Sinais e Sistemas (LERCI)
2o Exame
26 de Janeiro de 2005
Nota: Resolva os problemas do exame em folhas separadas. Justifique todas as respostas e explique os seus
cálculos.
Problema 1.
4
1. Considere os seguintes sinais discretos (∀n ∈ Z):
x1 (n) = e j(2n+π/4)
x2 (n) = e j(3πn/8+π/4)
+∞
X
(−1)k δ(n − 3k)
x4 (n) =
x3 (n) = cos(πn2 /6)
k=−∞
Indique para cada sinal se é periódico e qual o seu perı́odo.
2. Considere os seguintes sinais contı́nuos (∀t ∈ R):
x5 (t) = t[u(t + 2) − u(t − 2)]
x6 (t) = 2tu(t) + (2 − 2t)u(t − 1) + (4 − 2t)u(t − 2) + (−6 + 2t)u(t − 3)
Esboce o gráfico de cada sinal e da respectiva componente par.
3. Considere dois sistemas discretos com entrada x(n) e cujas saı́das são definidas pelas seguintes equações:
y1 (t) = [x(n − 1)]2 e y2 (t) = x((n − 1)2 ). Classifique cada um destes sistemas quanto à estabilidade, causalidade, linearidade e invariância no tempo.
Problema 2.
Considere que um circuito para carregar uma bateria pode ser visto como um sistema linear e invariante no
tempo que recebe à entrada uma tensão de alimentação e cuja saı́da é a tensão medida aos terminais da bateria em
carga. Considere que este circuito tem a seguinte resposta impulsiva
h(t) =
4
1 −t/100
e
u(t)
10
1. Determine a resposta ao escalão do circuito de carga da bateria.
2. Determine o tempo necessário para que a tensão da bateria atinga 99% do valor máximo medido a partir do
instante em que se liga uma fonte de alimentação de valor constante (considere que e −4.6 = 0,01).
3. Determine uma expressão para a evolução da tensão aos terminais da bateria quando a tensão de alimentação
do circuito de carga variar do seguinte modo
x(t) = u(t) − e−t/10 u(t)
Problema 3.
Considere o sistema discreto, causal, linear e invariante no tempo de que se sabe ter dois pólos em z = 1/2 e
z = 1/4 e dois zeros em z = −1/2 e z = −1/4. Sabe-se também que o sistema apresenta um ganho de 5 para sinais
constantes.
1. Determine a função de transferência do sistema indicando a sua região de convergência. Justifique e comente
a estabilidade do sistema.
2. Determine a resposta do sistema ao impulso unitário.
3. Represente o sistema num grafo na forma directa II.
1
4
Problema 4.
Considere um sistema discreto linear e invariante no tempo caracterizado pela seguinte resposta em frequência:
H(ω) =
4
1
(1 −
1 − jω
)(1
2e
− 14 e− jω )
1. Determine a equação às diferenças que relaciona x, o sinal de entrada do sistema, com o sinal de saı́da y.
2. Sabendo que para um dado sinal de entrada se observou à saı́da deste sistema o sinal:
!n
!n
1
1
y(n) = 3
u(n) − 2
u(n)
2
3
Determine o sinal de entrada.
3. Usando o resultado da alı́nea anterior calcule a resposta do sistema ao sinal x(n) = δ(n) − 14 δ(n − 1)
Problema 5.
Considere que x(t) é um sinal contı́nuo e periódico com perı́odo T = 1s. Sabe-se também que a série de Fourier
deste sinal tem os seguintes coeficientes



2 k = 0, ±1, ±3
Xk = 

0 caso contrário
1. Apresente uma equação simples para o sinal x(t).
2. Considere que o sinal x é colocado à entrada de um sistema com a seguinte resposta impulsiva
h(t) = δ(t) −
sin(4πt)
πt
Determine w(t), o sinal de saı́da deste sistema.
3. O sinal resultante da filtragem anterior é por sua vez introduzido num sistema em que a entrada (w(t)) e a
saı́da (z(t)) se relacionam pela seguinte equação diferencial
z(t) = w(t) −
1 dw(t)
6π dt
Determine z(t) (nota: se não resolveu a alı́nea anterior considere que w(t) = 2 sin(6πt)).
2
4