo a sua vivacidade e
finalmente se extinguiu, mas tão subitamente que a cozinheira teve tempo apenas de
3
Neste texto, usamos propositalmente a palavra pexe para a espécie criada por Carroll: uma espécie rara
de peixes cujo corpo é constituído de ângulos retos e que, por ser diferente dos demais, não ganha do
autor o nome com a grafia correta (no texto em espanhol, esta espécie é chamada de pesces).
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recolher a última chama na extremidade de um palito; ou como a criada, após retirar o
carneiro do espeto, levou-o (andando para trás, naturalmente) para fora da cozinha, a
fim de entregá-lo ao açougueiro, que nesse momento se aproximava (também de costas)
da casa? (CARROLL, 1997, p. 157)
Esta é, para nós, a maior evidência de que a mente de Carroll não seguia padrões
lineares de raciocínio, ou seja, não construía as conclusões passo a passo, partindo do
problema e analisando as alternativas. Sua imaginação era capaz de fazer também o
contrário: ter uma solução e para esta criar um problema (como no livro Problemas de
almohada), imaginar uma história inteira de trás para frente (La caza del Snark) ou
misturar “mundos paralelos” na mesma história, cruzando-os várias vezes ao longo da
narrativa (Algumas aventuras de Sílvia e Bruno). Para seguir as narrativas de Carroll, o
leitor deve abandonar a ordem das coisas que conhece e acreditar na desordem do tempo
e do espaço, fazendo com que seu pensamento também possa seguir direções e ordens
diferentes.
3) Ilustrações: em muitos dos seus romances, Carroll recorre às ilustrações para
apresentar melhor o seu universo ao leitor, ou até mesmo para instigá-lo à curiosidade.
A maioria das ilustrações dos dois livros de Alice não servem somente para compor a
apresentação geral do livro, mas também para ressaltar as relações lógico-matemáticas
entre as passagens ou para manipular a atenção do leitor com relação aos dois itens
expostos anteriormente. Em Alice no País das Maravilhas, o Gato, que vai
desaparecendo do rabo para o sorriso, é outra personificação ilustrada do modo como o
autor faz o pensamento vir do fim para o início; as cartas são divididas em castas de
acordo com os naipes, além de exporem sua forma bidimensional que difere de todos os
demais personagens tridimensionais (um espaço bidimensional incluído num
tridimensional). Em Alice Atrávés do Espelho, as imagens se fazem ainda mais
necessárias, uma vez que a história toda se desenrola sobre um tabuleiro de xadrez, e os
personagens, que são as peças do jogo, só podem se mover de acordo com os
movimentos das respectivas peças que representam; Humpty Dumpty, na sua discussão
sobre as coisas e os nomes das coisas, tem sua forma definida pelo seu nome;
Tweedledum e Tweedledee representam figuras enantimorfas as quais, mesmo que o
leitor não saiba que matematicamente representam imagem especular uma da outra,
compreenderá pelo modo como se unem e estendem as mãos etc.
Acreditamos que estas três características podem auxiliar muito o desenvolvimento do
pensamento lógico-matemático dos alunos. Pensemos numa sala de aula ou mesmo na
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elaboração de uma aula ou de um livro didático: a necessidade de ilustrações é
indiscutível, mas elas não podem aparecer somente como algo decorativo – têm que
estar completa e coerentemente articuladas com o texto. O diálogo com o leitor também
é importante, pois o faz partícipe da própria aprendizagem e lhe chama a atenção para
algo mais importante do que o contexto que há em volta, tirando-o de uma leitura
morosa. E, finalmente, considerar uma linha de raciocínio não linear parece-nos de
suma importância na aprendizagem da matemática, pois muitas vezes temos
informações dispersas e desordenadas que, se vistas num todo e reorganizadas
coerentemente, conduzem inequivocamente à resposta. Estes exercícios podem ser
feitos através das obras de Carroll, escolhidas adequadamente pelos professores, a fim
de gerar um novo panorama de aprendizagem em suas aulas.
Chá com Lewis Carroll: Trechos de Histórias em Sala de Aula
Quem lê os livros de Alice com os olhos de um adulto desatento, tenderá a classificá-lo
como uma simples história para crianças, mas Claude Roy (apud THÉRIAULT, 2007,
tradução nossa), ao contrário, afirma que a obra mais célebre de Carroll mantém-se
interessantes até nossos dias porque “tudo está em Alice, a metafísica e a política, a
moral e a imoralidade, a economia e a poesia. [Ele] não é somente um livro para o
usuário de alguma nação específica: ele responde a todos os que se interrogam e lhe
demandam ajuda”. Isto se estende também às suas demais obras, de modo que
acreditamos ser possível comungar literatura e matemática e, através delas, a dimensão
racional e a dimensão afetiva do aluno, além de possibilitar, também, atividades
interdisciplinares.
Temos levado, para as aulas de matemática, trechos dos livros de Carroll que, através de
atividades pré-organizadas, auxiliam os alunos a pensarem nos conceitos de conjuntos,
números primos, elipses, regra de três, eixos de simetria, raciocino lógico etc. Em
resposta, os alunos têm se mostrado interessados: a surpresa em descobrir matemática
na literatura tem contribuído para desmistificar a disciplina, mudando um pouco as
arraigadas impressões de que a matemática é uma ciência sem emoção, imaginação ou
subjetividade, e transformado a sala de aula em um ambiente mais prazeroso para a
aprendizagem. E começam, também, a chegar outras histórias... A partir de suas
experiências com as obras de Lewis Carroll, alguns alunos têm buscado indícios em
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outros livros que estão lendo, mostrando terem sido ‘contaminados’ por este novo olhar
que reconhece, quando possível, as teias tecidas pela matemática e pela literatura.
Trabalhar com esta abordagem (sem, obviamente, desperdiçar ou desvalorizar todas as
outras abordagens em educação matemática) é uma aposta na diversidade e na
criatividade tão necessárias às aulas de matemática. E, sendo assim, também
manifestamos nosso desejo de que os esforços feitos por Carroll para o ensino desta
disciplina não se percam. Além das relações aqui expostas, muitas outras aparecem em
‘Chá com Lewis Carroll’, um romance matemático escrito a partir da nossa dissertação
de mestrado.
Referências Bibliográficas:
ALMEIDA, Maria da Conceição de. Prefácio - um alpendre lilás para a educação. In:
FARIAS, Carlos Aldemir. Alfabetos da alma: histórias da tradição na escola. 1ª
Edição. Porto Alegre: Sulina, 2006.
CARROLL, Lewis. Algumas aventuras de Sílvia e Bruno. São Paulo: Iluminuras,
1997.
CARROLL, Lewis. Alice – edição comentada. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 2002.
CARROLL, Lewis. Alicia em el país de las maravillas / A través del espejo / La caza
del Snark. Barcelona: Editorial Optima, 2003.
CARROLL, Lewis. El paraguas de la rectoría / Cajón de sastre. 1ª Edição.
Barcelona: Parsifal Ediciones, 1998.
CARROLL, Lewis. Problemas de almohada. Tres Cantos: Nivola, 2005.
LOBATO, Monteiro. Aritmética da Emília. São Paulo: Brasiliense, 2003.
MONTOITO, Rafael. Chá com Lewis Carroll. Jundiaí: Paco, 2011 [no prelo].
SWIFT, Jonathan. As viagens de Gulliver. São Paulo: Nova Cultural, 2003.
TAHAN, Malba. O homem que calculava. São Paulo: Record, 2001.
THÉRIAULT, Mélissa. Lewis Carroll: Tenir hors de la portée des enfants. Disponível
em: <http://www.uqam.ca/~philo/portail/pourquoi/pourquoi3_3_03.html>. Acesso em
18/04/2007
VERGANI, Teresa. A surpresa do mundo: ensaios sobre cognição, cultura e educação.
1ª Edição. Natal: Editorial Flecha do Tempo, 2003.
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