Curso de Física Básica – Volume II
I
CURSO DE FÍSICA BÁSICA – VOLUME II
CAMPO GRANDE - 2009
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa
Departamento de Física - UFMS
Curso de Física Básica – Volume II
II
CURSO DE FÍSICA BÁSICA
VOLUME II
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa
Departamento de Física
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Campo Grande – 2009
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa
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III
O material aqui apresentado pode ser livremente distribuído e utilizado, desde que citada a fonte.
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IV
Conteúdo do Volume II
Capítulo I - Partículas e Campos ....................................................................................... 1
Introdução ........................................................................................................................................ 3
O conceito de campo ........................................................................................................................ 3
Campos e o Princípio da Superposição ......................................................................................... 7
Linhas de força .............................................................................................................................. 9
Fluxo e circulação de um campo vetorial .................................................................................... 11
A Lei de Gauss para campos cuja dependência seja do tipo 1/r2 .................................................. 17
Interação gravitacional entre partículas: o Campo Gravitacional (g
g) ......................................... 21
Massa inercial e massa gravitacional .......................................................................................... 22
Campo gravitacional de uma partícula pontual (g
g) ..................................................................... 23
Consequências da gravitação universal: as Leis de Kepler ......................................................... 28
Interação elétrica entre partículas: o Campo Elétrico (E
E)........................................................... 32
Campos de corpos extensos ........................................................................................................... 41
Cálculo de campos produzidos por corpos extensos: utilizando o Princípio da Superposição .. 41
Cálculo de campos produzidos por corpos extensos: utilizando a Lei de Gauss ........................ 44
A circulação dos campos E e g........................................................................................................ 54
Interação devida a correntes: o Campo Magnético (B
B) ................................................................. 56
Definindo o campo magnético: a Força de Lorentz .................................................................... 58
Movimento de partículas em campos: o movimento de cíclotron ............................................. 60
Corrente elétrica ......................................................................................................................... 63
Força magnética sobre um condutor carregado ......................................................................... 65
Torque sobre uma espira de corrente ............................................................................................ 70
Campo magnético criado por correntes estacionárias ............................................................... 73
Fontes do campo magnético .......................................................................................................... 75
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V
A Lei de Biot-Savart......................................................................................................................... 79
A Lei de Ampère.............................................................................................................................. 81
Força entre fios paralelos portadores de corrente ........................................................................ 98
Solenóides e toróides ................................................................................................................... 100
Trabalho ........................................................................................................................................ 103
O teorema trabalho energia ......................................................................................................... 109
Campos Conservativos.................................................................................................................. 110
Um exemplo de forças conservativas: forças centrais ................................................................. 112
Calor .............................................................................................................................................. 114
Modos de transferência de energia sob forma de calor .............................................................. 118
Processo de condução ............................................................................................................... 118
Processo de convecção ............................................................................................................. 118
Processo de radiação................................................................................................................. 119
O que é a temperatura? ............................................................................................................... 119
Potência ........................................................................................................................................ 120
A Primeira Lei da Termodinâmica................................................................................................. 121
Capítulo II - Potenciais e Energia Potencial ................................................................. 122
Potencial e Energia Potencial ....................................................................................................... 124
O conceito de energia potencial ................................................................................................... 124
O potencial (C) ............................................................................................................................ 130
Energia Potencial Gravitacional .................................................................................................... 132
Cálculo da energia potencial gravitacional: pontos próximos da superfície da Terra e sistema
isolado composto pela Terra, campo gravitacional criado pela Terra e uma partícula............ 133
Partícula que se move sob ação de uma força externa, F, do chão até uma altura h. ............. 138
Cálculo da energia potencial gravitacional para trajetórias nas quais o campo gravitacional não
pode ser considerado constante. .............................................................................................. 139
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VI
Potencial Gravitacional ................................................................................................................. 143
A energia potencial eletrostática e o potencial eletrostático ...................................................... 145
Superfícies equipotenciais ............................................................................................................ 148
Potencial devido a uma distribuição de partículas carregadas ou partículas pontuais com massa
...................................................................................................................................................... 148
Método 1 – Cálculo a partir do trabalho realizado para trazer cada uma das cargas a
partir do infinito. .................................................................................................................... 152
Método 2 - Usando o conceito de potencial ....................................................................... 155
Exemplos de cálculo do potencial criados por corpos extensos .................................................. 157
Potencial e campo gravitacional devidos a um anel de massa m. ............................................ 158
Cálculo do campo e do potencial criados por um disco uniformemente carregado sobre o eixo
do disco. .................................................................................................................................... 160
Cálculo do campo e do potencial criados por um cilindro uniformemente carregado sobre o
eixo do cilindro. ......................................................................................................................... 164
Energia potencial eletrostática ..................................................................................................... 168
Definição – Divergente de um campo vetorial.......................................................................... 170
Teorema da Divergência de Gauss ............................................................................................ 170
Outro exemplo de cálculo da energia potencial: o oscilador harmônico ................................. 173
Outro potencial: a temperatura. .................................................................................................. 178
Um novo potencial: a pressão ...................................................................................................... 181
Capítulo III - Campos em meios materiais ................................................................... 187
Materiais dielétricos e materiais condutores ............................................................................... 189
Polarização ................................................................................................................................ 190
Carga volumétrica e carga superficial de polarização ............................................................... 192
Lei de Gauss em materiais dielétricos ....................................................................................... 195
Capacitores ................................................................................................................................ 197
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VII
Campo eletrostático no interior de dielétricos lineares ........................................................... 200
Energia armazenada em meios dielétricos lineares.................................................................. 202
Materiais magnéticos: diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo. .......................... 203
A origem microscópica do magnetismo. Parte 1: o momento de dipolo orbital ..................... 204
Momento de dipolo magnético orbital e o momento angular ................................................. 205
A origem microscópica do magnetismo. Parte 2: o spin do elétron ......................................... 207
Materiais diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos ................................................ 210
A magnetização (M) e correntes de magnetização ................................................................... 212
Campos magnéticos em meios materiais: o vetor H ................................................................ 215
Propriedades dos materiais ferromagnéticos ........................................................................... 218
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Capítulo I - Partículas e Campos
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Introdução
Vimos anteriormente que a energia é uma propriedade de todos os sistemas físicos e que pode se
manifestar na forma de energia cinética (de translação, de vibração ou de rotação) das partes que
compõem o sistema ou na forma de energia potencial (gravitacional, elástica, eletrostática, etc.)
que está associada às interações que ocorrem entre as várias partes dos sistemas analisados. O
conteúdo total de energia de um sistema é o que chamamos de Energia Total ou Energia Interna,
estes dois nomes sendo sinônimos para nós.
Quando colocados em contato, dois ou mais sistemas físicos podem trocar energia entre si. A
energia pode fluir de um sistema para outro de duas formas: calor ou trabalho. Naturalmente, o
aumento ou a diminuição do conteúdo energético de um sistema corresponde a uma diminuição
ou aumento do conteúdo energético dos outros sistemas que estão em interação com ele, de
modo a satisfazer o princípio da conservação da energia.
Da mesma forma, o momento linear e o momento angular podem ser trocados entre sistemas
físicos em interação.
A natureza das trocas entre os diferentes sistemas interagindo depende do tipo de interação e da
natureza dos limites dos sistemas, e os tipos de trocas que esses limites permitem.
Quando falamos da troca de energia entre sistemas físicos, essas trocas podem acontecer por dois
processos básicos: um sistema realiza Trabalho sobre outros sistemas físicos ou recebe Trabalho
de outros sistemas; a segunda forma é através de Calor: ganhando energia sob a forma de Calor
ou cedendo energia sob a forma de Calor. Para introduzir a ideia de Trabalho precisamos
introduzir a ideia de campo e a forma como a força que um sistema exerce sobre o outro pode ser
deduzida do conceito de campo e, a partir daí, como o Trabalho pode ser realizado. Relacionados
com o conceito de campo, os conceitos de Linhas de Força e Fluxo de um campo vetorial são
importantes na formalização dessas trocas. Passaremos a analisar cada uma das formas de troca
de energia acessíveis aos diferentes tipos de sistemas físicos nas próximas seções.
O conceito de campo
Considere a seguinte situação: um asteróide (de massa m) se aproxima da Terra com certa
velocidade, atraído pela força gravitacional da Terra (Fg). Veja a Figura 1. Como esta força
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depende do inverso do quadrado da distância entre a Terra1 e o asteróide, quanto mais perto da
Terra, mais intensa ela é. Se desprezarmos a atração gravitacional do Sol, da Lua e dos demais
planetas sobre o asteróide, esta será a única força a agir sobre o asteróide. Logo, a aceleração do
asteróide será dada, em módulo, por:
a
Fg
m
Asteróide
r
Terra
Figura 1 - Interação Terra - Asteróide.
Submetido a essa aceleração, o asteróide terá a sua velocidade aumentada percorrendo uma
distância maior a cada segundo, à medida que se aproxima da Terra. No entanto, a informação
sobre a posição do asteróide em certo instante de tempo viaja até a Terra a velocidade da luz (c).
Será necessário certo intervalo de tempo t para que a informação da posição atual do asteróide
chegue a Terra para que a força seja “ajustada” de acordo (supondo que isso aconteça
instantaneamente) e o mesmo intervalo de tempo para que a informação seja mandada de volta e
o asteróide possa “saber” qual a nova aceleração a que está submetido.
Naturalmente, que o esquema acima é inviável, se quisermos analisar problemas para os quais a
velocidade relativa entre a Terra e os objetos na sua vizinhança tornem o intervalo t
suficientemente grande. Mas como o asteróide pode “saber” então qual sua aceleração? Uma
forma alternativa de descrever esse problema é utilizarmos o conceito de Campo.
1
Isto será discutido mais adiante.
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5
Suponhamos que a Terra possa colocar um “rótulo” em cada posição do espaço, e que nesse
rótulo esteja escrito o valor da força que uma massa unitária experimentaria ao ocupar essa
posição do espaço (veja a Figura 2). Assim, ao passar por uma dada posição, o asteróide “saberia”
o valor da força naquela posição: bastaria multiplicar o valor da força por unidade de massa
impressa no rótulo pela sua massa total. Desse modo, a interação que antes acontecia entre o
asteróide e a Terra, diretamente, passa a acontecer entre o asteróide e o campo e este com a
Terra. Ao conjunto dos valores da força por unidade de massa chamamos de Campo Gravitacional
da Terra.
2
Asteróide
2
r
1
Terra
3
Figura 2 - Asteróide na posição indicada pelo vetor r.
Definimos como a fonte de um campo à propriedade da matéria que cria o campo. Para que duas
partículas interajam é necessário que ambas possuam algum tipo de propriedade que seja comum
às duas: massa, carga elétrica, etc. No exemplo do asteróide, vamos supor que exista uma
propriedade da matéria, que chamaremos provisoriamente de carga gravitacional, por analogia
com a carga elétrica. É essa propriedade da matéria que cria o campo gravitacional. Digamos que a
carga gravitacional seja medida por uma quantidade chamada de massa gravitacional (mg) Se
retirarmos a propriedade carga gravitacional da matéria, não teríamos interação gravitacional
entre os objetos.
A relação entre a massa gravitacional e o conceito de massa como estudamos antes, relacionada
com a Inércia, daí ser chamada de massa inercial (mi), será explorada por nós mais adiante.
O campo é o resultado da ação de uma partícula sobre as propriedades do espaço na sua
vizinhança. Sem a presença da partícula, as propriedades do espaço são de certa natureza. Com a
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presença da partícula, e das propriedades que ela carrega (inércia, estado elétrico, estado nuclear,
etc.), o espaço a sua volta se modifica. A esta modificação nas propriedades do espaço chamamos
campo. Cada propriedade da partícula modifica certas propriedades do espaço, daí falarmos nos
diferentes tipos de campos: campo gravitacional, campo elétrico, campo magnético, campo
nuclear, etc.
Em geral, podemos definir o campo gerado por uma propriedade da matéria (a fonte do campo)
como o conjunto dos valores de certa propriedade (alterada pela presença da fonte do campo) em
cada ponto do espaço. No exemplo dado acima, do campo gravitacional, esses valores são a força
gravitacional por unidade de massa (a fonte do campo gravitacional) em cada posição do espaço.
Quando a propriedade do espaço alterada é representada por um vetor (como o campo
gravitacional do nosso exemplo) os campos são chamados de campos vetoriais. Por outro lado,
quando a propriedade alterada é representada por quantidades escalares o campo é dito campo
escalar (como o campo de temperatura em uma sala).
Mas, como saber o valor do campo criado por uma partícula em certa posição do espaço? Não
podemos medir campos diretamente (assim como a força). Podemos, apenas, medir alterações no
estado de movimento de partículas (acelerações). Para medirmos campos precisamos introduzir o
conceito de partícula de teste. Considere a situação do asteróide e da Terra que comentamos
antes. A massa do asteróide pode ser suficientemente grande para modificar a posição da Terra
devido ao campo do próprio asteróide. Logo, o campo medido a partir da alteração do estado de
movimento do asteróide é perturbado pela ação do asteróide sobre a Terra. A partícula que
usamos para avaliar o campo deve ser suficientemente pequena para que não altere
significativamente o estado da fonte do campo. Essas partículas são chamadas de partículas de
teste. Naturalmente, que essa é uma abstração, pois partículas reais sempre afetarão as fontes
dos campos.
Tendo definido o que é uma partícula de teste, vamos definir o valor do campo pela modificação
que este causa no estado de movimento de uma partícula de teste. Sabendo que, para que ocorra
uma modificação no estado de movimento, é necessário que uma força atue sobre a partícula de
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teste, definimos o campo como a razão entre a força experimentada pela partícula de teste e a
propriedade da partícula de teste2.
Vamos particularizar nossa análise para campos vetoriais. Seja C o vetor que representa o campo e
F o valor da força experimentada por uma partícula de teste que tem certa quantidade da
propriedade da matéria (qf) em certa posição do espaço (que denotaremos por r) então:
C  r   lim
q f 0
F r 
qf
eq. 1
Observe que a força F é a força experimentada pela partícula de teste que contém certa
quantidade de propriedade qf. Lemos essa equação como: o campo C na posição r é dado pelo
limite da razão entre a força experimentada pela partícula de teste quando a partícula está na
posição r e a quantidade da propriedade responsável pela existência do campo (qj) quando a
quantidade de propriedade responsável pela criação do campo presente na partícula de teste vai a
zero. A operação de tomada do limite quando a quantidade da propriedade que é a fonte do
campo contida na partícula de teste tende a zero expressa matematicamente a ideia de que a
partícula de teste não afeta a fonte do campo. O estudante deve observar que no processo de
tomada do limite, a força experimentada pela partícula de teste também vai a zero, o que garante
a finitude do valor de módulo de C.
No nosso exemplo da Terra e do asteróide, a propriedade da matéria é a massa, portanto: qf = m
(a massa do asteróide) e a força F é a força gravitacional, Fg. Logo, o campo gravitacional (g) na
posição r será dado por:
g  r   lim
m0
Fg  r 
m
eq. 2
Campos e o Princípio da Superposição
Como calcular o campo criado por muitas partículas? Observe que nossa definição de campo é
geral (eq. 1) e depende somente da força experimentada pela partícula de teste colocada na
2
Lembrando sempre que a propriedade da partícula de teste que interessa é aquela responsável pela criação do campo.
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posição em que queremos medir o campo C. A força que aparece no lado direito é a resultante de
todas as forças que atuam na partícula de teste.
Vamos supor que a força resultante da ação de um conjunto de n partículas atuando na partícula
de teste seja escrita como a soma das forças exercidas por cada uma das partículas
individualmente. Então, podemos escrever que:
n
F  F1  F2  ...  Fn   Fi
eq. 3
i1
Usando esse resultado, o campo experimentado pela partícula de teste será dado por:
n
C  r   lim
q f 0
F r 
qf
n
C  r    lim
i 1
q f 0
 lim
q f 0
 F r 
i
i 1
qf
Fi  r 
qf
Na passagem da primeira para a segunda linha foi usado o fato de que o limite de uma soma é a
soma dos limites. Identificando o lado direito como o campo criado pela i-ésima partícula na
posição r, podemos então escrever que:
n
C  r    Ci (r )
eq. 4
i1
A conclusão a que a eq. 4 nos leva é de que o campo total criado por um conjunto de partículas
em uma dada posição do espaço, denotada pelo vetor r, é a soma dos campos criados por cada
uma das partículas naquela posição. Esse princípio é chamado de Princípio da Superposição.
Observe que há uma hipótese escondida na nossa derivação: é a de que a força resultante é a
soma total das forças que atuam na partícula, calculadas de forma independente (eq. 3), como se
uma partícula ao atuar sobre a partícula de teste não soubesse da ação das outras partículas sobre
a mesma partícula de teste. Poderia acontecer de que a força com a qual uma partícula atua
sobre a partícula de teste fosse diferente pela presença de uma outra partícula. Nesse caso a eq. 3
não seria mais válida.
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Linhas de força
O conceito de linhas de força é devido a Faraday3. A ideia das linhas de força surge da necessidade
de visualizarmos os campos. Dado um campo C as linhas de força do campo são as linhas às quais
o campo C é tangente em cada ponto.
Por exemplo, consideremos o campo gravitacional. Como veremos mais adiante o módulo do
campo gravitacional criado por uma partícula em certa posição do espaço é inversamente
proporcional à distância entre o ponto onde o campo é calculado e a partícula que gera o campo.
A sua direção é a reta que passa pela partícula que cria o campo e o ponto onde o campo é
calculado. O sentido do campo gravitacional é do ponto onde o campo é calculado para a partícula
que o cria. A Figura 3 mostra o sentido do campo gravitacional para várias posições no espaço
(indicado pelas setas).
Como podemos ver da Figura 3, os vetores que representam o campo gravitacional em cada
posição do espaço estão sobre retas que passam pelo centro da partícula de massa m. As retas
que são tangentes ao campo em cada posição são as próprias retas suporte dos vetores mostrados
na figura.
g
m
Figura 3 – Linhas de força do campo gravitacional.
Para o campo elétrico vale a mesma coisa, já que como também veremos na mais adiante o
campo elétrico apresenta uma dependência com posição que é equivalente ao caso do campo
gravitacional. A única diferença aqui é que a carga elétrica pode ser de dois tipos. Usando a
3
Físico Inglês. Para uma biografia de Faraday veja http://pt.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday.
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definição de carga de prova positiva é fácil ver que as linhas de campo de uma carga negativa são
como mostradas na Figura 4, painel a, enquanto as linhas de campo de uma carga positiva são
como mostradas no painel b da mesma figura.
Naturalmente que nem todos os campos têm linhas de força como as mostradas nas figuras
anteriores. Um caso típico é o campo magnético, cujas linhas de força são mostradas na Figura 5.
Eg
q-
Eg
q+
a
b
Figura 4 – Linhas de força para o campo elétrico de cargas pontuais. Painel (a) para uma
carga negativa e painel (b) para uma carga positiva.
O desenho das linhas de campo é mais complicado nesse caso. Ao contrário das linhas mostradas
para os campos gravitacional e eletrostático, as quais são abertas, as linhas de campo do campo
magnético são fechadas sobre si mesmas. Para o imã mostrado na Figura 5, as linhas de campo
entram no pólo sul do imã e saem do pólo norte do mesmo. A Terra funciona como um grande
imã, com o pólo sul magnético perto do pólo norte geográfico e o pólo norte magnético perto do
pólo sul geográfico. São as linhas de campo do campo magnético da Terra que nos protegem
contra boa parte do vento solar, partículas altamente energéticas emitidas pelo Sol durante
períodos de grande turbulência. A Figura 5 mostra a estrutura bastante complexa desse campo. De
fato, o campo na proximidade da Terra é basicamente o campo gerado pela própria Terra.
Contudo, à medida que nos afastamos da Terra, o campo é o resultado da superposição do campo
magnético terrestre com o campo magnético solar. Para pontos mais distantes, o campo
magnético solar é o campo dominante.
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N
S
Figura 5 – Linhas de campo magnético geradas por um imã.
Figura 6 – Campo magnético terrestre.
As linhas de força são ótimas ferramentas para se visualizar a direção e o sentido do campo C.
Contudo elas não permitem o cálculo do módulo do campo C. Entretanto, há uma convenção que,
se não permite o cálculo do módulo do campo, permite que se tenha uma ideia de onde o campo
é mais intenso (maior módulo). Por convenção, o campo é mais intenso nas regiões onde as linhas
de força estão mais próximas, e menos intenso (menor módulo) naquelas regiões nas quais as
linhas de força são mais espaçadas.
Fluxo e circulação de um campo vetorial
Dois conceitos importantes quando falamos de campos vetoriais são os conceitos de fluxo e de
circulação. Estes dois conceitos podem ser mais bem visualizados se pensarmos em um fluido que
escorre através de uma tubulação. Veja a Figura 7.
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Reservatório
de
Líquido
Elemento
infinitesimal
Tubulação
de
fluido
Vetor
velocidade
no
elemento de fluido (v).
a
b
Sentido
de
escoamento
Figura 7 – Líquido escorrendo por uma tubulação.
Nesta figura mostramos um reservatório repleto de certo líquido, o qual escorre pela tubulação de
seção reta retangular (a base da tubulação é retangular).
O escoamento do fluido é caracterizado, basicamente, pela sua velocidade. Podemos falar de um
campo de velocidades para o fluido da seguinte maneira: em cada ponto do fluido supomos que
temos um elemento infinitesimal de volume. Esse elemento de volume é pequeno o suficiente
para que possa ser considerado como um ponto quando comparado com o tamanho do
reservatório e da tubulação, mas ainda suficientemente grande para conter um grande número de
moléculas do fluido. Cada elemento infinitesimal é caracterizado pela sua velocidade v, a qual é a
velocidade do fluido nesse ponto, e por certa densidade m4.
Consideremos agora a superfície retangular que é a base do cano de escoamento. Os pontos nessa
superfície retangular são também caracterizados pela sua velocidade v e pela sua densidade . Se
quisermos saber qual a quantidade de fluido que atravessa a superfície de área A = a.b na base da
tubulação temos que calcular a componente da velocidade perpendicular à superfície em todos os
pontos e multiplicar essa velocidade pela densidade local para saber a quantidade de fluído que
está atravessando a superfície de área A naquele ponto. Vamos chamar a essa quantidade de
densidade de fluxo de massa do fluído, simbolizada por m:
4
A densidade de massa é a quantidade de massa por unidade de volume.
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ds
n
v
Figura 8
Esquematicamente a situação é mostrada na Figura 8.
m = mv.n
O vetor n que aparece nessa equação é o vetor unitário perpendicular à superfície no ponto
considerado. O estudante deve observar que essa é uma quantidade escalar. A quantidade de
massa que atravessa a superfície total é o que chamamos de fluxo de massa (). O valor do fluxo
é o valor da densidade de fluxo de massa multiplicada pela área da superfície:
  A.n  Amv.n  abmv.n
eq. 5
Nesse caso, temos uma situação relativamente simples, pois consideramos que a velocidade e a
densidade eram as mesmas em todos os pontos da superfície. No caso mais geral isto não é mais
verdadeiro, teremos valores de velocidade e de densidade diferentes em cada ponto da superfície.
Assim, teremos que realizar uma integração sobre os pontos da superfície ao invés de
simplesmente multiplicar pela área da superfície sob consideração:
   m v.nda
eq. 6
S
Na eq. 6 da indica um elemento de superfície e S indica que estamos realizando uma integral de
superfície, cuja forma explícita depende do sistema de coordenadas que estamos utilizando.
Exemplo 1
Utilizando as eq. 6 e eq. 5 calcule o fluxo para o caso de a velocidade e a densidade do fluído
serem constantes e a velocidade do fluído ser perpendicular à superfície S.
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Vamos primeiro utilizar a eq. 5. Como a velocidade é perpendicular à superfície considerada temos
que os vetores v e n são paralelos entre si e, portanto: v . n = v (lembre: o módulo do vetor
normal é 1). Portanto, pela eq. 5 o fluxo será dado por:
  A.n  Amv.n  abmv
eq. 7
É fácil ver que a unidade do fluxo de massa é (usando unidades do Sistema Internacional):
kg m kg
s
  m.m. m3 . s =
Ou seja, o fluxo de massa nos diz quantos quilogramas de fluido atravessam a superfície de área A
a cada segundo.
Vamos agora calcular pelo método da integração mostrado na eq. 6:
   m v.nda   mvda
S
eq. 8
S
a
b
a
b
0
0
0
0
   dx  dymv  mv  dx  dy  abmv
Os dois resultados são idênticos. No cálculo mostrado na eq. 8, utilizamos coordenadas
cartesianas pois temos uma simetria de tipo caixa, mostrada na Figura 7.
Consideremos a situação mostrada na Figura 9. Nessa figura mostramos as linhas de campo do
campo C que entram e saem do volume V limitado pela superfície S. Algumas linhas (as que saem
do volume limitado por S) têm origem na partícula dentro do volume V. Outras (as que entram)
têm sua origem em outras partículas na vizinhança.
S
C
Figura 9 – Linhas de campo atravessando uma superfície S.
Definimos como o fluxo do campo C através da superfície S ao número líquido de linhas de força
que entra ou sai do volume V limitado por S. Essa definição, embora permita uma visualização da
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ideia de fluxo mais simples, não é prática, já que o desenho das linhas de campo é arbitrário. Para
ser operacional, a ideia de fluxo deve ser expressa de forma matematicamente precisa.
Para fazer isso observemos a Figura 10 Nela é mostrada uma posição na superfície S e uma região
em torno dessa superfície suficientemente pequena para que possamos considerar que no
elemento de área ds o campo C seja constante. O vetor n, chamado de vetor normal a S, é um
vetor unitário, perpendicular à superfície S no ponto considerado, formando um ângulo  com o
vetor C na posição considerada.
C

n
Elemento de área ds.
S
Figura 10 – Campo na superfície S.
O campo C pode ser descrito em termos de dois outros vetores, componentes do campo C em um
sistema de coordenadas com um dos eixos perpendicular a S e os outros dois eixos paralelos à
superfície S. O eixo perpendicular à superfície S, e paralelo ao vetor n, chamaremos de C, a
componente normal de C, e outro, paralelo à superfície, o qual chamaremos por C, a componente
tangencial de C. Veja a Figura 11.
A componente do campo C responsável pelo fluxo do campo é a componente normal, já que é ela
que “atravessa” a superfície S. Essa componente normal do campo C é dada por:
C  C cos(θ)n  C.n
Nessa expressão, C é o módulo do campo C. O fluxo através do elemento de área ds será dado
então pelo produto do módulo da componente normal do campo C pelo elemento de área ds:
ds  C.nds
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eq. 9
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16
Na eq. 9, o fluxo é representado pela letra  (lê-se fi) e o índice ds indica que estamos calculando
apenas no elemento de área ds. Para obter o fluxo em toda a superfície S, basta que somemos
sobre toda a superfície. Assim se dividirmos a superfície S em uma rede de n elementos de área dsi
então, o fluxo total através da superfície S será dado por:
n
 S   Ci .ni dsi
i 1
O índice i indica que, nas parcelas, os vetores são tomados no elemento de área rotulado por i.
Tomando o limite dessa expressão, quando o tamanho dos elementos de área dsi vai a zero:
n
 S  lim  Ci .ni dsi   S   C.nds
dsi 0
i 1
eq. 10
S
C
C
n
C ||
S
Figura 11 – Componentes do vetor C.
O símbolo

na eq. 10 indica que a integral é uma integral de superfície5. Observe que o fluxo é
S
uma quantidade escalar.
Vamos agora discutir o conceito de circulação de um campo vetorial. Observe a Figura 12. Nessa
figura temos uma curva fechada  e um campo vetorial C. Definimos a circulação do campo C
sobre a curva , denotada por C como sendo a integral ao longo da curva  do produto escalar
de C por dl, um elemento de comprimento da curva :
5
O acadêmico que ainda não estudou esse tipo de integração deve consultar o capítulo Complementos de Matemática.
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17
C   C.dl
eq. 11

C
dl

C
C
C
Figura 12 – Circulação de um campo vetorial.
Qual a interpretação física dessa quantidade?
Suponhamos que o campo C seja o campo de velocidades de um fluido. Então a eq. 11 se
escreveria:
v   v.dl

eq. 12
A quantidade v.dl nos dá, em cada ponto ao longo da curva , a componente do vetor velocidade
ao longo da curva . Vamos supor que a quantidade  tenha um valor diferente de zero. Nesse
caso, a circulação nos indica que a soma das projeções de v ao longo da curva é diferente de zero.
Isto nos dá uma direção preferencial para a velocidade do fluido ao longo da curva . Com isso, o
fluido será impulsionado a girar, seguindo a curva . A consequência é a criação de um
redemoinho, com o fluido espiralando ao longo da curva . Caso a circulação seja nula, então não
haverá uma direção preferencial do fluxo do fluido ao longo da curva e não teremos a formação
de redemoinhos.
A Lei de Gauss para campos cuja dependência seja do tipo 1/ r 2
Podemos demonstrar uma lei geral, chamada Lei de Gauss, a qual relaciona o fluxo de um campo
C através de uma superfície fechada S qualquer quando esse campo depende apenas do módulo
da distância da fonte ao ponto considerado (r) na forma 1/r2. Nesse tipo de situação o campo
apresenta simetria esférica: todos os pontos em uma esfera de raio r têm o mesmo valor do
módulo do campo C. Exemplos desse tipo de campo são os campos gravitacional e eletrostático.
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18
Considere a situação mostrada na Figura 13. Seja uma superfície fechada S. Suponhamos que no
seu interior haja uma partícula portadora de certa quantidade da propriedade qc responsável pela
existência do campo C (massa ou carga elétrica, por exemplo).
Superfície
fechada.
C
n
r
qc
S
Figura 13 – Superfície gaussiana e os vetores C e n.
Podemos calcular o fluxo do campo C através da superfície S usando a definição de fluxo:
 S   C.nds .
S
Se soubermos o valor de C em cada ponto da superfície S e o ângulo desse vetor com o vetor
normal à superfície, n, em cada ponto.
Esse cálculo nem sempre é fácil de fazer e, muitas vezes, queremos saber o valor de C sobre a
superfície a partir do valor do fluxo do campo.
Quando temos uma situação de alta simetria esse cálculo é enormemente simplificado se usarmos
a Lei de Gauss. Essa lei relaciona o fluxo do campo C à quantidade da propriedade qc dentro da
superfície S. A Lei de Gauss estabelece que se a partícula fonte do campo está dentro da superfície
S então o fluxo do campo é certa constante, a qual depende do campo considerado, vezes o valor
de qc. Se, por outro lado, a quantidade qc não está dentro da superfície S o valor do fluxo do
campo C é zero. A demonstração da Lei de Gauss exige o uso de matemática avançada e, por isso,
não a demonstraremos aqui, apenas a enunciaremos:
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19
Lei de Gauss
Seja um campo vetorial C , criado por partículas portadoras da
propriedade qc. O módulo de C depende do inverso do quadrado
do módulo da distância da fonte até o ponto considerado (
| C |~1/| r |2 ). O fluxo de C , através de uma superfície fechada S,
é dado por:
c qc se qc estiver no volume limitado por S
 S   C.nds  
0 se qc não estiver no volume limitado por S
S
eq. 13
A constante c que aparece na expressão da Lei de Gauss depende do campo considerado. Por
exemplo, no caso gravitacional essa constante é -4G, G sendo a Constante da Gravitação
Universal. No caso eletrostático, essa constante vale 1/0 (0 é chamada de permissividade do
vácuo, cujo valor será definido mais adiante). A quantidade qc é a massa no caso gravitacional e a
carga elétrica no caso eletrostático.
A eq. 13 é válida tanto para uma partícula como para um corpo extenso, totalmente contido em S.
Observe que na Lei de Gauss, a posição em que a partícula está dentro da superfície S não
importa. Na Figura 13, desenhamos a partícula no centro da superfície, na origem do sistema de
referências, mas esse fato não influencia o resultado obtido.
Podemos usar a Lei de Gauss junto com o princípio da superposição para calcular o fluxo de um
corpo extenso, entendido como um corpo que pode ser decomposto em inúmeras partículas. Veja
a Figura 14.
Podemos escrever o campo total em qualquer ponto do espaço, com sendo a soma dos campos
criados por cada um dos elementos de volume no ponto considerado. Assim no ponto P, por
exemplo, o campo C será dado por:
C  C1  C2  ...  Cn
Pela Lei de Gauss, o fluxo criado pelo campo de cada partícula, em uma superfície S qualquer será
dado por:
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20
 C .nds   q
1
eq. 14
c 1c
S
r
P
Elemento de volume 1
Elemento de volume 2
Elemento de volume 3
Elemento de volume n
Figura 14 – Cálculo do fluxo do campo de um corpo extenso.
Se somarmos agora sobre todos os fluxos, teremos o fluxo total que atravessa a superfície S:
n
n
 n

 n 
    i    Ci .nds    Ci .n ds    Ci .nds
i 1
i 1 S


S  i 1
S  i 1
   C.nds
S
Por outro lado, se somarmos sobre o lado esquerdo da eq. 14, obteremos:
n
n



q


q


Q
Q


c ic
c  ic
c c
 c  qic 
i 1
i 1
i 1


n
Reunindo esses dois resultados, podemos então escrever a Lei de Gauss para um corpo extenso:
 C.nds   Q
c
c
S
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eq. 15
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Na eq. 15, a quantidade Qc que aparece no lado direito é a quantidade líquida6 da propriedade qc
dentro da superfície S. Como antes, se a quantidade líquida da propriedade que cria o campo C for
nula dentro da superfície S teremos o fluxo nulo.
A Lei de Gauss é extremamente útil para calcularmos o módulo do campo C quando temos
situações com alto grau de simetria. Isso porque temos que realizar a integração do produto
escalar do vetor C e do vetor unitário n, o que pode ser difícil de ser feito se não tivermos
simetria. Por exemplo, considere a Figura 15, na qual mostramos uma situação desse tipo.
Observe que o produto C.n é diferente em cada ponto da superfície mostrada.
Superfície S.
n
C
C
n
Figura 15.
Interação gravitacional entre partículas: o Campo Gravitacional (g
g)
Denominamos de Gravitação Newtoniana (ou Lei da Gravitação de Newton) a lei formulada por
Isaac Newton7 que descreve uma propriedade intrínseca da matéria: atração entre corpos que
contêm massa. Além da própria importância dessa teoria para descrever vários fenômenos, ela
representa historicamente o triunfo de um processo de produzir conhecimento iniciado por
Galileu Galilei8: experimentação, linguagem matemática e previsão de fenômenos. Estas etapas,
tão comuns hoje na produção do saber científico, não eram importantes até o século XVII. Desde a
antiguidade até o Renascimento prevaleceu nas civilizações ocidentais o conhecimento do mundo
físico baseado apenas no senso-comum e nas ideias do filósofo grego Aristóteles.
Isaac Newton nasceu na Inglaterra e em 1664 foi forçado a se isolar em uma fazenda devido a uma
peste que assolava a Europa. Newton ficou nesse local por dois anos, aproximadamente. Durante
6
Veja que no caso elétrico, como as cargas têm sinais opostos, a quantidade líquida é obtida a partir da soma algébrica das cargas,
levando-se em conta o sinal.
7
Isaac Newton (1642-1727)): filósofo, matemático, físico e astrônomo. Inglês.
8
Galileu Galilei (1564-1642): filósofo, matemático, físico e astrônomo. Italiano.
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esse período, dedicou-se ao estudo de fenômenos da Ótica, da Mecânica Celeste e da Dinâmica
dos corpos perto da superfície da Terra, entre outros assuntos. Nos anos de 1664 e 1665 concebeu
conceitos físicos que somente alguns anos mais tarde puderam ser demonstrados
matematicamente, graças à criação e ao desenvolvimento do cálculo diferencial e integral pelo
próprio Newton e, paralelamente, por Leibniz9.
Os resultados da aplicação da Gravitação Newtoniana aos fenômenos da natureza foram tão bons
que essa teoria passou a ser tratada como verdade inquestionável pela maioria dos físicos durante
os duzentos anos seguintes. A explicação do movimento dos astros, das marés, do lançamento de
projéteis, etc., são exemplos do sucesso de seu emprego. Somente com o advento da Teoria da
Relatividade Geral em 1915 é que os limites de aplicabilidade da Gravitação Newtoniana ficam
determinados.
Estudos históricos10 levantam a hipótese de que o conceito de uma interação entre os corpos
materiais proporcional ao inverso do quadrado da distância entre eles seria de autoria de Robert
Hooke11, um físico contemporâneo de Newton (Hooke teria proposto a teoria dessa interação,
mas nunca a teria desenvolvido ao ponto em que Newton o fez). A briga pela autoria desse
conceito teria sido a causa da inimizade entre eles. Além disso, Newton polemizou com Leibniz
pela autoria do Cálculo Integral e Diferencial. Uma das grandes contribuições de Newton, talvez a
maior de todas, foi acreditar que as leis que governam o mundo celeste são as mesmas que
governam a queda da maçã. Com Newton se inicia definitivamente o pensamento científico
moderno.
Massa inercial e massa gravitacional
Vimos no Capítulo III do Volume I que a lei da inércia nos diz que em um Sistema de Referências
Inercial uma partícula mantém o seu estado de movimento inalterado se sobre ela não agir
nenhuma força. Naquele contexto, definimos força como sendo a ação de algum agente externo
ao sistema (a partícula no nosso caso) capaz de alterar o estado de movimento e que a
propriedade das partículas (e também da energia) de opor resistência a essa mudança é chamada
de inércia e sua medida é a massa. Essa massa, entendida como uma medida da inércia da
partícula (ou de qualquer porção de matéria ou energia) recebe o nome de massa inercial. É essa
9
Wilhelm Leibniz (1646-1716): matemático alemão.
10
http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/HistTopics/Orbits.html, acessado em 19 de fevereiro de 2004.
11
Robert Hooke, 1635-1703.
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23
massa inercial que entra na Segunda Lei de Newton: F 
dp
 mi a (o índice i indica que estamos
dt
falando da massa inercial).
No estudo da gravitação, contudo, surge a pergunta: qual a propriedade das partículas que as faz
atraírem umas as outras? Qual a fonte do campo gravitacional? Essa propriedade, digamos, por
analogia, a carga gravitacional, é também medida por uma quantidade chamada de massa, mas
essa massa, para diferenciá-la da massa inercial recebe o nome de massa gravitacional, a qual
indicaremos por mg. Quando a única força que age em um objeto é a força gravitacional, então
podemos escrever:
Fr  Fg
Adiantando um pouco o que veremos mais adiante, perto da superfície da Terra a força
gravitacional é dada simplesmente pelo produto da massa gravitacional pela aceleração
gravitacional, g. Então podemos escrever:
mi a  mg g
Dessa equação podemos ver que a aceleração da partícula será a aceleração gravitacional se e
somente se a massa gravitacional (mg) for igual à massa inercial (mi).
Esta equivalência, só foi completamente compreendida com o desenvolvimento da Teoria Geral da
Relatividade (Princípio da Equivalência) por Albert Einstein12 em 1915. Modernamente se assume
que a massa inercial, a qual mede a inércia, e a massa gravitacional, a qual mede a carga
gravitacional, são uma mesma e única quantidade. Falamos então simplesmente da massa de
certa porção de matéria ou quantidade de energia.
Campo gravitacional de uma partícula pontual (g
g)13
Partículas com massa possuem a propriedade de modificar o espaço a sua volta de tal forma que
outras partículas com massa são atraídas por elas. O campo gravitacional é sempre atrativo, o que
12
13
Albert Einstein, 1879 – 1955.
No que segue, derivaremos a lei da gravitação universal com base nos experimentos da balança de torção realizados por
Cavendish, mais de 100 anos após o trabalho de Newton baseado na observação astronômica. Com base nessas observações, a
derivação da Lei da Gravitação Universal pode ser encontrada em vários livros de Física. Veja, por exemplo, o texto de Nussensveig
nas referências bibliográficas.
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significa que duas partículas com massa não se repelem mutuamente. Esse é um ponto
interessante que diferencia o campo gravitacional dos outros campos que veremos mais adiante.
Os outros campos conhecidos pela Física são ora atrativos ora repulsivos. A explicação do campo
gravitacional pertence ao domínio da Relatividade Geral e foge ao escopo deste texto. No entanto,
podemos apontar que a unificação (se possível) do campo gravitacional aos outros campos
conhecidos (eletromagnético, nuclear forte e nuclear fraco) é o grande desafio da Física neste
início de século14.
Já vimos antes que o conceito de ação à distância coloca uma questão incômoda: como uma
partícula “sabe” que a outra mudou sua posição e que a força que experimenta deve ser alterada?
Veja a Figura 16. Nessa figura, mostramos o movimento de uma partícula de massa m sob a ação
de outra partícula de massa M (colocada na origem por simplicidade) em dois pontos da trajetória,
localizados pelos vetores r1 e r2. Como a partícula fonte do campo sabe das modificações de
posição da partícula de massa m? Isto implica em uma comunicação instantânea entre as duas
partículas, o que é vedado pela Relatividade Restrita que nos ensina que a maior velocidade com a
qual a informação pode se propagar é a velocidade da luz, c15.
z
m
rˆ 
r1
m
r
r
r2
M
y
x
Figura 16 – Interação gravitacional entre duas partículas.
Experimentalmente, aprendemos que a força experimentada por uma partícula devido ao campo
criado por outra partícula depende, basicamente, de dois fatores:
a) Da massa da partícula que cria o campo
14
Como já comentamos anteriormente essa afirmação seria estritamente verdadeira até a alguns anos. Atualmente, com a
possibilidade ainda não comprovada, da existência da Energia Escura, cuja interação gravitacional seria repulsiva, essa
característica da força gravitacional, tal como a conhecemos atualmente, pode não ser verdadeira.
15
Aproximadamente 300.000 km/s.
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Quanto maior a massa da partícula que cria o campo maior o efeito do campo sobre outras
partículas. Podemos expressar isto matematicamente dizendo que o campo é, em módulo,
diretamente proporcional à massa da fonte16:
|g | M
b) Da distância entre o ponto onde o campo é calculado e a fonte do campo
A ação de uma partícula decai com o inverso do quadrado da distância à fonte. Se
chamarmos de r o vetor que une o ponto analisado e a posição da fonte, então (r |r|):
| g |
1
r2 .
Estes dois resultados experimentais são complementados por um terceiro resultado: a ação do
campo ocorre ao longo da linha que une o ponto onde o campo está sendo calculado e a posição
da fonte (veja a Figura 16). O vetor unitário nesta direção, se colocarmos a fonte na origem do
sistema de referência, pode ser escrito simplesmente como rˆ  r . Observe que o sentido desse
r
vetor é o mesmo do vetor r.
Reunindo esses resultados, podemos escrever que o campo gravitacional g criado por uma
partícula de massa M, situada na origem do sistema de referência, é dado pelo produto dos dois
resultados parciais acima, com uma constante de proporcionalidade:
g  G
Mr
r2 r
eq. 16
O sinal negativo é colocado para indicar o caráter atrativo do campo gravitacional, já que o sentido
da força é da partícula de massa m para a partícula de massa M.
A constante G é chamada de Constante da Gravitação Universal e seu valor é (nas unidades do
Sistema Internacional, SI):
G  6,67  1011
16
Nm2
.
kg2
O símbolo  lê-se: diretamente proporcional a.
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Lembrando da nossa definição de campo, se uma partícula de massa m for colocada na posição r,
essa partícula experimentará uma força dada por:
Fg  mg   G
mM r
r2 r
eq. 17
Você deve observar que a quantidade g é a aceleração que a partícula de massa m experimentaria
se colocada na posição r:
a
F
Mr
 G 2  g.
m
r r
No caso específico da Terra, perto da superfície, dados experimentais mostram que a aceleração
provocada pelo campo gravitacional é aproximadamente constante, com módulo 9,81 m/s 2.
Portanto, nas proximidades da superfície da Terra, o módulo da força que a partícula experimenta
(chamada de força peso, símbolo P) é dado por:
P = m g = 9,81m N (a massa dada em quilogramas)
Caso nenhuma das partículas esteja na origem temos a situação mostrada na Figura 17. Nesse
caso, a expressão do campo gravitacional criado pela partícula fonte (m1) é um pouco mais
complicado, pois envolve o vetor que localiza a partícula fonte do campo e o vetor que localiza o
ponto onde o campo está sendo calculado (r1 e r2 respectivamente):
g G
m1
r1  r2
2
| r1  r2 | | r1  r2 |
eq. 18
Essa expressão nos fornece o vetor campo gravitacional criado pela partícula de massa m1,
localizada na posição r1, na posição indicada pelo vetor r2.
Se colocarmos uma partícula de massa m2 na posição indicada pelo vetor r2 então essa partícula
experimentará uma força dada por (painel b da Figura 17):
F12  m2g1  F12  G
m1m2 r1  r2
mm
 G 12 2 rˆ12
2
| r1  r2 | | r1  r2 |
r12
eq. 19
O índice em g indica que estamos falando do campo criado pela partícula de massa m1 na posição
da partícula de massa m2. Observe que o sinal negativo está automaticamente contido no vetor
r12  r1 – r2, o qual aponta da partícula de massa m2 para a partícula de massa m1. Na eq. 19, r12 é
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o módulo da distância entre as duas partículas. Observe que nessa equação o sentido da força
r
gravitacional e sua direção são dados pelo vetor unitário rˆ  12
r12
. Portanto, tem sentido da
partícula 2 para a partícula 1. É comum denominarmos a partícula 1 de carga fonte ou massa fonte
e a partícula 2 de carga objeto ou massa objeto.
Figura 17 - Partículas interagindo via força gravitacional quando nenhuma das partículas
m1
z
r12
g
z
r1
m1
r12
F12
m1
r1
r2
r2
y
y
(a)
(b)
x
está na origem. (a) campo criado pela partícula 1 na posição indicada pelo vetor r 2 ; (b)
Força gravitacional experimentada pela partícula 2 colocada na posição indicada pelo
vetor r 2 .
Pela Lei da Ação e Reação (3ª Lei de Newton) podemos escrever que:
F21   F12
eq. 20
Nessa expressão, F21 é a força gravitacional exercida sobre a partícula 1 devido à partícula 2. Como
todas as forças de Ação e Reação, elas não se cancelam porque são aplicadas em corpos
diferentes. Essas forças tendem a aproximar as partículas, alterando o valor da distância que as
separa. Conseqüentemente, seus valores mudam com o tempo.
Mais do que uma simples notação matemática, o conceito de campo gravitacional tem um
significado físico importante. Podemos interpretar o campo gravitacional como sendo a
modificação das propriedades do espaço em torno da partícula de massa m devido ao fato desta
ter massa gravitacional. Se modificarmos a grandeza m, o valor do campo gravitacional devido à
partícula também é modificado em todos os pontos do espaço. Mantido constante o valor da
massa da partícula (m) o campo gravitacional criado por ela depende exclusivamente da distância
do ponto considerado à partícula fonte do campo. Esta é uma maneira de solucionar o problema
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da ação à distância percebido por Newton, em que corpos distantes são capazes de perceber a
presença uns dos outros e interagirem entre si, mesmo na ausência de um meio material entre
eles.
Consequências da gravitação universal: as Leis de Kepler
Conta a lenda, que Newton, quando procurado por Halley17, ao ser perguntado qual seria a forma
da órbita de um cometa, respondeu que seria uma elipse. Incrédulo com a pronta resposta, Halley
perguntou como Newton tinha conhecimento disso. Newton simplesmente respondeu que havia
calculado essa órbita alguns anos antes: qualquer objeto que orbitasse o Sol seguiria uma lei do
inverso do quadrado da distância e a trajetória imposta por esta dependência seria uma elipse
com o Sol em um dos seus focos.
A forma da órbita de um planeta é um dos capítulos mais interessantes da Física, o qual vem
sendo escrito desde a Antiguidade. Você provavelmente já estudou essa história em um curso de
História da Física (ou outro equivalente).
As leis que governam o movimento dos planetas em torno do Sol (e de qualquer objeto sujeito à
atração gravitacional de outro) são conhecidas como Leis de Kepler, em homenagem a Johanes
Kepler, o primeiro a enunciá-las18. Kepler havia trabalhado com o astrônomo Tycho Brahe, do qual
herdou uma série extremamente precisa de observações astronômicas sobre o movimento dos
planetas. Trabalhando em cima desses dados observacionais, Kepler foi capaz de identificar as três
leis do movimento planetário que levam o seu nome. É importante observar que o trabalho de
Kepler é um trabalho típico de indução: dado um conjunto particular de dados, Kepler obtém as
leis do movimento planetário e as generaliza. O trabalho de Newton, no entanto, é um trabalho de
natureza dedutiva: supondo que a lei que liga os planetas ao Sol obedece a uma dependência com
o inverso do quadrado da distância, Newton obtém as órbitas do movimento planetário,
recuperando as Leis de Kepler. Em certo sentido, um trabalho complementa o outro.
As três Leis de Kepler para o movimento planetário nos dizem que:
17
Veja um resumo da biografia de Halley em http://pt.wikipedia.org/wiki/Edmond_Halley.
18
Veja uma pequena biografia de Kepler no endereço http://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler.
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Lei das Órbitas
As órbitas dos planetas são elipses e o Sol fica localizado em um
dos focos dessa elipse;
Lei das Áreas
O vetor que liga o Sol aos planetas varre áreas iguais em tempos
iguais;
Lei dos Períodos
O quadrado do período dos planetas é proporcional ao cubo do
raio maior de sua órbita.
Vamos agora interpretar cada uma dessas leis.
A Primeira Lei de Kepler, Lei das Órbitas expressa o fato de que o movimento dos planetas em
torno do Sol não é um círculo, como queriam os antigos gregos e escolásticos, mas uma elipse. O
Sol ocupa um dos focos dessa elipse. Deve-se, contudo, ter cuidado e observar que, embora sejam
elipses, essas elipses são quase um círculo, com uma excentricidade muito pequena19. De fato a
representação das órbitas dos planetas mostradas nos livros textos exagera um pouco a forma
dessa elipse (veja a Figura 18). Para obter essa Lei devemos fazer uso de recursos matemáticos
mais avançados dos que dispomos nesse momento. Você poderá comprovar esse fato em cursos
avançados de Mecânica Clássica.
A Segunda Lei de Kepler nos diz que o segmento de reta que une o planeta ao Sol percorre áreas
iguais em tempos iguais. Uma as consequências dessa lei é que a velocidade angular dos planetas
é diferente em diferentes pontos da órbita: quando o planeta está mais próximo do Sol a
velocidade é maior do que quanto está mais afastado. Na Figura 18 representamos essa situação.
Considere que o raio vetor do planeta se desloque da posição localizada pelo vetor r para a
posição localizada pelo vetor r+dr em certo intervalo de tempo dt.
19
A excentricidade e de uma elipse é definida de tal modo que o produto ea (a o raio menor da elipse) seja igual à distância entre o
centro da elipse e qualquer um dos dois focos. Usando o teorema de Pitágoras podemos escrever que a excentricidade da elipse é
dada por:
e  1
b2
a2
, a e b sendo os raios maior e menor da elipse. Veja que para o círculo, e = 0, já que em um círculo os
raios maior e menor são iguais e os dois focos e o centro coincidem, portanto.
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Raio menor da
elipse
Planeta
Órbita
r

Afélio
Periélio
Sol
Raio maior da
elipse.
Figura 18 – Órbita de um planeta em torno do Sol. A elipse está exagerada para fins de
clareza.
Nesse tempo, o deslocamento angular foi d. Então a velocidade angular será dada por:   d
dt
r
d
d’
r’ + dr’
r + dr
r’
Sol
Figura 19 – Área coberta pelo raio vetor do planeta em dois intervalos de tempo iguais.
Por outro lado, para um deslocamento angular suficientemente pequeno, a área entre os dois
vetores (r e r+dr) será dada aproximadamente por:
1
1
dA  r(rd)  r 2d
2
2
A variação dessa área no tempo será dada por:
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dA 1 2 d 1 2
 r
 r
dt 2 dt 2
eq. 21
Vamos analisar agora o momento angular do planeta. Esse momento angular, em módulo é dado
por:
L  rp  mrv  L  mr(r )  mr 2
eq. 22
Nessa expressão foi usado que v=r e que os vetores r e p são perpendiculares entre si.
Comparando as equações eq. 21 e eq. 22 vemos que podemos escrever a variação da área
percorrida pelo planeta no intervalo de tempo dt como:
dA 1 2
1
 r 
L
dt 2
2m
Entretanto, o planeta e o Sol formam um sistema fechado e, pela conservação do momento
angular, a taxa instantânea de variação da área percorrida pelo planeta também será constante. O
que vem a ser justamente a Segunda Lei de Kepler.
Vamos agora analisar a Terceira Lei de Kepler. Para obtê-la faremos uso do fato de que as órbitas,
apesar de serem elipses, podem ser aproximadas por uma circunferência, já que a excentricidade
da elipse é pequena. Assim, podemos escrever que a força centrípeta sobre o planeta é a força
gravitacional:
GMs m mv2 m(r )2


 mr 2
2
r
r
r
Vamos usar agora a relação entre o período T e a freqüência angular, :   2 . Logo, podemos
T
escrever que:
2
GMs m
GM  2 
 mr 2  3 s   
2
r
r
T 
 42
T2  
 GMs
 3
r

A eq. 23 vem a ser justamente a Terceira Lei de Kepler.
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eq. 23
Curso de Física Básica – Volume II
32
Interação elétrica entre partículas: o Campo Elétrico (E
E)
A carga elétrica é outra propriedade das partículas capaz de alterar o espaço no entorno da
partícula, criando um campo: o campo elétrico.
Diferentemente do campo gravitacional, o campo criado por partículas com carga elétrica pode
ser de natureza atrativa ou repulsiva. Da observação dos experimentos sabemos que existem dois
tipos de carga elétrica que são chamados, arbitrariamente, de positivo e negativo. A razão pela
qual existem somente dois tipos de carga elétrica é desconhecida. O fato é que partículas
portadoras de carga elétrica de mesmo tipo se repelem enquanto que partículas portadoras de
carga elétrica de tipos diferentes se atraem. A carga elétrica de uma partícula é medida pela
quantidade de carga elétrica de que a partícula é portadora. Utilizaremos para simbolizar a
quantidade de carga elétrica a letra q. Esta quantidade pode ser positiva (indicando uma carga
elétrica de tipo positivo) ou negativa (indicando uma carga elétrica de tipo negativo). A unidade de
medida da carga elétrica é o Coulomb20.
Também da observação experimental sabemos que existe um valor mínimo de quantidade de
carga elétrica: a quantidade de carga elétrica dos elétrons (carga elétrica de tipo negativo) ou dos
prótons (carga elétrica de tipo positivo). As quantidades de carga elétrica de todas as outras
partículas sendo múltiplos inteiros da quantidade de carga elétrica destas partículas fundamentais.
Indicamos a quantidade de carga elétrica de um elétron por – e enquanto que a quantidade de
carga elétrica de um próton é indicada pela letra e21. Com essa notação, a quantidade de carga
elétrica de uma partícula qualquer será dada por (n é um número inteiro): q = ne (carga elétrica de
tipo positivo) ou q = -ne (carga elétrica de tipo negativo).
Partículas com carga elétrica modificam o espaço a sua volta de forma muito semelhante às
partículas com massa:
1. Quanto maior a quantidade de carga elétrica da fonte, mais a partícula de teste é acelerada
pelo campo:
E Q
20
Lê-se Culom. Esse nome foi escolhido em homenagem ao físico francês Charles Augustin de Coulomb (nascido em 14 de Junho
de 1736 em Angoulême e morto em 23 de Agosto de 1806 em Paris).
2121
No Sistema Internacional de unidades e = 1,6 x 10
-19
C.
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33
2. Quanto mais próxima da fonte, mais a partícula de teste será acelerada pelo campo. Do
mesmo modo que para o campo gravitacional, o campo elétrico de uma partícula depende
com o inverso do quadrado da distância à fonte do campo:
E
1
r2
Também como o campo gravitacional, o campo elétrico de uma partícula atua na direção
da linha que une a partícula fonte do campo e a partícula de teste (veja a Figura 20).
No entanto, diferentemente do campo gravitacional, para o qual somente existe um tipo de
massa, as cargas elétricas podem ser de dois tipos. Conseqüentemente, o sinal da carga de teste é
importante na determinação do sentido do campo elétrico. Se a carga de teste fosse do mesmo
tipo que a carga da partícula que cria o campo então o sentido do campo elétrico seria na direção
do vetor r̂ e caso a carga da partícula teste fosse de tipo diferente da carga da partícula que cria o
campo o sentido do campo seria oposto ao do vetor r̂ . Para evitar essa ambiguidade, define-se,
arbitrariamente por certo, que o sentido do campo elétrico em uma dada posição indicada pelo
vetor r será dado pelo sentido da aceleração experimentada por uma partícula de teste com carga
positiva colocada nessa posição.
Reunindo esses resultados, o campo elétrico E criado por uma partícula colocada na origem do
sistema de coordenadas, a qual tem certa quantidade de carga Q, será dado por:
Ek
Qr
r2 r .
r̂
Fonte
do
campo (Q)
r
carga de prova
(de tipo positivo)
Figura 20 - Carga de prova para determinação do campo elétrico.
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34
Nesta expressão, o vetor r é o vetor que localiza a carga de teste em relação à origem (onde a
fonte do campo está colocada).
A força elétrica Fe experimentada pela carga de prova será dada pelo produto da quantidade de
carga da carga de prova (que simbolizaremos pela letra q) pelo valor do campo:
Fe  qE  k
qQ r
r2 r
eq. 24
O estudante deve observar a semelhança formal entre esta expressão para a força elétrica e a
expressão anterior para o campo gravitacional (eq. 16).
A constante k que aparece na eq. 24 depende do sistema de unidades utilizado. No Sistema
Internacional de Unidades (SI), essa constante é dada por:
k
1
 8,99  109 N.m2 / C2
40
A constante 0 é chamada de permissividade elétrica do vácuo, e seu valor é:
0  8,85 1012 C2 . m2 / N . Cabe aqui um comentário a respeito dos diferentes sistemas de
unidades e o eletromagnetismo. Diferentemente dos problemas em Mecânica, onde o sistema de
unidades utilizado não interfere na forma final das equações, no Eletromagnetismo deve-se ter
muito cuidado com a definição clara de qual sistema de equações se está utilizando, pois a forma
das equações se modifica caso mudemos de sistema de unidades. Por exemplo, no sistema CGS a
eq. 24 seria escrita como:
Fe  qE 
qQ r
.
r2 r
Ou seja, a constante k vale 1 nesse sistema de unidades. Ao longo desse texto usaremos sempre o
Sistema Internacional de unidades (SI).
Observe que no que foi exposto acima, a posição da partícula que cria o campo é considerada
constante. Logo, o campo elétrico criado por essas partículas também é constante e não varia no
tempo. As situações em que essa hipótese é válida compõem o domínio da Eletrostática22. No
domínio da Eletrostática, apenas cargas elétricas podem criar campos elétricos. Mais adiante
22
O campo calculado a partir da hipótese de que as cargas estão em repouso é chamado de campo eletrostático algumas vezes.
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35
estudaremos situações onde cargas elétricas podem se movimentar (criando correntes elétricas e
estas, campos magnéticos). Nessa situação, se a corrente elétrica variar no tempo, então haverá
campos magnéticos variando no tempo. Esses campos magnéticos que variam no tempo também
podem ser fontes de campos elétricos.
Exemplo 2 - Cálculo de campos elétricos: o dipolo elétrico.
Como um primeiro exemplo de aplicação do cálculo do campo elétrico, consideremos um sistema
de duas cargas pontuais de cargas opostas, separadas por uma distância d. As duas cargas elétricas
são iguais em módulo (qd > 0). Chamamos a esse tipo de arranjo de dipolo elétrico (veja a Figura
21).
d/2
-q
-
q
+
Figura 21 – o dipolo elétrico.
Consideremos agora a seguinte pergunta: Qual a ação de um campo elétrico sobre o dipolo?
Para responder a essa pergunta, vamos considerar um dipolo em uma região onde temos um
campo elétrico uniforme. Podemos, sem perda de generalidade, chamar a direção do campo
elétrico como sendo o eixo y. Consideraremos a situação na qual o dipolo está no plano (y,z) e o
eixo do dipolo faz um ângulo  com a direção y, a direção do campo elétrico uniforme. Veja a
Figura 22 na qual não mostramos o eixo x por simplicidade.
Nessa situação, as cargas elétricas que compõem o dipolo experimentarão uma força elétrica dada
por:
F  qd E
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Como as cargas são iguais em módulo, o módulo da força elétrica em cada uma delas será igual, já
que o campo elétrico é uniforme (o mesmo em todo o espaço). Contudo, as forças elétricas
aplicadas nas duas cargas têm sentidos diferentes: enquanto a força aplicada na carga positiva
aponta para a direita, no sentido positivo do eixo y, a força aplicada na carga negativa aponta para
a esquerda, no sentido negativo do eixo y. Portanto, a força resultante aplicada sobre o sistema
será nula: Fr  F  F  0 (F+ é a força que atua na carga positiva e F- é a força que atua na carga
negativa).
E
z
q
+

y
-
-q
Figura 22 – O dipolo elétrico na presença de um campo elétrico uniforme.
Embora a força resultante seja nula, existe um torque atuando sobre o dipolo. Vamos calcular esse
torque aplicando a definição de torque:
τ  r F
eq. 25
O torque total sobre o dipolo será escrito como a soma dos torques sobre cada uma das partículas
do dipolo:
τ  τ  τ .
Escrevendo estes torques explicitamente:
τ   r  F    r  F   qd r  E  qdr  E
Nesta expressão, os subscritos + e – indicam os torques calculados sobre as partículas do dipolo
com carga positiva e negativa respectivamente.
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37
O torque que atua em cada partícula tem direção perpendicular ao vetor r e ao vetor E. Portanto,
esse torque atua na direção x. Tomando o dipolo no plano (y,z) e a força que atua na carga
positiva será na direção +y, portanto, o torque que atua na carga positiva terá o sentido dado por:
τ   qd r  E  qd ( ye y  ze z ))  (Ee y )
τ   qd ( yE )e y  e y  qd ( zE )e z  e y
τ   qd ( zE )e x
Logo, o torque que atua na carga positiva será no sentido negativo do eixo x. Para a carga
negativa, a componente no eixo z será dada por –z, mas, por outro lado, a força terá sentido –y.
Obteremos, portanto, o mesmo resultado:
τ   qd r  E  qd ( ye y  ze z )) (Ee y )
τ   qd ( yE )e y  e y  qd ( zE )e z  e y
τ   qd ( zE )e x
.
A coordenada z que aparece na expressão do torque Pode ser escrita em função do módulo do
vetor r, que localiza cada uma das cargas do dipolo, e do ângulo  mostrados na Figura 22 como:
z  r sen(θ) .
Logo, o módulo do torque que atua sobre cada uma das partículas será dado por:
| τ  |= qd rEsen()
| τ  |= qd
p
d
Esen()  d Esen();
2
2
 pd  qdd 
.
Nessa expressão, pd é chamado de momento de dipolo elétrico. Essa quantidade tem um caráter
vetorial e, por definição, é um vetor que aponta da carga negativa em direção à carga positiva e
cujo módulo é dado por: pd  qd d (veja a Figura 23).
O módulo do torque total será a soma desses dois torques:
| τ |= 2| τ  | qd dEsen()  pd Esen()
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eq. 26
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-
pd
+
Figura 23 – O momento de dipolo
Na eq. 26, vemos que o módulo do torque é dado pelo produto do módulo do momento de dipolo
elétrico pelo valor do campo elétrico multiplicado pelo seno do ângulo entre os dois vetores, o
que tem a mesma estrutura do módulo de um produto vetorial .
z
+
-
pd
E
y
E
pd
E

Detalhe
com
o
torque desenhado
Figura 24 – Torque em um momento de dipolo.
Podemos então generalizar essa equação, escrevendo-a na forma vetorial:
τ  pd  E
eq. 27
Atuado por esse torque, o dipolo começará a girar no sentido horário (veja a Figura 24).
Contudo, pela eq. 26, vemos que o valor do torque diminui na medida em que o dipolo se alinha
com o campo elétrico E, uma vez que o ângulo entre os vetores momento de dipolo e campo
elétrico, , vai a zero. Quando o momento de dipolo elétrico e o campo elétrico estiverem
exatamente alinhados o torque é nulo. Se estivéssemos em uma situação de equilíbrio não haveria
rotação. Entretanto, o dipolo possui velocidade angular no momento em que se alinha com o
campo e, movido por sua inércia, continua seu movimento de rotação em torno do eixo x. Quando
estiverem novamente desalinhados, o sentido do torque inverte, uma vez que a posição relativa
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das duas cargas inverteu em relação ao eixo z, e o torque agora age para diminuir o movimento de
rotação do dipolo, até que este pare e inverta seu sentido de rotação. Esse tipo de movimento é
chamado de oscilação. Se não houver perda de energia, esse movimento continuará
indefinidamente.
Exemplo 3 – Campo elétrico criado por um dipolo ao longo do seu eixo.
Vamos agora calcular o campo elétrico de um dipolo ao longo do eixo que une as duas cargas de
umdipolo. Por simplicidade, e sem perda de generalidade, podemos colocar o dipolo orientado ao
longo do eixo y (veja a Figura 21).
O campo do dipolo em um ponto y qualquer será a soma dos campos elétricos criados pelas duas
cargas nesse ponto:
E  E  E
E
qd
qd
1
1
ey 
ey
2
40 ( y  d / 2)
40 ( y  d / 2)2
E
qd 

1
1


2
2
40  ( y  d / 2) ( y  d / 2) 
E
qd 

1
1

e
2 
2
2 y
40 y  (1  d / 2 y ) (1  d / 2 y ) 
eq. 28
A expressão acima é geral e exata. Contudo, em situações nas quais a distância do ponto onde o
campo está sendo calculado e a origem é muito maior do que a distância entre as duas cargas (d),
podemos obter uma expressão aproximada para o campo do dipolo usando uma técnica
matemática chamada expansão em série. Essa técnica consiste em escrever uma função cujo valor
não conhecemos como uma soma de infinitos termos escritos a partir de funções conhecidas. Essa
técnica é útil quando pudermos aproximar a função que desconhecemos com apenas alguns
termos da série. Naturalmente que ao fazermos isso cometemos um erro. Porém, se o erro for
pequeno para todos os efeitos práticos o resultado obtido nos servirá. Não demonstraremos aqui
o resultado que usaremos. A demonstração você fará no curso de Cálculo.
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Considere a função: f ( x )  (1  x )2 no intervalo -1≤ x ≤1. A expansão em série dessa função nos
diz que ela pode ser escrita como23:
f ( x )  (1  x )2  1  2x  3x 2  4x 3  ....
Se o valor de x for muito pequeno, os termos proporcionais a potências de x maiores ou iguais a 2
serão muito menores do que os termos proporcionais a x0 e x. Logo, para essa situação podemos
aproximar:
(1  x )2  1  2x
Quanto menor o valor de x, menor será o erro cometido ao fazer essa aproximação. Por exemplo,
para x = 0,001, obtemos a partir da expressão exata que f(x) = 0,9980029 enquanto que a
expressão aproximada nos dá f(x) = 0,998.
Vamos usar esse resultado na expressão para o campo do dipolo elétrico (eq. 28). Nesse caso
temos que x =  d/2y. Assim as parcelas se escrevem:
1
d
1
2
( y  d / 2 y)
y
1
d
1
2
( y  d / 2 y)
y
Usando esse resultado podemos escrever o campo elétrico do dipolo como:
E
qd 
d 
d 
1     1   e y
2 
40 y 
y 
y 
E
qd  d
d 
q 2d

ey 
ey

2 
40 y  2 y 2 y 
40 y 2 y
E
qd d
ey
20 y3
pd
E
ey
20 y3
23
Veja Spiegel, Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas.
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eq. 29
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41
Observe que na eq. 29, a dependência com o inverso do cubo da distância do ponto à origem do
sistema de coordenadas, onde está localizado o dipolo. Este resultado é diferente do resultado
para o monopólo, uma única carga, para o qual a dependência cai com o inverso do quadrado da
distância. Ou seja, na medida em que a distância da origem vai ao infinito, diz-se que o campo do
monopólo cai mais lentamente que o campo do dipolo.
Os campos de outras configurações de carga, como o quadrupolo24 e o octupolo25 podem ser
obtidos da mesma maneira. Esses campos são importantes no cálculo de campos de objetos com
uma forma qualquer, colocado na origem, para pontos distantes da origem. Nesse caso, o campo
do corpo extenso pode ser escrito como uma soma de campos criados por monopólos, dipolos,
quadrupolos, etc., calculados de forma conveniente. Esse cálculo vai além do limite de um curso
de Física Básica, devido à complexidade da matemática envolvida, e é visto apenas em cursos
avançados de Eletromagnetismo.
Campos de corpos extensos
O cálculo do campo criado por corpos extensos é mais complicado do que aquele de partículas
pontuais devido à complexidade da matemática envolvida. Há várias maneiras de calcular o campo
criado por um corpo extenso. Dessas, duas nos interessarão aqui26:
 Pela utilização do Princípio da Superposição;
 Pela utilização da Lei de Gauss (eq. 15).
Cálculo de campos produzidos por corpos extensos: utilizando o Princípio da Superposição
Na primeira abordagem, o corpo extenso é dividido em porções infinitesimais, com volumes
suficientemente pequenos para que possamos considerar cada elemento de volume d3v como se
esse elemento de volume fosse uma partícula pontual (veja a Figura 25). O campo criado por esse
elemento de volume no ponto considerado, denotado por dC, pode então ser calculado a partir da
expressão do campo para uma partícula pontual (Lei da Gravitação ou Lei de Coulomb,
respectivamente, para os casos gravitacional e eletrostático).
24
O quadrupolo é um sistema composto por quatro cargas elétricas, duas positivas e duas negativas, de mesmo módulo, dispostas
nos vértices de um quadrado, alternadamente.
25
O octupolo é um sistema composto por oito cargas elétricas, quatro positivas e quatro negativas, de mesmo módulo, dispostas
nos vértices de um cubo.
26
Em cursos avançados de Mecânica Clássica e Eletromagnetismo (principalmente) o estudante trabalhará com outras técnicas,
como expansão em multipolos ou expansão em série de autofunções.
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42
Pelo Princípio da Superposição o campo total será dado pela soma dos campos de cada um dos
elementos de volume d3vj. Assim, se dividirmos o corpo extenso em N elementos de volume, cada
elemento com um volume dvj criando um elemento de campo dCj na posição P, podemos escrever
que:
N
C   dC j
j1
No caso gravitacional, essa expressão se escreve:
N
g  G
j 1
dm j
r  rj
| r  rj |2 | r  rj |
Nessa expressão, dmj é o elemento de massa contido no elemento de volume d3vj.
z
Elemento de volume dvj’.
dCi
r - rj
rj
P dCj
r – ri
r
ri
Elemento de volume dvi’.
y
x
Figura 25 – Campo criado por um corpo extenso.
Vamos agora levar esse processo ao limite do número de elementos de volume indo ao infinito
com o conseqüente volume de cada um dos elementos indo a zero. Nesse caso, a massa contida
em cada um dos elementos de volume também vai a zero, e o elemento de massa dmj se
aproxima da densidade de massa m na posição localizada pelo vetor rj (o vetor que localiza o
elemento de volume) multiplicada pelo elemento de volume d3v: dmj  md3v j . Assim, o
somatório acima fica:
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43
N
g  lim G
dm j 0 j 1
g  G
V
O símbolo

dm j
r  rj
| r  rj |2 | r  rj |
N
 lim G
d3v j 0 j 1
md 3v j r  rj
| r  rj |2 | r  rj |
m (r ') r  r ' 3
dv
| r  r '|2 | r  r '|
indica a integral de volume tomada sobre o volume do corpo extenso (V) e o índice j
V
foi trocado pelo índice ‘27. Essa integral pode ser complicada de calcular se a forma do corpo
extenso não for simétrica.
Para o campo elétrico, obtemos resultado semelhante se substituirmos a densidade de massa m
pela densidade de carga q e a constante G por
E
1
:
40
q (r ') r  r ' 3
1
dv
40 V | r  r '|2 | r  r '|
Observe que nessas expressões o vetor que liga a fonte do campo (o elemento de volume dv) ao
ponto onde o campo está sendo calculado é dado pelo vetor r - r’. Essa situação é mais
complicada que a que tínhamos antes, pois agora a fonte do campo não está mais na origem.
Quando o corpo extenso tem uma das dimensões muito menores que as outras duas (um disco
por exemplo) ou quando uma das dimensões é muito maior que as outras (com em um fio longo)
as integrais acima se escrevem como integrais de superfície ou como integrais de linha. A Tabela 1
mostra as equações a serem solucionadas para cada situação.
27
Lê-se linha.
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44
Tabela 1 – Campos de corpos extensos (casos eletrostático e gravitacional)
Geometria
Caso gravitacional (g)
Corpo extenso – volume
g  G
m(r ') r  r ' 3
dv
| r  r '|2 | r  r '|
q (r ') r  r ' 3
1
dv

40 V | r  r '|2 | r  r '|
g  G
m(r ') r  r '
ds
| r  r '|2 | r  r '|
q (r ') r  r '
1
ds
40 S | r  r '|2 | r  r '|
g  G
m (r ') r  r '
dl
| r  r '|2 | r  r '|
q (r ') r  r '
1
dl

40 l | r  r '|2 | r  r '|
Elemento de massa dado por:
V
Caso eletrostático (E)
dm  d3v
Corpo extenso – superfície
Elemento de massa dado por:
S
dm  ds
Corpo extenso – linha
Elemento de massa dado por:
l
dm  dl
Nessas expressões, ,  e  denotam, respectivamente as densidades linear, superficial e
volumétrica de massa ou carga elétrica. Os elementos ds e dl representam respectivamente, um
elemento de superfície ou de comprimento.
Cálculo de campos produzidos por corpos extensos: utilizando a Lei de Gauss
Outra forma que temos para o cálculo do campo em uma dada posição do espaço é pelo uso da
Lei de Gauss. Vimos que, para um dado campo vetorial C, o fluxo do campo através de qualquer
superfície S é dado por:
qc

  E.nds   (caso elétrico)
0
S C.nds  cQc   S
  g.nds  4Gm (caso gravitacional)
 S
eq. 30
eq. 31
Na expressão acima já escrevemos a Lei de Gauss tanto para o caso eletrostático como para o caso
gravitacional. É importante lembrar que as quantidades que aparecem no lado direito são as
quantidades líquidas que temos dentro da superfície S. No caso gravitacional isso não é problema,
já que a massa é sempre positiva. No caso eletrostático, contudo, temos que ter cuidado, pois a
carga elétrica tem dois sinais. Nesse caso devemos operar algebricamente. Por exemplo, se dentro
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45
da superfície S temos duas cargas, uma com + 2C e outra com -3C, a carga líquida dentro da
superfície S é -1C.
A expressão para a Lei de Gauss no caso eletrostático é conhecida como uma das equações de
Maxwell. Estas equações, que descrevem todos os fenômenos eletromagnéticos, são em número
de quatro. A segunda delas, que veremos mais adiante, é a Lei de Gauss para o caso magnético.
O uso da Lei de Gauss apresenta limitações de natureza prática. A primeira limitação é a de que a
Lei de Gauss não nos dá nem a direção e tampouco o sentido do campo sendo calculado. Devemos
saber a priori qual o sentido e qual a direção do campo de modo a poder calcular o produto
escalar entre o campo e o vetor normal unitário à superfície em cada ponto. Essas informações
devem ser obtidas de outras fontes, normalmente considerações de simetria. A segunda limitação
vem do fato de que mesmo que saibamos calcular esse produto escalar, a integral de superfície
pode ser difícil de calcular. Por essas duas razões, a aplicabilidade da Lei de Gauss, do ponto de
vista prático, se limita a situações onde o grau de simetria é muito alto. Essas situações
normalmente envolvem as simetrias esférica, cilíndrica e de tipo caixa. Em geral, o algoritmo de
aplicação da Lei de Gauss é o seguinte:
 Estude o problema e identifique as simetrias presentes;
 Escolha uma superfície que apresente a mesma simetria e que contenha o ponto onde o
campo deve ser calculado;
 Escreva o resultado do produto escalar que aparece na expressão da Lei de Gauss;
 Resolva a integral da Lei de Gauss, obtendo o módulo do campo procurado. Observe que a
Lei de Gauss apenas pode fornecer essa quantidade.
Exemplo 4 - Cálculo de campo de corpos extensos: o caso da esfera uniformemente
carregada. Cálculo usando a Lei de Gauss.
Vamos calcular o campo de uma esfera uniformemente carregada positivamente com uma
densidade de carga  em um ponto fora da esfera localizado pelo vetor r. A situação é mostrada
na Figura 26. Nela mostramos a esfera carregada, com centro na origem e a superfície gaussiana
escolhida, também uma esfera de raio r.
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46
Superfície gaussiana
z
Corpo extenso carregado
P
r
r'
y
x
Figura 26 – Corpo extenso com simetria esférica (esfera interior) e a superfície gaussiana
(esfera exterior).
Observe que o vetor que localiza o ponto onde o campo está sendo calculado é o vetor r. O vetor
r’ localiza os pontos dentro da esfera que criam o campo em r.
Nosso problema tem simetria esférica, já que a densidade de carga na esfera é constante e não
depende dos ângulos  e  (estamos usando o sistema de coordenadas esféricas devido à simetria
do problema). Veja que o que nos dá simetria esférica não é o fato de que o corpo extenso é uma
esfera, mas sim o fato de que a densidade é constante, não dependendo do ângulo.
Vamos aplicar a Lei de Gauss. Sabemos pela simetria do problema que o campo elétrico E e o
vetor unitário n são paralelos. Portanto, na superfície da esfera de raio r o produto escalar do
campo E e do vetor n nos dá simplesmente: E.n = E, o módulo do campo E já que o módulo de n é
1. Logo, usando a lei de Gauss para o campo eletrostático (eq. 30):
qc
 E.nds  
S
0
q
q
q
2
S Eds  0c  E S ds  0c  ds4r2 E 4r  0c
S
E
1 qc
40 r 2
Essa expressão nos diz que o campo criado por uma distribuição de carga esférica cria um campo
equivalente ao campo que seria criado por uma partícula que contivesse toda a carga qc colocada
na origem (veja que r é a distância da origem até o ponto P onde o campo está sendo calculado).
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Exemplo 5 - Cálculo do campo de corpos extensos: o caso da linha uniformemente
carregada. Cálculo usando a integração sobre os elementos de volume da distribuição de
cargas.
Vamos agora calcular o campo criado por uma barra fina de comprimento 2L cujo centro está
localizado na origem. Podemos, sem perda de generalidade, colocar a barra ao longo do eixo z.
Queremos calcular o campo em um ponto sobre o plano (x,y).
Por simplicidade na Figura 27 colocamos o ponto onde o campo está sendo calculado sobre o eixo
x. O ponto está localizado a uma distância d do eixo z.
Na Figura 27, mostramos os elementos de campo criados por dois elementos de comprimento do
fio, l1 e l2, localizados no eixo z simetricamente em relação ao plano (x,y). Da simetria vemos que
as componentes na direção z desses campos se cancelam enquanto que as componentes ao longo
do eixo y se adicionam.
Elemento de comprimento l1
r - r’
L
z'

y
dE2
P

L
dE1
Elemento de comprimento l2
Figura 27 – Linha uniformemente carregada.
Usando o Teorema de Pitágoras, o módulo do vetor que localiza o ponto em relação ao elemento
de comprimento dl que cria o campo é dado por:
| r  r '|  y2  z '2 
1/2
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Nessa expressão usamos que o vetor que localiza o elemento de comprimento que cria o campo é
dado por r’ = z’ ez e o vetor que localiza o ponto onde o campo está sendo calculado é dado por r
= y ey. Portanto, o vetor r – r’ é dado por:
r  r '  ye y  z 'ez
Podemos então escrever que:
dE  dE1 cos()  dE1 y
Nessa expressão,  é o ângulo entre o vetor dE1 e o eixo y. Da figura, vemos que o cos() pode ser
escrito como:
cos() 
y
( y  z '2 )1/2
2
z’ é a coordenada do elemento de comprimento dl=dz’ que cria o campo na posição P.
Usando a expressão para o caso linear (segunda coluna da terceira linha da Tabela 1) podemos
então calcular o campo criado no ponto P:
E   dE cos()e y 
E
 q (r ')
1
cos()dz ' e y
40 l | r  r '|2
E
q
1 L
y
dz 'e y
2
2
2

40  L ( y  z ' ) ( y  z '2 )1/2
E
q
1 L
ydz 'e y
2

40  L ( y  z '2 )3/2
q y
40

L
L
dz '
ey
( y  z '2 )3/2
2
Essa é uma integral tabelada. O resultado dessa integral é28:
28
Veja a Tabela Schaum, fórmula 14.196.
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eq. 32
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L

y L
1
y 
z'
E
dz 'e y 

 ey
2
2
3/2

40  L ( y  z ' )
40  y 2 y 2  z '2 
L
E
 
L


2
40 y  y  L2
E

20 y
L
y2  L2


ey 
2
2
40 y
y  ( L) 
(  L)
2L
y 2  L2
ey
ey
eq. 33
Vamos analisar esse resultado para dois casos limites.
Caso 1 – y>> L: o ponto P está muito distante da barra de comprimento L
Nesse caso, podemos desprezar o valor de L2 frente ao valor de y2 no denominador da eq. 33:
E
L
20 y
E
L
2L
ey 
ey
2
20 y
40 y 2
E
1 2L
1 qc
ey 
ey
2
40 y
40 y 2
1
y 2  L2
ey 
L 1
ey
20 y y
qc  2L
Ou seja, para pontos muito distantes da barra, o campo elétrico é o mesmo que o criado por uma
partícula colocada na origem com toda a carga elétrica contida na barra ( qc  2L ).
Caso 2: barra infinita (L >> y)
Nesse caso, o termo a ser desprezado no denominador é y2 frente a L2:
E

20 y
E
L
y L
2
2
ey 
 L

ey 
ey
20 y L
20 y
1 2
ey
40 y
eq. 34
Esse é o campo criado por um fio infinito, como se verá mais adiante.
Na solução acima, usamos um argumento de simetria para obter a direção e o sentido do campo
elétrico ao longo do eixo y. Contudo, esse tipo de argumento, embora simplifique o processo, não
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é necessário e, muitas vezes, não é simples enxergar essas simetrias. O resultado que obtivemos
deve sair naturalmente das equações que temos se usarmos as regras do Cálculo Integral e da
Geometria Analítica de forma criteriosa. Vamos resolver agora o mesmo problema sem fazer uso
de nenhuma hipótese a priori de quais as simetrias envolvidas.
Partimos simplesmente de:
E
q (r ') r  r '
1
dl .
40 l | r  r '|2 | r  r '|
Vamos substituir as várias quantidades que aparecem nessa equação conforme descritas mais
acima:
E
q (r ') r  r '
q L
ye y  z 'e z
1
1
dl

dz '
2
2
2


40 l | r  r '| | r  r '|
40  L ( y  z ' ) ( y 2  z '2 )1/2
E
q  L
L

y
z'
dz 'e y  
dz 'e z 
  L 2
2 3/2
2
2 3/2

L
40  ( y  z ' )
( y  z' )

O integrando da segunda dessas integrais é uma função ímpar da variável de integração (z’)29 e o
intervalo de integração é simétrico em torno do zero. Portanto, essa integral vale
automaticamente zero.
Logo:
E
q y
dz '
ey
40  L ( y  z '2 )3/2

L
2
Esse é o mesmo resultado que tínhamos obtido antes (eq. 32). O restante do procedimento é
similar.
Esse é um exemplo típico em que, apesar de termos um algo grau de simetria no problema, não
podemos usar a Lei de Gauss.
29
Uma função é ímpar quando o valor da função muda de sinal se mudarmos o sinal da variável: f(x) = - f(-x). Por outro lado, se o
sinal fica inalterado ao substituirmos x por –x a função é dita par: f(x) = f(-x). Um exemplo de função ímpar é a função f(x) = x e um
2
exemplo de função par é a função f(x) = x , como pode ser verificado por substituição direta de x por –x.
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O problema aqui é que a simetria existente no plano (x,y) não se reproduz em outros pontos. Veja
que, se tomarmos um ponto próximo da base ou do topo do cilindro mostrado na Figura 28, a
distância desse ponto a dois elementos de carga que sejam simétricos em relação ao plano (x,y)
não é a mesma, o que acarreta uma diferença nas componentes z dos campos criados por esses
elementos de carga. Esse efeito é chamado de efeito de borda.
P
y
L
Figura 28 – Superfície gaussiana para o problema da barra carregada.
Contudo, para pontos no plano (x,y), se a altura do cilindro for muito menor que o comprimento
2L da barra, podemos usar a Lei de Gauss. Para superfície gaussiana vamos tomar um cilindro cujo
eixo seja paralelo ao eixo z de raio y e comprimento 2a (veja a Figura 29). Por hipótese, a<< L.
P
2a
y
L
Figura 29 – Superfície gaussiana para a barra carregada.
Como antes, a simetria do problema nos diz que a componente do campo não nula está na direção
y, perpendicular à face lateral do cilindro. Em todos os pontos a situação é a mesma.
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Portanto:
E pontos sobre a lateral do cilindro
E.n  
0 pontos sobre a base do cilindro
A carga total que temos dentro do cilindro é simplesmente 2a. Portanto, o campo será dado por:
q
 E .nds  
S
E  ds 
Sl
0

2a
0
2a
0
Nessa última expressão, a integral somente será tomada sobre a superfície lateral do cilindro (Sl)
pois nas bases o integrando é nulo. Usando que a área lateral do cilindro é simplesmente 2y.2a =
4ya, podemos escrever:
 ds  4ya  E  ds  E 4ya 
Sl
E
Sl
2a
0
1 2a
1 2
 E
ey
4ya 0
40 y
Veja que esse resultado é o mesmo que obtivemos acima, para o caso y<< L (eq. 34). Observe que
esse resultado somente é válido para pontos no plano (x,y).
Exemplo 6 - Cálculo de campo de corpos extensos: o fio infinito.
Analisaremos a seguir o caso de um fio infinito, com densidade de carga uniforme. A situação é
mostrada na Figura 30.
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P
L
y
Figura 30 – O fio infinito.
Neste caso, podemos aplicar a Lei de Gauss sem problemas. Como o fio é infinito, para qualquer
ponto no espaço, haverá sempre dois elementos de carga simétricos em relação ao plano (x,y) e,
conseqüentemente, as componentes do campo criado por esses elementos de carga ao longo da
direção z se cancelarão, como no caso do cálculo ao longo do plano (x,y). Não há efeito de bordas
aqui.
Para superfície gaussiana tomamos novamente um cilindro de comprimento L (veja a Figura 30). O
cálculo é exatamente igual ao realizado na seção anterior, apenas substituindo o comprimento a
usado naquela seção pelo comprimento L do cilindro:
qc
 E.ds  
S
E
0
 E  ds 
S
L
L
 E(2y )L 
0
0
1 2
ey
40 y
Observe que o resultado é independente do comprimento do cilindro utilizado.
Exemplo 7 - Cálculo do campo de corpos extensos: o caso do plano infinito de carga
Para finalizar, vamos calcular o campo próximo de um plano infinito de cargas, com densidade
uniforme . A situação e a superfície gaussiana a serem utilizadas estão mostradas na Figura 31.
Observe a simetria da situação. Como o plano é infinito, em qualquer ponto acima do plano as
componentes x e y do campo serão nulas, já que para cada elemento de superfície no plano
haverá outro simétrico cujas componentes x e y do campo se cancelem. Portanto, o campo
elétrico deve ser orientado na direção z.
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Para calcular o campo, usando a Lei de Gauss vamos tomar um pequeno cilindro de altura h e área
da base A. Pela simetria do problema, somente na base e no topo do cilindro os vetores n e E
serão paralelos. Na superfície lateral esses dois vetores são perpendiculares e, portanto, o produto
escalar entre eles será nulo.
A
+
E
+
n
+
+
+

+
+
+
E
n
+
Figura 31 – O plano infinito de cargas.
Assim podemos escrever:
qc
 E.nds   E.nds   E.nds   E.nds  
S
Sb
St
Sl
0
qc
 E.nds   E.nds  
Sb
St
0
Nessa expressão, os índices t, b e l, indicam respectivamente o topo, a base e a lateral o cilindro
mostrado na Figura 31. A integral sobre a área lateral do cilindro é nula pois o integrando é nulo.
Vamos agora resolver essas integrais, observando que: E.n = E:
 E.nds  E  ds  EA
qc

  EA  EA 
0
S E.nds  E S ds  EA
t
t

Sb
2EA 
Sb
A

 E
0
20
Nessa última expressão, foi usado que a carga dentro da superfície gaussiana é dada por: qc = A.
A circulação dos campos E e g.
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Até aqui nos preocupamos com o cálculo dos fluxos dos campos E e g. Vamos agora nos deter
sobre o valor da circulação desses campos. Como vimos antes, a circulação nos diz se os campos
são capazes de criar “redemoinhos”.
A equação que define a circulação é:
C   C.dl

Se o campo C for o campo eletrostático ou o campo gravitacional de uma partícula na origem, essa
integral pode ser escrita como:
C g,E   ( g , E).dl

Vamos tomar para curva  uma curva qualquer, fechada. Em coordenadas esféricas, o elemento
de comprimento dl se escreve como30:
dl  dr er  rd e  rsend e
Os vetores er, e e e são os vetores unitários ortogonais em coordenadas esféricas (são os vetores
equivalentes aos vetores ex, ey e ez nas coordenadas cartesianas). Portanto, o produto escalar
entre o campo (E ou g) e o vetor dl, para qualquer curva será dado por:
( g, E ).dl  c
1
dr
r2
A constante c depende do campo sendo considerado. Para simplificar, vamos trabalhar daqui em
diante com o vetor E apenas, já que esse tipo de cálculo é mais usado no eletromagnetismo.
Substituindo esse resultado na expressão da circulação, obtemos:
CE   E.dl 

qc
40
dr
r
2

r
CE  
30
qc  1  b
qc  1 1 


  
40  r  ra
40  rb ra 
Essa informação ficará mais clara no curso de Cálculo.
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Como a curva  é uma curva fechada, os pontos ra e rb são o mesmo ponto. Logo, a circulação do
campo elétrico (e também do campo gravitacional) é nula:
C g,E  0
Por essa razão, circulação nula, esses campos são chamados de campos irrotacionais. O estudante
deve observar que a origem da circulação nula desses campos está na dependência com 1/r2
apresentada tanto pelo campo elétrico com pelo campo gravitacional de uma partícula. No caso
do campo gravitacional isso é estritamente verdadeiro. Mas no caso do campo elétrico veremos
que, no caso mais geral, o campo elétrico pode ter circulação diferente de zero.
Interação devida a correntes: o Campo Magnético (B
B)
O campo magnético tem por fonte a corrente elétrica. A história do campo magnético é bastante
antiga, embora não por esse nome. A palavra magnético vem de magnetita, uma rocha
encontrada na Ásia Menor e que tinha propriedades de atrair metais como o ferro.
Foram os chineses os primeiros a se darem conta de uma aplicação prática do uso desse tipo de
rocha: a bússola. Nesse instrumento, tiramos proveito do fato de que uma agulha magnética se
orienta na direção norte – sul, o que permite a orientação.
Além dessa aplicação prática, o campo magnético desempenha um papel fundamental em
fenômenos da vida cotidiana. Por exemplo, a Terra age como um grande imã gerando um campo
magnético que nos protege das partículas emitidas pelo Sol durante as erupções solares. Também
é o campo magnético terrestre que permite as grandes migrações dos pássaros entre os dois
hemisférios. Isso é possível devido às partículas de ferro que esses animais possuem em seus bicos
e que se orientam com o campo magnético terrestre. Por fim, mas não menos importantes, são as
aplicações do campo magnético no setor industrial que vão desde alto falantes até super imãs.
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N
Pólo norte geográfico da
Pólo norte de um imã.
Terra
Pólo sul geográfico
Pólo sul de um imã.
S
da Terra
Figura 32 – Pólos norte e sul de um imã.
A exemplo da carga elétrica, temos dois tipos de carga magnética. Se aproximarmos dois imãs,
observamos que pode ocorrer atração ou repulsão entre eles, dependendo de quais extremidades
dos imãs aproximamos. Os nomes dados a essas extremidades dos imãs são pólos, os quais são
chamados de pólo norte e pólo sul, por analogia com os pólos geográficos da Terra (veja a Figura
32). Se deixarmos o imã se orientar como a agulha de uma bússola, a parte do imã que aponta
para o norte geográfico recebe o nome de pólo norte do imã e a parte do imã que aponta para o
pólo sul geográfico recebe o nome do pólo sul do imã.
Da observação, sabe-se que pólos de mesmo nome se repelem e pólos de nomes diferentes se
atraem (veja a Figura 33).
Atração
S
N
Repulsão
S
N
N
S
Figura 33 – Forças de atração e repulsão entre imãs.
A analogia entre carga elétrica e pólos de um imã tem, contudo, sua limitação. Podemos ter os
“pólos” elétricos separados. Assim, podemos ter uma partícula que somente tenha carga elétrica
de um tipo, positivo ou negativo. É o que se chama monopólo de carga elétrica.
S
S
N
N
S
N
Processo de quebra
do imã.
Figura 34 – Um imã partido origina outros imãs.
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58
Para um imã, contudo, não podemos separar o seu pólo norte de seu pólo sul. Se dividirmos um
imã em duas metades, cada metade será um imã completo, com seu pólo norte e seu pólo sul
(veja a Figura 34). Se prosseguirmos no processo de divisão, sempre obteremos novos imãs. Esse
fato, é expresso através da afirmação de que não existem monopólos magnéticos. Isso é válido
para qualquer campo magnético, mesmo aqueles não criados por imãs, mas por correntes, como
veremos mais adiante.
A compreensão dos fenômenos magnéticos levou mais tempo do que a compreensão de
fenômenos elétricos. Uma das causas é o fato de que a descrição matemática dos fenômenos
magnéticos exigir o uso intensivo do cálculo vetorial, pois a força magnética é escrita em termos
de um produto vetorial, como veremos mais adiante.
Como todo campo, o campo magnético tem uma fonte, a corrente elétrica. Se tivermos campo
magnético em algum lugar é porque temos corrente elétrica em algum ponto do espaço e viceversa31.
Definindo o campo magnético: a Força de Lorentz
Campos magnéticos, a exemplo de campos elétricos, exercem força sobre partículas.
Experimentalmente se verifica que uma partícula portadora de carga elétrica q quando está em
uma região do espaço na qual há um campo magnético B experimenta uma força de natureza
magnética com as seguintes características (veja a Figura 35):
a) A força experimentada pela partícula depende da velocidade da partícula. Sobre uma
partícula em repouso o campo magnético não exerce nenhuma ação.
Essa primeira observação reflete o fato de que a fonte do campo magnético são correntes
elétricas. Portanto, para que uma partícula possa interagir com o campo magnético ela
deve ter a mesma propriedade que cria o campo. Como a corrente elétrica nada mais é do
que partículas carregadas eletricamente que se movem, para que a partícula possa
interagir com o campo magnético é necessário que ela mesma seja uma corrente elétrica.
Para que isso aconteça, ela deve estar em movimento.
31
Isto é estritamente verdadeiro macroscopicamente. Em nível quântico as propriedades magnéticas são intrínsecas às partículas
elementares (elétrons, prótons, etc.), como a massa e a carga elétrica. Este magnetismo intrínseco recebe o nome de spin.
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b) A força de natureza magnética sentida pela partícula é perpendicular ao plano que contém
a velocidade da partícula e o vetor campo magnético.
Essa observação aponta para a natureza um pouco mais complexa da força magnética, a
qual é dada em termos de um produto vetorial.
c) A força de natureza magnética experimentada pela partícula é proporcional à carga da
partícula.
Essa observação tem origem na mesma razão da letra a. Para interagir com o campo
magnético é necessário que a partícula tenha carga elétrica.
Trajetória
B
v
Figura 35 – Partícula se movimentando em uma região onde existe campo magnético.
Esses resultados podem ser reunidos escrevendo a força de natureza magnética que atua sobre
uma partícula com carga elétrica q como32:
FB  qv  B
eq. 35
Tendo definido a força que age sobre uma partícula na presença do campo magnético, podemos
definir o campo magnético em termos dessa força. Entretanto, não podemos definir o campo em
termos de um limite, tomando a carga da partícula de teste indo a zero. Primeiro, por que a força
magnética depende de duas propriedades da partícula, sua carga e sua velocidade: partículas sem
carga elétrica não experimentam força magnética e partículas com carga elétrica em repouso
também não. Segundo, devido ao caráter vetorial da força magnética. Portanto, vamos definir o
campo magnético simplesmente pela eq. 35.
Da eq. 35 podemos retirar as seguintes conclusões:
1. O campo magnético é perpendicular ao plano que contém a aceleração
experimentada pela partícula e o seu vetor velocidade. Equivalentemente,
32Essa equação tem essa forma no Sistema Internacional de Unidades.
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60
podemos dizer que a aceleração provocada pelo campo magnético é sempre
perpendicular ao plano que contém o campo magnético e a velocidade da partícula.
2. O campo magnético não muda o módulo da velocidade da partícula, apenas a
direção e o sentido de sua velocidade.
Isso decorre do enunciado anterior: como a aceleração é sempre perpendicular à
velocidade, esta não pode alterar o módulo da velocidade, pois não tem
componente na direção da velocidade. Isso será demonstrado mais adiante quando
falarmos de Trabalho.
3. O campo magnético não pode exercer ação alguma sobre uma partícula que se
movimente com velocidade paralela ao próprio campo magnético.
Esta também é uma consequência direta da eq. 35, devido ao caráter vetorial da
força magnética.
Se na região onde a partícula se movimenta também temos campo elétrico E, além do campo
magnético B, então a partícula experimentará, ao mesmo tempo em que experimenta uma força
de natureza magnética (FB), uma força de natureza elétrica (FE) dada por: FE  qE .
Portanto a força total experimentada pela partícula será dada por:
F  FE  FB  F  qE  qv  B  F  q E  v  B 
eq. 36
A força expressa na eq. 36 recebe o nome de Força de Lorentz. É ela que governa o movimento de
partículas em regiões onde temos campos elétricos e magnéticos. Na eq. 36 deve-se observar que
o campo elétrico e o campo magnético gerados pela própria partícula não entram no cálculo. Os
campos E e B são os campos gerados por outras fontes (partículas carregadas em repouso e em
movimento) presentes no problema.
Movimento de partículas em campos: o movimento de cíclotron
Uma aplicação interessante do que vimos estudando é a determinação da trajetória de uma
partícula carregada que ingressa em uma região onde existe um campo magnético. A situação é
mostrada na Figura 36.


















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





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61
Figura 36 – Partícula com velocidade v em uma região onde existe um campo magnético.
Como temos apenas o campo magnético atuando na partícula, a força que essa partícula
experimenta será dada por:
F  qv  B
Essa é a parte magnética da força de Lorentz. Como sabemos, essa força somente tem
componentes na direção perpendicular à direção do vetor velocidade da partícula (e também ao
campo magnético).
Para exemplificar o que acontece, vamos tomar uma situação na qual a partícula penetra na região
onde existe um campo magnético, com velocidade perpendicular à direção do campo magnético.
Sem perda de generalidade, podemos escolher o sistema de coordenadas de tal modo que o
campo esteja na direção –ex e a velocidade da partícula seja na direção ey. Nessa situação
particular a força que atua sobre a partícula estará ao longo do eixo z (direção ez):
F  qv  B  qve y  B(e x )
F  qBv e z
A força será no sentido positivo do eixo z se a carga da partícula for positiva e no sentido negativo
do eixo z se a carga da partícula for negativa. Essa parte da força de Lorentz somente é capaz de
modificar a direção e o sentido da velocidade da partícula, não o módulo da velocidade. Essa força
atua como uma força centrípeta, forçando a partícula a executar um movimento circular em torno
das linhas do campo magnético. Portanto, podemos escrever que a aceleração centrípeta da
partícula será dada, em módulo por:
v2 qvB
qBr

v 
r
m
m
Nessa expressão, r é o raio da órbita que a partícula descreverá em torno das linhas de campo.
Esse movimento da partícula é chamado de movimento de cíclotron. O resultado final é o
mostrado na Figura 37.
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62
Partícula com carga negativa





Partícula com carga positiva





v
v






B








Figura 37 – Trajetória de uma partícula carregada na presença de um campo magnético.
Nessa figura, mostramos o movimento de uma partícula positiva e de uma partícula negativa, de
 o sentido



 da força
 magnética


mesma massa. Observe
oposto,
resultado
atuar em sentidos opostos
conforme a carga da partícula.
Uma quantidade importante relacionada com esse movimento é a chamada frequência de
cíclotron. Vamos definir o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa em torno da
linha do campo magnético como sendo o seu período, 
33
. Então o período pode ser obtido a
partir da divisão do caminho percorrido pela partícula (uma volta completa na circunferência) pela
sua velocidade:
c 
L 2r
2m

 c 
v q Br
qB
m
O índice c indica que estamos falando do período de cíclotron e o módulo na carga é consequência
do fato de que estamos tomando o módulo da velocidade. A freqüência de rotação da partícula
(fc), o número de voltas que ela dá em cada unidade de tempo, é o inverso dessa quantidade:
fc 
qB
1
.

c 2m
A unidade da frequência no Sistema Internacional de unidades é o Hz  s-1. Outra forma de
escrever a frequência, agora em termos do ângulo descrito por unidade de tempo, é a chamada
frequência angular (c). Essa quantidade é definida como o produto da freqüência de cíclotron, fc,
33
Essa é a letra grega Tau minúscula.
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Curso de Física Básica – Volume II
63
por 2. Então, em termos da freqüência angular, o movimento de cíclotron da partícula será dado
por:
c  2fc  2
qB
2m
 c 
qB
m
.
Algumas observações sobre esse resultado são importantes:
1. A frequência de cíclotron é independente do raio da trajetória;
2. A frequência de cíclotron depende do módulo da carga da partícula: quanto maior o
módulo da carga da partícula maior será a sua frequência de cíclotron;
3. A frequência de cíclotron depende inversamente da massa da partícula: partículas mais
massivas terão frequência de cíclotron menores.
Esse movimento das partículas é muito importante quando queremos aprisionar partículas
carregadas em uma região do espaço e tem aplicações desde a indústria de desenvolvimento de
novos materiais até problemas relacionados à Astrofísica.
Corrente elétrica
A corrente elétrica é a quantidade de carga elétrica que atravessa uma superfície por unidade de
tempo. Considere a Figura 38 na qual mostramos algumas partículas com carga elétrica que
atravessam uma seção reta do condutor cuja área da seção reta chamamos de S.
Definimos como a corrente elétrica (i) que percorre um condutor
a quantidade de carga positiva que atravessa uma seção reta (S)
do condutor por unidade de tempo (veja a Figura 38) quando o
intervalo de tempo vai a zero.
Matematicamente, podemos expressar essa ideia por:
i  lim
t 0
q
dq
 i
t
dt
eq. 37
Nessa expressão, q indica a quantidade de carga elétrica que atravessou a superfície S no
intervalo de tempo t. A definição de corrente elétrica em termos da carga de tipo positivo tem
Superfície S
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Cargas elétricas
Curso de Física Básica – Volume II
64
razões históricas. Inicialmente se pensava que eram as partículas com carga elétrica positiva os
portadores de carga (as partículas que se moviam em fios criando a corrente elétrica). Somente
mais tarde se descobriu que eram as partículas com carga negativa (os elétrons) que
desempenhavam esse papel em sólidos. Contudo, a tradição se manteve. Assim quando indicamos
o sentido da corrente elétrica, em diagramas de circuitos por exemplo, esse sentido sempre se
refere ao sentido de movimento de partículas com carga elétrica de tipo positivo. A corrente assim
indicada chama-se corrente convencional.
Figura 38 – Cargas elétricas em um condutor.
Como a corrente é definida em termos das partículas com carga positiva, se são os elétrons que se
movimentam para criar a corrente elétrica (ou outro tipo partícula com carga negativa que se
mova, como íons negativos34, por exemplo) como acontece em metais, devemos substituir no
cálculo da corrente os elétrons que se movem em uma dada direção e sentido por partículas
positivas de mesma carga que se movem na mesma direção mas porém em sentido contrário.
Por exemplo, considere a situação mostrada na Figura 39. Nela, simbolizamos cargas positivas pelo
símbolo  e cargas negativas pelo símbolo  (a seta indicando a direção e o sentido do movimento
das partículas). Nessa situação, temos certo número de partículas com carga de tipo positivo
atravessando a superfície S da esquerda para a direita, enquanto certo número partículas, com
cargas de tipo negativa, atravessa a mesma superfície no sentido oposto, da direita para a
esquerda. Para fins de cálculo de corrente elétrica devemos contar o número de partículas com
carga positiva mais o número de partículas com carga negativa, mas com sinal trocado, ou seja,
somamos a totalidade dos módulos das cargas que atravessam a superfície S. Esse procedimento é
equivalente a trocar todas as partículas com carga de tipo negativo se deslocando da direita para a
esquerda por partículas com carga de tipo positivo se deslocando da esquerda para a direita.
34
Um íon é um átomo que perdeu ou ganhou um ou mais elétrons, rompendo dessa maneira o equilíbrio entre cargas positivas e
negativas. Se o átomo perdeu elétrons dizemos que temos um ânion se ganhou elétrons dizemos que temos um cátion.
Equivalentemente podemos falar em íons negativos (átomos que perderam ganharam elétrons) ou íons positivos (átomos que
perderam elétrons).
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Curso de Física Básica – Volume II
65
A unidade de corrente elétrica no sistema de unidades internacional é o C/s (Coulomb por
segundo). Essa unidade recebe o nome de Ampère, símbolo A, em homenagem ao físico francês
André-Marie Ampère35.
Superfície S
Cargas
Cargas
elétricas
elétricas
negativas.
positivas.
Figura 39
A corrente elétrica nos dá o fluxo de partículas por tempo através da superfície S. Essa informação,
contudo, nem sempre é refinada o suficiente para cálculos mais precisos. Por essa razão,
definimos outra quantidade denominada de densidade de corrente:
A densidade de corrente elétrica (J) é a quantidade de carga
elétrica que atravessa uma unidade de área da superfície S por
unidade de tempo.
O módulo da densidade de corrente é dado por:
J
1 dQ i

S dt S
eq. 38
Observe que a densidade de corrente é um vetor. O sentido da densidade de corrente e a direção
são dados pelo sentido e direção da velocidade das partículas portadoras de corrente.
Força magnética sobre um condutor carregado
Vimos anteriormente que a corrente elétrica nada mais é do que um conjunto de cargas se
movimentando em um condutor. Contudo, cargas dentro de um condutor se movimentam com
diferentes velocidades devido ao movimento aleatório causado pelas colisões com os íons da rede
e entre as próprias cargas. Nessa situação é mais conveniente falar em uma velocidade de deriva
35
Nascido em 1775 e morto em 1836.
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66
das cargas ao longo do condutor. Essa velocidade de deriva pode ser entendida como uma
velocidade média com a qual as cargas se movimentam ao longo do condutor.
A força que atua sobre uma única carga elétrica na presença de um campo magnético é dada pela
parte magnética da força de Lorentz. Em um condutor, a força que cada uma delas experimenta,
em média, é dada por:
F  qv d  B
Vamos supor um condutor de seção reta de área A, como mostrado na Figura 40. Nesse caso, se
temos n cargas por unidade de volume do condutor, a carga Q que temos em um pequeno
elemento de comprimento dl, orientado na direção do movimento das cargas será dada por:
Q  nqAdl


Seção reta do condutor de
área A





















dl




vd





B
Figura 40 – Condutor
corrente
região onde existe um campo
 no qual
 fluiuma 
 i em
 uma 
magnético B.
Portanto, o elemento diferencial de força que o condutor experimenta devido ao campo


magnético será dado,em módulo,
por:















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





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67
dF  Q v d  B  (nqAdl )v d  B
dF  (nqAv )dl  B
dF  idl  B
Na expressão acima, fizemos uso das relações: i = nqAv e dlv = vdl, já que os vetores v e dl têm a
mesma direção e o mesmo sentido.
A força total experimentada pelo condutor será dada pela integral (soma) dos elementos dl ao
longo de todo o condutor:
F   dF  F   idl  B
C
eq. 39
C
O índice C apenas indica que estamos somando (integrando) sobre todo o comprimento do
condutor. Essa expressão é válida para qualquer condutor.
Exemplo 8 - Cálculo de força sobre espira: o fio de comprimento l
Como um exemplo de aplicação da eq. 39, vamos calcular a força sobre um fio de comprimento l
em uma região onde existe um campo magnético uniforme na direção – ex (lado negativo do eixo
x). A situação é a mesma mostrada na Figura 40.
Nesse caso, podemos escrever o produto vetorial entre o elemento dl do circuito (dado por dl =
dl e3) e o campo magnético como:
dl  B  dlB ez  (e x )  dlBe y .
Portanto, a força sobre o fio será dada por:
F   idl ' B  ie y 
C
l /2
 l /2
Bdl '  iBe y 
l /2
 l /2
dl '  iBe y l ' l /2
l /2
 l  l 
F  iBe y        F  iBle y
 2  2 
Ou seja, a força magnética sobre o fio será na direção positiva do eixo y.
Exemplo 9 - Força sobre uma espira de corrente
Normalmente estamos interessados em saber a força atuando em uma espira de corrente.
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68
Para exemplificar o processo vamos tomar uma espira retangular, de lados a e b (a < b) a qual está
no plano (x,y) e vamos tomar o campo magnético, suposto constante, na direção z. A situação é
mostrada na Figura 41.
z
FDA
FBC
FCD
C
FAB
B0
B
D
x
i
a
b
A
y
Figura 41 – Espira retangular de corrente.
Com essa geometria, o campo magnético é escrito como B0 = B0 ez e os elementos de corrente dl
serão escritos conforme o lado em que estejam situados. Assim, a força sobre a espira de corrente
será dada por:
B
C
A
B
D
A
F   idl  B0   idl  B0   idl  B0   idl  B0   idl  B0
C
C
D
Nessa expressão, a integral sobre todo o circuito foi dividida em quatro integrais, uma para cada
lado da espira. Vamos analisar agora cada um dos lados separadamente.
Lado AB
Para esse lado, o vetor dl aponta na direção – ey. Portanto:
dl  B0  dle y  B0 ez  dlB0 e x
E a integral sobre esse lado se escreve:
B
B
B
A
A
A
FAB   idl B0   idlB0 e x  e x iB0  dl  iB0 (B  A)e x
FAB  iB0ae x
Lado BC
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69
Para esse lado, o vetor dl aponta na direção do vetor – ex. Logo, a integral se escreve:
C
C
C
B
B
B
FBC   idl B0   idl e x  B0e z  e2iB0  dl  iB0 (C  B )e y
FBC  iB0be y
Lado CD
Esse lado é paralelo ao lado AB. Portanto, nesse lado o vetor dl aponta na direção exatamente
oposta à direção do vetor dl no lado AB. Logo:
D
D
D
D
FCD   idl B0   idl B0e z   idlB0 e x  e x iB0  dl  iB0 (D  C )e x
C
C
C
C
FCD  iB0ae x
Lado DA
Novamente, temos um lado sobre o qual o vetor dl tem sentido oposto ao lado paralelo (lado BC):
A
A
A
D
D
D
FDA   idl B0   idle x  B0e z  e2iB0  dl  iB0 (D  A)e y
FDA  iB0be y
Podemos agora reunir esses resultados e calcular a integral sobre todo o circuito:
F  FAB  FBC  FCD  FDA
F  iB0  b  be y  iB0 a  ae x
F 0
Portanto, a força que atua no circuito é nula. Apesar de termos calculado para uma espira
retangular, esse resultado é bastante geral. Analisemos o caso de uma espira circular de raio R, no
plano (x,y), com o campo magnético novamente na direção z. A situação é mostrada na Figura 42.
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70
z
F
R
ez
e
e
x
i
y
Figura 42 – Espira circular de corrente.
Nessa situação, como temos uma simetria de tipo cilíndrica, o sistema de coordenadas mais
adequado é o sistema cilíndrico, cujos vetores unitários estão representados na Figura 42. Neste
sistema de coordenadas os vetores dl e B0 são escritos como:
dl  dl e
B0  B0 e z
Portanto, o produto vetorial entre esses dois vetores será dado por:
dl  B0   dle    B0 ez   dlB0 e  ez  dl  B0  dlB0 e
A força sobre a espira será dada então por:
F  i  dl  B0  i  dlB0 e  iB0  dl e
C
C
C
2
2
e  cos()e x  sen()e y 
F  iRB0 e x  cos()d  e y  sen()d 

 0
 dl  Rd
0


F 0
Torque sobre uma espira de corrente
Embora a força sobre a espira seja nula, o torque pode não ser. Vamos lembrar primeiro a
definição de torque:
τ  r F
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71
O vetor r é o vetor que localiza os pontos sobre a espira.
Como um exemplo, vamos retomar o caso da espira retangular discutido na seção anterior.
Tomemos dois pontos da espira sobre o eixo x e dois pontos sobre o eixo y. Veja a Figura 43.
z
FCD
FBC
B0
FAB
r3
r
x
2
a
r
4
r
i
b
1
y
FDA
Figura 43 – O torque sobre a espira quadrada de corrente
Vemos nessa figura que os pontos localizados pelos vetores r1, r2, r3 e r4 têm coordenadas dadas,
respectivamente, por:
a
a
r1  e y ; r3   e y
2
2
b
b
r2  e x ;r4   e x
2
2
Esses vetores são colineares com a direção da força nesses pontos. Portanto, o produto vetorial de
qualquer um deles pela força que atua nessa direção é nulo e, conseqüentemente o torque que
age na espira nessa situação é zero.
Vamos agora analisar a situação na qual a espira não está no plano (x,y) mas faz um ângulo  com
esse plano. Vamos supor que a espira foi girada em torno do eixo y. A situação é mostrada na
Figura 44. Nesse caso, os vetores ao longo do eixo y continuam colineares, já que espira foi girada
em torno desse eixo. Contudo agora, os vetores ao longo do eixo x não estão mais sobre a mesma
reta. Vamos calcular o torque em cada um dos lados paralelos ao eixo y.
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72
FCD
z
FBC
r4
B0
FAB

r3
x
r1
r2
a
b
y
i
FDA
Figura 44 – Espira retangular fora do plano (x,y).
Para a força FCD, atuando sobre o ponto r4, temos que o vetor que localiza esse ponto é o vetor:
r4  r cos()ex  rsen()ez .
Portanto, o torque sobre esse ponto será dado por:
τ 1  r4  FCD   r cos()e x  r sen()e z    FCDe x 
τ 1   r sen()e z    FCDe x 
τ 1  rFCD sen()e y
b
τ 1  iaB0sen()e y
2
Já no outro lado da espira, o vetor r2 será dado por: r2  r cos()e x  r sen()ez e o torque sobre
esse lado da espira será dado por:
τ 2  r2  FAB   r cos()e x  r sen()e z    FAB e x 
τ 2   r sen()e z    FAB e x 
τ 2  rFCD sen()e y
b
τ 2  iaB0sen()e y
2
Portanto, o torque sobre os dois lados da espira tem a mesma orientação ao longo do eixo y
(direção ey). O torque total será a soma desses dois torques:
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73
τ = τ1 + τ2
b
b
iaB0sen()e y  iaB0sen()e y
2
2
τ  iabB0sen()e y
τ=
A quantidade que aparece na expressão do torque total pode ser escrita na forma de um produto
vetorial, se definirmos o momento de dipolo magnético da espira, , por:
μ = iAe x
eq. 40
Observe que a definição do momento de dipolo magnético envolve uma definição arbitrária da
sua direção. Por convenção o momento de dipolo tem direção perpendicular ao plano da espira e
sentido dado pela regra da mão direita: se os dedos da mão apontarem no sentido da corrente, o
polegar dará o sentido do vetor momento de dipolo. Observe também que a eq. 40 envolve a área
da espira, sem levar em conta como essa área é calculada. Nesse sentido, a expressão para o
momento de dipolo magnético é independente da espira considerada, sendo válida para qualquer
espira.
Campo magnético criado por correntes estacionárias
Quando a densidade de corrente elétrica que percorre um condutor não varia no tempo dizemos
que temos uma corrente estacionária:
dJ
 0 . Os campos magnéticos criados por esse tipo de
dt
corrente são campos independentes do tempo e os casos em que essa hipótese é válida são
chamados de Magnetostática. Deteremo-nos neles aqui. Mais adiante, vamos analisar os casos
onde a densidade de corrente pode variar no tempo e, conseqüentemente os campos magnéticos
criados por essas densidades de corrente também variam no tempo.
Da mesma forma que campos magnéticos que variam no tempo podem criar campos elétricos,
como comentamos anteriormente, campos elétricos que variam no tempo também podem ser
fontes de campos magnéticos. Abordaremos essa possibilidade mais adiante.
Como fizemos antes vamos definir o campo magnético em função da sua ação sobre partículas.
Contudo, diferentemente do que fizemos antes, usando a ideia de partícula de teste, como o
campo magnético é criado por correntes elétricas temos que analisar a ação do campo magnético
sobre correntes elétricas também.
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74
O campo magnético é mais complicado de descrever matematicamente do que os outros devido a
seu caráter vetorial. A observação de que fios nos quais correntes fluíam atuavam uns sobre os
outros é devida a Ørsted 36. Ørsted observou que entre dois fios nos quais havia corrente elétrica
aparecia uma força de atração, se as correntes fossem no mesmo sentido, ou de repulsão, caso as
correntes fossem em sentidos opostos37. Veja a Figura 45.
i
i
i
Figura 45 – Ação de um fio no qual passa uma corrente elétrica i sobre outro fio no qual
há também corrente elétrica.
Outra observação feita por Ørsted foi de que uma bússola colocada perto de um fio no qual fluía
uma corrente elétrica tinha a sua agulha defletida (veja a Figura 46). Essa era uma indicação clara
de que correntes elétricas poderiam criar campos magnéticos. A importância dessas observações
de Ørsted vem do fato de que foi a primeira vez que fenômenos de natureza elétrica (a corrente
elétrica) eram conectados a fenômenos de natureza magnética (o comportamento da agulha da
bússola). Até então, o magnetismo e a eletricidade eram domínios completamente diferentes e
não ligados.
36
Hans Christian Ørsted Físico dinamarquês (4 de agosto de 1777- 9 de março de 1851).
37
Demonstraremos isso mais adiante.
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75
N
N
O
L
O
i
L
S
S
(a)
(b)
Figura 46 – Comportamento de uma bússola perto de um fio onde flui uma corrente
elétrica i.
Fontes do campo magnético
Como vimos anteriormente, para que uma partícula interaja com o campo magnético é necessário
que essa partícula satisfaça duas condições:
 Tenha carga elétrica;
 Tenha velocidade não paralela ao vetor campo magnético.
Isso nos dá alguma informação sobre a natureza da fonte do campo magnético. Lembre que para
que uma partícula possa interagir com um campo é necessário que ela tenha a mesma
propriedade da fonte do campo. Lembre que nos casos gravitacional e eletrostático essas
propriedades são a carga e a massa respectivamente.
Partícula
carregada
Trajetória
z
r – r’
r'
. P
r
y
x
Figura 47 – Partícula criando um campo magnético.
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76
Aqui vemos que a propriedade que permite a uma partícula interagir com o campo magnético é o
fato de termos cargas em movimento. Portanto, a propriedade que cria o campo magnético
também deve ser essa: cargas em movimento. Como vimos anteriormente, se tivermos cargas em
movimento temos corrente elétrica.
Vamos analisar o campo criado por uma única partícula que se move ao longo de uma trajetória
qualquer. Veja a Figura 47.
Nessa figura temos uma partícula com certa carga q movendo-se no espaço seguindo a trajetória
mostrada na figura. Queremos saber qual o campo magnético que será criado pela partícula na
posição P. Como nos casos anteriores, a posição do ponto onde queremos calcular o campo
magnético é denotada pelo vetor r enquanto que a posição da partícula em certo instante de
tempo é denotada por r’. O vetor r – r’ é o vetor que une a carga q ao ponto onde queremos
calcular o campo.
Experimentalmente se observa que a dependência do vetor campo magnético, B, segue um
padrão semelhante ao observado para o campo elétrico e para o campo gravitacional:
 O módulo do campo criado na posição P depende da quantidade de carga elétrica q da
partícula:
B q;
 O módulo do campo criado na posição P possui uma dependência com a velocidade da
partícula (v):
B v ;
 Por fim, o campo criado pela partícula na posição P depende da distância entre a posição
da partícula e o ponto onde o campo está sendo calculado. Essa dependência, a exemplo
dos casos eletrostático e gravitacional, também é com o inverso do quadrado da distância
entre a posição da partícula e o ponto onde o campo está sendo calculado:
B
1
| r  r '|2
Contudo, apesar da semelhança com os casos que já estudamos anteriormente, há uma diferença
fundamental: o campo criado pela partícula não é na direção do vetor r – r’. Experimentalmente
se observa que esse campo é perpendicular tanto à direção do vetor r – r’, denotada pelo vetor
unitário:
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77
r  r'
r  r'
.
como ao vetor v. Em outras palavras o campo magnético da partícula é perpendicular ao plano
que contém os vetores v e r-r’. Das operações que conhecemos entre dois vetores, a única que
produz como resultado um vetor que seja perpendicular aos dois vetores é o produto vetorial
(veja a Figura 48).
B
r – r’
r – r’
v
v
B
a)
b)
Figura 48 – Campo magnético criado por uma partícula. a) Campo criado por uma
partícula com carga positiva; b) Campo criado por uma partícula com carga negativa.
Reunindo esses resultados, podemos escrever que o vetor campo magnético criado por uma
partícula carregada em movimento deve ser dado por:
B
0 v  (r  r ')
q
4 | r  r '|3
Como antes, fizemos uso da propriedade matemática de que uma grandeza que é proporcional a
outras grandezas também é proporcional ao produto delas. No caso do campo magnético, a
constante de proporcionalidade se escreve, no Sistema Internacional de Unidades:
0
. A
4
constante 0 é chamada de permeabilidade magnética do vácuo e seu valor é 4 x10-7
Weber/A.m.
Usando essa constante, podemos escrever o campo magnético criado por uma carga q em um
ponto P do espaço, como:
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78
B
0 qv
r  r'

2
4 | r´r '| | r  r '|
eq. 41
Esta equação faz o mesmo papel no cálculo do campo magnético que a Lei de Coulomb
desempenha no caso eletrostático.
Exemplo 10 - Campo criado por uma carga que se movimenta ao longo do eixo z, no
momento em que essa carga está na origem, em um ponto P localizado ao longo do eixo
x.
A situação é mostrada na Figura 49. Na situação mostrada na figura, podemos definir os vetores r
e r’ da seguinte maneira: r = y ey e r’ = 0, já que a partícula se encontra na origem do sistema.
Com essas definições, o vetor r – r’ é escrito como:
r  r '  ye y  0  ye y  r  r '  y
Logo, o campo magnético criado pela partícula será dado por:
0 qv
r  r'

2
4 | r´r '| | r  r '|
 qvk ye
B 0 2  y
4 y
y
 qv
B  0 2 ez  e y
4 y
 qv
B  0 2 ( e x )
4 y
B
B
v
0 qv
ex
4 y 2
P
*x
Figura 49 – Partícula criando um campo magnético.
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79
A Lei de Biot-Savart
Até agora nos preocupamos com o campo criado por uma partícula. Vamos agora analisar a
situação quando temos muitas partículas se movimentando, ou seja, quando temos uma corrente
elétrica fluindo em um condutor.
Vimos anteriormente, quando estudamos o campo elétrico que podemos construir, usando o
princípio da superposição, o campo criado por um corpo extenso a partir da superposição de um
grande número de elementos de volume, cada um criando um elemento de campo dE na posição
em que queremos calcular o campo. O campo total foi então escrito como sendo a soma (integral)
desses campos. Vamos proceder de forma análoga com o campo magnético.
Partimos da eq. 41, para o campo criado po uma partícula. Vamos supor que o princípio da
superposição continue sendo válido e que possamos escrever o campo criado por um conjunto de
partículas que se movem como a soma dos campos individuais de cada partícula.
Considere a situação mostrada na Figura 50. Nela mostramos um conjunto de partículas se
movimentando em um condutor.
Portadores
de
carga
Superfície S de área
A..
v
dl
Figura 50 – Cargas se movendo em um condutor.
O campo criado pelas cargas no elemento de comprimento, o qual indicaremos por dl, dB, é dado
pela soma dos campos criados pelas cargas que temos dentro do elemento. Se chamarmos de n a
densidade volumétrica de cargas que temos no elemento de volume dado por Adl, podemos
escrever o campo criado pelas cargas dentro do elemento de volume como:

qv
r  r' 
dB  n  0


2
 4 | r  r '| | r  r '| 
Vamos analisar agora o numerador que aparece na equação acima. O produto nq nada mais é do
que a densidade de carga por unidade de volume. A quantidade total de carga dentro do elemento
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80
Adl é dada pelo produto do volume do elemento pela densidade de cargas no elemento de
volume:
Q   nq  Adl 
Q   nqA  dl
O termo que aparece entre parênteses na expressão acima, multiplicado pela velocidade, tem
dimensões de carga por unidade de tempo:
 nqA v 
C 2m C
.m . 
m3
s s
Logo, o produto nqAv tem dimensões de corrente elétrica, e a expressão para o campo magnético
criado por cargas fluindo em um condutor pode ser reescrita como:
dB 
0 idl
r  r'

2
4 | r  r '| | r  r '|
Observe que o elemento dl deve ser pequeno o suficiente para que o vetor r’ seja
aproximadamente o mesmo para todas as cargas contidas no elemento de comprimento.
Se somarmos sobre todos os elementos de comprimento ao longo do fio, teremos o campo total:
0 idl
r  r'

2
| r  r '|
i 1 4 | r  r '|
N
B
Nessa expressão, N é o número de elementos de volume com comprimento dl usados para
construir o condutor. Quanto menores os elementos que tomamos para construir o condutor,
melhor o resultado que vamos obter. Tomando o limite da expressão acima, para os elementos dl
indo a zero em módulo, temos que:
0 idl
r  r'

2
dl 0 4 | r  r '|
| r  r '|
i 1
N
B   lim
B
0
i(r ')
r  r'
dl '
2

l
4 | r  r '|
| r  r '|
Essa expressão é conhecida como Lei de Biot-Savart.
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eq. 42
Curso de Física Básica – Volume II
81
Observe que a intensidade de corrente i depende do vetor r’. Ou seja, podemos ter uma corrente
elétrica diferente em diferentes pontos do fio. A integração se dá sobre todo o fio, em geral
espiras de corrente38.
A Lei de Ampère
No cálculo dos campos eletrostático e do campo gravitacional para corpos extensos tínhamos duas
formulações possíveis para o problema. A primeira fazia uso da integração direta sobre as
distribuições de massa ou carga elétrica. A segunda fazia uso da Lei de Gauss. Vimos que para
poder tirar proveito da simplicidade da Lei de Gauss há necessidade de um alto grau de simetria
no problema. Devemos insistir no fato de que em situações nas quais esse alto grau de simetria
não existe a Lei de Gauss continua sendo válida, apenas não é operacional, já que o cálculo da
integral envolvida na Lei de Gauss pode ficar extremamente complicado.
Quando analisamos o caso do campo magnético criado por espiras de corrente estamos em uma
situação análoga. Temos a Lei de Biot-Savart (eq. 42) que nos permite o cálculo direto do campo
magnético criado por uma espira de corrente através da integração direta sobre o circuito onde
existe a corrente elétrica. Essa expressão, a exemplo da Lei de Coulomb ou da Lei da Gravitação
Universal, pode ser bastante difícil do ponto de vista operacional, mas é sempre válida.
Uma forma alternativa de calcular-se o campo magnético criado por uma espira de corrente, e que
desempenha um papel semelhante à Lei de Gauss, é a Lei de Ampère. Essa faz uso do conceito de
circulação discutido anteriormente. A exemplo da Lei de Gauss, a Lei de Ampère somente tem
utilidade em situações de alta simetria.
Considere uma curva fechada qualquer em uma região onde existe um campo magnético. Essa
curva pode ser um circuito real (no sentido de ser material, um fio, por exemplo) ou uma curva no
espaço (no sentido de um conjunto de pontos do espaço). Veja a Figura 51.
A curva C desenhada nessa figura limita um número infinito de superfícies abertas. A Lei de
Ampère nos afirma que a circulação do campo magnético nesse circuito fechado, representado
pela curva C, é proporcional à corrente que flui através da superfície limitada pela curva fechada.
Isso é válido para qualquer superfície aberta limitada por C. A constante de proporcionalidade é a
permissividade magnética no vácuo:
38
Uma espira é um caminho fechado.
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 B.dl   i
eq. 43
0
C
Nessa expressão, a curva C é chamada de curva Amperiana.
Vale lembrar que a Lei de Ampère não é uma afirmação direta sobre o campo magnético, mas sim
uma afirmação sobre a circulação do campo magnético: a circulação do campo magnético é que é
proporcional à corrente elétrica que flui através da superfície limitada pela curva C. Essa situação é
análoga à Lei de Gauss, que é uma afirmação sobre o fluxo do campo elétrico, não sobre o campo
elétrico propriamente dito.
Curva fechada (C), também chamada
B
de Curva Amperiana
dl
Figura 51 – Curva Amperiana.
Novamente, devemos saber a priori, com base em considerações de simetria a direção e o sentido
do campo magnético de modo a poder calcular a integral da Lei de Ampère.
Outro ponto que devemos salientar é que a corrente i que aparece no lado direito da eq. 43 deve
ser uma corrente estacionária. Uma corrente estacionária é uma corrente que não varia no
tempo.
A Lei de Ampère, na forma como a enunciamos aqui, é somente parte da forma mais geral da Lei
de Ampère. Na forma mais geral dessa Lei, que discutiremos mais adiante ao analisarmos a
situação de campos dependentes do tempo, há mais um termo que depende da variação no
tempo do campo elétrico.
Exemplo 11 - Aplicação da Lei de Biot-Savart e da Lei de Ampère: o fio infinito.
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83
Como um exemplo didático do uso da Lei de Biot-Savart, vamos analisar a situação de um fio
infinito no qual flui uma corrente i. Queremos saber o valor do campo magnético criado pelo fio a
uma distância r do fio. A situação é mostrada na Figura 52.
Devido à simetria do problema, vamos escolher a direção do fio como sendo a direção z. Podemos,
sem perda de generalidade, escolher que o ponto P onde queremos calcular o campo esteja sobre
a direção y. O eixo x foi escolhido de tal modo que esteja saindo da página. Essa situação é a
situação análoga a do fio infinito portador de carga que analisamos anteriormente.
z
dl1’
r’
r – r’
P
x
r
y
i
dl2’
Figura 52 – O fio infinito com uma corrente estacionária.
Para começar analisemos a simetria do problema. Vamos dividir o fio em pequenos elementos de
comprimento. Tomemos dois desses elementos, simétricos em relação à origem dl1’ e dl2’.
Esses elementos criam campos que se somam no ponto P e que apontam na direção –ex (lado
negativo do eixo x). Para verificar isso vamos analisar o produto vetorial entre os elementos dl’ e o
vetor r – r’. É esse produto vetorial que dará a direção do campo criado por cada um dos
elementos dl’ no ponto P.
Para o elemento de comprimento dl1’ o vetor que o localiza, r’, é dado por: r '  r 'ez . O ponto
que estamos considerando é localizado pelo vetor r, o qual por sua vez é dado por: r  r e y .
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Portanto, o vetor r – r’ será dado por: r  r '  re y  r 'ez . Usando esses resultados podemos
escrever:
dl1 ' (r  r ')  dz ' (r e y )  dz ' (r 'e z )
dl1 ' (r  r ')  dz 'r(e z  e y )  dz ' r '(e z  e z )
dl1 ' (r  r ')  dz 'r(e z  e y )
.
dl1 ' (r  r ')  dz 'r( e x )
Acima foi usado que o vetor dl1’ = dz’=dz’ ez, o vetor unitário na direção z. Também usamos o
fato de que o produto dos vetores unitários ez e ey é o vetor unitário – ex.
Portanto, o campo criado pelo elemento de corrente dl1’ aponta na direção da parte negativa do
eixo x. Para o campo criado pelo elemento de corrente dl2’ podemos repetir o mesmo
procedimento. Agora, contudo, devemos levar em conta que o vetor r’ é dado por: r '  r 'ez .
Logo:
dl1 ' (r  r ')  dz ' (r e y )  dz ' ( r ' e z )
dl1 ' (r  r ')  dz 'r(e z  e y )  dz ' r '(e z  e z )
dl1 ' (r  r ')  dz 'r(e z  e y )
.
dl1 ' (r  r ')  dz 'r( e x )
A conclusão que podemos tirar é que os dois campos apontam na direção negativa do eixo x
(entrando na página) e se adicionam.
Vamos então calcular, a partir da Lei de Biot-Savart o campo total criado pelos elementos de
corrente no fio. Pela Lei de Biot-Savart, o campo no ponto P será dado por:
B
0
i(r ')
r  r'
.
dl '
2

4 l | r  r '|
| r  r '|
A corrente que flui no fio é suposta constante ao longo de todo o fio. Logo, usando a notação
acima para os vetores r e r’, podemos escrever que:
0
i(r ')
r  r'
dl '
2

4 l | r  r '|
| r  r '|
i
dz 'r
B  e x 0 
4 l r 2  z '2 3/2
B


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A integral deve ser tomada ao longo do comprimento do fio, o qual vai de -  a +. Logo:
B  e x
0ir 
dz '


4
r 2  z '2


3/2
Esse tipo de integral, com os limites -  e +, é chamado de integral imprópria. Essas integrais, na
maior parte dos casos de interesse em Física, são tabeladas.
Essas integrais devem ser entendidas da seguinte forma: calculamos o valor da integral como se os
limites de integração fossem finitos. Tendo o resultado, tomamos então o limite quando os limites
de integração vão ao infinito. Em notação matemática:


f ( x )dx  lim  f ( x )dx  lim  g( x )a  lim  g(a)  g( a)
a

a
a  a
a
a
 f ( x )dx  g( x )


g(x) sendo a antiderivada de f(x).
Nesse caso particular, o valor da integral é dado por39:



r
2
 z '2

3/2
dz '


a
dz '

r
2
 z '2

3/2
 lim 
a 
a
dz '
r
2
 z '2

3/2

1
z'
 lim  2
a   r
z '2  r 2


a


1/2

 a

Portanto:

dz '


r
2
 z '2


3/2

dz '



1
a
 lim  2
a  r
r 2  a2

r
2
 z '2

3/2


1/2

1
( a)
2
r r 2  (a)2
1
a
lim2
2 a
r
r 2  a2

Logo, o módulo do campo magnético será dado por:
39
Veja a fórmula 14.196 na Tabela Schaum.
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

1/2

2
.
r2


1/2



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86
B  e x
B
B
0ir 
dz '


2
4
r  z '2


3/2
0ir  2 
ex
4  r 2 
0i
ex
2r
eq. 44
Ou seja, o módulo do campo magnético cai com 1/r, r sendo a distância ao fio.
Calculamos para um ponto sobre o eixo y. Para esse ponto o vetor campo magnético é na direção
–ex. Se o ponto não estivesse sobre o eixo y a situação seria diferente, pois agora o vetor que
localiza a posição do ponto teria componentes x e y. Nesse caso, o módulo do vetor campo
magnético continuaria sendo dado pela eq. 44, contudo o vetor campo magnético estaria contido
no plano (x,y). Em geral, podemos escrever que;
B
0i
 xe x  ye y  .
2r 2 
Na expressão anterior o vetor ey é o vetor unitário na direção y. Deixamos a demonstração desse
resultado para o estudante.
Vamos agora resolver esse mesmo problema usando a Lei de Ampère. Para poder usar a Lei de
Ampère devemos primeiro escolher uma linha fechada e uma superfície limitada por essa linha.
Devido à simetria do problema, vamos escolher como nossa curva amperiana uma circunferência
no plano (x,y), concêntrica como o fio. Como superfície, vamos escolher a área no plano (x,y)
limitada por essa circunferência. A situação é mostrada na Figura 53.
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87
z
dl
i
S
r
C
x
B
Figura 53 – Curva amperiana para o problema do fio infinito.
Pela simetria do problema sabemos que o campo deve depender somente da distância do fio ao
ponto considerado e que este campo deve estar no plano (x,y). Também sabemos que o campo
deve ser tangente à curva amperiana (a circunferência mostrada na figura).
A Lei de Ampère nos diz que:
 B.dl   i .
0
C
Observe que i é a corrente que atravessa a superfície S limitada pela curva C. No nosso exemplo,
essa curva é o círculo de raio r. Pela simetria, o vetor B e o vetor dl são paralelos. Portanto, o
produto escalar entre eles que aparece na expressão da Lei de Ampère se escreve simplesmente:
B.dl = Bdl. Usando esse resultado, a Lei de Ampère se escreve nesse caso como:
 B.dl   i
0
C
 B.dl   i .
0
C
B  dl  0i
C
A integral no lado direito dessa expressão é simplesmente o comprimento da curva C, a qual é
uma circunferência. Portanto:
B  dl  0i
C
i
B(2r )  0i  B  0
2r
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.
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88
Esse, em módulo, é o mesmo resultado obtido pela aplicação da Lei de Biot-Savart (eq. 44), como
não poderia deixar de ser.
Exemplo 12 - O campo magnético criado por uma espira circular de corrente
Vamos agora analisar outro exemplo de cálculo de campo magnético, o caso da espira circular de
corrente. Veja a Figura 54. Nessa figura mostramos a geometria do problema.
dB resultante.
z
P
Elemento
r - r'
de
corrente dl1.
r
R
r1
r - r'
de
corrente dl2.
r2
i
x
Elemento
y
Figura 54 – O caso da espira circular de corrente.
Considere uma espira circular de raio R, no plano (x,y). Queremos saber qual o campo magnético
criado pela espira no ponto P, localizado ao longo do eixo da espira, tomado como o eixo z.
Vamos solucionar esse problema de três modos diferentes. Primeiro vamos solucioná-lo
explorando a simetria do problema para descobrir a direção do campo magnético e em seguida
vamos calcular o módulo desse campo. No segundo modo, vamos calcular diretamente, sem
qualquer consideração sobre a direção do campo magnético, usando o sistema de coordenadas
cilíndricas. Por fim, vamos calcular usando coordenadas cartesianas. O objetivo é demonstrar que,
embora todos os métodos levem ao mesmo resultado, alguns são mais simples do que outros em
virtude das simetrias presentes no problema.
1) Cálculo explorando a simetria do problema
Vamos analisar o campo criado pelo elemento de corrente dl1 mostrado na figura. Um elemento
de campo criado por esse elemento de corrente será dado por:
dB1 
0 idl1
r  r1

2
4 | r  r1 | | r  r1 |
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89
Nessa situação, os vetores r e r1 serão dados por: r  ze z e r1  x1e x  y1e y . Portanto, o vetor r –
r1 será dado por: r  r1  zez  x1e x  y1e y e o módulo desse vetor será dado por:

r  r1  z 2  x12  y12

1/2

 z 2  R2

1/2
.
Nessa expressão, R é o raio da espira.
O vetor dl1 que aparece nessa equação está no plano (x,y) e é dado por: dl1  dx e x  dye y .
Observe que os elementos dx e dy podem ser positivos ou negativos.
A direção do elemento de campo será dada pelo produto vetorial. Esse produto vetorial pode ser
escrito como:
dl1  (r  r1 )   dxe x  dye y    z e z  x1e x  y1e y 
dl1  (r  r1 )  zdx e x e z  x1dx e x  e x  y1dx e x  e y
 zdye y  e z  x1dy e y  e x  y1dy e y  e y
dl1  (r  r1 )   zdx e y  y1dx e z  zdy e x  x1dy e z
dl1  (r  r1 )  z  dye x  dx e y    x1dy  y1dx  e z
Na expressão acima, salientamos os termos que se anulam do produto vetorial.
Da simetria do problema vemos que se tomarmos um elemento de corrente dl2 simétrico ao
elemento de corrente dl1, o que significa multiplicar os vetores r1 e dl1 por -1 obteremos para
produto vetorial dl2  (r –r2) exatamente o resultado acima, mas com o sinal nas componentes ao
longo do eixo x e do eixo y trocados enquanto o sinal do termo ao longo do eixo z será o mesmo:
dl2  (r  r2 )  z  dy 'e x  dx 'e y    x 'dy ' y 'dx ' ez
Como consequência as componentes ao longo do eixo x e do eixo y se cancelam exatamente,
ficando apenas as componentes ao longo do eixo z que se adicionam. É essa componente que
deve ser integrada ao longo da espira para obtermos o campo magnético.
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90
A componente ao longo do eixo z do campo magnético criado por um elemento de corrente dl
localizado pelo vetor r’ é dada por:
dBz 
0 idl
cos() .
4 | r  r '|2
Nessa expressão,  é o ângulo entre o vetor dB e o eixo z (veja a Figura 55 para a geometria).
z

dB
P
r
r - r'

r'
R
dl
y
i
x
Figura 55 – Geometria do problema da espira circular de corrente.
O co-seno do ângulo  pode ser escrito em termos das constantes R e z:
cos() 
R
R
2
 z2

1/2
Logo, o elemento de campo dBz pode ser escrito como:
dBz 
0 idl

idl
cos()  0 2 2
2
4 | r  r '|
4 R  z
dBz 
0
iRdl
4 R 2  z 2


 R
R
2
 z2

1/2

3/2
O campo total será obtido pela integração desse elemento dBz ao longo de toda a espira:
0
iRdl
4 R2  z 2
C
B   dBz  
C


3/2
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B
0
iR
4 R 2  z 2


3/2
 dl .
C
Na última igualdade, usamos o fato de que as quantidades z, R e i são constantes e, portanto,
podem ser retiradas da integral. A integral do elemento dl nada mais é do que o comprimento da
espira circular, 2R. Logo, podemos escrever que o módulo do campo B criado pela espira será
dado por:
B
0
iR
4 R2  z 2


3/2
0
 dl  4
C
iR
R
2
 z2

3/2
2R
 0i
R2
B
2  R2  z 2 3/2
eq. 45
Esse é o resultado que procurávamos. Vamos agora tomar três limites interessantes.
O primeiro é quando o ponto onde calculamos o campo está muito distante da espira.
Matematicamente isto significa: z >> R. Nesse caso, temos:
 0i
R2
B
2 R2  z 2

B

3/2
 0i R 2

2 z 2 3/2
 
 0i R 2
 lim B( z )  0
z 
2 z3
O segundo limite interessante é quando o ponto onde calculamos o campo é a origem (z = 0):
B
 0i
R2
2 R2  z 2
B
 0i R 2
i
 B 0
3
2 R
2R


3/2

 0i R 2
2 R2 3/2
 
O terceiro limite interessante é quando o raio da espira circular de corrente fica muito maior que o
valor de z (R>>z):
B
0i
0i R2
R2

2  R2  z 2 3/2
2  R2 3/2
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B
0i R2
i
 B 0 .
3
2 R
2R
Esse é o mesmo limite do segundo caso. Esse resultado não é surpreendente, pois tomar o raio da
espira cada vez maior é o mesmo que aproximar o valor de z do valor zero, que é o caso 2.
2) Cálculo explorando a simetria do problema em coordenadas cilíndricas
Vamos agora solucionar esse mesmo problema, mas utilizando a simetria envolvida de outra
forma. Não vamos supor que o campo seja dado a priori em uma dada direção. Essa informação
deve sair naturalmente das equações que vamos resolver. A geometria do problema nos impõe
uma simetria cilíndrica, já que temos uma direção no espaço que é diferente das outras duas: a
direção do eixo do cilindro que tem o anel de corrente como sua base. Veja a Figura 56.
z
r
r'
x
dl
ez
e
y
er
Figura 56 – A geometria cilíndrica para a espira circular.
Nessa figura desenhamos os vários vetores que são importantes e os vetores unitários nas
direções r,  e z no sistema cilíndrico de coordenadas. Observe que, em termos dos vetores
unitários er, e e ez do sistema de coordenadas cilíndrico, os vetores r, r’ e dl se escrevem:
r  zez
r '  R er
dl  dl e 
Portanto, o produto vetorial que aparece na equação de Biot-Savart, entre o vetor dl e o vetor rr’, é escrito nesse sistema de coordenadas:
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dl  (r  r ')  zdle  e z  Rdle  er
dl  (r  r ')  zdler  Rdl( e z )
dl  (r  r ')  zdler  Rdle z
Usando esse resultado, podemos escrever:
B
0i 
zdler
Rdle z 
 2
 2

2 3/2
4  C ( z  R )
( z  R2 )3/2 
C
eq. 46

0i 
z
R
dler  2
e dl 
 2
2 3/2 
2 3/2 z 
4 ( z  R ) C
(z  R )
C

eq. 47
B
B
0
idl
r  r'

2

4 C | r  r '| | r  r '|
A passagem da eq. 46 para a eq. 47 merece atenção especial. Observe que, ao percorrermos a
espira de corrente o vetor unitário na direção z (ez) mantém sempre a mesma direção e o mesmo
sentido. Por essa razão, podemos retirar o vetor ez para fora da segunda das integrais que aparece
na eq. 46. Contudo, o vetor unitário na direção radial (er) não é constante: embora seu módulo
seja constante, ele muda de direção e sentido em cada instante. Se tomarmos dois pontos
simétricos sobre a espira circular, esse vetor aponta em direções opostas e a soma se anula. Desse
modo, a primeira das integrais na eq. 47 se anula, nos restando apenas a segunda das integrais.
Formalmente, podemos demonstrar isso escrevendo o vetor unitário er em coordenadas
cartesianas:
er  cos()ex  sen()e y
Os vetores ex e ey são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y do sistema cartesiano.
Usando esse resultado, podemos escrever a primeira das integrais na eq. 47 como:
 dle   dl  cos()e
r
C
C
x
 sen()e y   e x R  cos()d  e2R  sen()d  0
2
2
0
0
dl  Rd
Já que a integral de 0 a 2 tanto da função co-seno como da função seno é nula.
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94
Portanto, o campo magnético terá somente componente na direção ez dada por:
B
 0i
R
e z dl
2
4 ( z  R2 )3/2 C
B
 0i
R
e z  2R 
2
4 ( z  R2 )3/2
B
0i
R2
ez
2 ( z 2  R2 )3/2
eq. 48
Este é o mesmo resultado obtido anteriormente (eq. 45).
3) Cálculo do campo da espira circular por integração direta em coordenadas cartesianas.
Vamos agora resolver o mesmo problema usando coordenadas cartesianas. Para resolver esse
problema em coordenadas cartesianas temos uma dificuldade adicional: como o vetor dl muda ao
longo da curva C fica complicado escrevê-lo em termos dos vetores unitários nos eixos x e y. Para
resolver essa dificuldade, vamos proceder do seguinte modo: vamos calcular a contribuição de um
quadrante (o primeiro por exemplo) da espira de corrente e então multiplicar esse resultado por
4:
B4
0
idl
r  r'

2

4 C1 | r  r '| | r  r '|
Nessa expressão o índice C1 indica que estamos integrando apenas no primeiro quadrante.
Na Figura 57 mostramos a geometria do problema. Nessa figura, mostramos a espira circular de
corrente a partir de uma vista superior. O eixo z, suposto perpendicular e saindo do plano da
página não é mostrado. No quadrante que vai do ponto (0,R) até o ponto (-R,0) o vetor dl pode
ser escrito em função dos deslocamentos dx e dy como (veja a Figura 57):
dl '  dx 'e x  dy 'e y
Os outros vetores que temos no problema, o vetor r e o vetor r’ são escritos em termos de suas
componentes ao longo dos eixos nos sistemas de coordenadas cartesianas:
r  z e z e r '  x 'e x  y 'e y .
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95
Primeiro quadrante da
Vetor dl transladado.
espira.
(-R,0)
dy
r'
dl
(0,R)
dx
y
Espira circular.
x
Figura 57 – Vista superior da espira circular. O eixo z, perpendicular ao plano da página,
saindo da página, não é mostrado.
Conseqüentemente o vetor r – r’ será dado por: r  r '   x 'e x  y 'e y  zez . Novamente vamos
começar calculando o produto vetorial entre o vetor dl e o vetor r – r’:
dl   r  r '   dx 'e x  dy 'e y     x 'e x  y 'e y  z e z 
dl   r  r '  x 'dx 'e x  e x  y 'dx 'e x  e y  zdx 'e x  e z
 x 'dy 'e y  e x  y 'dy 'e y  e y  zdy 'e y  e z
dl   r  r '  y 'dx 'e z  zdx 'e y  x 'dy 'e z  zdy 'e x
Os termos que estão marcados são aqueles cujo produto vetorial envolve dois vetores iguais e
que, portanto, são nulos.
Agrupando os termos que são proporcionais ao mesmo vetor unitário, podemos escrever:
dl   r  r '  zdx 'e y  zdy 'e x   y 'dx ' x 'dy ' ez
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96
Portanto, o campo B vindo do primeiro quadrante nos dará:
B1 
0
idl '
r  r ' 0i zdx 'e y  zdy 'e x   y 'dx ' x 'dy ' e z


2

4 C1 | r  r '| | r  r '| 4 C1
( z 2  R2 )3/2
B1 


 0i
1


z
e
dx
'

z
e
dy
'

e
y
'
dx
'

e
x
'
dy
'


y
x
z
z
2
2 3/2




4 ( z  R ) 
C1
C1
C1
C1



Da simetria do problema, podemos perceber que ao calcularmos o campo criado pelos elementos
do terceiro quadrante as duas primeiras integrais que aparecem no lado direito da expressão para
B1 serão canceladas, restando apenas as integrais proporcionais ao vetor unitário na direção e3.
Logo, podemos escrever que o campo dos elementos de corrente no primeiro quadrante serão
dados por:
B1 


0i
1


e
y 'dx '   x 'dy '
2
2 3/2 3  
4 ( z  R )
C1
C1



Essas integrais podem ser resolvidas se usarmos o fato de que as componentes x’ e y’ não são
independentes, uma vez que descrevem uma circunferência de raio R, mas se relacionam por:
 x '  y' 
2
2
1/2


 x '  R2  y '2

R
 y '  R2  x '2



1/2
1/2
Usando esse resultado, podemos escrever a expressão para B1 como:
B1 


1/2
1/2
0i
1


2
2
2
2
e
R

x
'
dx
'

R

y
'
dy
'






z
2
2 3/2


4 ( z  R )
C1
C1



eq. 49
Essas duas integrais são de fato a mesma integral. Essas integrais são do tipo40:

a2  x 2

1/2
dx 
x(a2  x 2 )1/2 a2
x
 arcsen  
2
2
a
Nas nossas integrais a constante a da equação acima corresponde à variável R, o raio da espira
circular.
40
Tabela Schaum equação 14.244.
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97
Observe que as variações de y’ e x’ não são iguais ao percorremos o primeiro quadrante: enquanto
a variável x’ varia de 0 a –R a variável y’ varia de R a 0. Vamos calcular agora cada uma das
integrais em separado:
 R
2
 x '2

1/2
dx '  
R
0
C1
R
2
 x '2

1/2
dx '
R
 R
2
2
 x'

x '(R 2  x '2 )1/2 R 2
 x'
dx ' 
 arcsen  
2
2
 R 0
 R
2
 x '2

 ( R )(R 2  ( R )2 )1/2 R2
 R  
dx '  
 arcsen 

2
2
 R 

R
0
R
0
1/2
1/2
 0(R 2  02 )1/2 R 2
 0 

 arcsen   
2
2
 R 

R2
R2
arcsen(-1)- arcsen(0)
2
2
2
1/2
R 3
R 2  x '2
dx '  (  0)
2 2
1/2
3
R 2  x '2
dx '  R 2
4
 R
R
0
 
R
0
 
R
0
2
 x '2

1/2
dx ' 


A outra integral se resolve de forma semelhante:
 R
2
 y '2

 y'

1/2
0
C1
 R
R
0

R
0
2
2
 R2  y '2 
R
1/2
1/2

dy '   R 2  y '2

1/2
dy '
R
y '(R2  y '2 )1/2 R2
 y' 
dy ' 
 arcsen  
2
2
 R 0
 (R )(R2  (R )2 )1/2 R2
 R 
dy '  
 arcsen   
2
2
 R 

 0(R2  02 )1/2 R2
 0 

 arcsen   
2
2
 R 

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R2
R2
arcsen(1)- arcsen(0)
2
2
2
1/2
R 
R2  y '2
dy '  (  0)
2 2
.
1/2

R2  y '2
dy '  R2
4
 R
R
0

R
0

R
0
2
 y '2

1/2
dy ' 


Usando esses dois resultados, podemos escrever a soma de integrais aparecendo na eq. 49 como:
 R
C1
2
 x '2

1/2

dx '   R2  y '2

1/2
dy ' 
C1
3 2  2  2
R  R  R
4
4
2
E o campo B1 como:
B1 
B1 

 0i
1
e
R2  x '2
2
2 3/2 z  
4 ( z  R )
C1


1/2

dx '   R 2  y '2
C1

1/2

dy '

 0i
1
 2
R ez
2
2 3/2
4 ( z  R ) 2
O campo total será o campo B1 multiplicado por 4:
B  4B1
B4
B
 0i
1
 2
R ez
2
2 3/2
4 ( z  R ) 2
 0i
R2
ez
2 ( z 2  R2 )3/2
.
Que é o mesmo resultado obtido nos casos a e b solucionados anteriormente (eq. 45).
Força entre fios paralelos portadores de corrente
Como um último exemplo, vamos calcular a força entre dois fios paralelos portadores de corrente.
A situação é mostrada na Figura 47.
Vamos analisar inicialmente a situação em que os dois fios têm correntes com mesmo sentido. Os
dois fios criam campos magnéticos que atuam sobre o outro fio. A diferença está no sentido do
campo magnético criado: enquanto o campo magnético do Fio 1 (B1) está entrando na página na
posição ocupada pelo Fio 2 o campo magnético criado pelo Fio 2 (B2) está saindo da página na
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posição ocupada pelo Fio 1. Se tomarmos um sistema de coordenadas com o eixo z paralelo aos
fios e o eixo x saindo da página então podemos escrever:
d
Campo criado pelo fio 2 na
Campo criado pelo fio 1 na
i1
posição do fio 1 (B2).
i2
F1
posição do fio 2 (B1).
F2
.
Fio 2
Fio 1
Figura 58 – Dois fios paralelos com correntes no mesmo sentido.
Campo criado pelo fio 2 na
d
posição do fio 1 (B2).
Campo criado pelo fio 1 na
posição do fio 2 (B1).
i1
i2
F1
F2
Fio 2
Fio 1
Figura 59 – Fios paralelos com correntes antiparalelas.
B1  B1 e x
B2  B2 e x
Os elementos de corrente, dl1 e dl2 são paralelos e estão na direção positiva do eixo z. Portanto,
as forças que atuam sobre os fios são dadas por:
F1
dl1  B2  dze z  B2e x  dzB2e y
F2 dl2  B1  dze z  (B2e x )  dzB2e y
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100
Portanto, a força que atua sobre o Fio 1 está ao longo do eixo y, apontando no sentido positivo do
eixo y enquanto que a força que atua sobre o Fio 2, também sobre o eixo y, apontando para a
esquerda. A conclusão é que os dois fios se atraem.
Vamos analisar agora a situação em que as correntes são antiparalelas. A situação é ilustrada na
Figura 59.
Nesse caso, os dois campos estão saindo da página. Portanto:
B1  B1 e x
B2  B2 e x
E as respectivas forças serão dadas por:
F1
dl1  B2  dze z  B2e x  dzB2e y
F2 dl2  B1  dze z  B2e x  dzB2e y
Logo, a força sobre o Fio 1, devido ao campo criado pelo Fio 2, será ao longo do eixo y apontando
para a esquerda enquanto que a força sobre o Fio 2 devido ao campo criado pelo Fio 1 será
também ao longo do eixo y apontando para direita. Ou seja, os dois fios se repelem. Em geral,
podemos escrever que:
Fios nos quais temos correntes no mesmo sentido se atraem
enquanto que fios portando correntes em sentidos opostos se
repelem.
Solenóides e toróides
Para finalizar o nosso estudo sobre o campo magnético criado por correntes estacionárias, vamos
analisar duas configurações bastante usadas em laboratórios de Física: o solenóide e o toróide.
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101
Espira de corrente.
Corrente i0
Figura 60 – O solenóide.
Um solenóide consiste em um conjunto de espiras colocadas lado a lado pelas quais passa certa
corrente i0. Uma materialização dessa ideia é um fio enrolado na forma de um cilindro. Veja a
Figura 60.
Queremos calcular o campo dentro e fora do solenóide. Para isso, vamos escolher uma curva
amperiana retangular que esteja parte dentro do circuito e parte fora. A Figura 61 traz a curva
amperiana e um corte transversal do solenóide ao longo do seu eixo. Nessa figura a curva
amperiana é o retângulo abcd. Pela Lei de Ampère, a corrente total que atravessa a superfície do
retângulo é proporcional à circulação do vetor campo magnético:
 B.dl   i
0
C
Em cada espira, temos uma corrente i0 . Logo, se a curva amperiana envolve N‘ espiras. A corrente
que atravessa a superfície da curva amperiana é dada por:
i  N 'i0  Nli0
Nessa expressão, usamos o fato de que temos N espiras por unidade de comprimento do
Espiras (corrente
entrando na página)
c
b
a
Bi
Curva amperiana
d
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l
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Espiras (corrente
saindo da página)
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102
solenóide.
Figura 61 – Curva amperiana para o solenóide.
Pela simetria do problema, vemos que na região interna do solenóide o campo magnético deve ser
mais intenso que no lado externo, uma vez que na parte interna os campos das diferentes espiras
se somam (vetor Bi na figura). Observe que dentro do solenóide o campo das espiras cai com 1/r,
mas à medida que nos afastamos de uma face do solenóide nos aproximamos da outra. Por essa
razão, podemos considerar que o campo dentro do solenóide seja constante. Na parte externa,
esse campo deve ser quase nulo, uma vez que o campo criado pelas diferentes espiras cai com
1/r. Além disso, na parte de fora, os campos das espiras se subtraem, como pode ser visto pela
aplicação da regra da mão direita.
Portanto, dos quatro lados da curva amperiana, somente o lado ad vai contribuir para a integral na
Lei de Ampère:
 B.dl  
C
B.dl  0i0 Nl
abcda
d
B  dl  0i0 Nl
a
Bl  0i0 Nl
B  0i0N
eq. 50
Na derivação da eq. 50 fizemos uso de que a integral de a até d de dl é simplesmente o
comprimento desse lado (l).
Vamos agora analisar o caso do toróide. Um toróide pode ser visto como um solenóide curvado
sobre si mesmo. Veja a Figura 62.
Corrente saindo da página.
Curva amperiana
Corrente entrando na página
B0
Toróide
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103
Figura 62 – Vista superior do toróide.
Neste caso é melhor tomar como curva amperiana uma circunferência de raio r concêntrica com o
toróide. Chamando de N ao número total de espiras em torno do toróide, a corrente que
atravessa a superfície limitada pela curva amperiana é dada por:
i  Ni0
Como antes, i0 é a corrente que passa em cada espira. A simetria do problema nos indica que o
campo no interior do toróide deve ter a direção do ângulo  das coordenadas cilíndricas (campo
B0 indicado na figura), sendo paralelo ao vetor dl da curva amperiana. Logo, aplicando a Lei de
Ampère obtemos para o campo no interior do toróide:
 B .dl   i N
0
0 0
C
B  dl  0i0N
C
B2r  0i0 N  B 
0i0 N 1
2 r
Observe que nesse caso o campo magnético não é constante em módulo no interior do toróide,
mas apresenta um decaimento de 1/r.
Trabalho
Como vimos anteriormente, ao discutirmos o conceito de calor, existem duas formas de
transmitirmos energia entre dois sistemas físicos: calor e trabalho. Já discutimos o primeiro deles,
conceituando-o como uma forma de transmissão de energia entre sistemas físicos devido à
diferença de temperatura entre eles. Analisamos ainda as diferenças entre os conceitos de calor e
temperatura, apontando para o fato de que estes dois conceitos são relacionados, mas indicam
diferentes propriedades dos sistemas físicos.
Mas o que vem a ser trabalho? Quando discutimos o conceito de energia chamamos a atenção
para o fato de que não podemos definir energia, como a maior parte dos livros texto de Física o
faz, como a capacidade de realizar trabalho. Agora você deve ter claro o porquê dessa nossa
observação: definimos trabalho como uma forma de transmitir energia. Se tivéssemos definido
energia em função de trabalho teríamos uma definição circular: teríamos definido energia em
função de trabalho e agora definiríamos trabalho em função da energia.
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104
Além disso, quando da nossa discussão sobre calor, vimos que podemos transmitir energia sob
forma de calor e que a energia interna de um sistema pode variar (aumentar ou diminuir) em
função da absorção ou perda de energia sob forma de calor.
Antes de definirmos o que seja trabalho é importante salientar que o termo Trabalho em Física
nada tem a ver com o sentido usual, no dia a dia, que damos a essa palavra. Aqui temos um
problema com a tradução do termo que em inglês designa esta quantidade: work. Este termo
indica41:
work
[wA:k] s. trabalho m.; labor m.; ocupação f., profissão f.; tarefa f.; serviço
m.; produto m. manufaturado; obra f.; atividade f., esforço m.; costura f.;
bordado m.; ação f.; mecanismo m. works fábrica f.; (Milit.) fortificação f.;
(Eng.) construção f.; empreendimento m. š v. trabalhar; funcionar; produzir;
formar; lavrar, cultivar; executar cuidadosamente; elaborar; explorar
(mina); tecer; administrar (fazenda). needle-work trabalho de agulha. work
of art obra de arte. out of work desempregado. your plan does not work seu
plano não funciona.
Como você pode observar, há aqui uma ênfase em ações, em algo que resulta da ação de algum
agente. Na acepção em que usamos a palavra trabalho em português, no sentido de ocupação
profissional o termo da língua inglesa mais apropriado seria job42:
job
[dJób] s. obra, empreitada, tarefa f, emprego m., colocação f. š v. negociar,
comprar e vender; empreitar. odd- jobs trabalho avulso, (gíria, Bras.) bico,
biscate. out of job desempregado.
Portanto, a origem da confusão é que usamos o mesmo termo em português para dois termos
distintos da língua inglesa.
O que é trabalho?
41
Dicionário Michaelis Eletrônico versão 3.0.
42
Idem.
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105
Antes de definirmos o que vem a ser trabalho precisamos definir o que seja a ação de uma força.
Observe a figura abaixo.
Nessa
figura
representamos
um
garoto
puxando
um
carrinho
enquanto
brinca.
Esquematicamente, essa situação pode ser representada pela Figura 63, na qual uma caixa
representa o carrinho que está sendo puxado pelo menino, que não aparece na figura.
Fy
F
m
Fx
v
Figura 63
O carrinho tem a sua velocidade aumentada até que esta fique constante. Inicialmente, a energia
cinética do carro era zero, pois ele estava em repouso. Depois de algum tempo a energia cinética
1
do carro passou a ter certo valor, dado por: Ec  mv2 (m é a massa do carrinho e v a sua
2
velocidade). É importante que você observe que a velocidade do carro é toda na direção
horizontal, que chamamos de x no nosso desenho.
Aqui surge a pergunta: se a energia inicial era zero (o carrinho estava em repouso) e a energia se
conserva, de onde veio a energia que o carrinho apresenta depois de algum tempo? E como esta
energia foi transferida para o carrinho? Vamos tentar responder a cada uma destas questões.
1. De onde veio a energia cinética que o carrinho apresenta depois de algum tempo?
Analisando a situação só temos duas fontes de energia possíveis.
A primeira seria a Terra, através da transformação de energia potencial em energia cinética do
carrinho. Mas, olhando mais detidamente o problema, vemos que o carrinho se movimenta na
direção horizontal e, portanto, sua energia potencial é a mesma ao longo de toda a sua trajetória.
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106
Logo, a transformação de energia potencial gravitacional em energia cinética não explica o ganho
de energia do carro.
A outra fonte possível de energia do carrinho é o menino (que não aparece na segunda figura). O
menino puxa o carrinho e para fazer isto exerce uma força sobre o mesmo. Este processo envolve
a transformação de energia química de origem muscular em energia cinética do carrinho. Assim,
chegamos à conclusão de que a energia cinética que aparece no carrinho é a energia química
muscular que o menino gasta. Mas será que toda energia química liberada pelo menino enquanto
puxa o carro se transforma em energia do carrinho? A resposta é não, pois uma parte da energia é
perdida por atrito das rodas com o chão.
E o que acontece quando a velocidade do carrinho fica constante? Nesse caso a sua energia
cinética para de variar e a energia despendida pelo menino para manter o movimento é usada
somente para compensar as perdas da energia cinética provocadas pelas perdas por atrito das
rodas com o solo.
Respondemos de maneira satisfatória à primeira questão: de onde sai a energia que o carrinho
adquire. Agora devemos responder à segunda questão:
2. Como a energia é transferida para o carrinho?
Você observou, com certeza, que o carrinho é puxado pelo menino. Isto é feito através da
aplicação de uma força (chamada de F na figura) na direção da corda. Esta força pode ser
decomposta em duas direções: uma parte da força atua na direção do movimento do carrinho
enquanto que outra parte atua em uma direção perpendicular ao movimento (que denotamos por
Fx e Fy no desenho). Se observarmos que a velocidade do carrinho se altera somente na
horizontal, na direção que chamamos de x, então chegaremos à conclusão que somente aquela
parte da força aplicada pelo menino e que atua na direção x provoca variação na velocidade do
carrinho e, por consequência, na sua energia cinética. É esta parte da força que transfere energia,
de forma mecânica, por arrasto, ao carrinho.
No caso em que a força aplicada pelo menino no carro é constante (ou seja, mesma intensidade,
direção e sentido de aplicação) podemos quantificar a energia transferida para o carrinho
simplesmente multiplicando a componente da força aplicada no carrinho pela distância na qual ela
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107
age. Na notação do desenho: Fx  d. O estudante pode facilmente verificar que esse produto tem
dimensões de energia.
A essa quantidade chamamos de Trabalho da força. Observe que a parte da força que age na
direção que chamamos de y, que é perpendicular à direção do movimento, não transfere energia
para o carrinho, pois a velocidade do carrinho nesta direção não se altera e, por conseguinte, a
energia cinética do carrinho nesta direção também não. Este é um resultado bastante geral: uma
força somente pode realizar trabalho na direção do movimento. Se a força for perpendicular à
direção do movimento então não é possível a essa força transferir energia ao sistema. Estamos
agora em condições de definir o que seja o trabalho:
Trabalho é uma forma de transmissão de energia de um sistema
físico para outro sistema físico através da ação mecânica de um
sistema sobre o outro (puxão, arrasto, empurrão, etc.)
Matematicamente, a parte da força que age na direção do deslocamento é expressa por:
Fx  F cos() .
 é o ângulo entre a força F e a direção de deslocamento (veja a Figura 64).
F

A
Direção do deslocamento
B
Figura 64 – Esquema da força atuando em um objeto.
Portanto, ao agir entre os pontos A e B mostrados na figura o trabalho realizado (que
simbolizaremos pela letra T) pela força F será dado por:
T  Fd cos()
Vamos generalizar essa ideia para o caso em que a força ao longo da trajetória não seja constante.
Nesse caso, a expressão mais geral para o trabalho realizado pela força F é dada pela integral do
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108
produto escalar da força pelo deslocamento dl. O caminho de integração é tomado ao longo da
trajetória seguida pela partícula:
eq. 51
T   F.dl
As expressões que apresentamos anteriormente são casos particulares desta. Por exemplo, no
caso de uma partícula que se desloque em linha reta, entre os pontos a e b mostrados na Figura
65, sob ação de uma força paralela à sua trajetória, temos que para todos os pontos da trajetória:
b
b
b
a
a
a
 F.dl   F .dl  F  dl  F(b  a)  Fd
Nessa expressão, d é o comprimento da trajetória da partícula.
Trajetória
a
F
b
d
Figura 65 – Movimento sob ação de uma força constante
A Figura 66 ilustra, do mesmo modo que a figura semelhante para o calor, a ideia do fluxo de
energia entre dois sistemas, agora tendo o trabalho como razão. Por convenção, quando a energia
entra em um sistema na forma de trabalho o sinal desta energia é negativo (positivo se for na
forma de calor) e positivo quando sai do sistema (negativo para o calor). As razões disto ficarão
mais claras quando estudarmos a Primeira Lei da Termodinâmica.
Figura 66 – Transferência de energia sob a forma de Trabalho.
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109
O teorema trabalho energia
Nem sempre o cálculo do trabalho é simples. O mais comum é que seja necessário o uso de
ferramentas matemáticas poderosas, como o Cálculo Integral, para podermos calcular o trabalho
realizado por uma força.
No entanto, poderemos obter uma forma simples de calcular trabalho mesmo naquelas situações
mais complicadas se usarmos a conservação da energia. Vamos supor que a energia seja
transferida somente através de trabalho de um sistema para o outro. Então, nesse caso, a energia
transferida sob a forma de trabalho provocará um aumento na energia total do sistema que
recebe o trabalho realizado. Se não houver variação na energia potencial (como no exemplo do
carrinho mais acima) então toda energia incorporada ao sistema que recebe energia provocará
variação na energia cinética do sistema.
No caso de haver mais forças atuando sobre o sistema esse resultado é válido para a força
resultante atuando no sistema. Veja que quando temos mais de uma força agindo no sistema
temos que levar em conta que parte do trabalho executado pelas forças individuais poderá ser
transformada em energia cinética e parte em potencial. Considere a situação mostrada na Figura
67.
h
F
Fg
a
Figura 67
A força F é a responsável por levar a partícula até a posição h. Para fazer isso, é necessário
compensar a ação da força da gravidade. Como as duas forças têm sentidos opostos, o trabalho
executado pela força F tem sinal oposto ao da força gravitacional. Se o módulo da força F for
maior que o módulo da força gravitacional então a partícula será acelerada e parte do trabalho
executado pela força F fica armazenada no sistema sob a forma de energia potencial e parte
aparece na forma de um incremento na energia cinética da partícula. A parte que será
transformada em energia cinética é justamente o trabalho executado pela resultante das forças
atuando na partícula.
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110
Esse teorema é chamado Teorema Trabalho – Energia:
O trabalho executado pela força resultante atuando sobre uma
partícula é dado pela variação da energia cinética da partícula.
Podemos demonstrar o teorema trabalho energia facilmente, usando a definição de trabalho dada
pela eq. 51:
b
b
b
b
dv
dl
Tab   Fr .dl   m .dl   mdv.   mdv.dv
dt
dt a
a
a
a
b
b
b
m
1
1
Tab   d(v 2 )  m d(v 2 )  m v 2 
a
2
2 a
2
a
1
1
Tab  mvb2  mva2  Tab  Ecb  Eca  E c
2
2
Essa passagem requer certo cuidado. Essa expressão é válida para a força resultante que age sobre
a partícula. Observe que usamos na derivação do teorema Trabalho-Energia a expressão:
Fr  m
dv
a qual é somente válida para a força resultante. Se tivermos n forças agindo sobre a
dt
partícula, a expressão para o trabalho de cada força não é igual à variação da energia cinética da
partícula. Somente para a resultante podemos escrever que o trabalho por ela realizado é igual à
variação da energia cinética da partícula.
Campos Conservativos
Um campo é dito conservativo se o trabalho realizado pelo campo sobre uma partícula que se
desloca entre duas posições [a,b] for independente do caminho seguido pela partícula e depender
apenas dos pontos inicial e final da trajetória da partícula. Matematicamente podemos expressar
essa ideia por:

b
a
b
F.dl   qC C.dl  G(b)  G(a)
a
eq. 52
Nessa expressão, qC indica a qualidade da matéria que cria o campo C (massa, carga elétrica,
corrente elétrica, carga nuclear, etc..)
A Figura 68 ilustra essa ideia. Considere uma partícula que se desloque entre dois pontos a e b em
uma região na qual existe um campo C. Se o trabalho realizado pelo campo C for independente da
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111
trajetória seguida pela partícula, ou seja, se o trabalho realizado pelo campo C somente depender
das coordenadas dos pontos a e b então dizemos que o campo C é um campo conservativo.
Quando essa propriedade não é válida então dizemos que o campo C é não conservativo.
Mas por que chamamos a esses campos de conservativos?
Trajetória I
z
b
Trajetória II
a
y
Trajetória III
x
Figura 68 – Diferentes trajetórias entre os pontos a e b.
Para entendermos essa nomenclatura, vamos analisar o que acontece com o campo gravitacional.
Considere a situação mostrada na Figura 69. Nessa figura mostramos uma partícula que cai certa
altura h sob ação do campo gravitacional.
Posição inicial
h1
g
h
h2
Posição final
Figura 69 – Partícula movendo-se sob ação do campo gravitacional.
Já sabemos que a variação na energia potencial da partícula será dada por:
Ep  Epf  Epi  mg(h2  h1 )
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A variação na energia potencial é numericamente igual ao trabalho realizado pelo campo
gravitacional (g), à medida que a partícula se desloca da posição h1 até a posição h2:
h2
Th   mgdx  mg(h2  h1 )  E p  0
h1
Nesse processo, a energia potencial da partícula aumentou, já que h2 > h1. Contudo, pelo teorema
Trabalho – Energia que vimos na seção anterior, esse trabalho é igual à variação na energia
cinética da partícula: Th  Ec  0 . A consequência é que, em módulo, a variação na energia
cinética da partícula é igual à variação na sua energia potencial, com a consequente conservação
da energia que havia antes de a partícula sair da posição h1 até a posição h2. Daí o nome de
Conservativo para esse tipo de campo.
Naturalmente que a Energia se conserva, mesmo se o campo não for conservativo. Nesse caso,
temos que levar em conta as perdas de energia do sistema para a vizinhança em outras formas,
como Calor, por exemplo.
Um exemplo de forças conservativas: forças centrais
Vimos que uma força conservativa é aquela cujo trabalho realizado sobre uma partícula, quando
essa partícula se desloca entre dois pontos a e b, não depende do caminho, apenas dos pontos
inicial e final.
Vamos aplicar essa definição a uma classe especial de forças (e campos) chamadas de forças
centrais. Uma força é dita central quando depende unicamente da distância até o centro da força.
Por centro da força entendemos a partícula que cria o campo considerado. Dois exemplos desse
tipo de força são a força eletrostática e a força gravitacional.
Lembrando a forma geral dessas forças:
FK
q1q2 r
r2 r
eq. 53
A constante K que aparece nessa expressão depende do campo considerado, valendo –G para
caso gravitacional e 1/(40) no caso eletrostático, e as quantidades q1 e q2 podem ser as massas
das partículas interagindo ou as cargas.
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Usando a definição da eq. 53, vamos calcular o trabalho realizado por uma força conservativa
quando uma partícula descreve uma trajetória como a mostrada na Figura 70 entre dois pontos a
e b.
z
Trajetória
da
b
partícula
F
r
Ponto final
dl
a
y
Ponto inicial
x
Figura 70 – Trajetória de uma partícula sob ação de um campo central.
Da definição do trabalho executado pela força F entre os pontos a e b podemos escrever que:
b
b
a
a
Wab   F.dl  
Wab  Kq1q2 
b
a
Nesta última expressão, usamos que:
Kq1q2 r
.dl
r2 r
1
dr
r2
r
.dl  dl cos   dr onde  é o ângulo entre o vetor r (e
r
portanto do vetor F) com a trajetória da partícula e dr é o vetor unitário na direção radial. Se
chamarmos os vetores que localizam os pontos a e b por ra e rb, respectivamente, então podemos
escrever:
Wab  Kq1q2 
rb
ra
r
b
1
 1
dr

Kq
q

1 2

r2
 r  ra
 1   1  
Wab  Kq1q2        
 rb   ra  
1 1
Wab  Kq1q2   
 ra rb 
Portanto, o trabalho de um campo central (ou força central) depende somente dos pontos inicial e
final da trajetória, não dependendo da trajetória seguida pela partícula. Esse resultado vale tanto
para o campo eletrostático como para o campo gravitacional.
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Calor
Comentamos na seção anterior que a energia é uma quantidade que se conserva. Se o sistema for
um sistema fechado então a energia total do sistema será uma constante. Se o sistema for um
sistema aberto então o que se conserva é a soma da energia do sistema em um dado momento
com a energia que entra ou sai do sistema.
Mas como diferentes sistemas físicos podem trocar energia entre si? Existem duas formas pelas
quais diferentes sistemas físicos podem trocar energia: uma é chamada de calor e a outra é
chamada de trabalho. Nesta seção, estudaremos o calor e mais adiante estudaremos o trabalho.
O que é o calor?
Uma ideia antiga, e que ainda encontramos em textos didáticos atuais, dirigidos às séries iniciais
do ensino fundamental, faz a comparação do calor com um fluido que seria armazenado nos
diferentes materiais. Essa teoria era conhecida como teoria do calórico. Por exemplo, as
transcrições abaixo são de um livro didático bastante usado em Campo Grande43:
Calor é uma forma de energia que passa de um corpo para o outro. O
calor realiza trabalho.
Quando o calor de um corpo aumenta,...
Quando o calor de um corpo diminui...
Se você colocar água no congelador, ela vai perdendo calor, até se transformar em
gelo.
43
a
Passos, Célia & Silva, Zeneide Eu gosto de ciências - programa de saúde. 4 série. São Paulo: Editora Nacional.
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115
Outra confusão bastante comum que os livros didáticos fazem é entre calor e temperatura. Por
exemplo 44:
Você já percebeu que geralmente sentimos mais calor ao meiodia do que de manhãzinha ou ao anoitecer? Se você tiver um
termômetro
em
casa,
observe,
durante
alguns
dias,
a
temperatura em diferentes horas.
No modelo do calórico, o calor é visto como um
fluido que permeia os objetos. Neste modelo,
quanto maior a temperatura de um corpo,
maior a quantidade de calórico que o mesmo
possui. Quando dois objetos têm diferentes
temperaturas então ocorreria um fluxo deste
fluido de um objeto para o outro. Este modelo
foi desmentido por um físico chamado Rumford
45
. Trabalhando com a construção de canhões,
Rumford observou que havia uma produção
contínua de calor durante o processo de
perfuração das barras de ferro que formam o cano do canhão: mesmo quando as brocas estavam
cegas o aquecimento continuava. Isso contradizia a teoria do calórico, a qual previa que se o metal
não estivesse mais sendo perfurado não poderia mais desprender calor, pois, nesse caso, partes
do canhão não estariam mais sendo arrancadas e o calórico não poderia mais fluir para o exterior.
A partir da observação de Rumford, uma nova percepção do que seja o calor foi estabelecida
tendo por base o princípio da conservação da energia. Por este princípio, a energia deve ser
necessariamente conservada. Então o calor observado nada mais é do que a energia enquanto
esta flui de um sistema para outro sistema devido à diferença de temperatura entre os dois
sistemas.
O fluxo de energia sob forma de calor ocorre sempre do sistema de maior temperatura para o
sistema de menor temperatura.
44
Sampaio, F. A. A. & Carvalho, A. F. Caminhos da ciência, vol.4. São Paulo: IBEP.
45 Benjamin Thompson, Conde de Rumford, 1753 – 1814.
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116
De modo a entendermos melhor isto, vamos fazer uma analogia. Imagine uma pessoa que viaje de
Campo Grande para Porto Alegre durante as férias. Antes de sair de Campo Grande esta pessoa é
um habitante da cidade de Campo Grande. Durante a viagem, ao passar por várias cidades ao
longo do caminho, esta pessoa é chamada de viajante. Depois de chegar a Porto Alegre, e durante
todo o período em que lá estiver, a pessoa passa a ser um habitante daquela cidade.
Com a energia acontece algo semelhante. Vamos analisar o processo de troca de energia entre
dois sistemas quaisquer. Antes de sair do Sistema A, mostrado na Figura 71, a energia se encontra
na forma de energia interna do Sistema A. Por energia interna chamamos a soma de todas as
formas de energia em um sistema, cinética e potencial dos mais variados tipos. É claro que a
forma específica da energia interna de um sistema depende das características de cada sistema
físico. Depois que a energia entra em outro sistema, o Sistema B mostrado na figura, ela é
absorvida nas formas de energia características desse sistema. A energia somente é calor
enquanto está em trânsito entre os dois sistemas.
Figura 71 – Esquema para a troca de energia sob forma de calor entre dois sistemas
físicos.
Deve ser chamada a atenção para o fato de que a transmissão de energia de um sistema para
outro sob forma de calor somente ocorre enquanto a temperatura dos dois sistemas é diferente.
Por isso, durante o processo de transferência de energia sob forma de calor, o processo se
mantém somente enquanto a temperatura dos dois sistemas for diferente. À medida que a
energia sai de um sistema em direção ao outro, a temperatura do sistema que perde energia sob
forma de calor diminui enquanto que a temperatura do sistema que está recebendo energia sob
forma de calor aumenta.
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117
Pela definição que demos acima você deve ter percebido que a definição que os físicos dão a calor
é completamente diferente do sentido associado a esta palavra pelo senso comum. A noção de
calor que trazemos para a escola é, basicamente, de natureza psicológica e o mais correto seria
falar de sensação de quente e de frio. Do ponto de vista da Física, o frio não tem significado. O
significado deste termo, frio, está associado à nossa sensação de perda de energia sob forma de
calor. Você, obviamente, sabe que a sensação de frio somente aparece quando os termômetros
marcam temperaturas mais baixas em relação à nossa própria temperatura corporal. Lembrando
que a temperatura de nosso corpo é mantida em 37 graus Celsius, aproximadamente, e
lembrando que para que haja fluxo de energia sob forma de calor é necessário haver diferença de
temperatura entre os dois sistemas, será fácil para você perceber que quanto mais baixa for a
temperatura do meio ambiente maior será a quantidade de energia que o nosso organismo perde
na forma de calor. A esta sensação de perda de energia sob forma de calor é que chamamos de
frio.
Exercícios
1. Identifique processos que ocorrem na sua casa nos quais acontece transferência de energia sob
forma de calor.
2. Para este experimento você vai precisar de uma caixa de
isopor pequena e dois copos de metal. Ferva uma chaleira
com uma quantidade de água suficiente para encher um dos
copos. Encha o outro copo com água retirada da torneira.
Faça dois furos na tampa da caixa de isopor de tal modo que
você possa passar por cada um deles um termômetro.
Coloque os dois copos dentro da caixa de isopor de modo
que as paredes dos copos fiquem encostadas uma na outra e coloque a tampa de modo que cada
termômetro fique dentro de um dos copos. Veja o esquema ao lado.
Observe o que acontece com a temperatura de cada um deles.
3. Faça o seguinte experimento. Esquente, não muito, uma bacia de água. Resfrie outra
quantidade equivalente de água no congelador de seu refrigerador. A seguir coloque, lado a lado,
três bacias: uma com a água que está aquecida, outra com a água que foi resfriada e uma terceira
com água da torneira, à temperatura ambiente. Coloque a sua mão direita na bacia com água
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118
aquecida e a sua mão esquerda na bacia com água resfriada. Conte até 20 e coloque as duas mãos,
ao mesmo tempo, dentro da bacia com água da torneira. O que aconteceu?
Modos de transferência de energia sob forma de calor
Podemos observar que no Universo existem apenas três processos de transferência de energia
entre dois sistemas físicos, unicamente devido à diferença de temperatura entre eles. Esses
processos recebem os nomes de Condução, Convecção e Radiação. Estudaremos cada um deles
detidamente a seguir.
Processo de condução
Esta forma de transferência de energia é característica, sobretudo, dos sólidos. A principal
característica desse processo é que nele temos a transferência de energia sem a transferência de
matéria. Nos sólidos os átomos não são livres para se movimentarem pelo material, ficando
confinados em posições mais ou menos fixas, tendo a liberdade apenas de executarem oscilações
em torno dessa posição. Como as ligações são rígidas entre eles, se um conjunto de átomos
aumenta a sua vibração em torno da posição de equilíbrio todos os outros acabam afetados por
esse aumento da vibração desses átomos.
Átomo
em
vibrando
torno
posição
da
de
Fonte de energia
equilíbrio
Figura 72 – O processo de condução de calor.
Processo de convecção
Esse processo de condução é típico dos fluidos (líquidos e gases). Nesse caso, ocorre a
transferência de energia pelo fluxo de matéria. Como iremos ver mais adiante a característica
principal da matéria nesses dois estados é a mobilidade dos átomos ou moléculas. Diferentemente
do estado sólido, estado no qual os átomos não possuem liberdade de movimento, nos fluidos à
medida que aumentamos a temperatura também aumentamos a mobilidade das partículas. Com
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119
maior mobilidade essas partículas mais energéticas podem se movimentar por todo sistema. É
graças ao processo de convecção que existem os ventos, por exemplo.
Figura 73 – O processo de convecção.
Processo de radiação
Nesse processo, a energia é emitida na forma de ondas eletromagnéticas na faixa de freqüências
chamada de infravermelho. Esse é o processo pelo qual o Sol envia energia para a Terra. A
radiação infravermelha é responsável pelo aquecimento de ambientes envidraçados e pelas
queimaduras de sol que aparecem em quem fica tempo demais exposto na praia.
O que é a temperatura?
Vimos que calor e temperatura não são sinônimos. Calor foi definido como energia sendo
transferida de uma parte para outra do universo devido à existência de diferença de temperatura
entre os dois sistemas. Mas, se calor e temperatura não são a mesma coisa, então o que é
temperatura?
Faremos aqui uma apresentação do conceito de temperatura puramente qualitativo. Não nos
ocuparemos de definições mais precisas deste conceito por não ser este o objetivo deste curso. O
estudante interessado poderá consultar a bibliografia que indicaremos de modo a poder
aprofundar este conceito se assim o desejar.
Falamos antes que, ao ser absorvido, o calor é incorporado a um sistema em um dos modos
naturais de armazenar energia daquele sistema. Um desses modos naturais é a energia cinética
das partículas que compõem o sistema. A temperatura de um sistema físico é proporcional ao
valor médio da energia cinética das partículas que compõem o sistema. O conceito de
temperatura é o que os físicos chamam de um conceito estatístico, ou seja, que depende do fato
de haver um número muito grande de partículas. A temperatura do sistema não depende da
energia cinética de uma única partícula, mas sim do valor médio da energia cinética de muitas
partículas. A energia cinética média de um sistema de partículas é definida de forma simples:
somamos a energia cinética de todas as partículas e dividimos pelo número delas:
Energia cinética média =
Soma da energia cinética de todas as partículas
Número de partículas
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Na notação matemática, sempre mais precisa46:
N
Ec 
E
i 1
i
N
O símbolo <Ec> indica que estamos tomando a média da energia cinética das partículas. Para cada
sistema físico o cálculo dessa grandeza é feito de forma diferente, e não nos deteremos na forma
como este cálculo é feito. O que nos importa é que você guarde esta ideia: ao ser absorvida (ou
liberada) a energia sob forma de calor faz com que a energia cinética média das partículas que
compõem o sistema se modifique e isto faz com que a energia interna do sistema aumente, se a
energia estiver sendo absorvida pelo sistema, ou diminua (se a energia estiver sendo liberada pelo
sistema).
A temperatura é relacionada com o valor instantâneo da energia cinética média das partículas que
compõem
o
sistema.
Dizemos
que
a
temperatura é uma medida desta energia
cinética média. Observe que a temperatura não
é a energia cinética média das partículas, mas
lhe é proporcional: quanto maior a energia
cinética média maior o valor da temperatura e
vice-versa.
Sistema A
Sistema B
Potência
A transferência de energia entre dois sistemas,
seja na forma de trabalho seja na forma de
calor, não acontece instantaneamente, mas durante certo intervalo de tempo. Suponhamos que
certa quantidade de energia, que simbolizaremos por E, seja transferida entre dois sistemas
durante certo intervalo de tempo, que simbolizaremos por t. Poderíamos nos perguntar quanto
de energia foi transferido por unidade de tempo para o sistema. A grandeza que representa essa
quantidade é o que chamamos de Potência, que simbolizaremos pela letra P. Claramente, se
46
De fato, se o número de partículas for muito grande teremos que usar outra forma de realizar esse cálculo, usando o conceito de
função distribuição.
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121
quisermos saber essa quantidade, basta dividir a quantidade total de energia transferida ao
sistema pelo tempo no qual essa transferência ocorreu:
P
E
t
eq. 54
A unidade de potência no sistema internacional de unidades é o watt que significa 1 Joule de
energia produzida ou gasta em cada segundo. Muito em voga atualmente é um de seus múltiplos,
o kilowatt, que significa 1000 watts ou 1000 Joules em cada segundo. O nome watt é uma
homenagem a James Watt, o inventor da máquina a vapor.
A Primeira Lei da Termodinâmica
Na Natureza, o mais comum é que um sistema ganhe ou perca energia tanto na forma de calor
como na forma de trabalho. Esse fato pode ser expresso através de uma expressão para a variação
da energia interna do sistema. Lembremos a nossa definição de energia interna (que denotaremos
por Ei): é a soma de todas as formas de energia que o sistema possui.
Lembremos ainda da nossa convenção de sinais para calor e trabalho: calor é positivo ao ser
absorvido por um sistema e, quando liberado pelo sistema, negativo. O inverso acontece com o
trabalho: ao ser absorvido é negativo e ao ser liberado pelo sistema é positivo. Isso é apenas uma
convenção e não uma lei da Natureza. Portanto, pelo princípio da conservação da energia, a
variação da energia interna do sistema se deve à entrada ou saída de energia sob a forma de calor
ou trabalho.
Isso pode ser expresso da seguinte forma:
Ei  Q  T
eq. 55.
Nessa equação, Q simboliza a quantidade de energia líquida (o que entrou menos o que saiu) sob a
forma de calor que entrou ou saiu do sistema e T representa o trabalho líquido realizado pelo
sistema ou sobre o sistema. O sinal de menos que existe nessa equação é devido à nossa
convenção de sinais para o trabalho.
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Capítulo II - Potenciais e Energia Potencial
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Potencial e Energia Potencial
Apesar de possuírem a palavra potencial no nome, o Potencial e a Energia Potencial têm
significados físicos completamente diferentes.
Definimos o potencial como sendo uma grandeza física cuja variação nos indica a direção do fluxo
de outra grandeza física. O nome técnico para essa diferença no potencial é gradiente do
potencial. São exemplos de potencial: a temperatura (a qual nos indica o fluxo de energia sob
forma de calor da região com temperatura maior em direção à região de menor temperatura), a
pressão (a qual nos indica a direção do fluxo de ar, os ventos, de uma região de maior pressão em
direção a uma região de menor pressão) e o potencial elétrico (o qual nos indica o fluxo de carga
elétrica, a qual flui de uma região de maior potencial em direção a uma de menor potencial
elétrico, no caso de cargas positivas).
A energia potencial, por outro lado, é um tipo de energia que está associada à configuração do
sistema físico sob consideração. De fato, a Energia Potencial é a energia que foi gasta para levar o
sistema até seu estado atual. Essa energia se encontra armazenada nas diferentes formas de
energia potencial do sistema: energia potencial elétrica, energia potencial elástica, energia
potencial gravitacional, etc. Passaremos a seguir a definir os diferentes tipos de energia potencial
e, a seguir, os diferentes potenciais associados. A natureza da energia potencial depende do tipo
de interação que há entre as diferentes partes do sistema.
O conceito de energia potencial
Considere a seguinte situação. Você está frente a um universo vazio (veja a Figura 74). Nesse
universo, não há partículas e tampouco energia. Considere que todas as partículas estejam fora
desse universo, além dos seus limites.
Universo vazio
Figura 74 – “Universo” vazio com partículas fora dele.
Suponhamos agora que você pegue uma das partículas na borda do sistema e a traga para dentro
do seu universo vazio e a coloque em uma determinada posição, localizada pelo vetor r1.
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125
Queremos que isto seja feito com a partícula se movimentando com velocidade constante. Veja a
Figura 75a. Para realizarmos essa tarefa, não encontramos nenhuma resistência ou ajuda, já que
nosso universo está vazio. Lembre de que em nosso universo não temos inicialmente nem
partículas e nem campos.
Consideremos agora o que acontece com uma segunda partícula que queiramos trazer desde a
borda de nosso universo até certa posição localizada pelo vetor r2 (veja a Figura 75.b). Vamos
supor que as duas partículas interajam, uma vez que ambas possuem certa propriedade q, a qual
pode ser a massa ou a carga elétrica, por exemplo. Como as duas partículas interagem, a partícula
2 ao entrar no universo agora preenchido pela partícula 1 experimentará uma força (atrativa ou
repulsiva). Para que possamos colocá-la na posição localizada pelo vetor r2 será então necessário
realizar certa quantidade de trabalho contra a ação exercida pela força devida à partícula 1, já
presente no universo, de modo que a partícula sendo trazida não altere sua velocidade ao longo
do trajeto.
(a)
Trajetória seguida pela
(b)
partícula 1
r1
r1
r2
Trajetória seguida pela
partícula 2
Figura 75 – Preenchimento do universo vazio (a) Primeira partícula colocada dentro do
universo; (b) Segunda partícula colocada no universo.
Considere a situação mostrada na Figura 76. Nela uma partícula desloca-se ao longo de certa
trajetória de um ponto a até um ponto b sob a ação de uma força F. Essa força pode ser constante
ou não, tanto em módulo como em direção e sentido. Lembremos que o Trabalho é dado pela
componente da força na direção da trajetória da partícula (lembre que a componente
perpendicular da força não realiza trabalho).
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Força
z
atuando
na
partícula (F).
Elemento
de
comprimento (dr).
a
b
r1
r2
y
x
Figura 76 - Partícula sob ação de uma força.
O trabalho realizado pela força externa é dado por:
b
T   F.dl
eq. 56
a
Lembre que o trabalho, sendo uma das formas de transferir energia entre dois sistemas físicos,
implica em modificação da energia da partícula.
Mas qual a forma pela qual esse trabalho vai ser armazenado no sistema físico que recebe o
trabalho, ao ser atuado pela força F? Ao colocarmos a partícula 2 na posição final, essa energia
será armazenada na forma de energia potencial. No caso mais geral, parte do trabalho realizado
sobre a partícula será armazenada na forma de energia potencial e parte sob a forma de energia
cinética.
Portanto, o trabalho que foi realizado para trazer a partícula 2 desde sua posição no lado de fora
do universo (suposta infinitamente distante) até a posição final (indicada pelo índice 2) será dado
por:
2
T2   F.dl

Se agora trouxermos outra partícula de fora para dentro do nosso universo, esta partícula
interagirá tanto com a partícula 1 como com a partícula 2, já presentes no nosso universo. Desse
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127
modo o trabalho que teremos que realizar para colocar uma partícula em uma terceira posição
dentro do nosso universo será dado por:
T3  T1,3  T2,3
3
3


T3   F1,3 .dl   F2,3 .dl
Nessa expressão, T1,3 e T2,3 denotam o trabalho realizado contra a força exercida pela partícula 1
sobre a partícula 2 e o trabalho realizado contra a força da partícula 2 sobre a partícula 3,
respectivamente.
Nesse momento, a quantidade total de trabalho realizado para compor a configuração final do
sistema de três partículas, será dada pela soma do trabalho realizado para trazer a partícula 2 com
o trabalho realizado para trazer a partícula 3:
T  T2  T3
2
3
3



T   F1,2 .dl   F1,3 .dl   F2,3 .dl
Se trouxermos outras partículas, o processo se repetirá: para cada partícula que trouxermos do
infinito até a posição final teremos que realizar trabalho contra as forças que as outras partículas
que já trouxemos exercem sobre a nova partícula. Todo esse trabalho fica armazenado na forma
de energia potencial.
Em geral poderemos escrever que a energia total armazenada no sistema será dada por:
N
T  Ti
i 1
Nessa expressão, Ti é o trabalho que foi realizado para trazer a i-ésima partícula do infinito até
sua posição final (ri):
i 1 ri
Ti    Fj ,i .dl
eq. 57
j 1 
Nessa expressão, Fj,i é a força a j-ésima partícula sobre a i-ésima partícula. Portanto, podemos
escrever que a variação da energia potencial do sistema é dada pelo trabalho realizado pelo
agente externo, responsável pela formação do sistema:
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128
E p  Texterno
eq. 58
Usando a eq. 57, a variação da energia potencial será dada por:
i 1 ri
E p    Fj ,i .dl
eq. 59
j 1 
Observe que a soma é limitada, para cada carga i até o valor i – 1. Isso para que não contemos o
trabalho da carga sobre ela mesma e também para que não contemos duas vezes o mesmo par de
cargas.
Exemplo 13
Suponha que tenhamos um conjunto de três cargas iguais alinhadas ao longo do eixo x, colocadas
respectivamente nas posições 2, 0 e -2. Vamos chamar a carga que está na origem de carga 1, a
que está na posição x = 2 de carga 2 e a que está na posição x = -2 de carga 3. Qual será a energia
potencial do sistema?
Solução
Vamos calcular para cada carga o trabalho que foi realizado para trazê-la desde o infinito até a
posição em que a carga foi colocada.
A força elétrica entre duas partículas é dada por:
Fe  K
q1q2
r1  r2
.
2
| r1  r2 | | r1  r2 |
Logo, a força que deve se exercida para trazer as cargas desde o infinito é o oposto desta.
Carga 1
Para esta carga, não realizamos trabalho nenhum pois ela não interagiu com nenhuma outra carga
no sistema. Portanto:
T1  
x 0

Fe .dl  0
Carga 2
Para a carga 2, teremos que realizar trabalho contra a força elétrica da carga 1, colocada na
origem:
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T2  
r 2

F12 .dl  
r 2

T2   
r 2

 F12er  .  drer 
F12dr
2
1 r 2 q1q2
q2 r 2 dr
q2  1 
T2  
dr





40  r 2
40  r 2
40  r  
T2 
q2 1
q2
 T2 
40 2
80
O estudante deve analisar com cuidado essa passagem. Observe que o elemento dl tem sentido
oposto ao elemento dr, uma vez que estamos vindo desde o infinito. Isto introduz um sinal
negativo no elemento de integração. O resultado é que podemos escrever:
dl  drer
Carga 3
Para a carga 3, teremos que somar o trabalho realizado contra a força elétrica das cargas 1 e 2:
T3  
r 2

T3  
F13 .dl  
r 2

F23 .dl  
1 r 2 q1q3
1 r 2 q2q3
dr 
dr
2


40
r
40  r 2
1 r  2 q2
1 r  2 q2
1 r 2 q2
dr

dr


dr
40  r 2
40  r 2
20  r 2
r 2
q2 r 2 dr
q2  1 
q2  1 
T3  




20  r 2
20  r  
20  2 
T3 
q2
40
Logo, o trabalho total realizado para montar o sistema de cargas será dado por:
T  T1  T2  T3  0 
T
q2
q2

80 40
3q2
 E p
80
Uma escolha interessante para os valores da energia potencial é definir que quando todas as
cargas estão no infinito a energia potencial é zero. Essa escolha é bastante conveniente em muitas
situações. Se fizermos essa escolha, podemos falar da energia potencial do sistema quando as
cargas estiverem nas suas posições finais:
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130
E p  E p (r1 , r2 ,
Em nossa notação, E p (r1 , r2 ,
, rN )  E p ()  Texterno  E p (r1 , r2 ,
, rN )  Texterno
, rN ) indica a energia potencial do sistema quando as N cargas estão
nas localizadas pelos vetores r1 , r2 ,
, rN , respectivamente.
Contudo, embora essa hipótese seja simplificadora, não é essencial. Poderíamos ter colocado o
zero da energia potencial em qualquer ponto do espaço. Quando falamos de energia potencial,
como esta é calculada a partir do trabalho realizado para levar a partícula de uma posição no
espaço para outra, o que importa são as variações no valor da energia potencial. Valores
absolutos nada querem dizer. Apenas as variações são importantes.
O potencial ( C 47)
Tendo definido o conceito de energia potencial, podemos definir agora o conceito de potencial.
Vamos considerar a situação simples em que uma partícula com carga q está colocada na origem e
é responsável pela criação do campo elétrico que outra carga qC experimentará aos ser trazida do
infinito até uma certa posição denotada pelo vetor r1. Implícita, temos a aproximação de partícula
de teste: a carga qC não é suficiente para alterar a posição da carga q que cria o campo.
Definimos o potencial como sendo a quantidade de energia potencial por unidade da propriedade
da partícula responsável pelo campo e que é responsável pela interação entre as partículas que
compõem o sistema físico. Assim, se chamamos de qC a essa propriedade (qC pode ser a
quantidade de massa, de carga elétrica, etc.) e Ep a energia potencial associada à esta
configuração devido à qC podemos definir o potencial C como:
(rq , rC , q)  lim
qC 0
E p (rq , rC q, qc )
qC
eq. 60
Em nossa notação, E p (rq , rC ) indica a energia potencial do sistema quando a carga q está na
posição denotada pelo vetor rq (a origem nesse caso particular) e a carga de teste qC está na
posição indicada pelo vetor rC. Se mantivermos a carga que cria o campo fixa em uma
determinada posição (a origem, por exemplo) podemos realizar um mapeamento do potencial em
todos os pontos do espaço, calculando a energia potencial do sistema quando a carga de teste, qC ,
47
Letra Phi maiúscula do alfabeto grego.
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estiver em cada um dos pontos do espaço. Nesse caso, falamos do potencial na posição r o qual
será dado por:
(r )  lim
qC 0
E p (rq , r )
eq. 61
qC
Observe que o potencial, definido dessa forma, é uma função de posição e que essa quantidade
herda o fato de que seu valor absoluto em certa posição do espaço ser arbitrário, importando
apenas a sua variação de uma posição para outra dentro do sistema físico.
O potencial é uma propriedade aditiva. Se ao invés de uma partícula criando o campo, tivermos
um conjunto de N partículas, o potencial criado em uma dada posição do espaço será dado pela
adição dos potenciais criados por cada uma das partículas naquela posição:
  1   2 
N
  N   i
eq. 62
i1
Se ao invés de um conjunto de partículas a fonte do campo for um corpo extenso, basta que
troquemos a soma indicada na eq. 62 por uma integral sobre os elementos d criados na posição
denotada pelo vetor r:
   d
eq. 63
A forma específica desses elementos dependerá do tipo de campo com o qual estamos lidando
(gravitacional, eletrostático, etc.).
Podemos agora justificar nossa afirmação anterior de que os potenciais nos dizem em qual direção
ocorrerá o fluxo da quantidade a qual ele se refere. Para fazer isso, devemos primeiro enunciar o
Princípio da Minimização da Energia:
Dentre todos os processos físicos que podem ocorrer em um
sistema fechado, aqueles que ocorrerão espontaneamente são os
que minimizam (ou pelo menos deixam inalterado) o valor da
energia do sistema.
O que esse princípio nos diz é que para que um processo aconteça de forma espontânea é
necessário que o estado final do sistema tenha uma energia menor, ou pelo menos igual, do que a
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energia potencial do estado inicial. Em um sistema de cargas em repouso, a única forma de
energia presente é a energia potencial. Portanto, o sistema minimizará essa forma de energia.
O potencial de certo ponto do espaço nos diz qual o valor da energia potencial por unidade da
quantidade qC. Portanto, se colocarmos naquela posição uma partícula com essa quantidade da
propriedade a sua energia potencial será dada pelo produto do potencial por qC. No entanto, se
essa partícula for abandonada naquela posição e o potencial nessa posição não for o menor valor
do potencial a partícula, quando livre dos vínculos que a mantém naquela posição, se deslocará
em direção das posições com um valor de potencial menor. Quando nessa posição a partícula terá
um valor de energia potencial menor do que antes. Ao atingir a nova posição teremos um estado
de equilíbrio estável e o sistema nele permanecerá.
Embora nossa discussão tenha feito uso da ideia de uma partícula, o raciocínio continua sendo
válido para outras grandezas não materiais como, por exemplo, a energia. Um exemplo disso, é a
temperatura que é um potencial para o fluxo de energia sob forma de calor: a energia sempre flui
sob forma de calor do sistema que tem temperatura mais alta em direção ao sistema que tem a
temperatura mais baixa. Quando as temperaturas dos dois sistemas se equilibram (ficam iguais) o
fluxo de energia sob forma de calor cessa e os sistemas entram no que chamamos de equilíbrio
térmico. Essa afirmação é enunciada algumas vezes com o nome de Lei Zero da Termodinâmica.
Energia Potencial Gravitacional
A primeira forma de energia potencial que analisaremos é a Energia Potencial Gravitacional. Esta é
a forma de energia que fica armazenada em um sistema no qual as partículas interagem através
da força gravitacional:
Fg  G
Mm r
M r

 mg  g  G 2 
2
r r
r r

Vamos analisar três situações distintas. Duas delas envolvem o cálculo da energia potencial
gravitacional em um sistema composto pela Terra, o campo gravitacional criado pela Terra e uma
partícula próxima da superfície da Terra, região em que a força gravitacional pode ser considerada
uma constante. Primeiro consideraremos a situação na qual o sistema está isolado e depois o caso
em que o mesmo sistema em interage com outro sistema, o qual é responsável por uma força que
atua sobre a partícula. Por fim, vamos considerar o caso em que temos o deslocamento de uma
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partícula ao longo de uma trajetória suficientemente longa para que não possamos considerar
mais o campo gravitacional constante.
Cálculo da energia potencial gravitacional: pontos próximos da superfície da Terra e sistema
isolado composto pela Terra, campo gravitacional criado pela Terra e uma partícula.
Seja o movimento de um objeto jogado verticalmente para cima com uma dada velocidade inicial.
Por simplicidade, considere o lançamento a partir da superfície da Terra e despreze o efeito da
resistência do ar (veja a Figura 77). Da Dinâmica sabemos que a gravidade exerce um papel
fundamental nessa situação, desacelerando o objeto na subida (caso a) até que sua velocidade se
anule no ponto de altura máxima (caso b) e, conseqüentemente, acelerando na descida (caso c).
Quem é o sistema nesse caso? Temos a Terra e a partícula com certeza. Contudo, há um terceiro
elemento presente: o campo gravitacional criado pela Terra48.
Perceba duas configurações bem características do sistema: a primeira, com a partícula na posição
mais alta (onde a sua velocidade é nula); a segunda com a partícula na posição mais baixa (onde a
sua velocidade é máxima). Na ausência da resistência do ar, é observado que, para um mesmo
ponto, o módulo da velocidade da partícula na subida é igual ao módulo da velocidade na descida.
Neste fenômeno podemos observar o conceito de simetria (o movimento de subida é simétrico ao
de descida, bastando mudar o sentido da velocidade) e, consequentemente, o conceito de
conservação: como não há dissipação de energia, a energia do sistema deve ser constante.
v=0
v
g
g
g
v
Superfície
(a)
Superfície
(b)
Superfície
(c)
Figura 77 - O movimento de uma partícula sob ação do campo gravitacional perto da
superfície da Terra.
48
Vamos desconsiderar o campo criado pela partícula sob a hipótese de que a massa da Terra é muito maior do que a massa da
partícula.
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O sistema sob consideração é um sistema fechado. Não há outras forças externas atuando sobre o
sistema depois que a partícula é arremessada para cima. Uma vez que o objeto comece a se
movimentar na direção vertical com certa velocidade (e, portanto, com alguma quantidade de
energia cinética) a ação do campo gravitacional é fazer com que a energia cinética da pedra
diminua, aumentando na mesma medida a energia potencial do sistema. Pela conservação da
energia sabemos que a energia total do sistema deve ser conservada. O papel do campo
gravitacional, como veremos, é agir como um agente de transferência da energia entre os dois
tipos: cinética da pedra e potencial do sistema.
Vamos agora calcular essa energia, usando o conceito de trabalho, aplicando a definição de
Trabalho apresentada anteriormente (eq. 56). Para fazer isso, tomemos como origem do sistema
de referências o centro da Terra. No nosso caso, os pontos inicial e final são o solo (a uma
distância R do centro da Terra, R sendo o raio da Terra) e o ponto mais alto da trajetória da
partícula (que denotaremos por R+h). Portanto, a = R e b = R+h. Vamos tomar um sistema de
referências que tenha o eixo z com sentido positivo para cima. O elemento diferencial de
comprimento dl é simplesmente o vetor diferencial de comprimento na direção z: dl =  dz =  dz
ez, o sinal de + valendo para a subida e o sinal de – valendo para a descida.
R+h
dl
g
R
Figura 78 - Cálculo do trabalho do campo gravitacional.
A força gravitacional aponta sempre para o solo (veja a Figura 78). Essa força é dada por:
Fg  mgez  g  g  0 . Nossa hipótese é que o campo gravitacional seja constante entre o solo
e a altura h atingida pela partícula49.
Na subida, o vetor deslocamento aponta para cima ( dl  dz ez e mp é a massa da partícula).
Portanto, o trabalho que o campo gravitacional tem que realizar enquanto a partícula se desloca
até a altura h, será dado por:
49
De fato isso não é estritamente verdadeiro. Mas para pequenas distâncias é uma boa aproximação.
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b
T   F.dl
a
R h
T 
 m gdz   m gz 
p
R
p
R h
R
 mp g (R  h)  R 
T  mp gh
Vemos então que o trabalho realizado pelo campo gravitacional sobre a partícula é dado
simplesmente pelo produto da massa da partícula pela aceleração gravitacional e pela altura que a
partícula atinge. Nesta etapa do movimento, o trabalho que é realizado pelo campo gravitacional
é contrário ao sentido do movimento da partícula. A partícula desacelera e sua velocidade
diminui, isto é, ela perde energia cinética. Para onde vai essa energia? Levando em conta o
conceito de conservação da energia, a energia cinética deve estar sendo transformada em outra
forma de energia, nesse caso em energia potencial, de modo que a soma das duas permaneça
constante. Como o próprio nome indica é uma energia que tem o potencial de se transformar de
novo em energia cinética, como veremos na parte de descida da partícula.
Nessa parte da trajetória o trabalho que foi realizado pelo campo gravitacional sobre a partícula
foi usado pelo sistema apenas para transformar a energia cinética em potencial. Como apontado
anteriormente, não houve modificação no valor da energia total do sistema. Lembrando do
Teorema do Trabalho e Energia, o trabalho realizado pela força deve ser igual à variação da
energia cinética da partícula:
W  Ec  Ecf  Eci  Eci  mgh  Eci  mgh
A conclusão é de que toda a energia cinética inicial foi transformada pelo trabalho realizado pela
força gravitacional. Mas onde fica armazenada a energia cinética que foi transformada em
potencial pelo trabalho realizado pelo campo? A resposta a esta questão não é simples e exige
conhecimentos matemáticos mais avançados. Por essa razão, apenas enunciaremos a resposta: a
energia fica armazenada no campo gravitacional. O campo gravitacional (não somente esse, mas o
eletrostático também) pode ser visto como um depósito de energia, assim como de momento
(linear e angular) e massa.
Essa energia cinética fica armazenada no sistema Terra – Partícula – Campo Gravitacional, na
forma da variação da grandeza chamada energia potencial. A partícula tem inicialmente certa
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136
energia cinética que foi fornecida por algo ou alguém. Por exemplo, a partícula pode ter sido
impulsionada por uma mola, que é quem forneceu a energia cinética inicial. Observe que a
grandeza que está variando depende da massa da partícula, do campo gravitacional e da distância
ao centro da Terra.
Podemos, então, escrever que a variação da energia potencial gravitacional como:
Epg (R  h)  E pg (R)  E pg  Wg  mp g(R  h)  Ecf
eq. 64
O valor da energia potencial é arbitrário, uma vez que o que nos interesse (e o que de fato a eq. 64
nos mostra) é que a quantidade de interesse é a variação da energia potencial de um ponto a
outro na trajetória.
Como apontamos anteriormente, é possível falar da energia potencial em um ponto se definirmos
uma posição no espaço a qual atribuamos, de forma arbitrária por certo, o valor zero para a
energia potencial nessa posição. No problema que analisamos, a escolha natural é a superfície da
Terra. Vamos então escolher que a energia potencial para r = R (R o raio da Terra) é nula.
Podemos também escolher a superfície da Terra como origem do nosso sistema de referências (r
=0). Com isso, o valor obtido pela eq. 64 pode ser interpretado como sendo a energia potencial do
ponto r = h:
E pg (h)  mp gh
eq. 65
Podemos reescrever o resultado expresso pela eq. 64 observando que, se temos um ponto
qualquer a uma distância R+h do centro da Terra, então o módulo do campo gravitacional pode
ser escrito como:
gG
mT
(R  h)2
O índice T indica o valor da massa da Terra. Usando essa expressão para o módulo de g, e usando
a convenção de que a energia potencial na superfície (r = R) é zero, podemos reescrever a
expressão para a energia potencial gravitacional no ponto r = R+h como:
E pg (R  h)  mp (R  h)G
mT
(R  h)2
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E pg (R  h)  G
mpmT
eq. 66
(R  h)
Esse resultado foi obtido para o caso particular do sistema de coordenadas no centro da Terra e
movimento radial da partícula (perpendicular à superfície da Terra). No entanto, apesar de ser um
resultado particular, ele tem um aspecto que merece ser ressaltado: a variação da energia
potencial gravitacional depende apenas dos pontos inicial e final da trajetória, não dependendo da
forma como a partícula se desloca entre esses dois pontos. Como vimos anteriormente, quando
isso acontece, dizemos que o campo é conservativo. Esse tipo de campo recebe esse nome
porque se o sistema for isolado é possível apenas transformar energia cinética em potencial e
vice-versa. O sistema não ganha nem perde energia total, a qual é conservada. Outro ponto que
deve ser observado é que, de fato, na situação mais geral, quando não podemos mais considerar o
campo gravitacional constante, a variação na energia potencial gravitacional depende apenas da
diferença de altura entre o ponto inicial e final da trajetória.
Na descida, o ponto inicial é R +h e o final é R. Agora, a força e o deslocamento têm a mesma
direção e o mesmo sentido. Contudo, o sentido do vetor dl é contrário ao do sistema de
referência (dl = - dz ez) enquanto a força gravitacional aponta como antes (Fg = - mpg ez).
Portanto, F.dl = + Fdz.
Nesse caso, o cálculo do trabalho realizado pelo campo enquanto a partícula cai nos dá:
T 
R
T 
R
Rh
Rh
F.dl
mgdz  mg  z R  h
R
T  mg  R  (R  h)  mgh
 T  mgh  E p  Ec  E c  E p  0
Agora o trabalho realizado pelo campo gravitacional é favorável ao movimento, acelerando a
partícula, transformando energia potencial em energia cinética. Agora temos energia que estava
armazenada no campo gravitacional, na forma de energia potencial, sendo transformada em
energia cinética da partícula. Como a partícula parte de um ponto mais alto para um mais baixo,
sua energia potencial diminui. Para onde vai essa energia? Como a partícula está acelerando, sua
energia cinética está aumentando. A soma das energias cinética e potencial, porém, permanece
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138
constante, de modo que se somarmos as variações nos valores das energias cinética e potencial
obteremos zero.
Em outras palavras, o sistema formado pelo Campo Gravitacional – Terra – Partícula está gastando
sua energia potencial gravitacional para fornecer energia cinética à partícula, acelerando-a (na
verdade a Terra também acelera, mas como sua massa é muito superior a da partícula,
consideramos apenas o movimento da partícula. Essa aproximação já está inclusa no fato de
considerarmos o campo gravitacional constante). Considerar a superfície da Terra como tendo
energia potencial nula é apenas uma convenção. Afinal se cavarmos um buraco, o fundo deste
terá energia potencial negativa de acordo com esta convenção. Como o importante é a variação
da energia potencial, o ponto onde se considera energia potencial nula é apenas uma questão de
conveniência.
Partícula que se move sob ação de uma força externa, F, do chão até uma altura h.
Vamos agora analisar o seguinte problema, relacionado com o problema anterior. Consideremos
uma partícula que é levada do solo até a altura h com velocidade constante. Para que a
velocidade seja constante deve existir uma força agindo na partícula a qual, em módulo, é igual ao
peso da partícula, mas que aponta na direção oposta à direção da força peso: F  Fp  (mgez ) .
O elemento de comprimento dl é dado por: dl =dz ez . Veja a Figura 79.
r=h
dl
F
Fg
r=0
Figura 79 – partícula se deslocando com velocidade constante.
Nesse caso, vamos considerar por simplicidade que a superfície seja a origem do sistema de
referências. O trabalho realizado pela força F entre a superfície e o ponto a uma altura h do solo
será dado por:
T 
r=h
r=0
F.dl  
r h
r 0
mgdz
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Observe que a força F e o vetor deslocamento, dl, são paralelos. O resultado da integral é
simplesmente:
T  mg
r h
r 0
dz  mg z 0  T  mgh
h
Esse trabalho é o negativo do trabalho executado pelo campo gravitacional sobre a partícula. Esse
trabalho fica armazenado no sistema na forma de energia potencial. Observe que agora, temos
um incremento na energia do sistema, ao contrário da situação anterior, na qual a única força
presente era a força gravitacional, uma força interna ao sistema considerado. Naquele caso, o
trabalho da força gravitacional simplesmente transformava energia cinética em potencial e viceversa. Do ponto de vista do sistema externo que atuou sobre a partícula, esse sistema cedeu
energia para o sistema Terra – Partícula – Campo Gravitacional, perdendo energia portanto, daí o
sinal positivo no trabalho realizado pela força externa.
Nessa situação, não temos aumento da energia cinética da partícula, já que a velocidade
permaneceu constante, apenas aumento da energia potencial do sistema.
Esse trabalho é numericamente igual à variação da energia potencial do sistema Terra – Campo
Gravitacional – Partícula:
T  mgh  E p  E p (h)  E p (0) 
E p (0)0
E p (h)  mgh .
Na última igualdade fizemos uso da nossa escolha anterior de colocar o zero da energia potencial
sobre a superfície da Terra.
Cálculo da energia potencial gravitacional para trajetórias nas quais o campo gravitacional não
pode ser considerado constante.
A aproximação feita nas seções anteriores de que o campo gravitacional é constante é somente
válida para trajetórias muito curtas, como a de partículas se movimentando por alguns metros na
vertical perto da superfície da Terra.
Como podemos generalizar o resultado acima para um campo gravitacional não constante? Seja
uma partícula de massa m se movendo num campo gravitacional do ponto 1, indicado pelo vetor
r1, para o ponto 2, indicado pelo vetor r2, (veja a Figura 80). Qual seria o trabalho realizado contra
o campo gravitacional para posicioná-la nessa posição com velocidade constante? Observe que
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140
essa situação é diferente da anterior, pois, nesse caso, o campo gravitacional não é constante,
variando com a posição.
z
dl

m
r1
r2
y
M
x
Figura 80 - Deslocamento arbitrário de uma partícula no campo gravitacional da Terra.
Nesse caso, o cálculo é um pouco mais complicado, pois envolve uma integração ao longo do
caminho seguido pela partícula, em uma operação matemática chamada integral de linha, pois a
expressão para a força gravitacional experimentada pela partícula:
Fg  G
Mm r
r2 r
envolve o vetor r, que localiza a partícula de massa m em relação à origem em cada ponto da
trajetória, o qual não é constante como no caso do exemplo anterior. Por facilidade, consideremos
que M, a massa fonte do campo gravitacional, está na origem do sistema de referências.
A força que deve atuar para levar a partícula da posição dada pelo vetor r1 até a posição dada pelo
vetor r2 deve ser, em todos os pontos, oposta à força gravitacional:
F  Fg  G
Mm r
r2 r
O trabalho realizado por essa força é dado por:
r2
r2
r1
r1
T   F  dl   G
r
2
Mm r
1

dl

GMm
r  dl
2
3

r r
r
r1
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eq. 67.
Curso de Física Básica – Volume II
141
Essa integral pode ser facilmente avaliada se usarmos o sistema de coordenadas esférico. Nesse
sistema de coordenadas, r é uma coordenada. Observe que no integrando da eq. 67 não há
dependência angular.
Para um deslocamento infinitesimal dl ao longo da trajetória50, podemos escrever que o produto
escalar do vetor r pelo vetor dl nos dá, simplesmente:
r.dl  rdl cos()  rdr
 é o ângulo entre os dois vetores e dr = dl cos() é um elemento diferencial de comprimento na
direção r/r. O trabalho realizado pela força F contra a ação do campo gravitacional será dado por:
r2
r
r
2
2
1
1
1
T  GMm 3 r  dr  GMm 3 rdr  GMm 2 dr
r
r
r
r1
r1
r1
r
2
1 1
 1
T  GMm     T  GMm   
 r  r1
 r2 r1 
Esse trabalho, realizado pela força externa, mantida por algum outro sistema que está fornecendo
a energia, é que fica armazenado na forma de variação da energia potencial do sistema. Essa
variação da energia potencial será dada por:
1 1
E p  E p (r2 )  E p (r1 )  T  GMm   
 r2 r1 
eq. 68
Como a partícula se move com velocidade constante, a força resultante sobre ela é nula. Nesse
caso, pelo Teorema do Trabalho e Energia, a variação da energia cinética da partícula deve ser
zero51. O trabalho executado pela força externa que deveria aparecer na forma de energia cinética
da partícula, caso fosse a única força atuando no sistema, é compensado pelo trabalho realizado
pelo campo gravitacional, o qual terá o mesmo módulo, mas com sinal negativo. Ou seja, o
trabalho total realizado sobre a partícula terá sido zero. É essa variação na energia cinética que
está faltando que foi armazenada na forma de energia potencial.
50
Nesta seção chamaremos por dl ao deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória, para diferenciar do deslocamento dr ao
longo da direção radial do sistema de coordenadas esféricas.
51
Lembre que o teorema trabalho energia é válido somente para a força resultante.
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142
Como já vimos, a interação gravitacional se anula apenas no infinito52. Desse modo, um objeto que
se movesse no infinito não teria nenhum trabalho realizado sobre ele pela força gravitacional.
Como podemos escolher o zero de energia potencial de forma arbitrária, uma escolha
interessante é colocar o valor nulo para a energia potencial quando a partícula de massa m estiver
no infinito (r1 = ). Nessa situação, para r1 no infinito, podemos falar então na energia potencial de
um ponto. O estudante deve atentar para o fato de que ao falarmos na energia potencial de um
ponto estamos economizando linguagem. O correto seria usar a expressão a variação da energia
potencial em relação ao infinito. Desse modo, a energia potencial de um ponto será dada por:
E pg  T  E pg (r )  E pg ()  E pg (r )  G
mM
r
eq. 69
Para qualquer valor de r, a energia potencial gravitacional é negativa. Isso em absoluto é um
problema, uma vez que o valor absoluto da energia potencial é irrelevante, importando somente a
variação da energia potencial entre os pontos inicial e final. Essa é a mesma expressão, a menos
de um sinal, que obtivemos para o caso próximo a superfície da Terra (eq. 66), se identificarmos r
= R + h.
Exemplo 14 – Velocidade de escape
Define-se a velocidade de escape como aquela velocidade inicial necessária para que um corpo
escape da atração gravitacional de outro corpo única e exclusivamente devido a um impulso
inicial, isto é, sem que haja nenhum sistema de propulsão atuando depois do impulso inicial. Da
definição geral de energia potencial e do conceito de conservação de energia mecânica fica fácil
determinarmos a velocidade de escape de um objeto.
Por exemplo, seja uma bola de futebol de 0,5 kg. Supondo que um jogador chutasse a bola, lhe
dando um impulso inicial, Qual deveria ser a velocidade inicial para que a bola chegasse ao
infinito, desprezando a resistência do ar?
Consideremos a superfície da Terra como ponto inicial (ri = RT) e o infinito como o ponto final (rf =
). A energia mecânica inicial é dada por:
52
Isso vem do fato de que: lim
r 
1
 0.
r
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143
Emi 
mbve2  mT mb 
  G
.
2
RT 

Nessa expressão, ve é a velocidade de escape procurada e mb é a massa da bola. Suponhamos que
a bola chegue no infinito com velocidade nula (situação crítica). Temos que a energia mecânica no
infinito será dada por:
 mm 
Em  lim  G T b   0
r 
r 

.
Pelo conceito de conservação, a energia mecânica inicial deve ser igual à final:
Emi  Emf
.
mm
1
mbve2  G T b  0
2
RT
Logo:
 m 
ve  2G T 
 RT 
1/2
Observe que esse resultado é independente da massa do objeto sendo considerado.
Potencial Gravitacional
Vamos agora aplicar nossa definição de potencial ao caso gravitacional e definir o potencial
gravitacional, g. Pela nossa definição de potencial, o potencial gravitacional é dado pela razão
entre a energia potencial gravitacional e a massa da partícula:
 g (r ) 
E pg (r )
mp
 G
mT
r
Como podemos ver, esse potencial depende unicamente das propriedades (a massa mT) da fonte
do campo experimentado pela partícula de massa mp e da posição onde o potencial está sendo
calculado. Como vimos antes, o potencial é uma grandeza escalar e sua unidade no Sistema
Internacional de Unidades é o J/kg.
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144
O campo gravitacional e o potencial gravitacional são grandezas físicas intimamente relacionadas.
Conhecendo uma pode-se descobrir a outra. Para vermos isso vamos tomar a derivada do
potencial:

d g
dr

d  GmT

dr  r
d g
mT
d 1


Gm


G

g

g


T

dr  r 
r2
dr

eq. 70
O que a eq. 70 nos mostra é que podemos escrever o módulo do campo em uma dada posição do
espaço, denotada por r, tomando o negativo da derivada do potencial.
De uma forma geral, podemos obter uma expressão entre o potencial e o campo observando que
o trabalho infinitesimal, T, realizado pelo campo quando a partícula é deslocada por uma
distância x sob ação de uma força F, paralela à direção do deslocamento, suposto na direção x.
Esse trabalho é dado por:
T  F.x  F x
Tomando o limite dessa expressão, quando x vai a zero:
E p
E ( x  x )  E p ( x )
TC
  lim
  lim p
x 0 ( x )
x 0 x
x 0
x
FC  lim
 FC  
dE p
dx
Observe que estamos calculando o trabalho realizado pelo campo, o qual aparece como o
negativo da variação da energia potencial do sistema.
Essa expressão pode ser generalizada, para o caso em que a força e o deslocamento têm
orientações arbitrárias pela introdução do operador gradiente. O gradiente de uma função escalar
indica a direção em que a função tem o máximo da sua variação. O gradiente de uma função
f(x,y,z) é denotado pela letra do alfabeto grego  (lê-se nabla) e é dado em coordenadas
cartesianas por:
f ( x , y , z ) 
f
f
f
ex  e y  ez
x
y
z
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eq. 71
Curso de Física Básica – Volume II
145
Observe que o operador gradiente é um vetor. Em termos desse operador, o campo gravitacional
pode ser escrito como (usando que g  F / m e  g  E pg / m ):
g   g
eq. 72
Essa relação não é característica de qualquer tipo de campo, mas somente para campos
conservativos, aqueles que descrevem fenômenos onde há conservação da soma da energia
cinética com alguma forma de energia potencial. Por exemplo, o campo eletrostático também
obedece a esse critério. Já a força de atrito descreve fenômenos onde não há conservação de
energia cinética mais energia potencial, e nesse caso, não é possível associar a ele uma energia
potencial. Nesse caso, o sistema perde parte da sua energia total para a vizinhança.
A energia potencial eletrostática e o potencial eletrostático
Considerando que o campo eletrostático tem a mesma dependência com 1/r2 que o campo
gravitacional, os passos que seguimos acima para obter a energia potencial gravitacional são os
mesmos.
Para começar,o trabalho que é realizado contra a ação do campo eletrostático criado pela
partícula com carga q, situada na origem, sobre uma partícula com carga q’ ao deslocarmos a
partícula q’ entre os pontos r1 e r2, com velocidade constante é dado por (o sinal negativo vem do
fato de que a força do agente externo é o negativo da força eletrostática):
r
r
r
2
2
2
1
1
1
1
1
1
T 
qq '  3 r ' dl  
qq '  3 r 'dr '  
qq '  2 dr '
40
r
40
r
40
r'
r1
r1
r1
r
2
1 1
1
1
 1
T 
qq '     T 
qq '   
40
40
 r '  r1
 r2 r1 
Esse trabalho, como antes ficará armazenado no sistema sob forma de energia potencial. Esse
trabalho pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal das cargas. Para cargas com sinais
iguais o trabalho será positivo se r2 < r1, energia foi fornecida pelo agente externo para o sistema
Cargas – Campo Eletrostático, e negativo se r2 > r1.
Como antes, se tomarmos o valor da energia potencial nulo no infinito, o trabalho para trazer uma
carga do infinito até a posição indicada pelo vetor r (r1, o ponto inicial, tomado no infinito) será
dado por:
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Tr 
146
1 qq '
40 r
eq. 73
E pe  E pe (r )  E pe ()  Wr  E pe (r ) 
1 qq '
40 r
Na expressão acima, escrevemos r no lugar de r2 por simplicidade.
Há uma sutileza na derivação da eq. 73 que deve ser explicitada. Observe que a definição de
trabalho executado pelo agente externo ao sistema para que a carga venha do infinito até a
posição r com velocidade constante é dada por:
r
2
1
1
T 
qq '  3 r ' dl .
40
r
r1
O sinal negativo indica que a força aplicada pelo agente externo é oposta à força entre as cargas.
Entretanto, no integrando temos o elemento diferencial dl, que nos dá o incremento no
deslocamento desde o infinito. Se integrarmos apenas o elemento dl teremos o comprimento da
trajetória desde o infinito. Em outras palavras o elemento dl cresce do infinito em direção à
origem. Por outro lado, o elemento de comprimento dr das coordenadas esféricas cresce da
origem em direção ao infinito. Portanto, o módulo do elemento dl será dado pelo negativo do
módulo do elemento dr: dl = - dr. Consequentemente, o produto escalar que aparece no
integrando da expressão do trabalho fica:
r
r
.dl  .(dler )  (dr )  dr .
r
r
Como antes, podemos obter o potencial eletrostático, simbolizado por E, dividindo a energia
potencial na posição r pelo valor da carga q’ aí colocada:
 E (r ) 
E pe
q'

1 q
40 r
eq. 74
Consideremos agora o que acontece com uma carga q’ colocada na posição r. Vamos supor,
inicialmente que a carga q seja uma carga positiva. Com isso o potencial eletrostático será
positivo. Se a carga q’ for igualmente positiva, sabemos que haverá uma força de repulsão entre
as duas e que a carga q’ sentirá a ação da força elétrica devida à carga q a qual a deslocará para
posições com r maior e, portanto, menor valor do potencial eletrostático. Por outro lado, se a
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147
carga q’ for uma carga negativa, a força que ela experimentará será uma força de atração, a
deslocando para regiões com r menor e, portanto, de maior valor potencial eletrostático. A
conclusão a que chegamos é que, em uma região onde existe um campo elétrico criado por uma
carga positiva na origem, cargas positivas se movimentarão de regiões de maior valor do potencial
em direção a regiões de menor valor do potencial eletrostático e que cargas negativas se
deslocarão de regiões de menor valor do potencial eletrostático em direção a regiões de maior
valor do potencial eletrostático.
Vamos agora analisar a situação em que o potencial eletrostático é devido a uma carga negativa
colocada na origem: q = - |q|. Nesse caso o potencial eletrostático terá valores negativos. Se
colocarmos uma carga positiva na posição r, essa carga será atraída em direção à carga q,
deslocando-se, portanto, de uma região de maior valor do potencial eletrostático para uma região
de menor valor do potencial eletrostático (observe que o módulo do potencial cresce com r
tendendo a zero, mas o valor do potencial fica menor). Com uma carga negativa colocada nessa
posição ocorre o inverso: ela será repelida pela carga q indo de uma região de menor valor do
potencial eletrostático para uma região de maior valor do potencial eletrostático (porém menor
em módulo).
A conclusão de nossa análise pode ser expressa afirmando que:
Cargas positivas se deslocam de regiões de maior valor do
potencial eletrostático em direção a regiões de menor valor do
potencial eletrostático, enquanto cargas negativas se deslocam
de regiões de menor valor do potencial eletrostático em direção a
regiões de maior valor do potencial eletrostático.
Como a dependência com 1/r2 é a mesma do caso gravitacional, também no caso eletrostático
podemos obter o módulo do campo elétrico a partir da derivação do potencial em relação a r:

d
d  1
 E (r )   
dr
dr  40
E (r )  
q
1
d 1 
d
1 q
q     E (r ) 

r
40 dr  r  dr
40 r 2
eq. 75
d
 E (r )
dr
Como antes, o potencial depende apenas das propriedades da fonte do campo (carga elétrica) e
da distância da fonte ao ponto onde o potencial está sendo calculado.
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148
O resultado mostrado na eq. 75, é bastante geral. Usamos na derivação acima o caso de uma
partícula como fonte do campo, daí a forma obtida e mostrada na eq. 75. Esse resultado pode ser
generalizado usando o operador gradiente (eq. 71):
E(r )  E (r )
eq. 76
O que a eq. 76 nos diz é que o campo eletrostático é simplesmente o gradiente do potencial
eletrostático, a menos de um sinal.
Superfícies equipotenciais
Chamamos de superfície equipotencial àquelas superfícies que têm o mesmo valor de potencial.
Por exemplo, considere um potencial que dependa de 1/r, ou seja, um potencial com simetria
esférica: todos os pontos com a uma mesma distância da fonte têm o mesmo potencial (a fonte é
suposta na origem, por simplicidade). Nesse caso, as superfícies equipotenciais são esferas com
centro na fonte do campo
Cada ponto de uma superfície equipotencial é sempre perpendicular ao campo. Isto pode ser visto
a partir do seguinte argumento: como as superfícies equipotenciais são superfícies onde o
potencial é constante, a variação do potencial deve ser sempre perpendicular à superfície. Como a
variação do potencial (a menos de um sinal) nos dá o campo (eq. 76) então o campo é
perpendicular à superfície equipotencial.
Superfície
equipotencial
Fonte
do
campo
Figura 81 – Exemplo de superfície equipotencial para o caso de simetria esférica.
Potencial devido a uma distribuição de partículas carregadas ou partículas pontuais
com massa
Consideremos agora o que acontece com o potencial para uma distribuição de partículas de massa
mj ou carga qj. Como o potencial é derivado do campo, através do trabalho realizado contra a ação
do campo, uma hipótese plausível é de que o potencial herde a propriedade do campo expressa
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149
pelo princípio da superposição. Por essa hipótese, o potencial em um dado ponto do espaço,
criado por um conjunto de N cargas, é dado pela soma dos potenciais criados por cada uma das
cargas na posição indicada pelo vetor r. Assim, podemos escrever:
N
N
 q 
(r )    j   C j 
r 
j 1
j 1 
Nessa expressão, j(r) é o potencial criado pela j-ésima carga na posição r.
No caso de termos um corpo extenso, substituímos a soma pela integral sobre o volume do corpo
extenso e a carga qj pela densidade de carga dq’ = (r’)d3r’ [(r’) é a densidade de carga ou massa
na posição denotada pelo vetor r’]:
(r )   C
V
(r ') 3 53
d r'
| r  r '|
eq. 77
Observe que esse é o mesmo procedimento que seguimos para calcular o campo criado por um
corpo extenso. Caso o corpo extenso seja uma superfície ou uma linha, a integral deve ser
modificada de acordo.
Exemplo 15: o cálculo do potencial eletrostático a uma distância r de uma esfera
uniformemente carregada ((r’) =  = constante).
Vamos calcular o potencial eletrostático a uma distância r do centro de uma esfera carregada
uniformemente, para r > R. A situação é ilustrada na Figura 82.
Para uma esfera carregada com uma carga Q, sabemos que a força elétrica exercida por ela sobre
uma partícula com carga q, para pontos fora da esfera, pode ser escrita como se toda a carga da
esfera estivesse concentrada no seu centro:
Fe 
1 Qq r
.
40 r 2 r
Portanto, o trabalho que seria realizado para trazer a partícula com carga q desde o infinito até a
posição r, com velocidade constante, contra a ação da força eletrostática, é dado por:
53
d3r’ é o elemento de volume infinitesimal em torno da posição r’.
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150
r
Tr    Fe  .dl

Como a força eletrostática é conservativa, o trabalho realizado é independente da trajetória
seguida pela partícula. Sem perda de generalidade, podemos tomar como a trajetória seguida pela
partícula uma reta do infinito até a posição localizada pelo vetor r (veja a Figura 82). Nesse caso, o
elemento de comprimento dl ao longo da trajetória é, em módulo, igual a dr, o elemento
diferencial de comprimento ao longo da direção r/r. Então, o trabalho realizado para trazer a
partícula desde o infinito será dado por:
r
r
r dr '
1 Qq r ' 
1
Tr    Fe  .dl  lim   
.
dr
'


Qq
lim



2

a  a
40 a a r '2
 40 r ' r ' 
r
Tr
1
1
 1
 1 1

Qq lim     
Qq lim    
a

a

40
40
 r ' a
 r a
Tr 
1 Qq
 E pe  E p (r )  E p ( )
40 r
Infinito
Elemento dl.
Trajetória
Esfera carregada.
q
da
partícula.
r
Q
Elemento dr.
Figura 82 – Esfera carregada na origem.
Novamente, tomando a energia potencial no infinito com valor zero, a energia potencial na
posição r (que corresponde à variação na energia potencial que fica armazenada no sistema) será
dada por:
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E p (r )  Tr  E p (r ) 
1 Qq
40 r
Observe que essa expressão é somente válida para pontos fora da esfera. Essa é a mesma
expressão obtida para a partícula na origem. O potencial eletrostático será dado então por:
E 
Ep

q
1 Q
40 r
Uma situação particular, é quando estamos exatamente sobre a superfície da esfera. Nesse caso: r
= R e a expressão para o potencial eletrostático fica:
E 
1 Q
40 R
É esse valor do potencial sobre a superfície que determinará o fluxo de cargas entre duas esferas
se as colocarmos em contato. Considere a situação mostrada na Figura 83.
Fio condutor
R2
R1
Q1
Q2
Figura 83 – Duas esferas carregadas conectadas por um fio condutor.
Nessa figura, mostramos duas esferas de raios R1 e R2, as quais possuem cargas Q1 e Q2,
respectivamente. Vamos considerar, por simplicidade, que as cargas nas duas esferas sejam
positivas. Portanto, o potencial eletrostático na superfície de cada uma das esferas será dado por:
1 Q1 
40 R1 
  R   R2
1 Q2  1
 R2 
40 R2 
 R1 
Por hipótese, vamos supor que o potencial sobre a superfície da esfera com raio R1 seja maior do
que o potencial sobre a superfície da esfera com raio R2.
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Como vimos anteriormente, cargas positivas se deslocarão de posições com maior valor do
potencial eletrostático para posições de menor valor do potencial eletrostático enquanto cargas
negativas se deslocarão de regiões de menor potencial em direção a regiões de maior potencial.
Considerando que em sólidos as cargas livres são os elétrons, se por hipótese o valor do potencial
eletrostático na superfície da esfera de raio R1 é maior do que o valor do potencial eletrostático na
superfície da esfera de raio R2, então haverá inicialmente um fluxo de carga (elétrons) da esfera de
raio R2 para a esfera de raio R1. A consequência desse movimento de cargas será a diminuição da
carga na esfera que recebe a carga elétrica, diminuindo, portanto, o valor do potencial
eletrostático sobre a sua superfície (já que está recebendo cargas negativas), e o aumento da
carga elétrica na esfera que está perdendo as cargas (já que ao perder elétrons fica mais positiva),
a esfera R1, com a conseqüente diminuição do valor do potencial eletrostático sobre a sua
superfície. À medida que o tempo passa, haverá igualdade nos potenciais sobre as duas esferas e o
movimento de cargas cessará. Essa é a situação de equilíbrio.
Observe que a condição de equilíbrio implica em igualdade do valor do potencial eletrostático
sobre a superfície das duas esferas, não do valor da carga elétrica nas duas esferas. Essa condição
final é expressa por:
 R1   R2 
Q
R
1 Q1 f
1 Q2 f

 1f  1
40 R1 40 R2
Q2 f R2
Nessa expressão, Q1f e Q2f são, respectivamente as cargas no final do processo de transferência de
cargas nas esferas de raios R1 e R2. As cargas finais somente serão iguais se R1 = R2.
Exemplo 16: Energia e o potencial devido a quatro cargas
Vamos calcular a energia potencial de um sistema de quatro cargas pontuais colocadas nos
pontos: r1 = 0.; r2 = 2i; r3 = 2j; r4 = 2k.
Método 1 – Cálculo a partir do trabalho realizado para trazer cada uma das cargas a
partir do infinito.
Carga 1 – T1
Para trazer essa carga e colocá-la na posição r1 = 0. não realizamos trabalho algum, pois não há
cargas presentes no sistema. Logo:
T1 = 0.
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153
Carga 2 – T2
Para trazer a carga 2 e colocá-la na posição r2 = 2i o trabalho realizado é dado por:
r2
T2   F.dl 

q1q2 r2 (r  r ')
.dl
40  r  r ' 3
Vamos escolher como trajetória para trazer a carga do infinito até a posição r2 = 2i o eixo x. Desse
modo, temos que:
r  xi;r '  0  r  r '  r  xi
dl  dxi
Logo, o trabalho realizado pelo agente externo para trazer a carga do infinito até a posição final
será dado por:
T2 
q2 r2 (r  r ')
q2 x 2 r.dl
.
dl

40  r  r ' 3
40  r  r ' 3
T2 
q2 x 2 ( xi).( dxi)
q2 x 2 xdx


3
40 
40  x 3
r
2
q2 x 2 dx
q2  1 
W2  


40  x 2
40  x  
T2 
q2
80
eq. 78
Carga 3 – T3
Para trazer a carga 3 do infinito até a posição r3 = 2j temos que realizar trabalho contra a carga 1
colocada na origem e contra a carga 2 já colocada na posição r2 = 2i. Vamos escolher como
trajetória para trazer a carga 2 o eixo y. Então: T3 = T13+T23.
O trabalho contra a carga 1, é igual ao que foi realizado para trazer a carga 2 desde o infinito:
T13 
q2
80
Já o trabalho realizado contra a força produzida pela carga 2 será dado por:
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q2q3 r2 (r  r ')
.dl
40  r  r ' 3
r2
T23    F23 .dl 

Agora, contudo:
r  yj;r '  xi  r  r '  yj  xi
dl  dyj
Logo, o trabalho para trazer a carga 3 desde o infinito contra a força da carga 2 será dado por:
T23 
q2 r2 ( yj  xi)
q2 r2
ydy
.(

dy
j
)


3


40  yj  xi
40   y2  x 2 3/2
 (x
A integral que aparece nessa equação é do tipo:
2
xdx
1
  2 2 1/2
2 3/2
a )
(x  a )
a uma constante .
Portanto, podemos escrever o trabalho T23 como:

q2 
1
T23  

40  y 2  x 2


T23 
q2
1
40 y 2  x 2


1/2
r2  y 2


1/2



 T23 
q2
4 8 0
1
O trabalho total para trazer a carga 3 do infinito será então dado por:
T3  T13  T23
T3 
q2
1 q2

80 4 8 0
eq. 79
Carga 4 – T4
Por fim, vamos calcular o trabalho realizado para trazer a carga 4 desde o infinito, ao longo do eixo
z contra as cargas 1, 2 e 3. Por simetria, esse trabalho é similar ao calculado anteriormente:
T4 = T14 + T24 + T34
O trabalho devido à carga 1 será dado por:
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T14 
q2
80
O trabalho devido à carga 2 e o devido à carga 3 serão iguais, dados por:
T24  T34 
q2
4 8 0
1
O trabalho T4 será então dado por:
T4 
q2
1 q2
q2
1 q2
2


80
4 8 0 80 2 8 0
eq. 80
A variação da energia potencial total será então dada por:
E p  T1  T2  T3  T4
E p 
q2
q2
1 q2
q2
1 q2




80 80 4 8 0 80 2 8 0
E p 
3 q2
3 q2

8 0 8 2 0
3 q2 
1 
E p 
1


8 0 
2
E p 
3 q2  2  1 


8 0  2 
eq. 81
Método 2 - Usando o conceito de potencial
Vamos agora calcular a energia potencial do sistema usando a ideia de potencial. Vimos que o
potencial nos dá, em cada posição do espaço, a energia potencial por unidade de carga, quando
uma carga for colocada naquela posição.
Vimos ainda que o potencial em um dado ponto do espaço é uma quantidade aditiva: o potencial
em um ponto é a soma dos potenciais criados por cada carga naquela posição.
O potencial criado por uma carga q a uma distância r é dado por:
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156
 q (r ) 
1 q
40 r
Vamos usar essa equação e calcular o potencial criado por cada uma das cargas na posição
ocupada pelas outras cargas.
Carga fonte: carga 1 localizada na origem
Os potenciais criados pela carga 1, nos pontos onde se localizam as cargas 2, 3 e 4, são iguais já
que elas estão a uma mesma distância da carga 1:
q1 (r2 )  q1 (r3 )  q1 (r4 ) 
1 q
q

40 2 80
Carga fonte: carga 2 localizada na posição r = xex
O potencial que essa carga cria na origem é dado pela mesma expressão anterior:
q2 (r1  0) 
q
80
Já os potenciais criados por essa carga nas posições r3 e r4 são iguais e são dados por:
q2 (r3 )  q2 (r4 ) 
q
40 8
Carga fonte: carga 3 localizada na posição r = yey
Pela simetria do problema, o potencial criado por essa carga na origem e nas posições r2 e r4 são
iguais aos criados pela carga 2 e são dados por:
q3 (r1  0) 
q
80
q3 (r2 )  q3 (r4 ) 
q
40 8
Carga fonte: carga 4 localizada na posição r = zez
Novamente, podemos usar a simetria envolvida para escrever os potenciais:
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157
q4 (r1  0) 
q
80
q4 (r2 )  q4 (r3 ) 
q
40 8
Podemos então escrever os potenciais em cada uma das posições:
(r1  0) 
q
q
q
3q


 (r1  0) 
80 80 80
80
(r2 )  (r3 )  (r4 ) 
q
1 q
q
1 q
2


80
4 8 0 80 2 8 0
E a energia potencial do sistema será dada por:
 q2
1
1 q2  
 3q2

E p  
 3


2
 80
 80 2 8 0  

Observe o fator ½. Esse fator aparece porque calculamos o potencial para cada par de cargas duas
vezes. Por exemplo: calculamos o potencial devido à carga 1 na posição da carga 2 e vice-versa.
Contudo, a energia potencial existe por que a carga 1 está na posição r1 e a carga 2 está na
posição r2. O mesmo acontece com os pares de cargas que calculamos. Logo, a variação na
energia potencial do sistema, em relação à situação em que todas as cargas estavam no infinito
será dada por:
E p 
3 q2
3 q2 3 q 2 
1 


1


4 0 2 8 0 4 0 
2
E p 
3 q2  2  1 


4 0  2 
3 q2  2  1 
E p 


8 0  2 
eq. 82
Essa é a mesma eq. 81.
Exemplos de cálculo do potencial criados por corpos extensos
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Curso de Física Básica – Volume II
158
Potencial e campo gravitacional devidos a um anel de massa m.
Vamos calcular o potencial e a seguir o campo devido a um anel de matéria, de raio R,
caracterizado por uma distribuição uniforme de massa () em um ponto ao longo do eixo do anel,
caracterizado pela coordenada z. A situação é mostrada na Figura 84.
z
r
R
r'
dl'
Figura 84 - O anel de matéria.
O potencial devido a um pequeno elemento de comprimento dl’ com massa dm’ no ponto sobre o
eixo z é dado por:
d  G
dm'
r  r'
O módulo entre o ponto localizado pelo vetor r’ e o ponto sobre o eixo z é dado por:

r  r '  R2  z 2

1/2
Logo, o potencial total é dado pela integral ao longo do anel de matéria:
   d  G 
  G
  G
dm'
R
2

R
2
 z2

1/2


R2  z 2

1/2
 z2

2 R
0

1/2
 G 
dl '
2 R
0
R
2
 z2

1/2
dl '
2R   G
M

R2  z 2

1/2
Nessa expressão foi usado que M = (2R) é a massa do anel.
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;
 M  2R 
Curso de Física Básica – Volume II
159
Podemos agora, usando a expressão para o potencial calcular o campo gravitacional, a partir do
cálculo do gradiente desse potencial. O gradiente do potencial em coordenadas cartesianas é dado
por:
 



ex 
ey 
ez
x
y
z
Como a expressão do potencial depende apenas da variável z, as duas primeiras derivadas são
nulas. Logo:


 
M
g    
ez  
G
z
z 
R2  z 2



1
1
g  GM  
 2 R2  z 2


g  GM

1
 e  GM 
z
1/2

z R2  z 2




1/2
ez

2z  e z
3/2



z
R
2
z
2

3/2
eq. 83
ez
Vamos analisar esse resultado em dois limites interessantes.
Limite 1 – z = 0.
Nesse caso, estamos no centro do anel e nessa posição o campo deve ser nulo, pois elementos de
comprimento opostos exercem atração gravitacional sobre a mesma reta, porém em sentido
contrário. Nesse caso a eq. 83 nos dá g = 0, o que está de acordo com o esperado.
Limite 2 – z  
Nesse caso a eq. 83 nos dá:

z
g  lim  GM
z  
R2  z 2



 e   GM e .
z
3/2
 z
z2


Esse é o campo de uma partícula de massa M colocada na origem, que seria o resultado esperado
pois, à medida que nos afastamos do anel, este fica cada vez mais parecendo um ponto na origem.
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160
Cálculo do campo e do potencial criados por um disco uniformemente carregado sobre o eixo do
disco.
A situação é similar à mostrada na Figura 85.
z
r
r - r’
R
r'
dS
Figura 85 - Disco uniformemente carregado.
Nesse caso o potencial criado por um elemento de área dS localizado pelo vetor r’ na posição
localizada pelo vetor r = z k é dado por:
d 
1 dq '
1
dS

2
40 r  r ' 40 ( z  r '2 )1/2
Nessa expressão dq’ é o elemento de carga no elemento de área dS.
Esse problema é um pouco mais complicado que o anterior, pois o vetor r’ varia tanto em módulo
como em orientação. Vamos usar um sistema de coordenadas polares. Nesse sistema, o vetor r’
está na direção er e o elemento de área é escrito como: dS  rdrd . Como no caso anterior, o

módulo de r – r’ é dado por: r  r '  r '2  z 2

1/2
. O ângulo  é o ângulo polar entre o vetor r’ e o
eixo x.
O potencial no ponto considerado será dado então por:
   d 

1
dS

40 r '2  z 2


dS

40 r '2  z 2



1/2
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1/2
Curso de Física Básica – Volume II
161
Essa é uma integral de dupla. Ela recebe esse nome porque a integração é feita sobre duas
variáveis: r e . Sobre a área do disco a variável r’ varia entre 0 e R enquanto que a variável  varia
entre 0 e 2. A integral então deve ser escrita como duas integrais calculadas em sequência:
2
R

rdr

d 

2
40 0 0  r '  z 2 1/2
Observe que no integrando a variável angular não aparece. Primeiro calculamos a integral mais
externa e depois a mais interna. A integral mais externa nos dá simplesmente um fator 2:
R
2
rdr

2
40 0  r '  z 2 1/2

A integral na parte radial (variável r) nos dá (ver Tabela Schaum 14.183):



1/2
2 2 2 1/2 R 2
r '  z 
R2  z 2   z

40
40
0
Vamos agora calcular o campo devido a essa distribuição de carga. Novamente, o potencial
depende apenas da coordenada z.
Portanto:
E    

E

2  1
1
40  2 R2  z 2


E

 
z
20  R2  z 2


 1 e z




 e
1/2

  2
R2  z 2   z
ez   
z
z  40

1/2
z

e
2
z

1
1/2
 z

Vamos analisar agora três casos limites dessa expressão: o caso do plano infinito (tomando R indo
ao infinito ou o ponto z tendendo a zero), o caso de um ponto infinitamente distante (z tendendo
ao infinito) e o caso de z >> R (caso em que o disco se aproxima de um ponto).
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162
Caso 1 – O plano infinito
Um caso limite desse resultado é o plano infinito. O plano infinito é obtido tomando-se o limite de
R   ou z  0. No primeiro caso, R  , obtemos:
ER   


z
lim 
20 R   R2  z 2



1/2


 1 e z 
ez

20

Que é o resultado que obtivemos anteriormente (seção 7 do Capítulo 4).
O segundo caso, z  0, obtemos:
Ez 0  


z
lim 
20 z 0  R2  z 2



1/2



 1 e z  
( 1)e z  Ez 0 
ez

20
20

Que é novamente a expressão do campo do plano infinito.
Caso 2 – o ponto z infinitamente distante do disco carregado.
Nesse caso:
Ez 


z

lim 
20 z   R2  z 2



1/2

 z
 1 e z  
(  1)e z  Ez 0  0.

20 z

Novamente o resultado está de acordo com o que esperaríamos: para o ponto infinitamente
afastado do disco a interação elétrica entre os dois é nula e, portanto, o campo deveria ser zero.
Caso 3 – o ponto z está muito longe do disco carregado: z >> R
Nessa situação, quando estamos muito longe do disco, este se parecerá cada vez mais com um
ponto e deveremos obter o campo de uma partícula com carga q colocada na origem:
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Ez
Ez
163
R

 
z

20  R2  z 2

R

 
1
 
 2
20  R
1
z2







z
 1 e z  


20  R2
z
1

z2



1/2

1/2

1/2


 1 e z




 1 e z


Como z >> R podemos expandir em série a fração dentro do colchete usando a seguinte
expressão:
1  x 

 1  x ( x  1)
No nosso caso,  = - ½ e x = R2/z2. Usando esse resultado, podemos escrever a expressão para o
campo elétrico como:
Ez
Ez
R
R

 
1

 2
20  R
1
z2




1/2



  1 R2
 1 e z  
 1 e z
1 
2
20  2 z



  1 R2 
 R2

e

ez

 z
20  2 z 2 
40 z 2
A densidade superficial de carga pode ser escrita como:  
q
(q a carga total no disco e R2 a
R2
área do disco. Logo:
Ez
R

 R2
1 R2 q
e

e z  Ez
z
40 z 2
40 z 2 R2
R

1 q
ez .
40 z 2
Este é o campo de uma partícula pontual com carga q colocada na origem, como esperado.
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Curso de Física Básica – Volume II
164
Cálculo do campo e do potencial criados por um cilindro uniformemente carregado sobre o eixo
do cilindro.
Vamos calcular o potencial eletrostático ao longo do eixo de um cilindro uniformemente
carregado com uma densidade de carga . Veja a Figura 86.
z
Ângulo ’
P
r
z
L
r- r'
z
Elemento
de
volume d3v
'
z'
r'
z
R
z
y
z
x
Figura 86 – O cilindro uniformemente carregado.
Considerando a geometria desse problema, o sistema de coordenadas mais adequado é o sistema
de coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, as componentes são dadas pelas variáveis  (a
distância perpendicular do ponto ao eixo do z), o ângulo ’ (tomado como sendo o ângulo entre a
o segmento de reta que vai da origem até a projeção do ponto no plano (x,y)) e a própria
coordenada z do sistema cartesiano de unidades. Para o cilindro que estamos considerando, o
intervalo de variação dessas coordenadas para o vetor r’, que localiza os pontos do cilindro, é
dado por:
0  '  R
0   '  2
0  z'  L
O vetor que localiza o ponto onde queremos calcular o potencial é dado por: r = zez. Desse modo,
o potencial no ponto P será dado por:
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165
(r ) 
1
(r ')
d3v '

40
r  r'
eq. 84
Vamos escrever o módulo que aparece no denominador:
r  r '  r 2  r '2  2r.r '
.
O produto escalar dos dois vetores é dado simplesmente por: r.r’ = zz’ e o módulo do vetor r’ ao
quadrado pode ser escrito como: r’2 = ’2 + z’2 (veja a Figura 86). Desse modo, o integrando que
aparece na eq. 84 pode ser reescrito como:
1
(r ')

1
d 3v '

d 3v '


40
r 2  r '2  2r.r ' 40
r 2  r '2  2r.r '

1
(r ) 
d 3v '

40
z 2  ( '2  z '2 )  2zz '
(r ) 
Observe que a densidade de carga  foi retirada da integral já que, por hipótese, é constante.
A integral acima é o que os matemáticos chamam de uma integral tripla. Ela deve, de fato, ser
entendida como uma soma sobre todo o volume do cilindro. Para poder calculá-la devemos
escrever o elemento de volume em coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, o elemento de volume
é dado por: d3v '  'd'd'dz ' 54.
Logo, a integral sobre o volume do cilindro será escrita como:
(r ) 
 2 L R
1
 'd 'd 'dz '



40 0 0 0 z 2  ( '2  z '2 )  2zz '
(r ) 
L
R
 2
1
d '  dz ' 
 ' d '

0
0
0
2
2
40
z  ( '  z '2 )  2zz '
Em uma seqüência de integrais desse tipo, devemos calcular cada integral, a partir da integral mais
à direita, observando a variável de integração, supondo que as outras variáveis são constantes.
Assim, na integral mais interna a variável de integração é ’ e as outras variáveis (’ e z’) são
constantes. Observe que z, a coordenada do ponto onde o potencial está sendo calculado é uma
constante do ponto de vista da integral.
54
A origem dessa expressão você verá no curso de Cálculo.
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166
Para podermos calcular a integral em ’ devemos trabalhar um pouco o denominador, de modo a
colocar a integral em uma forma que podemos encontrar em tabelas de fórmulas matemáticas:


z 2  ( '2  z '2 )  2zz '  z 2  z '2  2zz '   '2
z 2  ( '2  z '2 )  2zz '  ( z  z ')2   '2  y 2   '2
( y  z  z ')
Logo, a integral pode ser escrita como:
(r ) 
Esta é uma integral tabelada:
 (a
2
L
R
 2
'
d

'
dz
'
d'
1/2



0
0
0
2
40
 y   '2 
x
dx  (a2  x 2 )1/2 . Usando esse resultado:
 x 2 )1/2
L
R
 2
'
d

'
dz
'
d '
1/2



0
0
0
40
 y 2   '2 
R
L
 2
2
2 1/2


(r ) 
d

'
dz
'
y


'
0 
 0
40 0
(r ) 
(r ) 


L
1/2
 2
d '  dz '  y 2  R 2   y

0
40 0
Devemos agora resolver a integral na variável z’ (contida dentro do fator y). Essa integral é mais
facilmente solucionada se observarmos que:
dy
 1  dz '  dy
dz '
Usando esta igualdade, podemos reescrever a integral na variável z’ como uma integral na variável
y. Essa técnica de reescrever integrais se chama técnica de substituição de variáveis. Observe
também que, se mudamos da variável z’ para a variável y, os limites de integração devem ser
mudados também:
z'  0  y  z  z'  z
z'  L  y  z  z'  z  L
Logo, a integral do potencial se escreve:
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167
(r )  


z L
1/2
 2
d'  dy  y2  R2   y

z
40 0


1/2
 2
 z L

z

L
2
2
(r )  
d ' 




ydy
y

R
dy

0

z
40


 z

I2
I1


eq. 85
A segunda dessas integrais, I2, é trivial:
z L
 2
 2
y2
I2 
d '  ydy 
d '
z
40 0
40 0
2
I2 
z L
z
 ( z  L)2 z 2 
 2

d ' 
 
40 0
2
 2
  ( z  L) z  2 
  ( z  L)2 z 2  2

d

'

  ' 0



40  2
2  0
40  2
2
2
2
  ( z  L)2 z 2 
I2 
  2

40  2
2
I2 

( z  L)2  z 2 
40
eq. 86
Observe que retiramos o termo no colchete para fora da integral em ’, pois nele não aparece a
variável de integração.
Vamos agora analisar a primeira das integrais na eq. 85 (I1). Essa é uma integral do tipo (tabelada):
x 2 2 1/2 a2
2
2 1/2
(
x

a
)
dx

( x  a )  ln  x  ( x 2  a2 )1/2 

2
2
Portanto, a primeira integral da eq. 85 se escreve:
I1  
z L
 2
2
2 1/2

 dy
d

'
y

R
z 
40 0


z L
y 2
 2
R2
2 1/2
2
2 1/2 



 
I1  
d

'
y

R

ln
y

y

R




40 0
2
2

z


z L


z L
1/2 
 y 2
R2
2 1/2


I1  
y

R

ln y   y 2  R2  
 

40  2
2
z

2
0
d '
 y 2
R2
2 1/2
2
2 1/2 



  2
I1  
y

R

ln
y

y

R
 


40  2
2
z
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I1  
168
1/2
1/2
 
R2 
2
2

2
2


z

L
z

L

R

ln
z

L

z

L

R












 
40 
2 
z  z 2  R2 
1/2



1/2 
R2
ln z   z 2  R2  
2

Usando os resultados para I1 e I2, podemos escrever o potencial no ponto z como:
(r )  I1  I2  
z  z 2  R2 
1/2

1/2
1/2
 
R2 
2
2

2

z

L
z

L

R

ln   z  L    z  L   R 2   
 





40 
2 



1/2 
R2

( z  L)2  z 2 
ln z   z 2  R2   
2
4


0
Este resultado, após certa dose de manipulação algébrica, pode ser simplificado e reescrito como:
2
  
L  2 
L 
(r ) 
 z   R   z   
40  
2  
2  

1/2
2
L  2 
L 

  z   R   z   
2  
2  


1/2

1/2

 2 

L
L
R

z

 z




2
2


2
  2zL
R ln 
1/2
 2 

L
L

R   z     z 

2
2





Energia potencial eletrostática
Vamos supor que tenhamos uma distribuição de cargas no espaço caracterizada por certa
densidade de carga .
Desse modo, se tomamos dois elementos de volume dv’ e dv, caracterizados por densidades de
carga (r’) e (r), respectivamente, teremos uma contribuição para a energia potencial Ep por
conta da interação desses dois elementos de volume dada por:
E p 
1 (r ')(r ) 3 3
d v 'd v
40 r  r '
Portanto a energia potencial total devido à carga localizada na posição r (que chamaremos por
dEp) será dada pela soma dessa quantidade sobre todo o espaço. Essa soma nos dará a
contribuição para a energia potencial por conta da interação de todos os pares de cargas
localizadas nas outras posições do espaço (diferentes da posição r) com as cargas localizadas
nessa posição:
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169
dE p   E p 
1  (r ') 3 
d v ' (r )d 3v


40  r  r '

Elemento de volume dv com densidade
de carga .
Elemento de volume dv’ com
densidade de carga ’.
r1
r2
Figura 87 – Distribuição de cargas
Colocamos o colchete para indicar claramente que estamos somando sobre todo o espaço,
indicado pelo elemento de volume d3v’. Nossa variável de integração é a variável r’.
A energia potencial total do sistema será dada pela soma em todo o espaço da contribuição para
energia potencial de cada carga localizada pelo vetor r. Lembre que ao somarmos sobre todo o
espaço deveremos multiplicar por um fator ½ já que ao somarmos sobre todo o espaço
contaremos duas vezes o mesmo par. Logo:
E p   dE p 
Ep 
 (r ') 3 
1 1
d v ' (r )d 3v


2 40  r  r '

 1
1
(r ') 3 
3

(
r
)
d
v
d v '


2
 40 r  r '

A segunda das integrais que aparece nessa expressão é simplesmente a equação para o potencial
devido às cargas localizadas pelo vetor r2 na posição localizada pelo vetor r:
(r ) 
1
(r ') 3
d v'

40 r  r '
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170
Portanto, a energia potencial pode ser escrita como:
Ep 
1 3
d v(r )(r )
2
eq. 87
Lembre que essa integral (soma) é realizada em todo o espaço.
Para podermos prosseguir, precisamos definir o divergente de um campo vetorial e enunciar o
Teorema da Divergência de Gauss55.
Definição – Divergente de um campo vetorial
Definimos por divergente de um campo vetorial C, em coordenadas cartesianas, à quantidade:
.C 
C x C y C z


x
y
z
Nessa expressão, Ci são as componentes do vetor C. Observe que esta quantidade é uma
quantidade escalar. O divergente é uma quantidade relacionada com o fluxo de um campo
vetorial. Um campo com fluxo zero terá divergente nulo.
Teorema da Divergência de Gauss
Seja um volume V limitado por uma superfície S. Nesse volume temos um campo C. O Teorema da
Divergência de Gauss nos diz que a integral sobre o volume V do divergente do campo C é igual à
integral de C.n sobre a superfície S (n o vetor unitário normal a S):
 .Cd v   C.ndS
3
V
S
Superfície S.
V
Campo C.
Figura 88 – Volume e superfície para o Teorema da Divergência de Gauss.
55
Não demonstraremos aqui esse teorema. Isso será feito no curso de Cálculo.
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171
Usando o Teorema da Divergência de Gauss podemos mostrar que a Lei de Gauss pode ser escrita
em função do divergente do campo eletrostático. Para mostrar isso, primeiro vamos usar o
Teorema da Divergência de Gauss para escrever a Lei de Gauss:
q
 E.n dS  
S
0
em uma forma que envolva o divergente do campo elétrico. Para obter esse resultado vamos
aplicar o Teorema da Divergência de Gauss no lado esquerdo da Lei de Gauss:
 E.n dS   . E d v
3
S
V
No lado direito da Lei de Gauss, podemos reescrever a carga líquida que há dentro da superfície
gaussiana, q, como uma integral sobre o volume V limitado pela superfície S:
q   (r )d 3v
V
Usando esses dois resultados, a Lei de Gauss pode ser reescrita como:
(r ) 3
dv
0
V
 . E d v  
3
V
O que essa última expressão nos mostra é que a soma do divergente do campo elétrico em cada
ponto do espaço (a integral no lado esquerdo dessa equação) deve ser igual à soma da densidade
de carga em cada posição dividida por 0 (a integral no lado direito). O volume V sobre o qual a
integração está sendo tomada é qualquer. Portanto, a única forma pela qual essa igualdade pode
ser sempre verdadeira é se os integrandos forem iguais.
Então, podemos escrever que:
.E 

0
eq. 88
Vamos agora usar esse resultado para reescrever a equação eq. 87. Vamos usar a equação eq. 88
para substituir a densidade de carga pelo divergente do campo elétrico:
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172
1 3
1
d v(r )(r )   d 3v  0.E (r )

2
2

E p  0  d 3v.E(r )
2
Ep 
O integrando pode ser reescrito da seguinte maneira56:
.(E )   .E    E. 
E 
.E    E.E
.(E )  E 2   .E  
.
Usando esse resultado na expressão da energia potencial:
0
.(E )  E 2 d 3v
2 


E p  0  E 2d 3v  0  .(E )d 3v
2
2
Ep 
Podemos usar agora o teorema da Divergência de Gauss para transformar a segunda dessas
integrais em uma integral de superfície:
 d v .E    EdS
3
S
.
Vamos analisar melhor essa expressão. A integral no lado esquerdo dessa igualdade é sobre todo
o espaço. Ou seja, os limites de integração se estendem até o infinito. Portanto, a superfície que
limita esse volume (S) se encontra no infinito. No infinito o potencial é nulo, assim como o campo
eletrostático. Logo, o integrando do lado direito é zero sobre toda a superfície S e,
consequentemente, a integral sobre essa superfície vale zero.
Finalmente, podemos escrever a forma final da energia potencial do sistema:
Ep 
A quantidade
0
E.E d 3v
2
0
E.E é a densidade de energia eletrostática em cada elemento de volume do
2
espaço.
56
eq. 89
EE.
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173
Outro exemplo de cálculo da energia potencial: o oscilador harmônico
Um sistema interessante e que serve de modelo a muitos sistemas físicos é o chamado oscilador
harmônico. O oscilador harmônico consiste de uma mola na qual está ligado um objeto de massa
m. O conjunto todo está sobre uma mesa (veja a Figura 89).
Na formulação mais simples do oscilador, a superfície de contato entre o objeto e a mesa suporte
não tem atrito. O atrito com o ar também é desprezado. Essa configuração é chamada de
oscilador harmônico simples. Quando levamos em conta as perdas por dissipação, temos o
oscilador harmônico amortecido e quando levamos em conta fluxos de energia da vizinhança para
o sistema, temos o caso do oscilador harmônico forçado. Nos deteremos no oscilador harmônico
simples.
Se deslocarmos o objeto preso à mola de certa distância x em relação à posição de equilíbrio,
aparecerá na mola uma força, chamada de força restauradora, cujo sentido é sempre oposto ao
da velocidade do objeto preso à mola, fazendo com que o sistema volte para a posição de
equilíbrio. A distância entre a posição de equilíbrio e a posição do objeto em qualquer instante, x
= x – x0, é chamada de elongação.
Força restauradora
(b)
(a)
Figura 89 – O oscilador harmônico. (a) Posição de equilíbrio; (b) Posição onde a
elongação é máxima.
A elongação máxima, entendida como a máxima distância da posição de equilíbrio, é chamada de
amplitude do movimento (A). O tempo que o oscilador gasta para um ciclo completo, ou seja, para
retornar ao mesmo estado dinâmico, entendido como a mesma posição e a mesma velocidade
(em módulo, direção e sentido) é chamado de período da oscilação (simbolizado pela letra grega
). O inverso do período é a frequência da oscilação (simbolizada pela letra f): f = 1/. A frequência
nos informa quantas oscilações o oscilador completa em cada segundo. A unidade de frequência
no Sistema Internacional de Unidades é o s-1  Hz (lê-se Hertz).
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174
Pode-se mostrar que a força restauradora, Fr, é proporcional à elongação da mola: F  kx e x . A
constante k é chamada de constante da mola. Se escolhermos um sistema de referências cujo zero
seja a posição de equilíbrio do oscilador então essa equação se reduz a:
F  kx e x .
eq. 90
Esta expressão é conhecida por Lei de Hooke57.
x
Fr v = 0
-A
0
v = vmáx
x
Fr
Fr = 0
A
-A
a
0
A
b
x
v=0
-A
0
A
c
Figura 90 – Sentido da força sobre o objeto preso à mola em três posições ao longo de
sua trajetória.
A ação da força restauradora produz um tipo de movimento chamado de periódico. Vamos
analisar o movimento do oscilador a partir do momento em que o objeto preso à mola é solto na
posição de elongação máxima x(t) = A (painel a da Figura 90).
Quando o objeto é solto a força restauradora tem o sentido oposto ao sentido positivo do eixo dos
x. O objeto, que inicialmente tinha velocidade nula, adquire velocidade, acelerado pela força
restauradora. À medida que o objeto se aproxima da posição x = 0 a força restauradora diminui,
até atingir o valor nulo quando o objeto está nessa posição (painel b da Figura 90). Nessa posição
o objeto tem o valor máximo do módulo da velocidade. Ao passar pela posição de equilíbrio
ocorre uma inversão no sentido da força restauradora já que agora a mola está sendo comprimida
pelo objeto. À esquerda do ponto x=0, a força restauradora tem sentido dos valores positivos de x,
desacelerando o objeto até que este atinja a posição de elongação máxima x = -A, quando então
sua velocidade será nula novamente (painel c da Figura 90).
Agora o objeto será novamente acelerado em direção à posição de equilíbrio, aumentando o
módulo da sua velocidade e diminuindo o módulo da força restauradora. Novamente, ao passar
57
Robert Hooke, Físico e Filósofo inglês (1635 – 1703).
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175
pela posição de equilíbrio, sua velocidade será máxima e a força restauradora será nula.
Imediatamente após passar a posição de equilíbrio, a mola começa a ser esticada e a força
restauradora reaparece, porém agora com sentido contrário, apontando no sentido dos valores
negativos de x, desacelerando o objeto preso à mola. O movimento prosseguirá até a posição de
elongação máxima no lado positivo do eixo x quando então a velocidade será nula e a força
restauradora máxima, em módulo.
Este movimento cíclico do objeto prosseguirá indefinidamente já que não temos dissipação da
energia fornecida inicialmente ao sistema pelo agente externo que esticou a mola inicialmente.
Teremos uma troca constante entre a energia cinética do objeto e a energia potencial armazenada
no sistema Objeto – Mola.
A força restauradora é a única força que atua no objeto ligado à mola. Podemos obter uma
expressão para a função posição do objeto usando a Segunda Lei de Newton:
Fr  Fresultante
kx  ma  ma  kx  0  m
d 2 x(t )
 kx  0
dt 2
d 2 x(t ) k
 x 0
dt 2
m
d 2 x(t )
k

 20 x  0 20  
2
dt
m

eq. 91
A quantidade 0 é chamada de frequência natural de oscilação. A razão para esse nome ficará
mais clara em breve. A eq. 91 é um tipo de equação diferencial ordinária. A solução de uma
equação diferencial é uma função. No caso do oscilador, a função x(t) que nos dá a posição do
oscilador em cada instante de tempo é58:
x(t )  Acos(0t  )
eq. 92
A quantidade 59 é chamada de fase. Essa quantidade está relacionada com nossa escolha para a
origem da contagem do tempo. Por exemplo, vamos supor que escolhemos o instante de tempo t
58
Não estamos nem justificando e tampouco derivando essa equação. Apenas apresentando qual é o resultado. O estudante terá
oportunidade de derivar esse resultado em cursos mais adiantados.
59
Letra delta minúscula do alfabeto grego.
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= 0 como sendo o instante de tempo em que o oscilador estava na posição de elongação máxima
em x = A (no lado positivo do eixo x). Então:
x(t )  A cos(0t  )  A  A cos(0 .0  )
t 0
xA
cos()  1    0
Portanto, para essa escolha da origem da contagem do tempo, a equação que descreve a posição
do oscilador harmônico é dada por:
x(t )  Acos(0t )
Naturalmente, para que o oscilador comece seu movimento periódico, algum agente externo deve
distender a mola a partir da sua posição de equilíbrio até o ponto de elongação máxima exercendo
uma força Fe. Essa é a fonte de energia inicial do oscilador. Vamos calcular o trabalho realizado
pela força externa, Fe, que provoca a elongação inicial do oscilador de uma distância x qualquer.
Essa força deve ser em módulo igual à força de restauração para que o deslocamento se dê com
velocidade constante: Fe = - F. Portanto, o trabalho para levar a massa m até a posição x, a partir da
posição de equilíbrio, x0 = 0 será dado por:
x
x
x
0
0
0
T   Fe .dr   Fedx   kxdx
1
E p  T  kx 2
2
eq. 93
Essa é a expressão para a variação da energia potencial do oscilador na posição x. Como antes,
podemos escolher o zero de energia potencial de maneira conveniente. Nesse problema, a
posição de equilíbrio é a posição natural para escolhermos como sendo o ponto com energia
potencial nula. Portanto, a energia potencial em um ponto qualquer será dada por:
1
E p  E p ( x )  E p (0)  E p ( x )  kx 2
2
eq. 94
Naturalmente, o sistema é conservativo, pois o trabalho da força Fe depende somente dos pontos
inicial e final da trajetória do objeto preso à mola. Depois de solto, o oscilador executará um
movimento periódico, descrito pela eq. 92, trocando formas de energia, transformando energia
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potencial em cinética e vice-versa pela ação da força restauradora Fr . Essa situação é semelhante
ao caso gravitacional (sistema Terra – Partícula – Campo Gravitacional isolado, página 133).
Exemplo 17
Considere a seguinte situação. O comandante de uma nave que deve fugir de um planeta que está
se desintegrando, sem combustível suficiente para fugir do planeta, decide por uma manobra
extrema: dirigir a nave para o centro do planeta para aproveitar a aceleração da gravidade e, com
isso, ganhar velocidade. Em sua opinião essa manobra teria sucesso? A situação é mostrada na
Figura 91.
Ao jogar a nave em direção ao centro do planeta, se desconsiderarmos perdas por atrito, que é a
situação mais favorável ao comandante da nave e sua tripulação, a única força que atua na nave é
a força gravitacional. Portanto, podemos escrever que:
Fr  Fg  
GMm r
r2 r
Nessa expressão, m é a massa da nave. Essa força é variável. Para uma dada distância r do centro
do planeta, essa força depende da massa M contida na esfera de raio r. Sob a hipótese de uma
densidade de massa  constante, essa massa é dada por:
4
M  Vr   r 3 .
3
Nave
z
Força
gravitacional
y
Força
gravitacional
Centro
x
do
planeta
Figura 91 – Nave atravessando o planeta.
Logo, a força experimentada pela nave será dada por:
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Fg  
GMm r
Gm 4 3 r
 2
r
2
r r
r 3
r
4
r
r
Fg   Gmr  Fg  Kr
3
r
r
A constante K que aparece nessa expressão é dada por:
4
K  Gm
3
Essa expressão tem a mesma forma da Lei de Hooke para o oscilador harmônico. A conclusão a
que chegamos é que a nave terá um movimento do tipo do oscilador harmônico, não tendo
nenhum ganho de velocidade ao percorrer todo o diâmetro do planeta. Portanto, a manobra do
comandante não terá sucesso e a nave será destruída.
Outro potencial: a temperatura.
Vimos no Capítulo IV que a temperatura de um sistema físico é uma grandeza que é definida como
sendo proporcional à energia cinética média das partículas que compõem o sistema. A
temperatura, entendida como uma variável de estado termodinâmica somente é bem definida
para sistemas em equilíbrio.
Para entendermos o que significa dizer que um sistema está em equilíbrio, precisamos definir o
conceito de reservatório térmico. Um sistema é dito um reservatório térmico quando for grande o
suficiente para que, quando colocado em contato com sistemas menores do que ele com
temperaturas diferentes da sua, e com os quais trocará energia sob a forma de calor, a sua
temperatura não se altere. Um exemplo de reservatório térmico é a atmosfera. Considere a
situação seguinte: você esquenta água em uma chaleira para o chimarrão. Quando a água
esquentou o suficiente você desliga o fogo e vai atender a alguém que o chamou. Ao voltar, depois
de meia hora, verifica que a chaleira e a água que ela contém estão à temperatura ambiente. Para
onde foi a energia que estava armazenada na água dentro da chaleira? Foi transferida sob forma
de calor para a atmosfera. Contudo, como a atmosfera é muito grande, a temperatura da
atmosfera não foi modificada por esse processo.
Podemos agora definir o que entendemos por sistema em equilíbrio: é um sistema físico que já
teve tempo suficiente para entrar em equilíbrio com um reservatório térmico de tal modo que o
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179
sistema não troque mais calor com o reservatório. Para esses sistemas, e apenas para esses, é que
o conceito de temperatura está definido de forma adequada.
Contudo, nas situações do dia a dia, podemos fazer a hipótese de que os sistemas físicos passam
por sucessivos estados de quase-equilíbrio e então usar o conceito de temperatura.
Para entendermos o conceito de temperatura como um potencial para o fluxo de calor,
consideremos a seguinte situação (veja a Figura 92).
Parede
adiabática,
impermeável e fixa
Parede
adiabática,
impermeável e fixa
T1
T2
Figura 92 – Gás em um recipiente com duas câmaras não comunicáveis.
Considere que tenhamos um gás em dois compartimentos estanques, separados por uma parede
adiabática (não permite o fluxo de calor), impermeável (não permite a passagem de partículas de
um lado para o outro) e fixa (a parede não se move, ou seja os volumes são fixos). Nessa situação,
cada porção do gás tem a sua temperatura, T1 e T2 respectivamente. Por hipótese, vamos supor
que T1 > T2. Cada porção do gás tem a sua energia interna U1 e U2 de modo que a energia total é
dada por:
U  U1  U2
Vamos agora supor que a parede interna deixe de ser adiabática e se torne uma parede que
permita a passagem de calor de uma porção do gás para a outra. Esse tipo de parede é chamada
de diatérmica. Vamos tentar descobrir qual a condição de equilíbrio, entendida como sendo a
condição em que a energia pára de fluir de um sistema para o outro.
A condição para que o sistema chegue à condição de equilíbrio é que a energia seja um mínimo.
Do curso de cálculo você aprendeu que o mínimo de uma função é caracterizado pelo fato de que
a variação da função na variável da qual ela depende, o tempo no nosso caso, seja zero. Logo:
U  U1  U2  0
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180
A última igualdade vem do fato de que a variação da energia total do sistema é nula. Isso segue do
Princípio da Conservação da Energia, uma vez que o sistema é isolado (as paredes externas são
adiabáticas, fixas e impermeáveis).
Logo:
U2  U1  Q
Ou seja, a energia ganha por uma parte do sistema sob forma de calor (Q) é o que é perdido pela
outra. Vamos usar agora uma relação que você aprendeu no ensino médio (e que será novamente
discutida mais adiante) entre a quantidade de calor que um corpo recebe ou perde e a variação na
sua temperatura. Essa relação estabelece que a quantidade de calor perdida ou recebida por um
corpo é proporcional à variação da temperatura desse corpo antes e depois de ter recebido a
quantidade de energia sob forma de calor:
Q  T
Logo, podemos escrever:
1(T1 f  T1i )  2(T2 f  T2i )
Os índices i e f indicam os valores inicial e final da temperatura. Contudo, como o estado final é o
estado de equilíbrio térmico, as duas temperaturas finais deverão ser iguais. Esse valor de
temperatura deverá ser um valor intermediário entre as temperaturas: T1 > Tf > T2. Podemos,
então, escrever (usando o fato de que as constantes 1 e 2 são números positivos):
1(Tf  T1i )  2(Tf  T2i )  Q
Pela nossa convenção, o calor quando entra em um sistema físico o faz com sinal positivo e
quando sai, leva o sinal negativo. Como consideramos a temperatura T1 a maior das duas
temperaturas temos que a primeira parcela tem um sinal negativo enquanto que a segunda tem
um sinal positivo. Portanto, a quantidade de calor saiu do sistema 1 e entrou no sistema 2. Por
essa razão é que dizemos que a Temperatura é um potencial para o transporte de energia sob
forma de calor: esse tipo de fenômeno somente acontece quanto temos diferença de temperatura
entre os dois sistemas e sempre do sistema de maior temperatura para o sistema de menor
temperatura.
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Um novo potencial: a pressão
Consideremos um sistema de partículas confinadas em um recipiente. Nosso sistema pode ser, por
exemplo, um gás. Veja a Figura 93.
As partículas dentro da caixa são livres para se movimentarem em todas as direções. Ao se
movimentarem, essas partículas podem sofre dois tipos de colisões: com as outras partículas na
caixa e com as paredes da caixa. Vamos analisar o segundo tipo de colisões, das partículas com as
paredes da caixa.
Cada partícula ao colidir com a parede da caixa transfere parte do seu momento à parede. Para
uma partícula i, se movimentando com velocidade vi, possui uma quantidade de momento dada
por: pi = mvi e sofre uma variação pi ao se chocar com a parede. Contudo, vimos anteriormente
que o momento se conserva.
Portanto, a quantidade de momento transferido pela partícula à parede deve ser igual à variação
do momento da partícula. Por outro lado, sabemos que a força resultante sobre uma partícula é
dada pela variação do momento linear dessa partícula e que forças do tipo do que descrevemos
acima formam um par de ação e reação.
Figura 93 – Partículas dentro da caixa.
A conclusão desse raciocínio é que a partícula exerce uma força fi sobre a parede. Se em um dado
momento temos N partículas interagindo com as paredes do recipiente que contém as partículas,
então a força total que está sendo aplicada sobre as paredes, F, do recipiente é dada pela soma
sobre a força que todas as partículas exercem sobre as paredes:
N
F(t )   fi
i 1
A dependência com o tempo nos indica que a força total atuando sobre as paredes do recipiente
pode ser variável, dependendo do tempo. Um conceito interessante, o qual pode ser usado para
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182
melhor descrever o que está acontecendo, é o conceito de força média que está atuando por
unidade de área das paredes do recipiente. Podemos calcular essa quantidade simplesmente
dividindo a força total pela área total das paredes do recipiente:
Fm (r , t ) 
F(t )
A
Como toda grandeza calculada como uma média, essa grandeza nos descreve grosseiramente a
situação. Observe, ainda, que agora a força média depende da posição (simbolizamos isso
inserindo o vetor r) uma vez que ao dividirmos pela área temos o valor médio da força em cada
ponto sobre a superfície. Podemos obter uma descrição melhor do que está acontecendo se
tomarmos o limite da área indo a zero. Naturalmente, se tomamos uma área menor, a força
exercida sobre essa área também diminui, já que sendo a área menor menos partículas se
chocarão com a superfície em questão. O nome dado a essa quantidade é Pressão (P):
F(t )
A0 A
P(r , t )  lim Fm(r , t )  lim
A0
Observe que escrevemos a pressão como um vetor. De fato, e isso você verá em cursos mais
avançados, a pressão é mais bem representada por um tensor, uma entidade matemática mais
geral que o vetor. Observe que a pressão tem a direção do vetor força, na posição dada pelo vetor
r. A unidade de pressão no Sistema Internacional é o N/m2 também chamado de Pascal (símbolo
Pa) em homenagem a Blaise Pascal60.
Tomamos como modelo para derivar o conceito de pressão uma caixa onde tínhamos certo
número de partículas. Contudo, podemos pensar em um fluido como um conjunto de partículas
que ocupam certo volume de espaço e pensar em uma superfície hipotética, não física, tão
pequena quanto se queira (frente às dimensões do espaço ocupado pelo fluido), que contenha
certo número de partículas (veja a Figura 94). Na superfície do elemento de fluido, que chamamos
por S, agem dois tipos de força. O primeiro tipo são as forças que atuam de dentro para fora do
elemento de fluido, criadas pelas partículas que estão dentro do elemento de fluido, e que se
chocam com a superfície hipotética S. O segundo tipo de força é o que em origem nas partículas
que estão na parte externa do elemento de fluido, e que colidem com nossa superfície hipotética.
60
Blaise Pascal, filósofo, matemático e físico francês (1623 – 1662). Veja http://pt.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal (acessada em
05 de setembro de 2007).
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183
Na situação de equilíbrio, quando o número de partículas, bem como sua energia, é o mesmo em
todos os pontos do fluído, se tomarmos um elemento de volume suficientemente pequeno, a
força por unidade de área sobre o elemento do fluido será a mesma tanto do lado de dentro como
do lado de fora, e nosso elemento de fluido experimentará uma força resultante nula. Por outro
lado, se a energia ou o número de partículas que atuam sobre o elemento de fluído for maior no
lado de dentro do que no lado de fora, teremos uma força líquida de dentro para fora, e
conseqüentemente uma pressão maior no lado de dentro do que no lado de fora e o fluido do
lado de dentro “empurrará” nossa superfície hipotética, fazendo com que a área aumente. Mas ao
aumentar a área, a força por unidade de área diminuirá, e com ela a pressão. O processo atingirá o
equilíbrio quando a pressão exercida pelas partículas na parte interna do elemento de fluido
igualar a pressão no lado externo. Caso a situação seja invertida, com a pressão exercida pelas
partículas no lado de fora sendo maior do que a pressão exercida pelas partículas no lado de
dentro, o processo também será invertido, com a diminuição do volume e da sua área superficial,
até que a pressão se iguale novamente.
Porção
do
fluido
Espaço ocupado pelo
limitada pela superfície
fluido
hipotética S.
S
Forças atuando de fora para dentro
Forças atuando de dentro para fora
da superfície S.
da superfície S.
Figura 94 - Forças atuando em um elemento de fluido.
Vamos agora analisar a situação em que temos um meio não homogêneo, mas no qual existe um
gradiente de densidade ou de temperatura. Lembramos que a existência de um gradiente significa
que existe uma direção na qual a temperatura ou a densidade aumentam. Uma situação na qual
isso pode acontecer é mostrada na Figura 95.
Nessa figura mostramos uma coluna de gás em contato com um reservatório térmico. Como já
comentamos, um reservatório térmico é um corpo suficientemente grande para que sua
temperatura não mude se o colocarmos em contato com outro corpo, muito menor que ele, com
uma temperatura diferente. Um exemplo de reservatório térmico é a atmosfera terrestre. Nessa
situação, a energia flui sob forma de calor do reservatório para o corpo ou do corpo para o
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184
reservatório devido à diferença de temperatura entre os dois. No nosso exemplo, vamos supor
que a temperatura do reservatório, Tr seja maior que a temperatura do gás. Desse modo, haverá
um fluxo de energia sob forma de calor do reservatório para o gás, fazendo com que a
temperatura do gás, Tg, aumente. Entretanto, esse aumento na temperatura do gás não é
uniforme. A parte do gás que está mais próxima da base aquecida (o reservatório) aumenta sua
temperatura primeiro que as camadas superiores do gás. Desse modo, teremos um gradiente de
temperatura da base em direção ao topo: a temperatura diminui ao nos afastarmos da base da
coluna de gás e nos aproximarmos do topo da coluna. Naturalmente, se deixarmos o gás tempo
suficiente em contato com a base aquecida a temperatura do gás será uniforme e igual à
temperatura do reservatório.
Analisemos agora o que acontece com a pressão na superfície hipotética S mostrada na Figura 95.
As partículas do gás na parte de baixo da superfície S, entre a base da coluna e a superfície S, têm
energia cinética maior e, portanto, ao “colidirem” com a superfície S transferirão a essa superfície
mais momento, e exercerão uma força maior sobre essa superfície do que as partículas que estão
entre a superfície S e o topo da coluna de gás. Conseqüentemente, a pressão sobre a superfície
será maior na parte de baixo do que na parte de cima. O resultado disso é que o gás contido na
parte de baixo da superfície “empurra” a superfície S em direção ao topo e o gás na parte de baixo
se expande. Se o sistema for mantido a um volume constante, por uma parede rígida por exemplo,
essa expansão do gás na parte de baixo faz com que o volume do gás contido na parte superior
seja menor, o que faz com que mais partículas na parte superior colidam com a superfície S,
fazendo com que a pressão na parte superior aumente. Depois de algum tempo, o gás na parte
superior estará tão comprimido que a sua pressão igualará a pressão do gás na parte de baixo e o
processo de expansão do gás na parte de baixo cessará.
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Parte
185
da
coluna
com
temperatura menor
Parte da coluna com
Superfície S (hipotética)
temperatura maior
Base aquecida
Figura 95 – Coluna de gás aquecida.
Veja que o resultado da diferença de pressão entre os dois lados da superfície S resultou em um
movimento de matéria da região de mais alta pressão em direção à região de mais baixa pressão.
Por isso dizemos que a pressão é um potencial para o fluxo de matéria. Os ventos são um exemplo
claro desse processo. Você já deve ter visto na televisão uma figura como a que mostramos na
Figura 96. Nessa figura, mostramos um exemplo de carta sinóptica do Brasil na data de 04 de
setembro de 2007. Na parte lateral direita da figura há uma escala colorida indicando o valor de
pressão associado a cada cor em cada ponto do mapa. Por exemplo, sobre Mato Grosso do Sul
temos a cor verde na parte leste do estado, o que indica uma pressão de 1020 mb 61. Já na parte
oeste do estado (sobre o Pantanal), a cor mostrada é o azul esverdeado, o que indica uma pressão
de 1010 mb, aproximadamente. Portanto, teremos ventos soprando da parte leste para a parte
oeste do estado, onde a pressão é menor.
61
5
2
O Bar é uma medida de pressão bastante utilizada. 1 Bar = 1,0 x 10 N/m .
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186
Figura 96 – Exemplo de carta sinóptica. Fonte http://www4.climatempo.com.br (acessado
em 05 de setembro de 2007).
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Capítulo III - Campos em meios materiais
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189
Materiais dielétricos e materiais condutores
62
Um material dielétrico é definido como um material que não possui cargas livres, que possam se
movimentar livremente pelo material quando este é submetido a um campo elétrico externo.
Esses materiais, ao contrário dos condutores, não podem suportar correntes elétricas, sendo
usados como materiais isolantes. A borracha é um exemplo desse tipo material. De fato, da
mesma maneira que não existe um condutor perfeito, também não existe um dielétrico perfeito.
Se aumentarmos o campo elétrico o suficiente mesmo um material dielétrico pode se tornar um
material condutor. Um exemplo é o ar, o qual normalmente é um bom isolante elétrico. Contudo,
submetido a campos suficientemente intensos mesmo o ar pode se tornar um condutor de
correntes elétricas.
Eexterno = 0
Eexterno = 0
Einterno =0.
Einterno =0.
Condutor
Dielétrico
Eexterno
Eexterno
Einterno 0.
+
–
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Einterno =0.
Edipolo
Material condutor na presença de um campo
Material dielétrico na
elétrico.
elétrico.
presença de um campo
Figura 97 – Comportamento de materiais condutores e dielétricos na presença de um
campo elétrico externo.
Embora, em geral, não possamos ter correntes elétricas fluindo nesses materiais, eles podem ter
cargas elétricas, chamadas de cargas de polarização, e a interação do campo criado por essas
62
Também chamados de isolantes.
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190
cargas elétricas com o campo externo aplicado faz com que o campo elétrico externo seja
diminuído dentro do material.
Esse comportamento é completamente diferente do comportamento de um condutor. Quando o
condutor é colocado na presença de um campo elétrico externo, ocorre uma separação de cargas
de tal modo que o campo no interior do condutor seja nulo, depois de algum tempo.
A situação é ilustrada na Figura 97. Inicialmente, temos dois corpos, um formado por um material
condutor e outro formado por um material dielétrico. Quando não há campo elétrico presente, os
dois materiais são eletricamente neutros, tanto global quanto localmente. Por neutralidade global
queremos indicar que temos o mesmo número de cargas positivas e negativas no material e por
neutralidade local queremos dizer que essa mesma condição é válida para qualquer pequeno
volume do objeto que analisemos.
Polarização
Vamos analisar agora o que acontece quando um material condutor é colocado na presença de
um campo elétrico. Quando o campo elétrico externo é aplicado ao condutor, os elétrons (pontos
escuros na Figura 97) podem se mover livremente na direção oposta ao campo aplicado. Isto faz
com que tenhamos no material uma região mais positiva e outra mais negativa de tal modo que o
campo entre estas duas regiões cancele o campo externo aplicado fazendo com que o campo no
interior do material condutor seja nulo. Observe que a condição de neutralidade global continua
sendo válida: a soma das cargas elétricas no material é zero. Contudo, a condição de neutralidade
local pode não ser mais válida: se tomarmos um pequeno elemento de volume do material este
poderá ter carga líquida diferente de zero.
Em um material dielétrico temos algo diferente. Como já dissemos, esse tipo de material não
possui cargas que possam se movimentar livremente. Nesse caso a ação do campo faz com que
haja uma separação local de cargas dentro das moléculas ou átomos que compõem o material.
Desse modo, cada molécula ou átomo fica mais negativa de um lado e mais positiva de outro lado.
Essa separação de cargas faz com que surja localmente um campo elétrico que aponta da região
positiva na molécula em direção à região negativa da mesma molécula. A soma desse campo com
o campo externo, porém, não é mais nula, como no caso do condutor, pois esses campos, criados
pela separação de cargas nas moléculas, são muito menos intensos do que o campo externo. A
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191
consequência disso é que o campo no interior do material dielétrico não é nulo. Esse efeito é
chamado de Polarização do material dielétrico.
Muitos materiais já possuem, naturalmente, moléculas polares, moléculas que já possuem uma
separação natural dos centros de cargas positivas e negativas. Esse tipo de molécula é bem
representado por um dipolo elétrico. Um exemplo desse tipo de molécula é a molécula da água 63.
Esses materiais quando não estão sob ação de um campo elétrico externo não apresentam uma
orientação preferencial de seus dipolos e, portanto, não apresentam um campo elétrico local. Na
presença de um campo elétrico externo, há um ordenamento desses dipolos e então o material
passa a apresentar uma orientação preferencial dos dipolos, com os dipolos tendendo a se alinhar
com o campo elétrico externo, surgindo assim um campo elétrico local, com sentido oposto ao do
campo externo aplicado. Observe que o campo externo tem que realizar trabalho para orientar os
dipolos presentes no material dielétrico ou para criá-los, no caso de ser o campo externo o
responsável pela separação de cargas das moléculas ou átomos do material dielétrico.
Consideremos um material dielétrico sobre o qual está agindo um campo elétrico E. Esse campo
provoca a separação dos centros de cargas das moléculas do material formando pequenos dipolos
em cada molécula. Vamos considerar um pequeno elemento de volume V. Este elemento de
volume é pequeno o suficiente frente às dimensões do corpo para que possamos considerá-lo
como um ponto, mas grande o suficiente para que contenha um número muito grande de
moléculas. Cada molécula dentro deste elemento de volume será caracterizada pelo seu momento
de dipolo pj, Portanto, teremos um momento de dipolo total no elemento de volume, pt, que será
N
N
j 1
j 1
a soma dos momenta de dipolo de cada molécula64: pt   pj  q j dj ( q j é a carga do centro
de carga positivo da molécula, N é o número dos momenta de dipolo no elemento de volume e dj
é a separação entre os centros de cargas positivo e negativo). Definimos como a Polarização, P, do
elemento de volume V como sendo o valor médio dos momenta de dipolo presentes no
elemento de volume, entendido como sendo o momento de dipolo total no elemento de volume
dividido pelo elemento de volume:
63
É graças a essa propriedade que a água é um solvente universal.
64
O aluno deve lembrar que o vetor momento de dipolo aponta da carga negativa em direção à carga positiva.
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192
N
P
p
j 1
j
.
V
No limite, quando o volume do elemento de volume vai a zero, podemos expressar a Polarização
como uma função da posição:
N
P(r )  lim
V 0
p
j 1
j
.
V
Observe que a polarização é uma função de cada posição no material, podendo variar de uma
posição para outra em função da composição do material.
Carga volumétrica e carga superficial de polarização
Considere dois materiais, um material que está polarizado de maneira uniforme devido à presença
de um campo elétrico externo e outro cuja polarização não é uniforme. A situação é mostrada na
Figura 98.
Eexterno
+
+
+
+
+
+
Eexterno
+
+
+
+
Edipolo
(a) Dielétrico com polarização uniforme
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Edipolo
(b) Dielétrico com polarização não uniforme
Figura 98 – Dielétricos com polarização uniforme e não uniforme.
Vamos tomar dois elementos de volume nos dois materiais. Primeiro, considere o que acontece no
material que está uniformemente polarizado. Nesse material, contando-se o número de cargas
positivas dentro de cada elemento de volume, obteremos um valor zero ou próximo dele. Na
média, o número de cargas positivas e negativas que temos dentro de qualquer elemento de
volume do dielétrico será zero. Por outro lado, considere a situação mostrada no painel b da
Figura 98. Nesse caso, tomando-se diferentes elementos de volume, teremos em cada elemento
uma carga líquida diferente de zero. O material como um todo é, naturalmente, neutro. Contudo,
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193
localmente, poderemos ter essa falta de compensação entre as cargas positivas e as cargas
negativas. Essa carga líquida é o que chamamos de carga de polarização.
Para podermos entender a relação entre as cargas de polarização e o vetor Polarização, vamos
analisar qual seria o campo criado por um dielétrico polarizado em pontos da vizinhança do
dielétrico, externos a ele. A situação é mostrada na Figura 99.
P
r-r’
a
r
r’
Figura 99 – Potencial em um ponto a fora do dielétrico polarizado.
O dielétrico é caracterizado pela polarização P existente em cada pequeno elemento de volume
d3v localizado pelo vetor r’. Sabemos que o potencial elétrico de um dipolo pode ser escrito como:
d(r ) 
1
r  r'
P(r ').
3
40
r  r'
Portanto o campo total criado pelo dielétrico na posição localizada pelo vetor r será dado pela
integração sobre todo o volume do dielétrico:
(r ) 
1
r  r'
d 3v 'P(r ').
3

40
r  r'
eq. 95
Para calcular essa integral, vamos usar a seguinte propriedade matemática. Vamos calcular o
gradiente do módulo do vetor que conecta o elemento de volume no dielétrico e o ponto onde
estamos calculando o potencial em relação à variável r’:
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194
 1    1 
  1 
  1 
' 


 ex 

ey 

 ez
y '  r  r ' 
z '  r  r ' 
 r  r '  x '  r  r ' 
 1   

'


r

r
'

x
'




e 
2
2
2  x
 x  x '   y  y '   z  z ' 

 
y ' 


e 
2
2
2  y
 x  x '   y  y '   z  z ' 

 
z ' 


e 
2
2
2  z
 x  x '   y  y '   z  z ' 
1
1
1
Deixamos o cálculo dessas derivadas por conta do estudante. O resultado, após agrupar os termos
convenientemente, pode se escrito como:
 1  r  r'
'

3
 r  r '  r  r '
eq. 96
O resultado expresso pela eq. 96 é justamente parte do integrando da equação para o potencial
criado pelo dielétrico (eq. 95). Desse modo, o potencial produzido pelo dielétrico será dado por:
(r ) 
 1 
1
3
d
v
P
(
r
').

'


40 
 r  r ' 
Usando a integração por partes, essa integral pode ser reescrita como:
( r) 
 P( r ') 
1
 '.P( r ')
3
d
v

'.
d 3v




4 0
r  r'
 r  r '  4 0
1
Fazendo uso do Teorema da Divergência de Gauss, a primeira dessas integrais pode ser reescrita
na forma de uma integral de superfície, tomada sobre a superfície do dielétrico:
 P( r ') 
P(r ')
 d v  '.  r  r '    r  r ' .ndS .
3


Portanto, o potencial criado pelo dielétrico será dado por:
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( r) 
1
4 0
195
P( r ')
1
 r  r ' .ndS  4  d v
3
0
 '.P( r ')
r  r'
eq. 97
Vamos analisar detidamente a eq. 97. A primeira integral é uma integral na forma:
1
4 0
 ( r ')
P( r ')
.ndS   dS p
r  r'
r  r'

. (o índice p indicando que falamos de polarização). Essa quantidade
se identificarmos  p (r ')  Pn
tem unidade de densidade de carga superficial. A segunda integral é do tipo:

1
4 0
3
d v
 p ( r ')
 '.P( r ')
1
3
,

d
v
r  r'
4 0 
r  r'
se identificarmos  p (r ')  .P(r ') . Essa quantidade tem unidade de densidade volumétrica de
carga. A conclusão a que chegamos é que a polarização pode ser associada a densidades de carga
dentro e sobre a superfície do dielétrico: o negativo do divergente da polarização com a densidade
volumétrica de carga polarizada e o produto de escalar do vetor polarização, calculado na
superfície do dielétrico, pelo vetor normal à superfície em cada ponto, com uma densidade
superficial de cargas.
Logo, o potencial do dipolo será escrito em termos dessas densidades de carga de polarização
como:
( r) 
1
4 0
 p ( r ')
1
 r  r ' dS  4  d v
3
0
 ( r ')
eq. 98
r  r'
Este é o potencial devido às cargas de polarização.
Lei de Gauss em materiais dielétricos
Vimos que a Lei de Gauss se escreve:
q
 E.ndS  
.
0
A carga que aparece no lado direito da Lei de Gauss é a carga líquida que existe dentro da
superfície gaussiana. O campo que aparece dentro da integral é o campo elétrico total. Dentro do
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196
material dielétrico esse campo é a soma do campo externo aplicado (responsável pela polarização
do material) com o campo elétrico criado pelo material dielétrico (a resposta do material).
Consideremos um material dielétrico no qual temos cargas livres e cargas de polarização (veja a
Figura 100). Nesse caso, a carga líquida que temos dentro da superfície gaussiana é dada pela
soma das cargas livres e de polarização: q = ql + qp. Conseqüentemente, a Lei de Gauss nesse caso
deve ser reescrita levando em conta isto:
q
 E.ndS  

ql  q p
0
0
Vimos que a densidade de carga de polarização pode ser escrita em termos do vetor polarização:
 p (r ')  .P(r ') . Portanto, a carga de polarização dentro da superfície gaussiana pode ser
escrita como:
q p   p ( r ')d 3v   .P( r ')d 3v   Pn
. dS .
A última igualdade provém da aplicação do Teorema da Divergência de Gauss. Portanto, a Lei de
Gauss pode ser reescrita como:
Cargas livres
Cargas de polarização
Superfície gaussiana
Figura 100 – Superfície gaussiana contendo cargas livres e cargas de polarização.
ql
 E.ndS  
0

1
0
 P.ndS
1
ql
0
0
 E.ndS    P.ndS  
  E  P.ndS  q
0
l
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A quantidade entre colchetes recebe o nome de Vetor Deslocamento Elétrico, simbolizado por D:
D   0E  P
eq. 99
Usando a definição acima, a Lei de Gauss no caso de dielétricos se escreve:
 D.ndS  q
eq. 100
l
O estudante deve prestar atenção ao fato de que, no lado direito, a quantidade que aparece é a
quantidade de cargas livres. Toda a informação sobre a polarização está contida no vetor
deslocamento elétrico (D).
Capacitores
Um capacitor é definido como um sistema composto de duas partes carregadas com cargas de
mesma intensidade, porém com sinais contrários. Logo, a carga líquida é zero. Dois exemplos de
capacitores são mostrados na Figura 101.
Vamos considerar o capacitor de placas paralelas. Nesse tipo de dispositivo, para pontos longe das
bordas, o campo elétrico entre as duas placas é constante, apontando da placa positiva em
direção à placa negativa (Ev). O índice v aparece para deixar claro que o campo que estamos
calculando existe em uma região na qual temos vácuo. O valor do campo entre as placas é obtido
facilmente a partir da aplicação da Lei de Gauss:
Ev  

k
0
ez
Ev
(a) Capacitor de placas paralelas.
(b) Capacitor cilíndrico.
Figura 101 – Dois tipos de capacitores: (a) capacitor de placas paralelas; (b) capacitor
cilíndrico.
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198
A diferença de potencial entre as duas lâminas pode ser calculada usando-se a definição de Ev em
função do gradiente do potencial eletrostático (o qual, nesse caso, tem apenas a derivada em
relação à coordenada z):
Ev  
d v
d


e z   v    dv  dz
dz
dz
0
0
Logo, o potencial na região entre as placas será dado pela integração desta expressão:
 v   d v  



dz   dz  z  K
0
0
0
Podemos escolher uma das placas como tendo potencial nulo. A placa com carga elétrica negativa,
por exemplo, e escolher a posição dessa placa como a posição para z=0. Com isso a constante
K=0. Não importando a escolha que fizermos, a diferença de potencial entre as duas placas será
dada, simplesmente, por:
  (z  )  (z  ) 


z   z    d .
0
0
v  v ( z )  v ( z ) 


 z  z   d
0
0
Nessa expressão, z  indicam as posições das placas dos capacitores e d a distância entre eles.
A capacitância Cv de um capacitor mede a capacidade de um capacitor em armazenar cargas (e
consequentemente, armazenar energia) e é definida por:
Cv 
q
v
eq. 101
A capacitância é uma propriedade que depende apenas de características do capacitor, como sua
forma, por exemplo, sendo um fator puramente geométrico. Quanto maior a capacitância, mais
carga pode ser acumulada com a mesma diferença de potencial.
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199
Qual a energia que deve ser gasta para carregar o capacitor? Vamos usar a definição de energia
potencial: a energia armazenada no capacitor é o trabalho que foi realizado para formar o
capacitor, levando cargas (elétrons no caso) da placa positiva para a placa negativa. Consideremos
uma situação inicial com as placas descarregadas. Vamos conectá-las usando um fio ideal65
passando por uma bateria. Uma bateria é um dispositivo capaz de manter uma diferença de
potencial entre dois pontos constante e é quem vai fornecer energia na forma de trabalho para
separar as cargas nas placas. Veja a Figura 102.
+
+
–
E
-
v
(a)
Situação
descarregadas
inicial:
e
o
placas
(a)
circuito
Situação
final:
placas
carregadas e o circuito fechado.
aberto.
Figura 102 – Capacitor de placas paralelas: (a) Circuito aberto e o capacitor descarregado;
(b) Circuito fechado e o capacitor carregado.
Os sinais (+) e (–) na bateria indicam que o terminal positivo está a um potencial maior que o
terminal com o sinal negativo. Inicialmente a carga líquida em cada placa do capacitor é zero. Ao
conectarmos a bateria, esta realizará trabalho sobre as cargas negativas da placa superior levandoas para a placa inferior. No final, teremos uma carga Q, em módulo, em cada placa.
Consideremos agora qual é o trabalho infinitesimal dTv necessário para levar uma quantidade
infinitesimal de carga dq’ da placa superior até a placa inferior. Essa quantidade é dada por:
dTv  'v dq '.
65
Um fio ideal é um fio no qual não temos perdas de energia quando nele flui uma corrente.
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200
Nessa expressão ’v é a diferença de potencial instantânea entre as duas placas devido a certa
quantidade de carga q’ que já foi transportada da placa superior para a placa inferior. Podemos
usar a definição de capacitância (eq. 101) para escrever essa diferença de potencial:
dTv 
q'
dq '.
Cv
Observe que a carga q’ é a carga na placa do capacitor no momento que queremos levar a
quantidade de carga dq’ de uma lâmina a outra. Para obter o trabalho total realizado para levar a
carga total Q da placa superior para a placa inferior do capacitor temos que integrar entre 0, o
valor inicial da carga em cada placa, até o valor final Q:
Tv  
E pv
0
E pv 
dT  
Q
0
q'
dq '
Cv
1 Q2
2 Cv
1
2
E pv  Cv  v 
2
eq. 102
Deve ser observado que a diferença de potencial aparecendo na eq. 102 é a diferença de potencial
final entre as duas placas. Quanto maior a capacitância, mais energia pode ser acumulada no
capacitor com a mesma diferença de potencial.
Campo eletrostático no interior de dielétricos lineares
Essa é a situação na qual temos o vácuo entre as duas placas do capacitor. Consideremos agora a
situação em que entre as placas do capacitor tenhamos um material dielétrico. Nesse caso, o
campo elétrico entre as placas do capacitor não será mais o campo Ev como mostrado na Figura
101. O campo elétrico entre as placas será menor devido à polarização dielétrico. Então, podemos
nos perguntar: qual será o campo (e conseqüentemente a diferença de potencial) entre as duas
placas?
A solução desse problema no caso mais geral é bastante complicada. Por isso, nos ateremos a uma
situação encontrada em muitos materiais, os chamados dielétricos lineares. Para essa classe de
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201
materiais, existe uma proporcionalidade entre o vetor polarização e o campo elétrico existente no
material66:
P  E
A constante que aparece nesta equação, por simplicidade, será escrita como:    0 e . A
constante e é chamada de susceptibilidade elétrica. Com isso, o vetor deslocamento elétrico será
escrito como:
D   0E  P   0E   0 e E
eq. 103
D  E 0 (1  e )
D  E
   0 (1  e )
A constante  que aparece na eq. 103 é chamada de permissividade do meio.
O significado dessa constante fica evidente se substituirmos a eq. 103 na expressão para a Lei de
Gauss em materiais dielétricos:
 D.ndS    E.ndS  q
 E.ndS 
l
ql

Vamos multiplicar e dividir o lado direito por 0:
0 ql 0 ql

 0
0 
 E.ndS  
1 ql
 E.ndS  
r
0

 
 r  
0 

eq. 104
A constante r, a razão entre a permissividade do meio e a permissividade do vácuo, é chamada de
constante dielétrica do material.
O campo elétrico que aparece na eq. 104 é campo elétrico total no interior do material. No vácuo,
sem a presença do material dielétrico r =1, esse seria o campo criado pelas cargas livres (ql) que
66
Novamente chamamos a atenção para o fato de que o vetor E é o campo total no interior do dielétrico: a soma do campo
aplicado externamente com o campo devido à polarização do dielétrico.
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202
aparecem no lado direito. Portanto, o que essa equação nos diz é que a presença do dielétrico
linear faz com que o campo elétrico na região onde está o dielétrico fique reduzido a 1/r do valor
que teria se na região houvesse vácuo:
Ed 
Ev
r
eq. 105
Esta redução na intensidade do campo elétrico também se manifesta na força entre cargas dentro
de um material dielétrico.
O que acontece com a energia armazenada no capacitor (eq. 102) se colocarmos um material
dielétrico no seu interior? Em primeiro lugar haverá uma mudança na capacitância do capacitor já
que agora, como o capacitor está preenchido pelo dielétrico a diferença de potencial entre as
placas será menor: d 
v
r
(os índices d e v indicam, respectivamente, o capacitor com o
dielétrico e o capacitor com vácuo entre as duas placas). Portanto, a capacitância será agora:
Cd 
Q
Q
 r
  rC v
d
v
Como a constante  r é um número maior que 1, a capacitância do capacitor é aumentada se
colocarmos um dielétrico linear entre as suas placas.
Logo, a energia armazenada no capacitor quando existe um dielétrico entre suas placas fica:
1 v 2 1
E pd  r Cv (
) 
2
r
r
E pv
2
1
 2 Cv  v    


r
eq. 106
Ou seja, a energia armazenada no campo entre as placas fica menor quando temos um dielétrico
entre elas. Em outras palavras, menos energia foi gasta para carregar o capacitor com a mesma
carga.
Energia armazenada em meios dielétricos lineares
Vimos que a energia armazenada no campo eletrostático no vácuo é dada por:
E pv 
0 3
2
d v Ev .

2
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203
A integral é tomada sobre todo o espaço.
Como essa expressão da energia fica modificada se o espaço for preenchido por um material
dielétrico? A derivação da expressão para a energia potencial eletrostática nesse caso é um pouco
além do nível deste texto. Contudo, podemos argumentar com base na eq. 106, que nos fornece a
energia armazenada no capacitor de que a energia potencial na presença de um dielétrico é a
energia potencial no vácuo multiplicada pelo inverso da constante dielétrica  r .
Logo:
E pd 
E pv
r
0 1 3
2
1
3
 2 0  d v Ev    2  d v Ev .Ev


r
 1
2
E pd  0  d 3v  r  Ed .Ed
r 2
E pd 
1
r
Na derivação dessa equação fizemos uso da eq. 105. Logo, a energia potencial na presença do
dielétrico se escreve:
E pd  0
E pd 
1 3
d v D.E
2
1 3
d v  r Ed  .Ed
2
D  E  0r E
eq. 107
O estudante deve observar que esta não é uma derivação, apenas usamos um argumento de
plausibilidade. Poderia acontecer de que a eq. 105 não fosse verdadeira em geral, sendo válida
somente para o caso do capacitor de placas paralelas. Contudo, como você verá em cursos
avançados de eletromagnetismo, esse é o caso67.
Materiais magnéticos: diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo.
Da mesma forma que campos elétricos são modificados se colocamos um material dielétrico na
região onde o campo existe, campos magnéticos são modificados em relação ao seu valor no
vácuo pela presença de materiais magnéticos.
67
O estudante interessado na derivação da eq. 107, pode encontrá-la no texto de Griffiths (1999), página 191.
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204
Um material magnético é um material que possui momenta de dipolo magnético, naturais ou
induzidos. Contudo, o estudo de campos na presença desse tipo de material é bastante mais
complexo do que o caso eletrostático. Isso acontece porque, ao contrário dos materiais dielétricos
que respondem sempre da mesma forma ao campo externo aplicado, os materiais magnéticos
podem responder de maneiras bastante complexas aos campos externos aplicados.
Basicamente, temos duas classes de materiais magnéticos. À primeira classe, pertencem aqueles
materiais que respondem a um campo aplicado de uma forma linear, aumentando ou diminuindo
no seu interior a intensidade do campo magnético aplicado. Esses materiais são classificados como
materiais diamagnéticos se o campo magnético no interior do material fica menor em relação ao
seu valor no vácuo ou materiais paramagnéticos, os que fazem com que os campos no seu interior
sejam maiores que o campo no vácuo ou de uma forma não linear. Os materiais da segunda classe,
os materiais ferromagnéticos, apresentam um comportamento não linear entre o campo aplicado
e a resposta do material magnético. Os materiais ferromagnéticos apresentam uma forte
magnetização mesmo na ausência de campos aplicados sobre eles. O fato de que a resposta do
material é não linear, mas depende da história do material, faz com que a magnetização na
presença de um campo externo se comporte de uma maneira quando o campo é aumentado e de
outra maneira quando o campo é diminuído, em um fenômeno chamado histerese.
A origem microscópica do magnetismo. Parte 1: o momento de dipolo orbital
Vimos que a origem de qualquer campo magnético são correntes elétricas. O magnetismo em
materiais não é diferente. Vamos considerar o movimento de um elétron em torno de um núcleo
usando uma abordagem clássica. Veja a Figura 103.
Nesse tipo de abordagem, consideramos o elétron como uma partícula que descreve uma órbita
circular de raio R em torno do núcleo. Em um segundo, esse elétron dará certo número de voltas
em torno do núcleo. Consequentemente, a corrente elétrica (cargas por unidade de tempo) que
atravessa a seção reta circular mostrada na figura será: i  e.  e / 
  1/  ,  e  sendo,
respectivamente, a frequência do elétron, o número de voltas que o elétron dá em cada segundo,
e o período do elétron, tempo necessário para completar uma volta. Podemos associar essa
corrente com o momento de dipolo magnético da espira formada pela órbita do elétron:
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205
orb  iA  iR2 . Esse momento de dipolo magnético é mostrado na figura. Essas correntes são
chamadas de correntes de Ampère68.
Núcleo
Órbita
do
elétron
Momento de dipolo
R
magnético ()
Seção
reta
circular.
Elétron
Figura 103 – Movimento de um elétron em torno do núcleo (descrição clássica).
Se tivermos um único elétron no átomo, teremos esse único momento de dipolo magnético. No
entanto, nos átomos podemos ter vários elétrons, cada um com seu momento de dipolo
magnético. O momento de dipolo orbital total do átomo será a soma dos momenta de dipolo
orbital de cada elétron:
N
μ orb   μ j ,orb
eq. 108
j1
Veremos mais adiante que, além desses momenta de dipolo criados pelas correntes dos diferentes
elétrons em suas órbitas, cada elétron tem um momento de dipolo magnético intrínseco, um
efeito puramente quântico, associado a uma propriedade do elétron chamada de spin. O
momento de dipolo magnético total do átomo deve ser calculado levando-se em conta esse
momento de dipolo magnético intrínseco. É a existência desse momento de dipolo intrínseco dos
elétrons que é a responsável pela existência dos materiais paramagnéticos e dos materiais
ferromagnéticos.
Momento de dipolo magnético orbital e o momento angular
Podemos relacionar o momento de dipolo magnético de um átomo com o momento angular do
elétron em sua órbita. Para isso, vamos analisar a expressão do momento de dipolo magnético
orbital do elétron:
68
De fato, as correntes imaginadas por Ampère não eram correntes formadas pelos elétrons, descobertos muito tempo depois.
Para ele, apenas havia correntes microscópicas que seriam responsáveis pela magnetização.
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206
μ orb  iS n
Nessa expressão, n é o vetor unitário perpendicular à órbita do elétron (veja a Figura 103) e S é a
área da órbita. Lembrando da interpretação do produto vetorial entre dois vetores como sendo a
área do paralelogramo formado pelos dois vetores, podemos escrever a área que aparece na
definição do produto vetorial como:
Sn 
1
 r  dl
2 órbita
Os vetores r e dl são, respectivamente o vetor que localiza o elétron em sua órbita em um sistema
de referências no qual o núcleo está na origem e o elemento de comprimento ao longo da órbita
(veja a Figura 104). O fator ½ vem do fato de que os elementos de área são triângulos, a metade
do paralelogramo formado pelos dois vetores, uma vez que os vetores r e dl são perpendiculares
entre si.
z
R
r
r + dl
dl
Figura 104
O elemento de comprimento dl pode ser escrito em termos da velocidade do elétron em sua
órbita, v, como: dl = v dt . Logo, o momento de dipolo do elétron em sua órbita será dado por:
μ orb  i
1
i
r  dl   r  vdt

2 órbita
2 órbita
eq. 109
Lembrando que p  me v , o produto vetorial que aparece nessa integral pode ser escrito como:
rv 
1
1
rp 
lorb
me
me
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eq. 110
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207
Nessa expressão lorb  r  p é o momento angular do elétron em relação ao centro da órbita. Esse
momento angular é uma constante, já que a força entre o núcleo e o elétron é uma força central
(somente depende da distância do elétron ao núcleo).
Usando a eq. 110 na eq. 109 obtemos:
μ orb 
i
i
r  vdt 

 lorbdt
2 órbita
2me órbita
μ orb  
eq. 111
e
 lorbdt
2me  órbita
Como estamos em uma situação em que o momento angular se conserva, então:
μ orb  
el
el
e
lorbdt   e  dt   orb 

2me  órbita
2me  órbita
2me 
A última igualdade vindo do fato de que a integral sobre a órbita é simplesmente o tempo que o
elétron leva para completá-la, o que por definição é o período. Então o momento de dipolo
magnético do elétron é dado simplesmente por:
μ orb  
e
lorb   e lorb
2me

e 
e  

2me 

eq. 112
A constante e que aparece na eq. 112 é chamada de razão giromagnética do elétron.
O momento magnético orbital total do átomo, t,orb, devido ao momento angular orbital dos
elétrons será a soma dos momenta orbitais magnéticos dos elétrons:
N
N
i 1
i 1
μ t ,orb    e lorb   e  lorb  μ t ,orb   eLorb
eq. 113
Lorb é o momento angular orbital total do átomo.
A origem microscópica do magnetismo. Parte 2: o spin do elétron
O spin, s, é uma propriedade intrínseca do elétron, bem como de outras partículas, como a sua
carga e a sua massa. Da mesma forma que a carga é uma quantidade quantizada, o que significa
que somente podemos encontrar a carga na forma de múltiplos inteiros de certo valor
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208
fundamental (a carga do elétron), o spin também é uma quantidade quantizada. O valor do spin é
sempre um múltiplo do valor ½.
No caso do elétron, o valor do spin é exatamente ½. Em função do seu spin, as partículas
elementares (aquelas que compõem os átomos, como prótons, elétrons e nêutrons, por exemplo)
são divididas em duas grandes famílias: os férmions69 (ou partículas fermiônicas) são aquelas
partículas com spin semi-inteiro (1/2, 3/2,  5/2, etc..) e os bósons70 (ou partículas bosônicas)
são aquelas que têm o spin inteiro (1,  2, 3, etc.). Os sinais positivo e negativo indicando
orientações espaciais opostas.
Quando consideramos elétrons em um átomo, o estado quântico de um destes elétrons é
caracterizado por um conjunto de quatro números: o número quântico principal, n, o qual indica o
nível da sua órbita (relacionado com a distância desse elétron até o núcleo), seu momento angular
em relação ao núcleo, l, o qual indica o formato da órbita (esférica, alteres, etc), seu número
quântico magnético, m, relacionado com a orientação espacial da órbita e por fim seu número
quântico de spin, s.
Um princípio importante da Mecânica Quântica, parte da Física que estuda o mundo das partículas
no nível atômico ou subatômico, é conhecido por Princípio de Exclusão de Pauli71. O que o
Princípio da Exclusão de Pauli nos indica é que os números quânticos de dois elétrons quaisquer
pertencentes ao mesmo átomo não podem ser todos iguais:
Partículas fermiônicas pertencentes a um mesmo sistema físico
não podem estar em um mesmo estado quântico.
A Mecânica Quântica nos mostra que associado ao spin temos certa quantidade de momento
angular, s, o qual desempenha um papel fundamental quando aplicamos um campo magnético
nos materiais, como veremos mais adiante. Esse momento angular associado ao spin é
quantizado, ou seja, somente pode assumir certos valores múltiplos de uma quantidade
fundamental. Em particular, a componente z desse momento angular associado ao spin é dada
por:
69
Em homenagem ao físico italiano Enrico Fermi (1901-1954).
70
Em homenagem ao físico indiano Satyendra Nath Bose (1894-1974).
71
Wolfgang Ernst Pauli (1900-1958), físico austríaco.
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sz  ms
A constante

209
1
3


ms   2 , 1,  2 , 2,...


eq. 114
h
(lê-se h cortado) é dada em termos da constante de Planck (h = 6,6261 x 10 – 34
2
1
J.s). Em especial, para elétrons: ms   .
2
Associado ao momento angular devido ao spin há um momento de dipolo magnético intrínseco
das partículas. A relação entre o momento de dipolo magnético de spin, s, e o momento angular
de spin, s, é dada por:
μs  
e
s
m
eq. 115
Compare a eq. 115 com a eq. 112. Há um fator 2 na expressão do momento angular de spin em
relação à expressão do momento de dipolo relacionado com o movimento angular orbital.
Em geral, o momento magnético total do elétron (e do átomo) será uma combinação do momento
magnético orbital com o momento magnético de spin. Essa situação nos permite combinar as
expressões eq. 112 e eq. 115 na forma:
 e 
μ  
  gorb lorb  gspins 
 2m 
eq. 116
Na eq. 116, lorb e s são as contribuições ao momento magnético do elétron devidas ao movimento
orbital e ao spin. Os fatores gorb e gspin são conhecidos como fatores de Landé72.
Uma quantidade importante que aparece na Mecânica Quântica é o magnéton de Bohr dado por:
B 
e
2m
eq. 117
Esta quantidade nada mais é do que a quantidade de momento de dipolo magnético de um
elétron, a unidade básica do momento de dipolo. Em termos dessa quantidade o momento de
dipolo magnético do elétron (eq. 116) pode ser escrito como:
72
Alfred Landé (1888 – 1976).
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μ
210
B
g
l
orb orb
 gspin lspin 
eq. 118
Se chamarmos L a quantidade total de momento angular do átomo e por S a quantidade total de
momento angular de spin do átomo, então o momento de dipolo magnético total do átomo, M,
será dado por:
Μ
B
N
N


g
L

g
S
L

μ
;
S

 orb orb spin   orb  j s j 
j 1
j 1


eq. 119
Na eq. 119 N é o número total de elétrons no átomo.
Materiais diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos
Consideremos um átomo para o qual a soma expressa pela eq. 119 seja nula. Então não teremos
um momento de dipolo magnético resultante no átomo e, conseqüentemente, o material como
um todo não terá momento de dipolo magnético algum. Esse tipo de material é chamado de
material diamagnético.
Para que isso aconteça é necessário que tenhamos um número par de elétrons no átomo, com as
camadas eletrônicas preenchidas completamente. Para átomos com essas características, os spins
dos elétrons se cancelarão completamente, já que os elétrons estão aos pares em cada nível do
átomo e, pelo princípio da exclusão, se um elétron tem spin 1/2 o outro terá, necessariamente,
spin -1/2. Contudo, não temos nenhuma regra para o momento angular orbital dos elétrons. Uma
hipótese plausível é a seguinte: considerando que o espaço é isotrópico, o sentido de rotação dos
elétrons em torno do núcleo não tem uma direção preferencial. Portanto, podemos supor que
teremos elétrons com os seus respectivos momenta orbitais orientados aleatoriamente, de modo
que podemos escrever que, em média, o momento orbital total associado aos elétrons é nulo.
Esse tipo de material, quando colocado em uma região onde temos um campo magnético poderá
se tornar fracamente magnetizado pela alteração provocada pelo campo magnético na órbita dos
elétrons. O estudante deve observar que ao impor um campo magnético externo quebramos a
simetria existente: a direção do campo magnético não tem as mesmas propriedades das outras
direções no espaço.
O diamagnetismo é a forma mais fraca de magnetização dos materiais. O mecanismo básico é o
seguinte: ao aplicarmos um campo magnético em um material esse campo magnético interage
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211
com as órbitas dos elétrons em torno do núcleo, modificando-as. Ao modificar estas órbitas o
átomo responde com um campo magnético em sentido oposto ao campo aplicado, o que faz com
que o campo no interior do material seja diminuído em relação ao seu valor no vácuo. Todos os
materiais apresentam o efeito diamagnético. Contudo, como esse efeito é muito fraco em relação
ao paramagnetismo e ao ferromagnetismo o diamagnetismo somente é passível de observação
em materiais que não apresentam as outras formas de magnetização (p. ex., o cobre e a prata).
Por outro lado, consideremos um átomo com um número ímpar de elétrons. Nesse caso teremos
um ou mais elétrons não pareados e cada átomo terá um momento de dipolo magnético
intrínseco. Esse momento de dipolo magnético é associado ao spin do elétron não pareado, já que
agora, mesmo que em média o momento angular orbital total devido aos elétrons seja nulo, ainda
teremos o momento angular de spin associado ao elétron não pareado. Aqui devemos distinguir
dois tipos de situações.
O primeiro tipo é quando os átomos vizinhos no material interagem muito fracamente, de modo
que o que acontece com um átomo não influencia o que acontece com seu vizinho. Para esses
materiais, a orientação dos diferentes momenta de dipolo será aleatória quando não temos
nenhum campo magnético presente e o material como um todo não terá uma direção preferencial
para esses momenta de dipolo, não tendo características magnéticas, portanto. Esse tipo de
material recebe o nome de paramagnético. Esses materiais quando colocados na presença de um
campo magnético terão seus momenta de dipolo orientados pelo campo, se tornando eles
mesmos materiais magnéticos. Ao retirarmos o campo, o efeito da agitação térmica das partículas
desfará o ordenamento imposto pelo campo e o material deixará de ser magnético. Observe que o
efeito diamagnético também está presente nesses materiais, já que o campo aplicado interage
com as camadas completas, modificando as órbitas dos elétrons nessas camadas. Contudo, o
efeito paramagnético de orientação dos momenta de dipolo magnético intrínsecos dos átomos é
muito mais intenso, mascarando o efeito diamagnético (p. ex., o alumínio e a platina).
O segundo tipo de situação é encontrado em materiais para os quais existe uma forte interação
entre vizinhos. Nesses materiais, o mais apropriado é falar-se em domínios magnéticos. Esses
domínios são regiões dentro do material que possuem uma orientação magnética preferencial,
apresentando magnetização espontânea. Contudo, como os domínios são orientados
aleatoriamente, a magnetização do material na ausência de um campo magnético externo é nula.
Ao aplicarmos um campo externo nesses materiais, ocorre um efeito não linear entre o campo e o
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212
momento de cada domínio: aqueles domínios cujo momento de dipolo magnético é paralelo ao
campo crescem as custas dos domínios vizinhos cujo momento de dipolo magnético não é paralelo
ao campo. Com isso o material passa a ter uma direção preferencial de magnetização e o material
se torna magnético como um todo. Esses materiais são chamados de materiais ferromagnéticos
(p. ex., o ferro e o níquel).
A magnetização (M) e correntes de magnetização
Da mesma forma que fizemos no caso eletrostático, quando definimos a Polarização, P, podemos
no caso magnético definir uma grandeza semelhante chamada de magnetização. Considere um
pequeno elemento de volume de material, V, no qual temos N’ átomos, cada um com seu
momento de dipolo magnético (eq. 112). Podemos, então, calcular o momento de dipolo
magnético médio nesse elemento de volume. Esse valor médio é a magnetização:
M
1 N'
 μ ti
V i 1
eq. 120
Da mesma forma que podemos associar densidades de carga (superficiais ou volumétricas) com a
Polarização, podemos associar densidades de corrente (superficiais ou volumétricas) com a
magnetização. Essas densidades de corrente são chamadas de correntes de magnetização.
Vamos começar definindo as correntes de magnetização superficiais. Consideremos, por
simplicidade, um corpo cilíndrico, magnetizado. Por hipótese, vamos supor que a magnetização do
cilindro é uniforme, na direção z, por exemplo (Figura 105). Se analisarmos o que acontece dentro
do cilindro, vemos que dois elementos adjacentes têm correntes que se cancelam. Considere o
que acontece ao longo do eixo x mostrado na figura.
Os elementos de volume na parte positiva do eixo x possuem correntes que, ao longo do eixo y,
fluem com sentido para a parte negativa do eixo y. Por outro lado, as correntes dos elementos ao
longo do eixo y que estão na parte negativa do eixo x possuem correntes que têm sentido para a
parte positiva do eixo y. Então essas correntes se cancelam ao longo do eixo y. Isso acontece para
qualquer linha que tomemos dentro do cilindro.
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213
z
M
M
M
x
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
y
M
Figura 105 – Cilindro uniformemente magnetizado.
Nas faces laterais do cilindro, por outro lado, isso não acontece. Nessas faces, se tomarmos as
correntes internas nos elementos de volume adjacentes às faces, essas correntes não terão do
lado de fora do cilindro nenhuma outra corrente que as cancele. O efeito disso é que teremos
sobre a superfície do cilindro uma densidade de corrente devida à magnetização, a densidade
superficial de corrente de magnetização, Jms.
Consideremos agora um pequeno elemento de volume do cilindro (veja a Figura 106).
M
z
n
R
Jms
n̂
dz
e
Figura 106 – Pequeno elemento de volume magnetizado.
Vamos fazer a seguinte hipótese: a densidade de corrente de magnetização depende apenas da
coordenada z, não dependendo do ângulo . Portanto, a corrente di fluindo na superfície externa
lateral do anel é dada por:
di  Jms dz  Jms 
di
dz
eq. 121
Implícita nessa expressão está a hipótese de que a densidade de corrente de magnetização é
constante em módulo sobre a superfície do elemento cilíndrico, não dependendo do ângulo . A
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214
direção e o sentido dessa corrente de magnetização são dados pelo vetor e. Pode ser mostrado
que o momento de dipolo magnético dμ desse pequeno elemento de volume é dado por:


dμ  diS n  di R2 ez
Usando a eq. 121, podemos reescrever esse momento de dipolo magnético como:






dμ  di R2  Jms dz R2  dμ  Jms d3v d3v  dz R2 
Portanto, usando a definição de magnetização (eq. 120) podemos escrever que a densidade de
corrente de magnetização é dada por:
Jms  Jms e 
dμ
e  M e
d3v
A magnetização tem direção ez enquanto que a corrente de magnetização tem direção e. Por
outro lado o vetor normal à superfície lateral do cilindro, n̂ , tem direção e. Logo:
M  nˆ  Mez  e  Me
Portanto, a corrente superficial de magnetização pode ser escrita como:
Jms  M  nˆ
eq. 122
Quando a magnetização no interior do material não é uniforme, podemos associar essa variação
da magnetização a uma densidade de corrente de magnetização volumétrica, Jmv. de Um pouco
mais complicado matematicamente é demonstrar que neste caso, a corrente volumétrica de
magnetização se relaciona com a magnetização do material por:
Jmv   M
eq. 123.
O estudante interessado em ver os detalhes da derivação da eq. 123 pode consultar o texto de
NUSSENSWEIG73.
73
Volume 3, página 233 e seguintes.
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215
Campos magnéticos em meios materiais: o vetor H
Vamos agora usar os resultados da seção anterior para calcular o campo magnético no interior dos
materiais magnéticos. Ao contrário da resposta de materiais dielétricos quando colocados em uma
região na qual temos um campo elétrico, resposta esta que é sempre de mesma natureza, ou seja,
criando um campo oposto ao campo aplicado, a resposta de materiais magnéticos é variável
dependendo do tipo de magnetização que temos no material.
De qualquer modo, não importando o material, podemos escrever a Lei de Gauss para o
magnetismo e a Lei de Ampère74 na forma:
 B.ndS  0  Lei de Gauss 
 B.dl   i  Lei de Ampère
0
C
A Lei de Gauss não precisa ser modificada, pois os campos criados pelas correntes de Ampère têm
fluxo nulo, a exemplo do campo criado por qualquer corrente. A Lei de Ampère, no entanto, tem
do lado direito as correntes que atravessam a superfície S, qualquer, limitada pela curva C. Essa
corrente, agora, pode ter duas origens: correntes de partículas carregadas livres que podem se
movimentar pelo material magnético, il, e as correntes de magnetização, im. Logo, a Lei de Ampère
deve ser reescrita como:
 B.dl   i   (i
0
0
l
 im )
C
Vamos usar agora a definição da corrente de magnetização em termos da densidade de corrente
de magnetização:
im   Jm .ndS    M.ndS
S
S
eq. 124
Na última igualdade foi usada a eq. 123. Podemos colocar essa expressão para a corrente de
magnetização em uma forma mais apropriada usando o Teorema de Stokes. Este teorema
relaciona a integral ao longo de uma curva C de um campo vetorial V à circulação do campo
vetorial V ao longo da curva, com o a integral do rotacional do campo vetorial V sobre uma
superfície S, qualquer e aberta, limitada pela curva C (veja a Figura 107):
74
Lembrando sempre que não temos ainda a forma final da Lei de Ampère.
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216
 V.dl    V .ndS
C
eq. 125.
S
Superfície S
Campo vetorial V
Curva C
Figura 107 – Figura para o Teorema de Stokes
Usando o Teorema de Stokes, a corrente de magnetização (eq. 124) pode ser reescrita como:
im    M.ndS   M.dl
S
eq. 126
c
Portanto, a Lei de Ampère em materiais magnéticos será escrita como:
 B.dl   (i
0
C
l


 im )  0 il   M.dl 
c


 B   M.dl   i
0
0 l
C
B

C 




 M .dl  il
0
A quantidade que aparece nos colchetes recebe o nome de vetor H:
H
B
M
0
eq. 127.
Em termos deste vetor, a Lei de Ampère se escreve:
 H.dl  i
l
C
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eq. 128
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A relação entre o vetor H e o vetor B, eq. 127, é chamada de relação constitutiva do material. A
exemplo do que fizemos para materiais dielétricos, a eq. 128 incorpora no vetor H a resposta do
meio ao campo magnético aplicado.
Da mesma forma que fizemos para o campo elétrico e o vetor deslocamento elétrico, podemos
escrever a relação constitutiva do meio magnético em termos de constantes que dependem do
meio, a susceptibilidade do meio e a permissividade do meio. Vamos supor que o meio seja linear,
isotrópico e homogêneo. Nesse tipo de meio, é lícito supor uma relação entre o vetor H e o vetor
M de tipo linear:
M  mH
eq. 129
A constante de proporcionalidade, m ,é chamada de susceptibilidade magnética do meio. Em
termos dessa susceptibilidade, a relação constitutiva para materiais magnéticos se escreve:
H
B
M
0

B   0  H  M    0  H   mH 
B   0  1   m  H  B   0  mH
B  H  m  1  m  ;  0 m 
A constante  é chamada de permeabilidade magnética do material. A constante m é chamada
de permeabilidade magnética relativa.
A classificação dos materiais lineares, ou seja, os que obedecem à eq. 129, depende do valor da
susceptibilidade magnética.
Para os materiais diamagnéticos a susceptibilidade do material é menor que zero: m  0 . Nesses
materiais, o campo magnético fica reduzido dentro do material em relação ao valor que o campo
teria se o espaço contivesse o vácuo no lugar do material dielétrico. Para esses materiais, a
permeabilidade magnética é menor que o valor da permeabilidade magnética no vácuo:
  0 m  0 1  m   0 1  m  1 

m 0 

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Os materiais paramagnéticos, por outro, lado são materiais para os quais os átomos têm um
momento de dipolo magnético diferente de zero. Assim esses átomos terão um momento de
dipolo orbital mais o momento de dipolo de spin dos elétrons diferente de zero. Nesses materiais,
os níveis atômicos não estão completamente preenchidos, como no caso de materiais
diamagnéticos, havendo um ou mais elétrons não pareados com outros elétrons na mesma órbita.
Desse modo, o momento de dipolo magnético total do átomo não é nulo.
Entretanto, embora os átomos individualmente tenham um momento de dipolo diferente de zero,
a orientação dos diferentes momenta de dipolo dos diferentes átomos é aleatória. Em vista disso,
se tomarmos um pequeno elemento de volume, a soma dos diferentes momenta de dipolo será
nula.
Por outro lado, nos materiais paramagnéticos a susceptibilidade é um número maior que zero:
m  0 . Logo, nesses materiais, o campo fica aumentado em relação ao valor do campo magnético
se na região onde colocamos o material magnético tivéssemos vácuo, pois nesse caso, a
permeabilidade magnética é maior que o valor da permeabilidade no vácuo:
  0 m  0 1  m   0 1  m  1 

m 0 

Deve ser observado que, tanto nos materiais diamagnéticos como nos materiais paramagnéticos
os átomos se comportam como se fossem partículas independentes, com uma interação muito
fraca com seus vizinhos na rede do material. Essa é a diferença básica entre os materiais
paramagnéticos e os materiais ferromagnéticos que estudaremos a seguir. Para estes últimos, a
interação com seus vizinhos é forte e não pode ser desprezada.
Propriedades dos materiais ferromagnéticos
Tanto a diamagnetização como a paramagnetização são fenômenos de baixa intensidade. Se por
um lado, a resposta paramagnética é maior do que a resposta diamagnética nos materiais, por
outro, o diamagnetismo está sempre presente. Contudo, como o paramagnetismo é bem maior,
quando este efeito está presente, o efeito diamagnético fica oculto. Outra característica
importante é que tanto nos materiais paramagnéticos e como nos materiais diamagnéticos uma
vez que o campo magnético externo é retirado o caráter magnético do material cessa. Eles não
são capazes de manter a magnetização de forma permanente.
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O ferromagnetismo, por sua vez, é um fenômeno de maior intensidade e ocorre em materiais tais
como o ferro, o cobalto, níquel, etc. Os materiais ferromagnéticos têm duas características
fundamentais que os distinguem dos materiais paramagnéticos:
1. Esses materiais são capazes de manter sua magnetização mesmo quando o campo
externo é retirado;
2. Nesses materiais a resposta do material a um campo magnético aplicado não é
linear.
Uma característica importante dos materiais ferromagnéticos é a dependência com a temperatura
que esses materiais apresentam. Existe uma temperatura, chamada de Ponto de Curie, Tc, acima
da qual o material se torna paramagnético.
Outra assinatura desses materiais é a sua curva de magnetização. Uma curva de magnetização é
uma curva na qual desenhamos a magnetização do material em função do campo magnético
aplicado, como na Figura 108.
1,0
Magnetização (UA)
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Intensidade do campo aplicdo (UA)
Figura 108 – Curva de magnetização de um material ferromagnético.
Para materiais ferromagnéticos, se desenharmos a curva de magnetização, primeiro aumentando
o campo aplicado e depois diminuindo observa-se que o material não segue a mesma trajetória.
Esse fenômeno é chamado de histerese e é mostrado na Figura 109.
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Expressaremos a magnetização e o campo H na forma:
H
H .
M
MM
M
HH
Inicialmente, na posição 1, não temos campo magnético aplicado (H= 0) e também não temos
magnetização (M= 0). Começamos então a aumentar o campo aplicado, e provocamos um
aumento na magnetização do material. Observe que a resposta do sistema ao campo aplicado,
expressa pela magnetização, não é linear com o campo. Atingimos um estágio de saturação na
posição 2. Por saturação, indicamos a situação na qual não aumentamos mais a magnetização
mesmo se continuarmos aumentando o campo aplicado.
M
2
3
4
7
H
1
6
5
Figura 109 – Curva de Histerese.
Começamos então a diminuir o módulo do campo aplicado. A magnetização começa a diminuir
também em módulo também. Porém, observe que a trajetória seguida pela magnetização não é a
mesma trajetória seguida quando aumentamos o campo (curva 1 – 2). Quando o campo
magnético atinge o valor nulo, posição 3, a magnetização é diferente de zero. Nesse ponto, o
campo inverte o seu sentido (valores negativos de H). Nessa posição, o vetor H muda de sentido,
porém a magnetização permanece no mesmo sentido, mas diminui em módulo a medida que o
campo aplicado aumenta em módulo. Na posição 4, embora o campo aplicado não seja nulo, a
magnetização atinge o valor zero. Se continuarmos a aumentar o módulo do campo magnético a
magnetização muda de sentido (fica negativa em módulo), diminuindo de valor (aumentando em
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221
módulo) ao aumentarmos o módulo do campo magnético. A partir da posição 5 atingimos uma
nova saturação: se aumentarmos o módulo do campo aplicado não aumentaremos o valor da
magnetização.
A seguir começamos a diminuir o módulo do campo magnético aplicado. A magnetização
acompanha, novamente de forma não linear, o decréscimo do campo. Contudo, a curva seguida
(segmento 5 – 6) não é a mesma seguida quando diminuímos o valor do campo magnético
aplicado. Novamente, quando o campo magnético é nulo (posição 6) a magnetização não é nula. O
ciclo se completa quando retornamos à posição 2, passando pela posição 7, quando a
magnetização inverte novamente seu sentido, voltando ao valor de H para o qual a saturação é
atingida.
A conclusão que podemos tirar é que a resposta do material ferromagnético depende da história
do material. Essa história fica guardada na orientação dos momenta de dipolo do material.
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