Arcos na Circunferência
1. (Fuvest 2013) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes,
estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em
Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical
não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas
condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria,
ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o
ângulo θ entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra,
obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500
km.
O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são
(Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria  900 km; π  3. )
a) junho; 7°.
b) dezembro; 7°.
c) junho; 23°.
d) dezembro; 23°.
e) junho; 0,3°.
2. (G1 - ifsp 2013) Considere uma circunferência de centro O e raio 6 cm. Sendo A e B pontos
distintos dessa circunferência, sabe-se que o comprimento de um arco AB é 5π cm. A medida
ˆ
do ângulo central AOB,
correspondente ao arco AB considerado, é
a) 120°.
b) 150°.
c) 180°.
d) 210°.
e) 240°.
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3. (G1 - ifce 2012) O valor de cos (2 280°) é
1
a)  .
2
1
b) .
2
2
.
2
3
.
d) 
2
3
.
e)
2
c) 
4. (Udesc 2012) O relógio Tower Clock, localizado em Londres, Inglaterra, é muito conhecido
pela sua precisão e tamanho. O ângulo interno formado entre os ponteiros das horas e dos
minutos deste relógio, desprezando suas larguras, às 15 horas e 20 minutos é:
π
a)
12
π
b)
36
π
c)
6
π
d)
18
π
e)
9
5. (Ueg 2012) Considerando 1º como a distância média entre dois meridianos, e que na linha
do equador corresponde a uma distância média de 111,322 km, e tomando-se esses valores
como referência, pode-se inferir que o comprimento do círculo da Terra, na linha do equador, é
de, aproximadamente,
a) 52.035 km
b) 48.028 km
c) 44.195 km
d) 40.076 km
6. (Uel 2011) Um relógio marca que faltam 20 minutos para o meio-dia. Então, o menor ângulo
formado pelos ponteiros das horas e dos minutos é:
a) 90°
b) 100°
c) 110°
d) 115°
e) 125°
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7. (G1 - cftmg 2011) Na circunferência abaixo, o ponto M representa a imagem de um arco de
medida, em radianos, igual a
56 π
3
7π
b) 
4
5π
c)
6
21π
d)
5
a) 
8. (Pucrs 2010) Para representar os harmônicos emitidos pelos sons dos instrumentos da
orquestra, usam-se funções trigonométricas.
A expressão 2 sen2 x + 2 cos2 x – 5 envolve estas funções e, para π  x 
3π
, seu valor de é:
2
a) –7
b) –3
c) –1
d) 2 π – 5
e) 3 π – 5
9. (Unemat 2010) Quanto ao arco 4555°, é correto afirmar.
a) Pertence ao segundo quadrante e tem como côngruo o ângulo de 55°
b) Pertence ao primeiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 75 °
c) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 195 °
d) Pertence ao quarto quadrante e tem como côngruo o ângulo de 3115 °
e) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 4195 °
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10. (G1 - cps 2008) A roda-gigante de um parque de diversões tem dezoito cadeiras,
igualmente espaçadas ao longo do seu perímetro e move-se no sentido anti-horário, isto é, no
sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
Na figura, as letras A, B, C, ... e R indicam as posições em que as cadeiras ficam cada vez que
a roda gigante para.
Com a roda gigante parada, Bruna senta-se na cadeira que está na posição A, posição mais
baixa da roda gigante.
A roda gigante move-se
5
de uma volta e para. Nesse momento, a letra relativa à posição da
6
cadeira ocupada por Bruna é
a) D.
b) I.
c) K.
d) P.
e) R.
11. (Unesp 2005) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio
1 cm, como mostra a figura.
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O
perímetro do "monstro", em cm, é:
a) π - 1.
b) π + 1.
c) 2π - 1.
d) 2π.
e) 2π + 1.
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12. (G1 - cftmg 2005) Na figura, tem-se duas circunferências coplanares e concêntricas.
Sendo OA = 4 cm, CD = 6 cm e o comprimento do arco AC = 6 cm, o comprimento do arco BD,
em cm, é
a) 8
b) 12
c) 15
d) 18
13. (Ufrgs 2004) Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida
mais próxima de 1 radiano é
14. (Ufrn 2003) No protótipo antigo de uma bicicleta, conforme figura abaixo, a roda maior tem
55 cm de raio e a roda menor tem 35 cm de raio. O número mínimo de voltas completas da
roda maior para que a roda menor gire um número inteiro de vezes é
a) 5 voltas.
b) 7 voltas.
c) 9 voltas.
d) 11 voltas.
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15. (Uflavras 2000) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo á (figura a seguir) formado pelos
ponteiros de um relógio mede
a) 90°
b) 112° 30'
c) 82° 30'
d) 120°
e) 127° 30'
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
[Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Geografia]
Os raios solares que atingem a Terra são paralelos. Portanto:
θ
360  900
 7,2
2  3  7500
A cidade de Alexandria situa-se no hemisfério norte, território do Egito, onde o solstício de
verão acontece no dia 21 de junho, quando o Sol dispõe sua radiação na perpendicular à linha
do Trópico de Câncer.
[Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Matemática]
Considere a figura.
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Como os raios solares são paralelos, segue que AOB   e, portanto,
AB
OA
900

7500
 0,12rad


0,12  180
 7,2.
3
Além disso, como Assuã e Alexandria estão situadas no hemisfério norte, e o solstício de verão
ocorre no mês de junho nesse hemisfério, segue que as observações foram realizadas em
junho.
Resposta da questão 2:
[B]
Medida do arco em rad:
5π
rad.
6
5π
rad  150°.
6
Resposta da questão 3:
[A]
2280° = 360°.6 + 120°
1
Logo, cos (2 280°) = cos 120° =  .
2
Resposta da questão 4:
[E]
Considere a figura.
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A cada 5 minutos corresponde um ângulo de
360
 30. Logo, θ  α  30, sendo α o
12
resultado pedido.
Por outro lado, como o ângulo θ corresponde ao deslocamento do ponteiro das horas, em 20
minutos, segue que
θ
20min  30
 10.
60min
Desse modo,
10  α  30  α  20 
π
rad.
9
Resposta da questão 5:
[D]
1 ______111,32km
360 ____
x
x  40 076km2
Resposta da questão 6:
[C]
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Considere α a medida do ângulo procurado e calculando x, temos :
ponteiro das horas
ponteiro dos minutos
o
60 min
30
x
Por tan to, x  20
40 min
o
Logo, α  90o  20o  110o
Resposta da questão 7:
[A]
56π 54π 2π


3
3
3
Logo, sua primeira determinação positiva é 2π 
2π 4 π
(terceiro quadrante).

3
3
Resposta da questão 8:
[B]
2sen2x + 2cos2x - 5 = 2.(sen2x + cos2x) – 5 = 2.1 – 5 = - 3
Resposta da questão 9:
[E]
Dividindo 4555° por 360° obtemos quociente 12 e resto 235°
Concluímos, então que o arco tem extremidade no terceiro quadrante.
Dividindo 4195° por 360 obtemos quociente 11 e resto 235°
Concluímos, então que 4555° é côngruo de 4195°
Logo a resposta E é a correta.
Resposta da questão 10:
[D]
Resposta da questão 11:
[E]
Resposta da questão 12:
[C]
Resposta da questão 13:
[B]
Resposta da questão 14:
[B]
Resposta da questão 15:
[B]
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