UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA
RODRIGO DE ALMEIDA PUPO
O USO DAS TECNOLOGIAS DIGITAIS NA FORMAÇÃO
CONTINUADA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2013
RODRIGO DE ALMEIDA PUPO
Mestrado em Educação Matemática
O USO DAS TECNOLOGIAS DIGITAIS NA FORMAÇÃO CONTINUADA DO
PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação
da Universidade Bandeirante Anhanguera, como exigência
parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação
Matemática, sob orientação da Profª Drª Maria Elisabette
Brisola Brito Prado.
SÃO PAULO
2013
RODRIGO DE ALMEIDA PUPO
Pupo, Rodrigo de Almeida.
P986u
O uso das tecnologias digitais na formação continuada do
professor de matemática / Rodrigo de Almeida Pupo. -- São Paulo:
Universidade Bandeirante Anhanguera, 2013.
xiii, 104 f.; 30 cm.
Dissertação (MESTRADO) – Universidade Bandeirante
Anhanguera, 2013.
Orientadores: Profª. Dra. Maria Elisabette Brisola Brito Prado.
Referências bibliográficas: f. 95-99.
1. Programação. 2. GEOGEBRA. 3. Conhecimento profissional. 4.
Formação continuada. 5. Observatório da educação. I. Prado,
Elisabette Brisola Brito. II. Universidade Bandeirante Anhanguera. III.
Título.
CDD 370.71
O USO DAS TECNOLOGIAS DIGITAIS NA FORMAÇÃO
CONTINUADA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA.
Este Trabalho foi julgado e aprovado para obtenção do título de
Mestre em Educação Matemática da Universidade Bandeirante
Anhanguera - UNIBAN.
São Paulo, ____/_____/_______
Profa. Dra. Maria Elisabette Brisola Brito Prado (Presidente-Orientadora)
Universidade Bandeirante Anhanguera - UNIBAN
Profa. Dra. Odete Sidericoudes (1º Titular Externo)
SEE/SP
Prof. Dr. Ruy Cesar Pietropaolo (1ºTitular Interno)
Universidade Bandeirante Anhanguera - UNIBAN
MEUS AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus pela vida e pelo Senhor Jesus Cristo seu filho, que veio do
alto céu como homem e sofreu para que possamos ter a chance da vida eterna.
Ao Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade
Bandeirante Anhanguera de São Paulo e a Coordenadora do curso Professora Dra.
Tânia Maria Mendonça Campos que ofereceu toda a estrutura necessária durante o
curso.
Ao projeto do Observatório da Educação da UNIBAN financiado pela
CAPES, sob a coordenação do Prof. Dr. Ruy Cesar Pietropaolo, que me proporcionou
a realização dessa a pesquisa.
A Dirigente e aos professores da Diretoria de Ensino – Região Norte II
juntamente com a professora Rosana Jorge Monteiro Magni, responsável por esse
projeto na Diretoria de Ensino em questão.
À Professora Doutora Nielce Meneguelo Lobo da Costa pelo apoio do meu
ingresso no programa de mestrado.
Pela dedicação, amizade e paciência durante toda a pesquisa no trabalho de
orientação e escrita da professora Doutora Maria Elisabette Brisola Brito Prado.
Ao professor Dr. Ruy Cesar Pietropaolo, que considero como um pai
acadêmico.
Aos meus professores do Programa de Mestrado em Educação Matemática
da Universidade Bandeirante Anhanguera de São Paulo, que tive o prazer de
conhecer e foram contribuintes em minhas decisões como aluno, professor,
formador e pesquisador.
Aos profissionais da secretaria do Programa, que sempre auxiliaram de
forma clara as dúvidas relacionadas às documentações exigidas.
À Diretoria de Ensino Região de Sumaré, com direção da Dirigente Regional
de Ensino, professora Dirceuza Biscola Pereira, pelo apoio durante o curso.
Aos meus pais, que com amor me educaram, ensinaram e continuam
ensinando sobre a vida.
Aos meus irmãos, que me deram sempre força em meus estudos.
À Fátima Dias, amiga a quem sempre me ajudou e continua me ajudando em
assuntos profissionais e pessoais.
À Marinês Yole Poloni, que conheci durante o mestrado e tenho um carinho
especial.
Ao casal de Pastores Myckon e Andreia, amigos sempre presentes dos quais
recebo diversos ensinamentos da palavra de Deus.
À minha esposa, a quem escolhi amar e suportou os meus momentos de
estudos.
RESUMO
Esta pesquisa foi desenvolvida no âmbito da linha de Formação de Professores
que ensinam Matemática, no contexto do Projeto Observatório da Educação da
UNIBAN, financiado pela CAPES. O objetivo foi verificar as potencialidades do
software GEOGEBRA para o processo de ensino e aprendizagem de Simetria
Axial. Participou da pesquisa um grupo de quinze professores de Matemática
que atuam na Educação Básica. A metodologia de caráter qualitativo integrou
elementos da abordagem do Design Experiment de Cobb e utilizou como
instrumentos de coleta questionário de perfil e de diagnóstico, bem como os
protocolos das atividades de intervenções realizadas pelo formadorpesquisador durante a Oficina de Simetria com o uso do software GEOGEBRA.
O referencial teórico constituiu-se de dois temas centrais, Informática na
Educação, com foco na atividade de programação baseada nos princípios
construcionistas de Papert e Conhecimento profissional do professor, com
destaque nas ideias de Shulman e no modelo do TPACK de Koelber e Mishra.
A análise dos dados iniciais mostrou, durante a fase de diagnóstico, a
existência de compreensões equivocadas sobre o conceito de Simetria. Isto foi
fundamental para nortear as atividades de intervenção utilizando materiais
concretos e digitais, especialmente, o software GEOGEBRA. O uso desse
software permitiu ao grupo de professores manipular Objetos, Retas, Ponto e
Figuras, observar suas propriedades e fazer conjecturas as quais instigaram a
busca de novas compreensões sobre o conteúdo de matemática. Uma
estratégia didática desafiadora para o grupo foi a criação do Botão de Simetria.
Essa atividade confirmou o potencial da programação, pelo seu caráter
reflexivo e de “empodeiramento” do homem sobre o computador (Papert e
Valente). O resultado da pesquisa mostrou que por meio da atividade de
programação, o grupo de professores pode vivenciar a espiral de
aprendizagem e a reconstrução do conhecimento integrado das tecnologias
digitais e o conteúdo matemático.
Palavras-chave: Programação – GEOGEBRA – Conhecimento Profissional –
Formação Continuada – Observatório da Educação.
ABSTRACT
This research was conducted within the Teacher Training online that
teach mathematics in the context of the Project Centre for Education UNIBAN,
funded by CAPES. The objective was to verify the potential of GEOGEBRA
software for the teaching and learning of Axial Symmetry. Participated in the
research group of fifteen teachers of mathematics involved in basic education.
The qualitative methodology incorporated elements of the approach of Design
Experiment Cobb and used as instruments of questionnaire listing and
diagnostic collection as well as the protocols of interventions by the trainer researcher activities during the workshop Symmetry using the software
GEOGEBRA . The theoretical framework consisted of two central themes,
Computers in Education, with a focus on programming activity based on the
principles of constructionist Papert and professional knowledge of the teacher,
especially the ideas of Shulman and model of the TPACK of Koelber and
Mishra. The initial analysis of the data showed that during the diagnostic phase,
the existence of misunderstandings about the concept of symmetry. This was
essential to guide intervention activities using concrete materials and digital,
especially GEOGEBRA software. Using this software allowed the group of
teachers manipulate Objects , Lines , Point and Figure , observe their properties
and make conjectures which prompted the search for new understandings of
math content . A challenging teaching strategy for the group was the creation of
the Symmetry button . This activity confirmed the potential of programming for
its reflective nature and "empodeiramento" man on the computer ( Papert and
Valente ) . The research result showed that through activity programming, the
group of teachers can experience the learning spiral and reconstruction of
integrated digital technologies and mathematical content knowledge.
KeyWords:
Programming
- GEOGEBRA - Professional Knowledge
Continuing Education - Education Observatory.
-
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ............................................................................................ 14
CAPÍTULO UM – INTRODUÇÃO ..................................................................... 16
1.1
Trajetória ............................................................................................. 16
1.2
A Questão da Pesquisa....................................................................... 19
1.3
Procedimentos Metodológicos ............................................................ 19
1.4
Sujeito da Pesquisa............................................................................. 20
1.5
Instrumentos da Coleta ....................................................................... 20
1.6
Justificativa .......................................................................................... 21
CAPITULO DOIS – REFERENCIAL TEÓRICO ............................................... 26
2.1.
Informática na Educação..................................................................... 26
2.2.
A Programação ................................................................................... 28
2.3.
O Construcionismo .............................................................................. 31
2.4.
A formação e conhecimento profissional do professor ........................ 33
CAPÍTULO TRÊS – O GEOGEBRA ................................................................. 37
3.1.
O Software .......................................................................................... 37
3.2.
Utilizando O Software.......................................................................... 38
CAPÍTULO QUATRO – DIAGNÓSTICO .......................................................... 51
4.1.
Oficina de Simetria – Fase de diagnóstico. ......................................... 51
4.2.
Diagnóstico do aluno – na visão do professor..................................... 53
4.3.
Diagnóstico do conteúdo de Simetria Axial – na visão do professor ... 54
CAPÍTULO CINCO – INTERVENÇÃO ............................................................. 62
5.1.
Oficina de Simetria – Fase de intervenção.......................................... 62
5.2.
Atividade um de intervenção ............................................................... 62
5.3.
Atividade dois de intervenção ............................................................. 64
5.4.
Atividade três de intervenção .............................................................. 67
5.4.1. Resolução com o uso de materiais concreto ....................................... 68
5.4.2. Resolução com o uso do software GEOGEBRA. ................................ 72
5.5.
A programação e a simetria ................................................................ 77
5.6.
Questionário de utilização do GEOGEBRA ......................................... 84
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................. 92
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................. 95
Apêndice I – Questionário de Perfil. ............................................................ 100
Apêndice II – Questionário de Simetria 1 .................................................... 101
Apêndice III – Conjunto de Atividade I ........................................................ 102
Apêndice IV – Conjunto de Atividade II ....................................................... 103
Apêndice V – Questionário de utilização do software ................................ 104
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Espiral da aprendizagem e a atividade de programação. ................. 30
Figura 2 - Tela Inicial do GEOGEBRA ............................................................. 38
Figura 3 – Inserir ponto pela barra de ferramenta. ........................................... 39
Figura 4 – Inserir ponto pela caixa de entrada. ................................................ 40
Figura 5 - Controle deslizante .......................................................................... 41
Figura 6 - Manipulando o controle deslizante ................................................... 42
Figura 7 - Construção do quadrado.................................................................. 43
Figura 8 - protocolo de construção do quadrado .............................................. 44
Figura 9 – Ferramenta de simetria. .................................................................. 46
Figura 10 - Exemplo de utilização da ferramenta Reflexão em relação a uma
reta ................................................................................................................... 47
Figura 11 - Resolução do exemplo da ferramenta Reflexão em relação a uma
reta. .................................................................................................................. 48
Figura 12 – Ocultar a ferramenta de reflexão. .................................................. 49
Figura 13 - Comparação de tela do GEOGEBRA. ........................................... 49
Figura 14 - Protocolo do professor T ................................................................ 58
Figura 15 - Protocolo do professor X ................................................................ 59
Figura 16 - Protocolo do professor Y ................................................................ 59
Figura 17 - Protocolo do professor W ............................................................... 59
Figura 18 - Protocolo do professor Z. ............................................................... 60
Figura 19 - Atividade de eixo simétrico ............................................................ 63
Figura 20 - Resolução com espelho ................................................................. 64
Figura 21 – Protocolo 1 de resolução da atividade de intervenção dois .......... 66
Figura 22 - Protocolo 2 de resolução da atividade de intervenção dois ........... 66
Figura 23 - Protocolo professor A da atividade de intervenção três do primeiro
conjunto. ........................................................................................................... 69
Figura 24 - Protocolo professor B da atividade de intervenção três do primeiro
conjunto.. .......................................................................................................... 70
Figura 25 - Protocolo professor A da atividade de intervenção três. ................ 71
Figura 26 - Protocolo professor A da atividade de intervenção três. ................ 73
Figura 27 - Protocolo professor B da atividade de intervenção três ................. 74
Figura 28 - Comparativo professor A ............................................................... 75
Figura 29 - Comparativo Professor B ............................................................... 75
Figura 30 - Atividade 1 no GEOGEBRA ........................................................... 77
Figura 31 - Codificação da linguagem matemática para a linguagem do
GEOGEBRA ..................................................................................................... 78
Figura 32 - Atividade 2 no GEOGEBRA ........................................................... 79
Figura 33 - Resolução da atividade 2 no GEOGEBRA .................................... 80
Figura 34 - Resolução da atividade 3 no GEOGEBRA .................................... 81
Figura 35 - Atividade 1 do questionário de utilização do GEOGEBRA ............ 84
Figura 36 - Protocolo do professor A do questionário de utilização do
GEOGEBRA ..................................................................................................... 85
Figura 37 - Protocolo do professor B do questionário de utilização do
GEOGEBRA ..................................................................................................... 85
Figura 38 - Protocolo do professor C do questionário de utilização do
GEOGEBRA ..................................................................................................... 86
Figura 39 - Protocolo do professor D do questionário de utilização do
GEOGEBRA ..................................................................................................... 86
Figura 40 - Protocolo do professor C na questão da linguagem ...................... 87
Figura 41 - Protocolo do professor D na questão da linguagem ...................... 88
Figura 42 - Protocolo do professor UM sobre a contribuição do GEOGEBRA . 89
Figura 43 - Protocolo do professor DOIS sobre a contribuição do GEOGEBRA
......................................................................................................................... 89
Figura 44 - Protocolo do professor TRÊS sobre a contribuição do GEOGEBRA
......................................................................................................................... 90
Figura 45 - Protocolo do professor QUATRO sobre a contribuição do
GEOGEBRA ..................................................................................................... 90
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 - Uso do computador feito pelo grupo de professores ...................... 52
Gráfico 2 - Dificuldade dos alunos em relação à Simetria axial ........................ 53
Gráfico 3 - Quantidade de eixos simétricos no quadrado ................................. 55
Gráfico 4 - Quantidade de eixos simétricos no retângulo não quadrado .......... 56
Gráfico 5 - Quantidade de eixos simétricos de um círculo ............................... 57
Gráfico 6 - Questão sobre simetria axial .......................................................... 58
LISTA DE QUADROS
Quadro 1- Atividade de completar figuras ........................................................ 65
Quadro 2 - Conjunto de atividades da intervenção três .................................. 67
Quadro 3 - Script de resolução da atividade 1 do GEOGEBRA ...................... 78
Quadro 4 - Script de resolução da atividade 2 do GEOGEBRA ...................... 80
Quadro 5 - Script de um professor da atividade 4 no GEOGEBRA.................. 82
14
APRESENTAÇÃO
Esse trabalho intitulado “O uso das Tecnologias Digitais na Formação
Continuada do Professor de Matemática” foi desenvolvido no âmbito da linha
de pesquisa de Formação de Professores que ensinam Matemática do
Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade
Bandeirante Anhanguera.
Essa pesquisa teve como objetivo verificar as potencialidades do
software GEOGEBRA para o processo de ensino e aprendizado de noções
relativas à Simetria Axial. Participou da pesquisa um grupo de professores de
Matemática que atuam na Educação Básica. E o que levou a esse objetivo
foram basicamente os seguintes questionamentos:
 Como a formação continuada pode favorecer aos professores o
aprendizado dos recursos tecnológicos indo além dos aspectos
operacionais do software no sentido de propiciar a reflexão e
conceituação de conteúdos matemáticos?
 Como podemos utilizar o GEOGEBRA para o ensino e
aprendizagem conceitual de Simetria Axial?
A partir dessas indagações, construímos a questão norteadora da
pesquisa:
Quais são as potencialidades do software GEOGEBRA para o
desenvolvimento de conceitos da Simetria Axial dos professores?
Para responder a essas questões, a pesquisa se desenvolveu adotando
a metodologia qualitativa e interpretativa das ações realizadas em um contexto
formativo com um grupo de professores que lecionam matemática da educação
básica.
Para tanto, este trabalho está estruturado em cinco capítulos, descritos a
seguir com uma breve apresentação:
15
Capítulo Um – Introdução.
O capítulo apresenta a trajetória do pesquisador, como originou a
questão da pesquisa e a justificativa da mesma, bem como os procedimentos
metodológicos utilizados, os sujeitos da pesquisa e os instrumentos de coleta.
Capítulo Dois – Fundamentação Teórica.
Este capítulo aborda de forma sucinta o percurso da Informática na
Educação,
o
papel
da
atividade
de
programação
no
processo
de
aprendizagem, os princípios construcionistas e a formação com ênfase no
conhecimento profissional do professor.
Capítulo Três – Software GEOGEBRA.
Apresenta o software GEOGEBRA, destacando alguns de seus recursos
e possibilidades de uso para explorar conceitos matemáticos. Alguns exemplos
são enfatizados com visualização de telas juntamente com as barras de
menus, barras de ferramentas e uma breve descrição de como utilizá-lo.
Capítulo Quatro – Oficina de Simetria – Fase de diagnóstico.
Este capítulo descreve e analisa as questões e atividades de diagnóstico
que ocorreram na fase inicial da Oficina de Simetria Axial desenvolvida para os
professores participantes dessa pesquisa.
Capítulo Cinco – Oficina de Simetria – Fase de intervenção.
Este capítulo descreve e analisa as atividades realizadas durante a fase
de Intervenção da Oficina de Simetria Axial desenvolvida pelos professores
participantes dessa pesquisa, destacando o uso do software GEOGEBRA e a
atividade de programação.
Considerações finais
Apresenta a análise das possíveis potencialidades do uso do software
GEOGEBRA para o aprendizado de simetria axial.
16
CAPÍTULO UM – INTRODUÇÃO
1.1
Trajetória
No ano de 2000, tive a oportunidade de participar de um curso de 30
horas, voltado para o uso do software Cabri Geometri II1, que me permitiu
conhecer e explorar suas ferramentas. Nessa época era estudante do segundo
ano da licenciatura de Matemática, onde conclui a graduação em 2002.
Senti um encantamento pela possibilidade da movimentação que o
software permitia, pois o mesmo tem características de Geometria Dinâmica
(GD) - Figura com movimento mantendo as suas propriedades.
Minhas indagações para o uso da tecnologia com os alunos iniciaram
em 2004, como professor coordenador em uma unidade escolar estadual do
município de Hortolândia no Estado de São Paulo.
Nessa época constatei que a unidade escolar em que atuava estava
recebendo computadores e os professores não estavam preparados para a
utilização com os alunos. Alguns professores aventuravam a levar seus alunos
para utilizarem os computadores, mas poucos trabalhavam algo específico do
currículo. Trabalhavam com editor de texto, sala de bate papo na internet e
alguns softwares comprados pelo Estado.
Esse foi um momento muito importante, porém não justificava o
investimento dos equipamentos. As esferas governamentais (Federal e
Estadual) disponibilizaram cursos para um melhor aproveitamento desses
recursos, mas a utilização com os alunos era baixa.
Como Coordenador Pedagógico em uma unidade escolar do município
de Hortolândia, trabalhava com todos os professores de todas as disciplinas da
1
O Cabri-Géomètre é um software que permite construir todas as figuras da geometria
elementar que podem ser traçadas com a ajuda de uma régua e de um compasso – trecho
retirado do site http://www.cabri.com.br/oquee.php em 15/01/2013.
17
escola, mas minha formação específica me levava a uma conversa mais
amiúde com os professores de matemática, bem como sugerir atividades com
o uso dos computadores em suas atividades de sala de aula. Os softwares
mais utilizados para a matemática eram: Building Perspective, Divide and
Conquer, Factory, Graphers, Jogos de Funções, Siracusa, Thales.
Ficava evidente que os alunos gostavam de ir à sala dos computadores,
mas os professores nem tanto devido a vários fatores, tais como: a dinâmica
que ocorria dentro da sala, certa perda de controle dos professores com os
alunos, fragilidade dos equipamentos, como quebra e travamento, o que
desmotivava o corpo docente a utilizarem os equipamentos.
Apesar dessas dificuldades, a tecnologia na escola provocou algumas
mudanças na prática do professor e favoreceu algumas reflexões sobre os
processos de ensino e aprendizagem, bem como experiências inovadoras, mas
de forma pontual. E, mesmo com a evolução dos últimos anos dos meios de
comunicação, especialmente da internet, onde informações são trocadas,
colaboradas, formadas e divulgadas, as escolas apresentam dificuldades para
utilizar de forma sistemática as tecnologias digitais. Nesse momento em que
ser torna cada vez mais visível na sociedade a presença das tecnologias
digitais, a educação poderia aproveitar seu potencial na utilização das
diferentes mídias e linguagens, tais como: imagens, sons e vídeos, para
trabalhar pedagogicamente com os alunos que são nativos dessa cultura
digital.
Atualmente existe uma grande quantidade e diversidade de recursos
pedagógicos digitais que são disponibilizados pela internet. O Governo Federal
mantém um ambiente on-line para professores e alunos com diversas
ferramentas e objetos de aprendizagem, denominado Portal do Professor2.
2
O Portal do professor http://portaldoprofessor.mec.gov.br foi criado em 2008, com objetivo
de contribuir com a prática pedagógica dos professores, disponibilizando diversos materiais e
propiciando a troca de experiências realizadas nas escolas.
18
Foi nesse cenário da educação que fui convidado para participar de uma
entrevista na Diretoria de Ensino para ocupar a função de Professor
Coordenador de Tecnologia Educacional na Oficina Pedagógica da Diretoria de
Ensino da Região Sumaré. Iniciei essa função com um novo desafio:
desenvolver a formação dos professores de toda a Diretoria para uso das
Novas Tecnologias de Comunicação e Informação, conhecida como TIC.
Éramos três professores com a mesma função, eu com licenciatura em
Matemática e alguns cursos na área de servidores, redes e sistemas
operacionais, e outras duas professoras com muito conhecimento pedagógico
e na utilização desses recursos na educação, sendo uma delas com formação
em licenciatura também em Matemática e outra em Letras, mas ambas não
possuíam cursos técnicos.
Foi nessa função que aprendi com ambas as professoras o cuidado que
devemos ter em como utilizar os softwares, quais suas finalidades, que
conceitos trabalhar e como trabalhar. E foi observando e aprendendo com as
duas professoras, que percebi a diferença da formação que obtive no curso do
Cabri Geometri II e a formação realizada na Oficina Pedagógica. No curso em
que fui aluno (Cabri Geometri II), a ênfase era totalmente técnica, não se
discutia os conceitos matemáticos que poderiam ser explorados.
Comecei então a refletir sobre como deveriam ser as formações para o
uso da tecnologia para os professores de matemática. Atualmente no curso de
mestrado, na linha de formação de professores, tive a oportunidade de
aprofundar sobre estas questões que têm me instigado a compreender como a
formação continuada pode preparar o professor de matemática para integrar os
recursos da tecnologia aos conteúdos curriculares.
Para tanto, delimitando esta questão, o objetivo da investigação é de
verificar as potencialidades do software GEOGEBRA para o conteúdo de
Simetria Axial com um grupo de professores de Matemática que atua na
Educação Básica.
19
1.2
A Questão da Pesquisa
Com base nas seguintes indagações:
 Como a formação continuada pode favorecer aos professores o
aprendizado dos recursos tecnológicos indo além dos aspectos
operacionais do software no sentido de propiciar a reflexão e a
conceituação de conteúdos matemáticos?
 Como podemos utilizar o GEOGEBRA para o ensino e aprendizagem
conceitual de Simetria Axial?
Estas foram às questões que norteavam meus pensamentos, de modo
delinear à questão central desta pesquisa: Quais são as potencialidades do
software GEOGEBRA para o conteúdo de Simetria Axial?
1.3
Procedimentos Metodológicos
A metodologia dessa pesquisa de natureza qualitativa integra elementos
da abordagem do Design Experiment de Cobb et al. (2003), que se constitui de
maneira dinâmica, interativa e cíclica permitindo ao pesquisador reformular as
atividades a partir das resoluções feitas pelos professores durante as ações
formativas.
Nesta
abordagem
metodológica,
o
pesquisador
pode
adotar
simultaneamente o papel de formador e pesquisador no contexto das ações
formativas desenvolvidas na Oficina sobre Simetria com o uso do software
GEOGEBRA voltado para professores da Educação Básica participantes do
Projeto do Observatório da Educação da UNIBAN.
Assim, a Oficina de Simetria Axial com a utilização do software
GEOGEBRA foi realizada como parte das atividades do Projeto do
Observatório da Educação, com duração de cinco encontros presenciais
quinzenais nos espaços da Diretoria de Ensino Região Norte-2.
20
Essa Oficina constituiu-se de dois momentos: um voltado para o
diagnóstico e outro para a intervenção junto ao grupo de professores
participantes dessa pesquisa.
1.4
Sujeito da Pesquisa
Participaram dessa pesquisa um grupo de quinze professores de
matemática que lecionam no Ensino Fundamental II e Ensino Médio da rede
Estadual de São Paulo.
Esse grupo de professores, já vem participando de várias ações
formativas, realizadas por meio de Oficinas temáticas que se desenvolveram
ao longo do período de vigência do Projeto Observatório da Educação.
1.5
Instrumentos da Coleta
Os instrumentos de coleta dos dados utilizados na pesquisa foram:
 Questionário de perfil (apêndice I) com a finalidade de conhecer os
participantes em relação à sua formação acadêmica, experiência como
professor, nível de utilização de computadores e de software
educacionais.
 Questionário de Diagnóstico (apêndice II) com a intencionalidade de
fazer um diagnóstico dos professores participantes sobre o seu
conhecimento específico e pedagógico de Simetria Axial.
 Protocolos de Intervenção: Conjunto de atividade I (apêndice III) e o
Conjunto de atividade II (apêndice IV), ambos com a finalidade de
observar, intervir e analisar o processo de resolução das situações
propostas relacionadas à Simetria Axial, bem como o uso de materiais
concretos (réguas e compassos) e do software GEOGEBRA.
A coleta desses dados foi realizada no primeiro semestre de 2012.
21
1.6
Justificativa
Os recursos tecnológicos estão cada vez mais atrelados no nosso
cotidiano, seja no trabalho, em nossos lares ou em nosso lazer. E nas escolas
não é diferente, pelos dados apresentados do SIGETEC (Sistema de Gestão
Tecnológica)3 até 2006 existiam 201.657 unidades escolares com laboratório
de informática e atualmente com as novas políticas públicas e o rápido avanço
das tecnologias digitais esse número se amplia constantemente, além de
diversificar os recursos implementados nas escolas.
Vale recordar que no início da chegado dos computadores nas escolas
era comum ouvir os professores e gestores perguntarem: o que vamos fazer
com esses computadores? Agora que os laboratórios estão equipados, a
internet conectada e a sala de aula com possibilidades de ter acesso a diversos
recursos tecnológicos os questionamentos continuam, tais como: De que
maneira vamos utilizar pedagogicamente essas tecnologias digitais?
Essa é uma questão que vem sendo estudada por vários pesquisadores.
Destacamos os estudos de Fugimoto e Altaé, (2009) que relatam a existência
de muitas escolas ainda terem a preocupação em propiciar aos professores o
aprendizado operacional do computador. Embora o aprendizado técnico seja
necessário, ele não é suficiente para que o professor possa inserir o uso do
computador na sua prática pedagógica, dando ênfase ao processo de
construção do conhecimento dos alunos.
Muller (2001) retrata em sua tese de Doutorado que somente a
utilização dos novos recursos tecnológicos não são suficiente para mostrar a
sua importância no ambiente educacional. É necessário que haja o
envolvimento e a participação dos educadores para que essa tecnologia seja
efetivamente um fator importante nesse atual cenário.
3
http://sip.proinfo.mec.gov.br/sisseed_fra.php
22
Isto significa que a implementação das tecnologias digitais envolve
outros aspectos que precisam ser considerados, uma vez que:
O problema com que defrontamos não é o simples
domínio instrumental da técnica para continuarmos a
fazer as mesmas coisas, com os mesmos propósitos e
objetivos, apenas de uma forma pouco diferente.
Não é tornar a escola mais eficaz para alcançar os
objetivos do passado. O problema é levar a escola a
contribuir para uma nova forma de humanidade, onde a
tecnologia esteja fortemente presente e faça parte do
cotidiano, sem que isso signifique submissão à tecnologia
(Ponte, 2004, apud Kenski, 2007, p.67).
As práticas pedagógicas com computadores, segundo Valente (1993),
podem oscilar entre dois polos: instrucionista e construcionista. A abordagem
instrucionista se desenvolve na direção do ensino que prioriza o computador e
o software que ensina ao aluno. Nessa situação, o controle do ensino é feito
pela tecnologia, considerada uma máquina de ensinar na perspectiva
skinneriana, a qual transmitir informações e conteúdos organizados para que o
aluno memorize e reproduza respostas corretas.
A abordagem construcionista (que será melhor detalhada no capítulo
dois) definida por Papert (1985), que criticou os métodos instrucionistas,
enfatiza o uso do computador como uma ferramenta para construção de
conhecimentos. Nessa abordagem, o aluno ensina o computador, por meio de
um software para representar conhecimentos, expressar ideias, aplicar
conceitos e desenvolver estratégias de resolução de problemas.
Na perspectiva construcionista, Papert (1985) desenvolveu uma
metodologia e linguagem de programação denominada LOGO. Foi com o uso
dessa linguagem que os primeiros projetos de informática na educação no
Brasil foram implantados nas escolas públicas.
A partir dessa distinção de abordagens educacionais que fundamenta o
uso do computador, vários softwares foram desenvolvidos procurando
contemplar os princípios construcionistas, inclusive isto se tornou possível
também pelos estudos e proximidade de pesquisadores das áreas de
23
conhecimentos
afins
(computação,
psicologia,
sociologia,
linguística,
educação).
Dentre os softwares educacionais que podem favorecer o aprendizado
do aluno na perspectiva da construção do conhecimento, especificamente
matemáticos, destacamos o Cabri, Winplot, Geogebra. Tais software, segundo
Lobo da Costa et al (2013).
permite ao aluno visualizar propriedades, assim como perceber
relações e particularidades entre os elementos envolvidos e as
variáveis,
favorecendo
a
discussão,
argumentação,
experimentação, entendida como verificação de conjecturas,
que auxiliam na construção e na representação de conceitos
(s/nº).
A pesquisa de Castro (2011) abordou o uso do software Winplot para
trabalhar função quadrática com os professores de matemática da educação
básica. Durante as ações formativas, a autora percebeu a necessidade de
retomar o conteúdo especialmente quando se trata de integrar as funções de
várias representações. Os professores tiveram dificuldades quando novas
representações conceituais foram abordadas, mostrando com isso que a
integração das tecnologias aos conteúdos curriculares não é simples, pois
requer novas construções de conhecimento.
Em relação à utilização do software GEOGEBRA, a pesquisa de
Rodrigues (2008) sobre a formação de professores de matemática, mostrou
que o trabalho com o software envolvendo conceitos de Geometria foi restrito
uma vez que não faz parte do cotidiano escolar desenvolver atividades sobre
tal conceito.
Vale ressaltar que a maioria das atividades teve como
foco a álgebra, apenas uma proposta de atividade
abordou conteúdo de geometria. O que retrata a
realidade de nossas escolas, a falta de se trabalhar com
régua e compasso no dia a dia escolar foi refletido no
ambiente informatizado, mostrando que recursos
tecnológicos são insuficientes quando os conceitos
matemáticos não estão bem definidos.” (p. 8).
24
Nesse caso, a utilização do software deixou transparente que outras
tecnologias, materiais concretos, não estão sendo utilizados, ou os professores
de matemática não estão trabalhando os aspectos conceituais do conteúdo de
Geometria. Isto nos alerta para que a formação do professor não deve estar
somente voltada para a operacionalização dos recursos do software e sim para
o contexto de uso do software que envolve conteúdos específicos.
Trabalhar com materiais concretos e digitais pode ser um estratégia
pedagógica interessante, pois cada tipo de materiais possue características
próprias, que dependendo da realidade escolar, podem ser utilizados inclusive
de forma complementar. O importnte é fazer o uso desses materiais – concreto
e/ou digital - tendo clareza da intencionalidade pedagógica, de modo a
contribuir para que o aluno possa atribuir sentido para aquilo que estiver
aprendendo.
Outra pesquisa analisada trata-se da dissertação de mestrado de Fialho
(2010), que foi desenvolvida com alunos do terceiro ano do Ensino Médio
usando o GEOGEBRA. Em seus estudos, ficou evidenciada a existência de
construções geométricas equivocadas. E, isto foi possível de ser constatado
devido as propriedades dinâmicas que o software possibilita. O autor, diante
dessas constatações, sugeriu a realização de um pré-curso para ser trabalhado
os conceitos matemáticos antes de explorar os recursos do ambiente dinâmico
e estático.
A proposta de Filho (2010) em realizar um pré-curso sobre Geometria
Plana para depois utilizar o software Geogebra é totalmente contrária a
proposta pedagógica construcionista da qual defendemos. Os princípios
construcionistas norteadores de prática pedagógica destacam a importância de
o aluno utilizar as tecnologias para “aprender-fazendo”, por meio da vivência
do ciclo de aprendizagem.
A pesquisa de Silva (2010), desenvolvida também com o uso do
software GEOGEBRA com alunos, teve a finalidade de analisar as correções
de aprendizagem sobre o conteúdo de Simetria Axial. Seus estudos mostraram
25
que antes de utilizar o software é indicado trabalhar no ambiente estático, ou
seja, utilizar materiais concretos (papel, réguas e compasso).
Tais estudos mostraram que o uso de softwares voltados para o
trabalho com os conteúdos matemáticos não são tarefas fáceis. Cabe
investigar sobre as potencialidades dos mesmos no sentido de compreender
como o seu uso pode favorecer no processo de construção do conhecimento
da matemática, sem perder de vista que
[...] a atitude de um professor no que diz respeito às
tecnologias é multifacetada e que uma combinação ótima para
a integração das TIC no currículo resulta de uma mistura
balanceada de conhecimentos a nível científico ou dos
conteúdos, a nível pedagógico e também a nível tecnológico.
(COUTINHO, 2012, p. s/nº).
Considerando essa complexidade da integração é que a presente
pesquisa busca identificar e compreender as potencialidades do software
GEOGEBRA para o conteúdo de Simetria Axial com um grupo de professores
de Matemática que atuam na Educação Básica.
A escolha do conteúdo de Simetria Axial se deu em conformidade das
observações que a simetria está presente na arte, na natureza e na arquitetura
com proporções impecáveis permitindo que um material seja dividido em partes
iguais utilizando propriedades geométricas como retas, segmentos de retas,
retas perpendiculares e ângulos, além de estar presente na proposta curricular
do Estado de São Paulo.
26
CAPITULO DOIS – REFERENCIAL TEÓRICO
2.1. Informática na Educação
A Informática na Educação teve como marco o primeiro projeto de
pesquisa EDUCOM apoiado pelo governo brasileiro que se desenvolveu na
década dos anos 80. Nesse início da história foi fundamental a vinda de dois
pesquisadores do Massachusetts Institute of Technology (MIT-USA), Seymour
Papert e Marvin Minsky ao Brasil, em 1975, a convite do Professor Ubiratan
D’Ambrósio, que na época era diretor do IMECC (Instituto de Matemática,
Estatística e Ciências da Computação) na UNICAMP. Esses pesquisadores
vieram para apresentar e discutir com um grupo de pesquisadores brasileiros
ideias poderosas e inovadoras acerca do uso do computador com crianças,
embasadas em pressupostos teóricos norteadores da metodologia da
Linguagem de Programação Logo (VALENTE, 1999).
A Linguagem LOGO foi desenvolvida na década de 60 por um grupo de
pesquisadores coordenado por Seymour Papert e se destacou no cenário
educacional pelo fato de ter sido criada com bases em princípios educacionais
distintos da visão mecanicista e reprodutora. O LOGO contrapõe
[...] o uso do computador como máquina de ensinar, onde o
aluno, um usuário passivo manipula uma máquina detentora de
um “saber” coletado e organizado por uma especialista, que é
apresentado ao aluno para propiciar-lhe a aquisição de
habilidades ou conhecimento (ALMEIDA, et al, 1998, p. 13).
Papert (1985, 1994) defendeu o uso do computador como uma
ferramenta para construção de conhecimentos e desenvolveu uma abordagem
denominada construcionismo para orientar educacionalmente o trabalho com a
linguagem de programação LOGO.
27
Nos anos finais da década de 80 o LOGO foi utilizado em vários Projetos
de implantação dos computadores nas escolas públicas e particulares. Dentre
eles, destacamos o Projeto Gênese no município de São Paulo e o Projeto
Eureka na cidade de Campinas, que tiveram como base fundamental as
experiências
e
pesquisas
desenvolvidas
no
Projeto
EDUCOM
(SIDERICOUDES, 1993; RIPPER, et al, 1993).
As experiências realizadas no contexto do Projeto EDUCOM, trouxeram
também subsídios para outras iniciativas do MEC na década de 90 com a
criação do Programa Nacional de Informática na Educação, responsável pela
disseminação da Informática na Educação no país. Nessa época foram criados
os Centros de Tecnologia Educacional em vários estados e municípios, para
acompanharem e darem suporte técnico e pedagógico na implantação dos
laboratórios de informática nas escolas públicas. Esse momento de
disseminação
gerou
multiplicadores
para
a
necessidade
atuarem
da
formação
pedagogicamente
com
de
os
professores
e
recursos
do
computador (linguagem de programação Logo, aplicativos e alguns softwares
educacionais) nas escolas e nos Centros de Tecnologia Educacional.
Desde essa época o governo federal passou a investir em vários
programas de formação continuada de professores na área de Informática na
Educação, promovendo cursos de especialização e extensão desenvolvidos
em parceria com as Secretarias de Educação dos Estados e Universidades.
Essa formação continua até os dias atuais com novas propostas de cursos e
envolvendo diversas parcerias, principalmente porque as tecnologias digitais
avançam rapidamente exigindo do professor novas aprendizagens para lidar
com a variedade de equipamentos (lousa interativa, netbook, projetor, tablet),
softwares educacionais, objetos de aprendizagem, recursos educacionais
abertos e da Web, no contexto da escola.
Desde o início da formação, Valente (1993) destaca que a área de
Informática na Educação apresenta peculiaridades que precisam ser
consideradas nos cursos. O fato da Informática na Educação envolver
conhecimentos de áreas distintas requer uma forma de lidar com isto numa
28
perspectiva integradora dessas duas áreas. Para isto, o participante do curso
deve vivenciar situações que propiciem tanto o domínio tecnológico como os
aspectos educacionais, que envolve compreender o que significa o
aprendizado e ensino usando os tais recursos, considerando as novas
maneiras de representação do conhecimento.
A Informática na Educação tem cerca de 30 anos de experiências e de
estudos desenvolvidos buscando encontrar caminhos que tornem viáveis e
efetivos o uso dos recursos das tecnologias digitais aos processos de ensino e
aprendizagem. O interessante é que mesmo com o avanço das tecnologias, os
princípios do Construcionismo criados por Papert continuam orientando as
análises e propostas de uso das tecnologias na educação, assim como, a
atividade de programação que teve seu auge nos anos 80 e que atualmente, é
retomada por meio de novas versões de softwares educacionais.
2.2. A Programação
Existem dois níveis de Linguagem de programação, um de alto nível e
outro de baixo nível. Essa classificação está atrelada ao processador e sua
arquitetura computacional. Uma linguagem de alto nível significa que está
distante do processador e mais próxima do usuário e a linguagem de baixo
nível, ao contrário, está mais distante do usuário e próxima da arquitetura do
processador. Portanto, uma linguagem indicada para ser utilizada no contexto
da educação e por usuários que não são programadores é a de alto nível,
como por exemplo, o LOGO.
Outra característica da programação refere-se ao paradigma subjacente
à linguagem, que merece ter uma atenção especial, no caso de ser usada em
contextos educacionais. Existem diferentes paradigmas de programação, tais
como: procedural, funcional, orientado a objeto e lógica.
Cada um deles
envolve um tipo de representação da solução de um problema. O procedural
envolve escrever uma série de ações (usando o código da linguagem) que ao
ser executadas sequencialmente levam à solução. No paradigma funcional,
programar significa definir funções e conhecer o comportamento de funções na
29
máquina, ou seja, os mecanismos de controle passam de iterativo a recursivos.
Já o paradigma orientado ao objeto simula o mundo real, ou seja, é mais
próximo de como expressamos as coisas na vida real (BARANAUSKAS, 1993).
Esse paradigma de programação vem sendo usado mais recentemente nas
novas versões da linguagem Logo, tal como o Squeak e o Scratch.
A linguagem LOGO, mais conhecida pelo seu uso educacional, possui
em toda sua estrutura computacional dois paradigmas de programação: a parte
gráfica representada pelo micromundo da Geometria da Tartaruga, que é
baseada no paradigma procedural, e a parte simbólica derivada da linguagem
Lisp, que requer outra maneira de representação da solução de um problema e
baseia-se no paradigma funcional.
Para entender algumas das implicações educacionais da atividade de
programação Logo, no paradigma procedural, que é acessível para ser usada
na educação básica, Valente (1999, 2002) criou um modelo explicativo da
espiral da aprendizagem. Essa espiral é constituída por um movimento
dinâmico de pensamentos e ações envolvendo: Descrição-Execução-ReflexãoDepuração- (nova) Descrição que ocorre quando o sujeito interage com o
computador para resolver determinado problema, como ilustra a figura 1:
30
Figura 1: Espiral da aprendizagem e a atividade de programação.
Fonte: Prado, 2008, p. 61
Na figura 1, o sujeito para programar descreve, via comandos da
linguagem computacional, a resolução do problema e, o computador executa
de imediato os comandos na tela. O sujeito pode confrontar e ter o feedback
daquilo que pensou e descreveu com o resultado na tela do computador. Se o
resultado for o esperado, o ciclo pode continuar sem necessariamente provocar
a reflexão e a depuração. Mas, se o resultado for diferente do esperado o
sujeito (espontaneamente ou com a mediação do professor) passa a refletir
sobre a descrição da resolução do problema e a depurar aquilo que pensou em
relação à aplicação de conceitos e estratégias.
Nesse movimento cíclico, quando o resultado é diferente do esperado,
significa que algo está errado, mas na atividade de programação Logo, o erro
tem uma conotação diferente e é visto como parte do processo de
aprendizagem.
O processo de achar e corrigir o erro constitui uma
oportunidade para o aluno aprender sobre um determinado
conceito envolvido na solução do problema ou sobre as
estratégias de resolução (VALENTE, 1993, p.35).
31
A análise e a compreensão do erro levam a depuração que envolve o
aluno “... pensar sobre o conteúdo representado e a sua forma de
representação – pensar sobre o pensar...” (ALMEIDA, 2002, p. 24).
Outro aspecto importante destacado por Valente (1999, 2002) refere-se
ao feedback do computador que tem um caráter lógico, próprio da linguagem
computacional e, portanto, nem sempre pode ser suficiente para provocar a
reflexão. O autor chama atenção sobre a necessidade de o sujeito receber
feedback de seus pares e professores para que a reflexão e a depuração
aconteça de modo a propiciar o movimento da espiral de aprendizagem.
Essa explicação da espiral da aprendizagem na atividade de
programação, segundo os vários autores salientam (Valente, 1999; Almeida,
2002; Prado, 2003; Maltempi, 2004), pode ser aplicada em situações com o
uso de outros softwares e aplicativos. O importante é que as situações de
aprendizagem permitam ao sujeito envolver-se em ações significativas e
reflexivas, tendo a oportunidade de receber feedback, bem como a mediação
do professor, baseada na abordagem construcionista.
2.3. O Construcionismo
O termo construcionismo refere-se a uma teoria desenvolvida por
Seymour Papert (1985), que desde o início da Informática na Educação, mais
especificamente da criação da Linguagem de Programação Logo e de sua
abordagem educacional seus princípios vem norteando a mediação do
professor junto aos alunos usando as tecnologias.
Segundo Valente (1999), na abordagem construcionista o computador é
usado com foco diferente, ou seja, como uma ferramenta em que o aluno
ativamente possa explorar suas hipóteses, seu conhecimento intuitivo e/ou
formal, explicitar suas ideias, registrar seus pensamentos e conclusões, de
modo que neste processo o aluno possa construir conhecimentos. Uma
situação de aprendizagem baseada no construcionismo permite que o aluno
32
construa um produto (um texto, como um relato, um desenho, um blog, um
gráfico, um vídeo) usando o computador.
O construcionismo é uma forma de conceber e utilizar as
tecnologias de informação e comunicação em educação que
envolve o aluno, as tecnologias, o professor, os demais
recursos disponíveis e todas inter-relações que se estabelecem
constituindo um ambiente de aprendizagem que propicia o
desenvolvimento da autonomia do aluno, não direcionando a
sua ação, mas auxiliando-o na construção de conhecimentos
por meio de explorações, experimentações e descobertas
(ALMEIDA, 2002, p.25).
Nessa abordagem o papel do professor é diferente daquele que
transmite informação, ele passa a atuar como mediador do processo de
aprendizagem do aluno. O professor cria situações e propõe desafios
significativos para que os alunos possam construir conhecimentos. “... a melhor
aprendizagem ocorre quando o aprendiz assume o comando de seu próprio
desenvolvimento em atividades que sejam significativas e lhe despertem o
prazer” (PAPERT, 1985, p. 29).
Segundo Prado (2003, 2008), os princípios construcionistas foram
criados com base nos pressupostos de Piaget, que concebem o processo de
construção do conhecimento a partir das interações do sujeito com outras
pessoas e objetos.
Para a construção de um novo conhecimento, o sujeito precisa
vivenciar situações nas quais possa relacionar, comparar,
diferenciar e integrar os conhecimentos. Isso implica colocar
em ação os processos funcionais de regulações, abstrações e
equilibração que desenvolvem novas estruturas mentais de
assimilação e acomodação (PRADO, 2008, p. 56).
A
autora
também
salienta
que
Papert
trouxe
da
pedagogia
desenvolvimentista as ideias de Dewey, que valorizam o interesse, a liberdade
do aluno e o aprender-fazendo. O aprender-fazendo é destacado por Prado
(2008) como sendo uma ideia chave na teoria do construcionismo, pelo fato de
envolver ações que tenham sentido para o aluno “possibilitando-lhe questionar,
33
problematizar, refletir e desenvolver uma atitude de busca constante do
conhecimento” (p.57)
Assim, o construcionismo, que orienta as situações de aprendizagem
com o uso do computador, enfatiza a importância de propiciar ao aluno a
vivenciar o “hands-on” e “head-in”, que pode ser traduzido por mão-na-massa
e mente envolvida (PRADO, 2008). E, nessa situação, a mediação do professor
é fundamental, porém, não é simples. A mediação requer do professor o
domínio integrado do conhecimento pedagógico e tecnológico como tem
enfatizado (ALMEIDA; VALENTE, 2011). Entretanto, para que ocorra essa
integração é necessário repensar a formação considerando o conhecimento
profissional do professor.
2.4. A formação e conhecimento profissional do professor
A prática pedagógica efetiva e de qualidade exige um professor bem
preparado para trabalhar com os alunos e lidar as demandas que surgem no
cotidiano da escola. Por esta razão é preciso entender que a formação não
acaba ao término de um curso de graduação, quando no caso do professor, ele
é legitimado a assumir a docência. O aprendizado de qualquer profissional
deve ocorrer ao longo da vida, ou seja, deve fazer parte da sua trajetória. Isso
significa que a formação do professor precisa ser contínua, principalmente se
considerarmos as inovações científicas da sociedade atual.
A
formação
continuada
deve
propiciar
aos
professores
o
desenvolvimento de ações reflexivas e investigativas sobre sua prática, de
modo que contribua para sua qualificação profissional.
O papel do professor torna-se cada vez mais complexo diante dos
avanços
das
tecnologias
e
das
características
da
sociedade
atual.
Particularmente, uma questão preocupante diz respeito ao professor das
series/anos iniciais do Ensino Fundamental, que geralmente são formados em
Pedagogia para atuarem como polivalentes, ou seja, para lidar com as
diferentes áreas do conhecimento e mais recentemente para integrá-las ao uso
34
dos recursos das TDIC. Essa preocupação, também se estende com os
professores de matemática que se deparam cada vez mais com novos
recursos tecnológicos, os quais demandam novas saberes e práticas.
É fundamental entender o que o professor precisa saber para ensinar de
forma que o aluno possa aprender e desenvolver-se integralmente. Shulman
(1986) discute a base do conhecimento profissional do professor e organiza em
três categorias de conhecimentos necessários à docência: conhecimento do
conteúdo
específico,
conhecimento
pedagógico
geral
e
conhecimento
curricular. Posteriormente, Sztajn (2002) o autor incluiu mais uma categoria
denominada o conhecimento pedagógico do conteúdo. Esta última categoria
significa, por exemplo, que para ensinar matemática, o professor precisa
compreender o conteúdo e saber transformá-lo em algo pedagogicamente
viável para ser ensinado aos alunos.
Shulman (1987) elencou de forma mais detalhada essas categorias do
conhecimento profissional:
 Conhecimento de Conteúdo: refere-se ao conteúdo específico da
matéria a ser ensinada;
 Conhecimento Pedagógico Geral: constitui os princípios e estratégias
de manejo de sala de aula e organização, que transcendem a matéria
específica;
 Conhecimento de Currículo: refere-se ao entendimento dos materiais
e programas que servem de ferramenta de trabalho para o professor;
 Conhecimento de Conteúdo Pedagógico: que traz uma mistura
especial entre conteúdo e pedagogia;
 Conhecimento sobre os alunos e suas características: implica em
conhecer como o aluno aprende, envolvendo os aspectos cognitivos,
emocionais e sociais.
 Conhecimento do contexto educacional: envolve conhecer desde a
organização dos trabalhos com grupos ou classes, a administração e
finanças da unidade escolar até as características e cultura da
comunidade, onde está inserida a unidade escolar;
35
 Conhecimento das finalidades e propósitos educacionais: referem-se
os valores educacionais e sua base filosófica e histórica.
Sobre o conhecimento profissional Gauthier et al (1998) também
enfatizam que:
Pensar que ensinar consiste apenas transmitir um conteúdo a
um grupo de alunos é reduzir uma atividade tão complexa
quanto o ensino a uma dimensão, aquela que é mais evidente,
mas é, sobretudo, negar-se a refletir de forma mais profunda
sobre a natureza desse ofício de outros saberes que lhe são
necessários (p. 20-21).
Esses autores, assim como Tardif (2002), destacam que os saberes que
são colocados em ação no contexto real do ensino referem-se a um saber
plural, heterogêneos e naturais da formação profissional. Tardif também
salienta aqueles saberes decorrentes das experiências passadas e atuais do
cotidiano da prática do professor. Nesse sentido, podemos entender que os
saberes profissionais são temporais e personalizados, são adquiridos na
experiência de vida de cada professor, conjugado com o modo de agir e ser,
uma vez que “carregam as marcas do ser humano” (p. 13).
Em se tratado das características da sociedade atual, permeadas pelas
novas tecnologias digitais, os processos de ensino e aprendizagem demandam
ampliações do conhecimento profissional do professor. E, nesse sentido, mais
recentemente, os pesquisadores Mishra e Koehler (2009) partiram do modelo
da base do conhecimento de Shulman e criaram um modelo denominado
TPACK - Technology, Pedagogy and Content Knowledge, que constitui pela
integração entre os três conhecimentos fundamentais: Conhecimento do
Conteúdo (CK), Conhecimento Pedagógico (PK) e Conhecimento Tecnológico
(TK).
Nesse modelo estrutural do TPACK, as autoras Prado e Lobo da Costa
(2013) enfatizam a sua importância no sentido de nortear os programas de
formação continuada do professor, com vistas propiciar o uso das TDIC na
prática do professor de matemática.
O TPACK é a base para a integração das TIC ao conteúdo
curricular. E nessa abordagem a prática do professor que
ensina matemática deve ser desenvolvida para propiciar a
36
visualização de conceitos e propriedades, que evidenciam as
relações e particularidades entre os elementos envolvidos e as
variáveis, favorecendo a discussão e argumentação, bem como
a experimentação, entendida como verificação de conjecturas,
que auxiliam na construção e na representação de conceitos
(PRADO & LOBO DA COSTA, 2013, s/nº).
Por esta razão as propostas de formação continuada de professores
com o uso da TDIC, nos dias de hoje, devem ser concebidas na perspectiva de
envolver as dimensões relacionadas aos saberes de Tardif (2002) e ao
conhecimento desse profissional comutativamente com a estrutura TPACK.
37
CAPÍTULO TRÊS – O GEOGEBRA
3.1. O Software
O GEOGEBRA é um software de matemática com propriedades
dinâmicas, distribuição gratuita e de código fonte aberto, que utiliza recursos
como a régua, o compasso, as retas e círculos de forma digital permitindo a
construção de figuras geométricas.
O processo de construção das figuras é feito mediante o uso
de menus em linguagem natural da geometria – ponto, reta
passando
por
dois
pontos,retas
paralelas,
retas
perpendiculares, círculos, transformações geométricas, por
exemplo. A régua virtual é dada no recurso Reta por Dois
Pontos e o compasso virtual é dado no recurso Círculo com
Centro e Ponto. (Gravina et al, 2012,p.38-39).
O
software
pode
ser
adquirido
no
endereço
eletrônico
http://www.geogebra.org e ser instalado no computador, tanto para o Sistema
Operacional Microsoft Windows como para o Sistema Linux. Existe também a
possibilidade de utilizar o software sem fazer a instalação, ou seja, ele pode ser
executado pelo navegador de internet.
O fato de possuir o código fonte aberto, possibilita fazer alterações de
suas funções padronizadas, deste o layout até a criação de novas ferramentas.
Por ter essa característica, é comum muitos programadores contribuírem
gratuitamente para a melhoria do software, gerando novas versões do mesmo.
Nessa pesquisa foi utilizada a versão 4.0. Segue uma breve descrição
de algumas ferramentas e funções ilustradas nas telas do GEOGEBRA:
A figura 2 mostra a tela inicial do GEOGEBRA que possui uma Barra de
Menus: Arquivo, Editar, Exibir, Opções, Ferramentas, Janela e Ajuda; uma
Barra de Ferramentas com 12 blocos e cada bloco possui outras funções;
38
uma janela de álgebra, uma janela de visualização e uma caixa de entrada,
conforme a Figura 2:
Figura 2 - Tela Inicial do GEOGEBRA
3.2. Utilizando O Software
A utilização do software é considerada bem intuitiva pelos
usuários da área matemática. Por exemplo, caso queira inserir um ponto basta
clicar na barra de ferramentas deslizar o mouse para a segunda opção,
selecionar Novo Ponto e clicar na Janela de Visualização, conforme mostra
a Figura 3 que segue:
39
Figura 3 – Inserir ponto pela barra de ferramenta.
Outra possibilidade de inserir um novo Ponto é pela caixa de entrada.
Para isso, o usuário deve digitar A = (2,2) e será inserido um ponto A na
Janela de visualização com a respectiva localização (2,2). E na Janela de
álgebra é possível verificar sua representação algébrica, conforme a Figura 4.
40
Figura 4 – Inserir ponto pela caixa de entrada.
Essa ação também ocorre para equações e possibilita mostrar para o
usuário a relação de representação no plano cartesiano e no sistema algébrico.
[...] equações e coordenadas podem ser introduzidas
diretamente com o teclado. O GEOGEBRA tem a vantagem de
trabalhar com variáveis vinculadas a números, vetores e
pontos. Permite determinar derivadas e integrais de funções e
oferece um conjunto de comando próprio da análise
matemática, para identificar pontos singulares de uma função,
como raízes ou extremos. (HOHENWARTER e PREINER,
2007, p.5).
No caso da função y=x podemos digitá-la na caixa de entrada e na
janela de visualização será apresentado o gráfico correspondente. Como o
GEOGEBRA se configura um software dinâmico, pode-se utilizar a função de
controle deslizante com a finalidade de mostrar uma translação de um gráfico,
como mostra a figura 5:
41
Figura 5 - Controle deslizante
Como exemplo, a variável b representa um número com intervalo [-5,5] e
ao deslizar horizontalmente segue uma progressão aritmética com razão 0,5.
Definidos os atributos para a variável b, e digitar y = x + b na caixa de
entrada, o GEOGEBRA permite apresentar o movimento do gráfico que ocorre
para a função y = x + b, com b=[-5,5], razão=0,5 para b de uma progressão
aritmética.
A Figura 6 que segue apresenta o valor b=0, logo y = x, ao deslizar a
variável b para o valor 1 ocorre y = x + 1, podendo ser trabalhado a translação,
propriedades da função, os intervalos como exemplo.
42
Figura 6 - Manipulando o controle deslizante
Para a construção de um quadrado utilizando o GEOGEBRA uma das
possibilidades é utilizar as funções de criação de pontos, retas, retas
perpendiculares e círculo, conforme Figura 7:
43
Figura 7 - Construção do quadrado
A figura formada pelos pontos ABEC são os vértices de um quadrado e,
pode-se observar, que na janela de álgebra os objetos estão representados
algebricamente, como no caso do ponto A = (0.68, 3.98) e na janela de
visualização podemos visualizar o ponto A.
Outra opção que pode ser interessante é utilizar a função protocolo de
construção localizada na barra de menu Exibir, que mostra as definições que
foram criadas e para o exemplo do quadrado, como mostra a Figura 8:
44
Figura 8 - protocolo de construção do quadrado
Nesse exemplo o Ponto A e Ponto B foram criados sem dependências.
Foi selecionado com o mouse a função novo ponto e clicado em um lugar
qualquer da janela de visualização. Por esse motivo não possui definição, não
pode ser comparada com a definição de ponto da Geometria Euclidiana.
Semelhante ao item 3, reta a é definida pelo GEOGEBRA como Reta
AB, ou seja, reta a é o nome do objeto criado e definido como uma reta que
passa pelos pontos AB (Reta AB).
No caso do item 7 temos na coluna nome Ponto C e também de nome
Ponto D (aparentemente o software duplicou o número do item 7, isso ocorre
devido a definição ser a mesma) não se trata de qualquer ponto e sim de um
ponto de interseção de um círculo (d) com a reta c.
45
Na definição do item 8 (Reta e) definida pelo GEOGEBRA (Reta
passando por C e perpendicular a c), temos um código escrito e deve ser
decodificado, o que é C ( C maiúsculo) e c ( c minúsculo)? O C (C
maiúsculo) é um ponto e o c (c minúsculo) uma reta, assim a definição “Reta
passando por C e perpendicular a c” remete a uma reta que passa pelo
ponto C e é perpendicular à reta c.
O
GEOGEBRA
apresenta
uma
linguagem
de
codificação
que
aparentemente pode ser uma ferramenta favorável a uma aprendizagem
relacional e com alto nível de abstração. Aprendizagem relacional definido
pelas próprias ideias de suas palavras: aprendizagem – ato de aprender,
relacional – ato de relacionar.
Essa pesquisa utilizou o GEOGEBRA para trabalhar com o conteúdo de
Simetria Axial, uma vez que este software oferece ferramentas específicas de
Simetria com possibilidades de explorar várias funções, tais como:
 Reflexão em relação a uma reta;
 Reflexão em relação a um ponto;
 Reflexão em relação a um círculo (inversão);
 Rotação em torno de um ponto por um ângulo;
 Translação por um vetor;
 Homotetia dados centro e razão.
A figura 9 mostra as ferramenta de Simetria e as várias funções:
46
Figura 9 – Ferramenta de simetria.
Tomamos um exemplo de utilização da ferramenta “Reflexão em
relação a uma reta”, para desenhar o simétrico da Figura A em relação à reta
que passa pelos pontos DE, conforme mostra a Figura 10:
47
Figura 10 - Exemplo de utilização da ferramenta Reflexão em relação a uma reta
Os procedimentos utilizando a função do GEOGEBRA são:
 Primeiro selecione a ferramenta “Reflexão em relação a uma
reta”;
 Selecione a figura de vértice A, B e C;
 Clique na reta que passa pelos pontos DE.
A Figura 11 mostra a resolução do exemplo na janela de visualização do
software:
48
Figura 11 - Resolução do exemplo da ferramenta Reflexão em relação a uma reta.
Dependendo do objetivo do professor, a existência dessa função pode
prejudicar o trabalho conceitual da simetria e de suas propriedades, mas o
software permite que a mesma possa ser ocultada, assim como, qualquer outra
ferramenta que desejar.
Para ocultar uma ferramenta, basta selecionar o menu Ferramentas no
GEOGEBRA, optar pela ação Configurar Barras de Ferramentas, escolher a
ferramenta que deseja ocultar e clicar no botão remover, como mostra a Figura
12.
49
Figura 12 – Ocultar a ferramenta de reflexão.
Pode-se observar na Figura 13, em ambas as telas do GEOGEBRA, que
uma está com o botão Simetria visível, e pode ser acionado para utilizar as
várias funções e, que a outra, está sem a visualização do botão Simetria, ou
seja, o botão ficou oculto na tela.
Figura 13 - Comparação de tela do GEOGEBRA.
Conforme já mencionado, qualquer função pode ser ocultada. Esse
exemplo é uma alternativa que o professor pode utilizar dependendo de seus
objetivos pedagógicos, principalmente quando tiver a intenção de propiciar ao
aluno desenvolver a prática de programação.
50
No
próximo
capítulo
será
apresentada a
fase
de
diagnóstico
desenvolvida na Oficina de Simetria Axial para os professores da educação
básica participantes da pesquisa.
51
CAPÍTULO QUATRO – DIAGNÓSTICO
4.1. Oficina de Simetria – Fase de diagnóstico.
Para o diagnóstico foram utilizados dois instrumentos de coleta, o
primeiro contém dois questionários, sendo um de perfil (apêndice I), com
questões relacionadas à formação dos professores participantes com o uso das
TDIC tanto pessoal como profissional. Mais especialmente, sobre a prática
desenvolvida com os alunos e sobre as dificuldades de aprendizagem em
relação à simetria. O outro instrumento (apêndice II) foi constituído por um
conjunto de questões específicas de simetria axial, que visa saber como os
professores lidam com esse conteúdo na prática pedagógica.
Os dados do questionário do Perfil dos professores mostraram em
relação à situação funcional que seis professores lecionam no Ensino
Fundamental, seis no Ensino Médio e três professores nos dois tipos de
ensino. E em relação ao tempo de atuação, ou seja, de experiência em sala de
aula com alunos, seis professores atuam com mais de quinze anos de
experiência, seis até cinco anos e três nesse intervalo de tempo.
Quanto à formação acadêmica, os quinze professores têm curso
superior e, desses, apenas dois não possuem graduação em Matemática,
sendo graduados em administração e engenharia mecânica. Outro fato que
chamou atenção foi que desse grupo de professores, treze deles já
participaram de algum curso de formação continuada durante a sua trajetória
profissional.
Estes dados demonstraram que esse grupo possui experiências como
professores na educação básica e busca o aperfeiçoamento profissional
participando de cursos de formação continuada. Este fato se confirma pela
participação nas várias ações formativas desenvolvidas pelo Projeto do
52
Observatório da Educação, sendo uma destas ações o contexto em que esta
pesquisa se realiza.
Neste diagnóstico foi também constatado o tipo de uso que o grupo de
professores faz do computador, conforme mostra o gráfico 1.
Gráfico 1 - Uso do computador feito pelo grupo de professores
Observa-se nesse grupo de professores que é quase unânime o uso da
internet, mas é restrito em relação ao uso de aplicativos e softwares
educacionais. Especificamente, se tratando de planilhas eletrônicas, apenas
cinco professores utilizam esse recurso, fato que nos chamou atenção por ser
um aplicativo que possui recursos que envolvem manipulação de fórmulas
matemáticas.
Da mesma maneira, para o uso de softwares educacionais,
apenas quatro professores utilizam essa ferramenta, uma vez que existem
vários softwares voltados para área de matemática como, por exemplo,
GEOGEBRA, CABRI GEOMETRI, WINPLOT, FACTORE e outros simuladores
on-line.
Entendemos que existem várias causas que impedem e/ou dificultam o
uso de aplicativos e softwares educacionais na prática docente. Considerando
que a maioria do grupo, dez professores, não teve contato com o computador
durante a formação inicial, este fato pode ter influenciado, uma vez que o uso
dos recursos tecnológicos requer o desenvolvimento de novas práticas
53
pedagógicas. E isto não é simples, pois mudar a prática, muitas vezes, pode
tirar o professor de uma “zona de conforto”, como salienta BORBA;
PENTEADO (2001). Segundo esses autores, a “zona de conforto” é aquela em
que o professor sente que pode prever e controlar quase todos os eventos que
surgem na sua prática de sala de aula. Com a presença das TDIC na prática
pedagógica, fica mais difícil assumir atitudes previsíveis e de controle sobre o
encaminhamento da aula; muitas vezes o professor vivencia uma “zona de
risco”, pois precisa lidar com situações inusitadas.
Por essa razão é necessário propiciar cursos de formação continuada,
de modo que preparem o professor tanto para aprender a operacionalizar os
recursos do computador como para compreender as implicações pedagógicas
envolvidas.
4.2. Diagnóstico do aluno – na visão do professor
Em relação ao conhecimento pedagógico da Simetria Axial sete
professores reconheceram que os alunos apresentam dificuldades de
aprendizagem, seis professores indicaram que os alunos não têm dificuldades
e dois não souberam fornecer esta informação, conforme mostra o gráfico 2.
Gráfico 2 - Dificuldade dos alunos em relação à Simetria axial
54
Com o objetivo de saber dos professores participantes quais recursos
didáticos podem auxiliar na aprendizagem da Simetria, dez professores
responderam que existem softwares educacionais e cinco professores não
responderem essa questão. E, quando questionados se conhecem algum
software específico para o ensino e aprendizagem de simetria, treze
professores responderam desconhecer.
Nota-se que os professores reconheceram que existem dificuldades de
aprendizagem por parte dos alunos em relação à simetria e também
expressaram que o uso de software pode auxiliar nos processos de ensino e
aprendizagem. Entretanto, o que nos chamou atenção foi o fato da maioria
responder que acredita no potencial dos softwares mesmo sem conhecer
softwares destinados ao conteúdo matemático em questão.
Esse fato indica que possivelmente existe expressa uma crença já
arraigada no âmbito educacional de que softwares educacionais podem
contribuir nos processos de ensino e aprendizagem sem a devida
compreensão de suas potencialidades e restrições pedagógicas.
4.3. Diagnóstico do conteúdo de Simetria Axial – na visão do
professor
O segundo instrumento de diagnóstico se constituiu de algumas
atividades específicas sobre simetria a serem realizadas pelos professores.
Foi solicitado que os professores respondessem o número de eixos
simétricos de algumas figuras, como mostra as questões que seguem:
a) Quantos eixos de simetria tem um quadrado?
b) Quantos eixos de simetria tem um retângulo não quadrado?
c) Quantos eixos de simetria tem um paralelogramo não retângulo?
d) Quantos eixos de simetria tem um círculo?
55
A intenção destas questões era de conhecer o que os professores
sabiam sobre eixo simétrico.
Em relação aos eixos de simetria de um quadrado, houve três tipos de
resolução, conforme mostra o gráfico 3.
Gráfico 3 - Quantidade de eixos simétricos no quadrado
A maioria, nove professores, considerou que a figura do quadrado
apresenta apenas dois eixos simétricos, sendo um eixo horizontal e outro na
vertical.
Somente quatro professores responderam adequadamente, quatro eixos
simétricos e, estranhamente, dois professores consideraram existir um eixo
simétrico na horizontal, outro na vertical e um eixo na diagonal. Tais respostas
demonstraram que existem dúvidas sobre esse assunto.
Quanto aos eixos de simetria de um retângulo não quadrado, tivemos
dois tipos de respostas, conforme mostra o gráfico 4.
56
Gráfico 4 - Quantidade de eixos simétricos no retângulo não quadrado
Apesar de quatorze professores terem respondido adequadamente que
a figura do retângulo não quadrado possui dois eixos simétricos, esta
conclusão não surgiu prontamente. Houve um momento de discussão, fazendo
conjecturas e experimentações (dobrando a folha da atividade) para
certificarem suas respostas. Mesmo assim, um dos professores manteve sua
opinião de que a figura tem três eixos simétricos. Foi esse professor que
também identificou três eixos na figura do quadrado, mostrando com isso uma
compreensão equivocada dos eixos simétricos.
Na questão sobre a quantidade de eixos de simetria de um
paralelogramo não retângulo, nove professores responderam adequadamente
dois eixos simétricos, cinco não responderam essa atividade e um professor
respondeu que não existe eixo simétrico para essa figura, conforme o registro
na folha de atividade: “se não é retângulo não tem eixo de simetria”.
Considerando essa fala do professor e aqueles que não responderam a
questão, podemos interpretar que, possivelmente, esses professores tiveram
dificuldades para visualizarem a figura de um paralelogramo não retângulo.
Em relação ao eixo de simetria de um círculo houve quatro tipos de
respostas, conforme mostra o gráfico 5.
57
Gráfico 5 - Quantidade de eixos simétricos de um círculo
Somente dois professores responderam adequadamente que existem
infinitos eixos simétricos de um círculo, quatro professores responderam um
eixo, seis professores responderam dois eixos e três professores responderam
quatro eixos.
O grupo de professores que respondeu existir dois e quatro eixos
simétricos interpretamos que, possivelmente, os professores fizeram algum tipo
de relação equivocada com base nas atividades anteriores (eixos simétricos do
quadrado e do retângulo não quadrado).
Esse conjunto de questões envolvendo a quantidade de eixos simétricos
em diversas figuras mostrou que existem, por parte de alguns professores,
compreensões equivocadas que precisam ser revistas para que possam
explorar o conceito de simetria axial, através de diversos recursos na prática
pedagógica.
Para verificar a compreensão dos professores, sobre simetria axial, foi
apresentada uma questão aberta para que pudessem explicitar, por meio da
escrita, a sua compreensão incluindo exemplos.
58
Em relação a essa questão houve três tipos de respostas, conforme
mostra o gráfico 6.
Gráfico 6 - Questão sobre simetria axial
Somente
dois
professores
responderam
adequadamente,
nove
professores responderam de forma não adequada e quatro professores
responderam que não lembram.
Para exemplificar as respostas inadequadas dos professores, seguem
cinco protocolos e sua transcrição para uma melhor visualização:
Figura 14 - Protocolo do professor T
“Simetria em relação a um eixo fixado de acordo com sua referência,
conveniência, para mostrar um detalhe, um corte.” (transcrição do protocolo do
professor T).
59
Figura 15 - Protocolo do professor X
“Quando o lado são exatamente iguais, como por exemplo personalidades tem
a face/face do rosto exatamente iguais na simetria, ou seja a simetria axial”
(transcrição do protocolo do professor X).
Figura 16 - Protocolo do professor Y
“É uma isometria, segue abaixo três tipos: - Simetria pelo eixo de simetria; Simetria por rotação; - Simetria por translação” (transcrição do protocolo do
professor Y).
Figura 17 - Protocolo do professor W
“Projeção de pontos de uma figura para o outro lado (como se fosse espelho)”
(transcrição do protocolo do professor W).
60
Figura 18 - Protocolo do professor Z.
Nota-se nos protocolos das atividades dos professores que existem
compreensões frágeis e equivocadas sobre o conceito de Simetria Axial.
Esse fato nos instigou a fazer um levantamento com o grupo para saber
se o tema Simetria estava inserido no currículo de suas unidades escolares.
Quatorze professores responderam que esse conteúdo consta no currículo, os
professores do Ensino Fundamental responderam que Simetria aparece a partir
do sexto ano e os professores que lecionam no Ensino Médio explicitaram que
utilizam a simetria no estudo da função quadrática. Apenas um professor
respondeu que a simetria não fazia parte do currículo da escola.
Considerando que o conteúdo de simetria faz parte do currículo, foi feito
um levantamento de como os professores trabalhavam esse assunto com os
alunos, ou seja, quais recursos eram utilizados e que tipo de atividades eram
propostas. E as respostas foram agrupadas por similaridades:
 Com espelhos planos;
 Com imagens de pirâmides;
 Utilizando softwares educativos, folhas quadriculadas;
 Pontos opostos com o mesmo módulo;
 Reta numérica;
 Eixo que divide uma parábola no meio;
 Utilizando dominó
61
De fato, todos estes recursos apontados pelos professores podem ser
utilizados no ensino de simetria. Mas, em suas respostas não ficou claro como
o uso de tais recursos era feito, ou seja, não ficou esclarecido as dinâmicas e
estratégias pedagógicas.
Em suma, a fase de diagnóstico mostrou que esse grupo possui
experiências em sala de aula, mas não utiliza aplicativos e softwares
educacionais, apesar de expressar reconhecimento da sua importância como
ferramenta para o ensino e aprendizagem. Em relação à Simetria Axial não
ficou claro como é trabalhado com os alunos e quanto ao conhecimento do
conteúdo do professor sobre esse conceito há indícios de que existem
fragilidades e equívocos. A partir dessas constatações, foi elaborada e
desenvolvida a segunda fase da Oficina, envolvendo a intervenção do
formador-pesquisador.
No capítulo a seguir apresentamos as atividades propostas, suas
resoluções e as estratégias pedagógicas utilizadas incluindo o uso do software
GEOGEBRA.
62
CAPÍTULO CINCO – INTERVENÇÃO
5.1. Oficina de Simetria – Fase de intervenção.
Esta fase da Oficina, caracterizada de intervenção constituiu de
atividades com objetivos relacionados ao conceito de Simetria Axial, por meio
da exploração do uso de várias ferramentas concretas (réguas, compasso e
espelhos) e do software GEOGEBRA.
Durante as Oficinas foram apresentadas várias atividades para os
professores de forma gradativa, permitindo resoluções intuitivas, das quais
eram discutidas e analisadas no grupo visando a identificação e a
sistematização das propriedades da simetria axial.
5.2. Atividade um de intervenção
Como a metodologia da oficina se desenvolveu baseada nos elementos
de Design Experiment, a primeira atividade de intervenção resgatou uma
questão que foi trabalhada no questionário de diagnóstico relacionada à
quantidade de eixos de simetria de algumas figuras geométricas.
O objetivo foi de propiciar aos professores a identificação da quantidade
de eixos de simetria nas figuras do quadrado, do retângulo não quadrado, do
paralelogramo não retângulo e do círculo.
A estratégia utilizada foi de permitir aos professores a exploração de
materiais concretos, no caso, o espelho para que pudessem visualizar a
quantidade de eixos simétricos das figuras apresentadas.
As dúvidas mais recorrentes dessa atividade estavam em saber:

Se as diagonais de um quadrado são eixos de simetria?
63

E se as diagonais de um retângulo propriamente dito também são
eixos de simetria?
Para esclarecer essas dúvidas, os professores utilizaram os espelhos e
puderam confirmar visualmente que as diagonais do quadrado são eixos de
simetria e as diagonais do retângulo propriamente dito, não são eixos de
simetria.
Em relação às figuras paralelogramo não retângulo e o círculo, os
professores puderam certificar a quantidade de eixos de simetria existente e
também reconheceram que foi esclarecedora essa experiência com o uso do
espelho, porque permitiu fazer explorações relacionadas ao eixo simétrico.
Como essa experiência foi significativa para os professores, eles
imediatamente manifestaram que poderia ser uma estratégia interessante para
ser aplicada em sala de aula de modo a contribuir para a aprendizagem dos
alunos. Mas, logo em seguida perceberam que no contexto da escola o uso
dos espelhos não seria adequado, por uma questão de segurança, pois os
alunos poderiam se machucar com o manuseio dos espelhos.
Dando continuidade às atividades com o uso dos espelhos foi
apresentada uma nova situação como mostra a Figura 19:
Figura 19 - Atividade de eixo simétrico
Nessa atividade os professores, a partir do reconhecimento de que a
figura do círculo possui infinitos eixos, transportaram essa mesma ideia para a
64
resolução da atividade acima, ou seja, focaram apenas a figura do círculo e
não da imagem representada na figura 19. A resposta correta é que a figura
apresenta apenas um eixo de simetria, mas não foi essa a resolução da
maioria dos professores, mesmo utilizando o espelho. Nesse momento o
formador-pesquisador interveio pontualmente explicando o motivo de a imagem
ter apenas um eixo de simetria, conforme ilustra a Figura 20:
Figura 20 - Resolução com espelho
Embora a figura seja um círculo, a mesma apresenta uma parte de sua
área pintada (ranchurada), logo a propriedade de infinitos eixos simétricos para
um círculo não atende para essa figura. Provavelmente a dúvida dos
professores deve ter ocorrido pelo fato de estarem com o pensamento centrado
na certificação vista apenas dos eixos simétricos do círculo, não identificando
as propriedades de simetria, que vai além da visualização.
Considerando a necessidade de explorar e compreender as propriedades
de simetria, foi proposto para os professores um novo conjunto de atividades.
5.3. Atividade dois de intervenção
O objetivo foi de propiciar aos professores a vivência de situações que
valorizam a identificação das propriedades de figuras simétricas.
Para isto foi utilizada como estratégia a apresentação de algumas
figuras que deveriam ser complementadas, conforme consta no quadro 1.
65
Essas atividades poderiam ser feitas com apoio de materiais concretos, no
caso, papel, lápis e régua.
Quadro 1- Atividade de completar figuras
Nos itens 1 e 2 do quadro 1 de atividades, os professores resolveram com
facilidade, mas as resoluções dos itens 3 e 4, ao contrário, demonstraram
dificuldades. Possivelmente isto aconteceu devido à inclinação do eixo de
simetria.
Os procedimentos utilizados pelo grupo de professores valorizavam a
manipulação do objeto, dos quais dobravam as folhas para resolverem as
atividades. Mesmo sem a presença dos espelhos a dobradura simulava a
imagem refletida no papel, como mostra na Figura 21:
66
Figura 21 – Protocolo 1 de resolução da atividade de intervenção dois
A figura 22 mostra diferentes estratégias de resolução: uma delas, o
professor dobra a folha para ajudar a visualizar a parte complementar da figura
e, em outras, faz várias tentativas com o auxílio de régua, lápis e compasso.
Figura 22 - Protocolo 2 de resolução da atividade de intervenção dois
O procedimento de dobrar a folha na resolução da atividade se mostrou
funcional, porque ao dobrar a folha no eixo simétrico é possível marcar os
pontos simétricos refletidos, permitindo completar a figura. Mas esse método
não coloca na luz as propriedades, ou seja, as distâncias, os ângulos e retas
perpendiculares. A ação em dobrar a folha é concreta, no entanto, essas
propriedades permanecem ocultas e, logo, abstratas.
A ideia de dobrar a folha pode ser vista, a princípio como uma estratégia
interessante para resolver a atividade, mas é restrita porque não deixam
visíveis as marcações de ângulos, retas e medidas.
Outros professores que resolveram sem a ação de dobrar a folha
utilizando réguas e compassos se apoiaram apenas em uma das propriedades
“à distância”, não apresentando sucesso em suas resoluções.
67
Dessa forma foi necessário desenvolver outra atividade de intervenção
com a finalidade de propiciar aos professores identificar a existência de todas
as propriedades contidas na simetria axial.
5.4. Atividade três de intervenção
O objetivo dessa atividade foi semelhante da anterior, ou seja, de
propiciar aos professores a vivência de situações que valorizam todas as
propriedades simétricas, de forma mais direta e clara.
Foi utilizado um conjunto de três atividades, conforme mostra o quadro
2, para serem resolvidas utilizando duas diferentes estratégias: uma com o uso
de materiais concretos (folha de papel, régua, compasso) e, a outra, com o
software GEOGEBRA.
Quadro 2 - Conjunto de atividades da intervenção três
68
5.4.1. Resolução com o uso de materiais concreto
As atividades 1 e 2 apresentam duas figuras simétricas (figura A e figura
B) separadas por um eixo simétrico. A tarefa para os professores participantes
era de anotar suas observações acerca das propriedades geométricas
identificadas. A atividade 3 apresenta apenas a figura A e um segmento de reta
para que os professores possam construir a figura B simétrica à figura A.
Nota-se que nesse conjunto de atividades os professores puderam
identificar algumas propriedades de simetria, uma vez que as mesmas se
apresentavam de forma mais visível para essa situação. Assim os professores
puderam relatar suas observações, conforme mostram os registros dos
protocolos dos professores nas figuras 23 e 24 a seguir:
As Figura 23 e Figura 24, referem-se aos protocolos de dois professores
sobre a resolução da atividade 1 do quadro 2, juntamente com as transcrições
de suas anotações para melhor visualização:
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Figura 23 - Protocolo professor A da atividade de intervenção três do primeiro
conjunto.
- Distância através do eixo;
-Retas // nos feixes entre si;
- Perpendiculares ao eixo dado;
-Os ângulos se mantém;
-Se mantém as retas, inclinação, distância, perpendicularidades.
(transcrição do protocolo professor A).
70
Figura 24 - Protocolo professor B da atividade de intervenção três do primeiro
conjunto..
1- Pontos simétricos (A e A’) com igual distância do eixo IJ;
2- Linhas perpendiculares ao eixo IJ;
3- O mesmo procedimento acima para todos os pontos.
(transcrição do protocolo professor B).
Os registros nos protocolos dos professores A e B mostraram as
resoluções referentes à atividade 1 do quadro 2. Na resolução do professor A
(figura 23), identificamos que ele observou as relações das Retas // nos feixes
entre si, além das Distâncias através do eixo, das Perpendiculares ao eixo
dado e da manutenção dos ângulos.
A resolução do professor B (figura 24) evidencia que não foram utilizadas
as propriedades da medida do ângulo, a sua resolução se deu com base nas
distâncias dos pontos e da linha perpendicular em relação ao eixo.
Podemos perceber que as resoluções da atividade 1 (quadro 2) foram
próximas. O que causou certa estranheza para os professores foi a atividade 2
(motivo pela qual o eixo apresentava-se inclinado) a qual contribuiu para a
discussão e visualização da propriedade reta perpendicular em relação ao eixo
simétrico.
Em relação à atividade 3, a resolução do professor A (figura 25) mostrou
que foram utilizadas as propriedades observadas anteriormente nas atividade 1
71
e 2. Isso indica que o processo de observar a figura simétrica e identificar as
relações existentes auxiliou o professor a utilizar o pensamento mais
matemático, ou melhor, utilizar outras formas de resolver o problema. Nessa
resolução o professor A não fez o uso do procedimento de dobrar a folha de
papel para encontrar a figura simetria e sim utilizou as propriedades
geométricas mais visíveis, como mostra a figura 25 que segue:
Figura 25 - Protocolo professor A da atividade de intervenção três.
Ficou evidenciado que o conjunto das três atividades realizadas com o
uso de materiais concretos (papel, régua, compasso) nesta oficina durante a
fase de Intervenção, favoreceu ao grupo de professores a retomada de
conceitos geométricos por meio da exploração, experimentação e discussão de
ângulos e retas. Esse contexto de estudo em que o grupo de professores fez
registro dos procedimentos de resolução e pode discuti-los com os colegas e o
formador-pesquisador mostrou-se bastante propício para a utilização do
software GEOGEBRA, saindo da situação estática das figuras e entrando para
algo mais dinâmico, utilizando uma nova estratégia de ensino e aprendizagem.
72
5.4.2. Resolução com o uso do software GEOGEBRA.
O mesmo conjunto de atividades apresentado no quadro 2 foi trabalhado
com os professores participantes com o uso do softwares GEOGEBRA. Isto
porque o objetivo dessa pesquisa foi de verificar as potencialidades do uso do
GEOGEBRA nos processos de ensino e aprendizagem do conceito de simetria
axial.
Além disso, vale destacar que os professores tinham expectativas,
conforme constatado no diagnóstico, que o trabalho com o software poderia
auxiliar na aprendizagem dos alunos, embora ainda não tivessem feito o uso
dessa ferramenta. De fato, as pesquisas mostraram que o uso dessa aplicação
pode possibilitar o desenvolvimento de novas estratégias de aprendizagem por
meio da exploração dos recursos de movimento, visualização e simulação.
Considerando tais aspectos e o fato de os professores participantes não
terem familiaridade com o GEOGEBRA, inicialmente, ou seja, antes de
elaborarem as atividades do quadro 2, o formador-pesquisador propôs algumas
atividades exploratórias do software, tais como: ponto, retas, ângulos e os
movimentos. Nesse momento pontual de exploração não foi tratado do
conteúdo de simetria axial, pois a intenção foi apenas propiciar aos professores
o manuseio de alguns recursos do GEOGEBRA.
Assim, terminado o momento de exploração do software, o próximo passo
da intervenção foi a apresentação da proposta com as atividades do quadro 2
para serem feitas pelos professores participantes, agora usando o software
GEOGEBRA. No entanto, cabe ressaltar que o formador-pesquisador, como
tinha a intenção de trabalhar com o conceito de simetria axial integrado com a
tecnologia, usou como estratégia pedagógica ocultar o botão de simetria da
barra de menu do GEOGEBRA. Essa estratégia utilizada criava um novo
desafio para os professores, pois o fato da função não estar disponível, eles
teriam que explorar as ferramentas auxiliares, tais como retas, ângulos e
circunferências para resolver as atividades propostas (quadro 2).
73
A seguir, são apresentados dois protocolos da atividade 1 do quadro 2
(figura 26 e figura 27) realizadas pelos professores A e B. Salientamos que
foram os mesmos professores que realizaram a atividade elaborada no papel,
mas agora suas manipulações e anotações foram feitas com as ferramentas do
software GEOGEBRA.
Figura 26 - Protocolo professor A da atividade de intervenção três.
Na resolução da atividade, o Professor A utilizou das seguintes
ferramentas existentes no software:

Reta definida por dois pontos;
Após selecionar a ferramenta, o professor clicou em dois pontos e
o software traçou a reta;

Ângulos.
Após selecionar a ferramenta, o professor clicou em três pontos e o
software marcou no segundo ponto a medida do ângulo.
Na ferramenta ângulos, o professor A mencionou a praticidade do
GEOGEBRA em executar essa ação (“... nossa o programa além de marcar o
ângulo também já mostra o valor.”).
74
Figura 27 - Protocolo professor B da atividade de intervenção três
Na resolução da atividade, o Professor B utilizou das seguintes
ferramentas:

Segmento definido por dois pontos;
Após selecionar a ferramenta, o professor clicou em dois pontos e
o software traçou o segmento.

Círculo dados Centro e Um de seus Pontos.
Após selecionar a ferramenta, o professor clicou em dois pontos e
o software traçou o círculo.
O professor B destacou a facilidade em desenhar o círculo com o
software dizendo “...como é fácil fazer um círculo no GEOGEBRA”.
Houve comentário de outros professores de que o software também
poderia ajudar no ensino de geometria, uma vez que à falta de materiais
concretos por parte dos alunos.
Mas, o interessante nessa atividade foi de poder constatar e comparar a
resolução do professor A e do professor B, feita no papel e com o uso do
GEOGEBRA.
75
A figura 28 apresenta as duas resoluções feitas pelo professor A,
utilizando ferramentas diferentes, que apesar de o professor ter escrito as
propriedades simétricas com a utilização de lápis e régua, suas anotações
geométricas basearam-se em retas que passavam por alguns pontos,
enquanto com a utilização do GEOGEBRA nota-se visualmente a existência de
pontos marcados e medida dos ângulos, conforme mostra a Figura 28.
Figura 28 - Comparativo professor A
A figura 29 apresenta as duas resoluções feitas pelo professor B e mostra
poucas anotações geométricas feitas com papel e lápis. Esse fato pode indicar
que ele possivelmente relacionou os pontos simétricos e apresentou nomes
aos mesmos, enquanto que com a utilização do GEOGEBRA suas emendas
complementares foram maiores. Podemos observar que foram utilizadas as
seguintes ferramentas: pontos, segmentos de reta e circunferência (nesse caso
o software nomeia círculo), como mostra a Figura 29:
Figura 29 - Comparativo Professor B
76
Durante a resolução da atividade percebemos que a utilização do
GEOGEBRA não propiciou apenas maior detalhamento das observações e/ou
anotações das propriedades. Foi um momento em que ocorreram discussões
interessantes entre os participantes que expressavam suas hipóteses acerca
das possíveis resoluções, em especial quando utilizavam as possibilidades de
movimento que o software permite.
Os professores manusearam a figura virtualmente girando, alterando as
dimensões e observaram que as propriedades se mantêm. Esse uso do
software que permite fazer e desfazer, aumentar e diminuir, medir e conferir,
enfim, experimentar hipóteses acerca daquilo que pensam sobre um
determinado problema e receber o resultado na tela é que caracteriza o uso da
tecnologia na perspectiva de Papert (1994) e Valente (2002) sobre o pensar
com e pensar sobre aquilo que faz e produz.
Vivenciando essa nova forma de aprender, os professores demonstraram
estar envolvidos com a atividade, pois se sentiram desafiados e instigados para
compreenderem o processo de resolução da atividade diante do resultado que
visualizaram na tela do computador. Nesse momento, houve diversos
comentários, dentre eles, destacamos algumas falas:
“...com o software a formalização e a conceitualização é mais
rápido devido à possibilidade de movimento que o software
permite.” (Professor D).
“Estou achando incrível, pois com o software estou explorando e
ao mesmo tempo formalizando conceitos.” (Professor D).
“... no inicio tinha uma ideia de como fazer, mas quando vi o
resultado percebi que não era esse caminho, revi com minha
colega e chegamos a mesma conclusão que não poderia
alterar...” (Professor E)
77
Essas falas dos professores ilustram como a tecnologia pode ser utilizada
nas atividades pedagógicas de modo que o aprendiz sinta-se ativo e seja
construtor do conhecimento. Mas, para isto, é preciso ter atividades
problematizadoras que desafiem cognitivamente e, ao mesmo tempo, ter um
ambiente favorável para que possa mostrar e lidar com os erros, equívocos e
fragilidades como parte do processo de construção do conhecimento.
5.5. A programação e a simetria
Dando
continuidade
às
atividades
da
fase
da
intervenção
e
considerando o engajamento dos professores participantes com o uso do
GEOGEBRA foi proposta uma situação de aprendizagem bastante desafiadora.
Os professores deveriam criar um botão no software que ao ser clicado
pelo usuário, a sua função era de mostrar o simétrico do ponto em relação à
reta, conforme mostra a Figura 30:
Figura 30 - Atividade 1 no GEOGEBRA
Vale lembrar que embora já exista esse botão no GEOGEBRA, o mesmo
foi ocultado pelo formador-pesquisador, uma vez que o propósito dessa
atividade era de propiciar aos professores vivenciar situações que permita
transportar os conceitos de simetria axial para a linguagem de programação do
software.
Com a finalidade de construir um botão que ao clicar nele, mostra o
simétrico do Ponto A em relação a uma reta dada, os professores poderiam
78
criar uma relação com as propriedades exigidas e a linguagem de programação
do software.
Para isto foi necessário que o formador-pesquisador mostrasse a
codificação da linguagem matemática para a linguagem do software. A
dinâmica utilizada foi de resolver a atividade 1 no GEOGEBRA (figura 30) e
utilizando o flipsharp para mostrar à relação de ambas as linguagens, conforme
segue a Figura 31:
Figura 31 - Codificação da linguagem matemática para a linguagem do
GEOGEBRA
Quadro 3 - Script de resolução da atividade 1 do GEOGEBRA
s = perpendicular[r,A]
Uma reta s passando pelo ponto A sendo perpendicular a reta r.
p = intersecão[s,r]
Um ponto p na intersecção da reta s e r.
segmentoAP = segmento[A,P]
Um segmento chamado de segmento AP, com extremidades dos pontos A e
P.
79
Ressalto que a escrita da palavra circunferência nos textos acima não
pertence à linguagem do software, logo para que possamos ter as mesmas
ideias e funcionalidades no software, sua escrita deve ser círculo.
Ao executar o script (quadro 3), o programa realiza todos os comandos de
forma sequencial apresentando o ponto B, sendo simétrico ao ponto A em
relação à reta r.
Depois dessa relação e experimentação, os professores realizaram a
atividade 2 (Figura 32) com poucas interferências do formador-pesquisador,
pois era necessário utilizar os mesmos conceitos e ideias da orientação
apresentada anteriormente.
Figura 32 - Atividade 2 no GEOGEBRA
Além dos conhecimentos da Simetria Axial e da comparação ou
relacionamento dos conceitos matemático para a linguagem do software, é
necessário uma abstração dos acontecimentos para elaborar o script ou a
programação. Isto porque a escrita do programa ocorre sem a visualização do
efeito de cada procedimento descrito, ou seja, é necessário finalizar a escrita
de procedimentos para que seja executado o código elaborado. O quadro 4
mostra o script ou o código da resolução da atividade de programação do
GEOGEBRA elaborado por um professor:
80
Quadro 4 - Script de resolução da atividade 2 do GEOGEBRA
s = Perpendicular [A, r]
t = Perpendicular [B, r]
M = Interseção [r, s]
L = Interseção [r, t]
segmentoMA = Segmento [M, A]
segmentoLB = Segmento [L, B]
C_1 = Círculo [M, segmentoMA]
H_2 = Círculo [L, segmentoLB]
Y = Interseção [C_1, s]
Q = Interseção [H_2, t]
segmentoYQ = Segmento [Y_2, Q_2]
Assim, ao clicar no botão criado é executado o script do quadro 4, sendo
apresentado na janela de visualização um segmento Y2Q2 simétrico ao
segmento AB em relação a reta r, conforme mostra a Figura 33:
Figura 33 - Resolução da atividade 2 no GEOGEBRA
Para dar continuidade nas atividades de programação no GEOGEBRA, foi
proposta para os professores elaborarem em casa (fora do horário da Oficina)
a atividade 3 que se apresenta de forma semelhante a anterior (atividade 2),
apenas com um elemento mais complexo, pois a imagem da figura era de um
81
polígono convexo. Elemento mais complexo devido à exigência de maior grau
na abstração da resolução da atividade.
Vejamos um exemplo da atividade realizada pelo professor E na Figura
34. Observe que o professor denominou o botão como boto cor de rosas, isso
mostra que o professor percebeu que ele possui o controle, podendo atribuir
qualquer nome a esse botão.
Figura 34 - Resolução da atividade 3 no GEOGEBRA
Os conceitos matemáticos envolvidos na atividade 3 são os mesmos das
atividades 1 e 2, sendo: a perpendicularidade das retas, as mesmas distâncias
e os mesmos ângulos.
Por se tratar de uma figura com mais elementos
comparada com as atividades anteriores, existe a necessidade de trabalhar
com esses novos elementos, que aparentemente pode mostrar que a atividade
é mais complexa no teor matemático, mas verdade mostra maior grau de
abstração na programação.
82
Quadro 5 - Script de um professor da atividade 4 no GEOGEBRA
s = Perpendicular [A, r]
t = Perpendicular [B, r]
u=Perpendicular [C, r]
M = Interseção [r, s]
L = Interseção [r, t]
N = Interseção [r, u]
segmentoMA = Segmento [M, A]
segmentoLB = Segmento [L, B]
segmentoNC = Segmento [N, C]
C_1 = Círculo [M, segmentoMA]
H_2 = Círculo [L, segmentoLB]
G_3 = Círculo [N, segmentoNC]
Y = Interseção [C_1, s]
Q = Interseção [H_2, t]
O = Interseção [G_3, u]
segmentoOQ = Segmento [O_2, Q_2]
segmentoOY = Segmento [O_2, Y_2]
segmentoYQ = Segmento [Y_2, Q_2]
Polígono = Polígono [O_2, Y_2, Q_2]
Para descrever passo-a-passo a resolução da atividade, por meio da
linguagem de programação do GEOGEBRA, foi necessário escrever dezenove
linhas de comandos da linguagem, utilizando somente as propriedades
matemáticas de simetria. Isto significa que os professores tiveram que pensar
matematicamente nas propriedades envolvidas abstraindo e descrevendo a
sequência de ações para a execução do programa.
A atividade de programação mostra um tipo de uso da tecnologia nos
processos de ensino e aprendizagem que permite ao usuário (professores
nesse caso) ativamente colocar em ação suas hipóteses sobre aquilo que
pensa e sabe sobre a resolução do problema de acordo com a sintaxe da
linguagem computacional. Essa possibilidade de comandar e controlar o
83
programa propicia ao usuário sentir-se o que Papert (1985) denomina de
“empodeiramento” sobre o computador. Isto acontece quando o aprendiz
realiza atividades investigativas, baseadas em resoluções de problemas, mais
especificamente quando vivencia os princípios do construcionismo e reconhece
ser produtor do conhecimento.
Ao programar o computador fica evidenciado que o “saber fazer” para
resolver um determinado problema o usuário se depara com uma situação em
que é necessário representar o conhecimento de uma nova maneira e
expressá-lo via linguagem computacional. O “saber fazer” e o “saber
compreender” precisam caminhar juntos para que as relações entre as
linguagens (matemática e computacional), bem como as relações entre os
comandos sejam descritos de forma a produzirem o resultado esperado na tela
do computador.
Outro aspecto constatado pela reação dos professores durante as
atividades de programação foi o fato de como lidaram com o erro. Ao executar
os scripts depararam algumas vezes com o resultado diferente do esperado e,
isto causou surpresa e ao mesmo tempo indagações e questionamentos.
Nesses momentos o grupo começou a intensificar a discussão e a reflexão
sobre os conceitos envolvidos, debatendo suas conjecturas e buscando
compreender como poderiam encontrar as soluções mais adequadas para a
criação do botão de simetria.
Esse momento ficou bastante claro que os
professores participantes da pesquisa vivenciaram a espiral de aprendizagem,
explicitada por Valente (2002).
Ao final da fase de intervenção foi apresentado para os professores um
questionário visando conhecer como resolveriam uma atividade de criação de
botão sem digitar a sequência dos comandos da linguagem de programação do
GEOGEBRA, para que ficasse evidenciada a compreensão das propriedades
da simetria axial.
84
5.6. Questionário de utilização do GEOGEBRA
O objetivo desse questionário estava em saber como os professores
resolveriam uma atividade de criação de botão sem a utilização do
GEOGEBRA e após o trabalho com software na oficina, quais eram seus
entendimentos sobre a programação e a utilização dessa ferramenta para a
simetria axial.
A proposta da questão 1, Figura 35, envolve a escrita no papel de como
deveriam criar um botão que tivesse a função de achar o eixo simétrico de um
segmento de reta.
Escreva como devemos programar no software para achar o simétrico do
segmento AB em relação à reta r
Figura 35 - Atividade 1 do questionário de utilização do GEOGEBRA
A partir da questão colocada, os professores deveriam escrever o script
da resolução relacionando as propriedades do conceito de simetria axial e a
estrutura lógica da linguagem de programação, sem visualizar as funções
Pontos, Retas e Círculos que o software GEOGEBRA disponibiliza.
Alguns professores realizaram esta atividade fazendo a relação entre o
conceito matemático e a linguagem computacional, construindo fora do
computador a sequência de programação, como exemplificam os protocolos
dos professores A e B nas figuras 36 e 37 a seguir:
85
Figura 36 - Protocolo do professor A do questionário de utilização do
GEOGEBRA
Figura 37 - Protocolo do professor B do questionário de utilização do
GEOGEBRA
Esse processo mental é mais complexo, porque requer pensar nos
conceitos matemáticos envolvidos e, ao mesmo tempo, na forma de
representá-los, traduzindo-os na lógica da linguagem computacional.
86
Esse tipo de resolução foi feita apenas por alguns professores, pois a
maioria utilizou a descrição da resolução do problema na linguagem
matemática, como exemplificam os protocolos dos professores C e D nas
figuras 38 e 39 a seguir:
Figura 38 - Protocolo do professor C do questionário de utilização do
GEOGEBRA
Figura 39 - Protocolo do professor D do questionário de utilização do
GEOGEBRA
87
É importante destacar que essa antecipação da sequência de passos,
conforme mostraram os protocolos dos professores C e D, retratam a descrição
das propriedades do conceito de simetria axial, demonstrando que houve
compreensões do conteúdo matemático. Isto aconteceu numa situação de
aprendizagem que o usuário (nesse caso, o professor) estava envolvido com o
fato de ensinar o computador o conceito de simetria. A dificuldade apresentada
pelos professores se deu no processo de fazer a integração conteúdo
específico (matemático) e o tecnológico (linguagem de programação) que
requer a construção de uma lógica própria computacional. Quando isto ocorre
significa que houve a construção do conhecimento Tecnológico do Conteúdo
(TCK) enfatizado por Koehler e Mishra (2009) referindo-se a intersecção entre
os conhecimentos do Conteúdo Específico e Tecnológicos.
Entretanto, essa construção não é simples de ocorrer, principalmente
quando o conhecimento do conteúdo específico for pautado em resoluções que
envolvem apenas a memorização de fórmulas sem que se tenha a
compreensão conceitual do objeto matemático para poder saber representá-lo
de nova maneira e de forma articulada com outros saberes.
Assim, retomando as questões das atividades apresentadas para os
professores, ficou também evidenciado, quando foram questionados sobre qual
seria o maior nível de abstração: a linguagem matemática ou a linguagem de
programação. O professor C respondeu conforme o protocolo na figura 40, a
seguir:
Figura 40 - Protocolo do professor C na questão da linguagem
Para o professor C o maior grau de abstração está na articulação das
linguagens, o que implica, como já foi mencionado, uma nova forma de
representação do conhecimento. E sobre essa mesma questão, o professor D,
88
conforme protocolo da figura 41, reconhece que a programação requer
abstração do conceito matemático, mas que a passagem de uma linguagem
para outra (matemática - computacional) é mais difícil, devido ao não
conhecimento pleno da linguagem de programação.
Figura 41 - Protocolo do professor D na questão da linguagem
A transição de uma linguagem para a outra requer conhecimento de
ambas,
semelhante
à
representação
de
uma
função,
podendo
ser
algebricamente ou geometricamente, mas o fator de aprendizagem dessa
transição é o que prevalece.
Outra questão, depois de os professores terem escrito os procedimentos
da programação no papel e no ambiente computacional do GEOGEBRA, foi em
relação ao uso pedagógico do software para propiciar a aprendizagem da
simetria axial.
Essa questão tinha a finalidade de instigar aos professores a refletirem
sobre a experiência vivenciada na Oficina e se a mesma poderia ser
recontextualizada em suas práticas docentes, ou seja, se o uso do software
GEOGEBRA poderia contribuir para a aprendizagem dos alunos sobre a
simetria axial.
De uma forma geral o grupo manifestou que o uso do software
GEOGEBRA pode contribuir para aprendizagem do aluno, mas fez algumas
ponderações, tais como exemplificam os protocolos dos professores nas
figuras 42, 43 e 44.
89
Figura 42 - Protocolo do professor UM sobre a contribuição do GEOGEBRA
O professor Um reconheceu que a atividade pode contribuir, porque
requer a escrita, que na verdade é a descrição da resolução do problema que
se refere a explicitação daquilo que se entende com vistas a obter o produto
final. A explicitação envolve conhecer os conceitos matemáticos envolvidos e
saber representá-los na linguagem computacional.
O professor Dois, além de concordar que a programação leva a
abstração, relata a existência da relação criada entre cada comando com a
propriedade simétrica, situação que leva a realizar comparações de
representações. Também descreve uma opção de utilização, a verificação se
duas figuras são simétricas por meio de propriedades, como mostra o protocolo
na figura 43 a seguir:
Figura 43 - Protocolo do professor DOIS sobre a contribuição do GEOGEBRA
O professor Três não destacou a programação, mas valoriza a
característica dinâmica do GEOGEBRA e o saber conceitual da simetria, como
mostra o protocolo na figura 44 a seguir:
90
Figura 44 - Protocolo do professor TRÊS sobre a contribuição do GEOGEBRA
Essa constatação no momento em que a tônica era a programação nos
dá um indício de que a reflexão desse professor estava centrada nas
características e nas potencialidades dos recursos do GEOGEBRA. De fato
suas características, permitindo
o
movimento
da figura
ampliam
as
possibilidades de olhar e analisar os detalhes e as diferentes perspectivas,
oportunizando a visualização e a compreensão das propriedades da figura.
O professor Quatro reconheceu que o uso do software pode contribuir
para a aprendizagem do aluno. No entanto, a sua estratégia de ensino não
espelha a vivência que teve durante a Oficina. Podemos perceber como mostra
o protocolo da figura 45 que o professor pretende explicar passo-a-passo para
o aluno, ao invés de propiciar ao aluno vivenciar a espiral de aprendizagem.
Figura 45 - Protocolo do professor QUATRO sobre a contribuição do
GEOGEBRA
Esta situação mostra que até esse momento da Oficina, provavelmente
não tenha ocorrido a construção do conhecimento do TPACK (Technology,
Pedagogy and Content Knowledge) na perspectiva dos autores Koehler e
Mishra (2009), que enfatiza a sua ocorrência pela intersecção desses três
conhecimentos: Conteúdo, Tecnológico e Pedagógico do Conteúdo. Para tanto,
o professor precisa:
91

Saber o conteúdo: o conceito matemático envolvido indo além das
definições, fórmulas e resoluções padronizadas;

Saber tecnológico: o que determinado software permite, no caso do
GEOGEBRA, tanto em termos da visualização de conceitos e
propriedades como das novas formas de representação, o que
implica conhecer a lógica e a sintaxe da programação;

Saber pedagógico: as estratégias didáticas adequadas (saber
como o aluno aprende, quais são seus conhecimentos prévios e
suas dificuldades) para que o aluno compreenda e construa
conhecimento.
Embora o conhecimento Tecnológico, Pedagógico do Conteúdo na
perspectiva do TPACK seja necessário, o que ficou evidenciado durante a
Oficina de Simetria na fase de diagnóstico foi a fragilidade do conhecimento do
conteúdo. Na fase de intervenção essa fragilidade foi superada, por meio das
várias
atividades
desenvolvidas
pelos
professores.
Essas
atividades
proporcionaram aos professores se envolverem e experenciarem novas formas
de aprender usando materiais concretos e, principalmente, manipulando os
recursos tecnológicos do GEOGEBRA e as propriedades da Simetria.
Esse processo de aprendizagem e de (re)construção do conceito de
Simetria se desenvolveu de forma interativa no grupo e com o formadorpesquisador, favorecendo a explicitação de conjecturas, de estratégias de
resolução,
de
reflexões
sobre
as
compreensões
equivocadas
e
de
compartilhamento de novas descobertas, mostrando com isso que a integração
entre o conteúdo específico e os recursos tecnológicos por meio da atividade
de programação contribuiu para a formalização do conceito de simetria axial.
92
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O
uso pedagógico das Tecnologias Digitais da
Informação e
Comunicação - TDIC na Educação Básica ainda é algo inovador, em fase de
apropriação, tanto dos recursos tecnológicos como na forma de integrar esses
recursos aos conteúdos curriculares.
O avanço das TDIC caminha muito rápido e cada vez mais se torna
disponível uma grande diversidade de softwares educacionais, sendo muitos
deles gratuitos, favorecendo a sua utilização no contexto escolar. Entretanto, o
seu uso ainda é restrito nos processos de ensino e aprendizagem e este fato
não se justifica pela dificuldade de acesso às TDIC.
O problema é que para utilizar um determinado software educacional
não basta ter o acesso, é necessário saber operacionalizar e compreender
suas potencialidades pedagógicas e como fazer essa integração das TDIC aos
conteúdos curriculares. A importância dessa integração vem sendo enfatizada
por vários autores pelo fato dessas tecnologias digitais não serem vistas
apenas como mais uma ferramenta pedagógica, mas pelo seu papel enquanto
estruturante na forma de pensar, de comunicar e de representar o
conhecimento (ALMEIDA; VALENTE, 2011).
A questão, portanto, que norteou o desenvolvimento dessa pesquisa foi
de verificar quais são as potencialidades do software GEOGEBRA para
trabalhar com o conceito de Simetria Axial junto a um grupo de professores da
Educação Básica que participam do Projeto do Observatório da Educação.
Para isto, foi realizada uma Oficina com a intenção de propiciar aos
professores participantes aprenderem a utilizar o software GEOGEBRA tendo
como foco a conceitualização do conteúdo matemático, nesse caso de Simetria
Axial. As ações formativas foram organizadas em duas fases, sendo a primeira
de diagnóstico e, em seguida a de intervenção.
93
Na fase de diagnóstico ficou evidenciada a existência de compreensões
equivocadas sobre o conteúdo de Simetria por parte de alguns professores.
Diante dessa constatação a fase de intervenção se desenvolveu explorando
atividades de Simetria utilizando materiais concretos e digitais presentes no
software GEOGEBRA.
O fato de os professores terem explorado as características do
GEOGEBRA, permitindo que Retas, Ponto e Figuras fossem manipuladas e
suas propriedades mantidas, trouxe à tona no coletivo do grupo vários
questionamentos e conjecturas, as quais demonstravam ora esclarecedoras de
compreensões equivocadas, ora afirmativas das hipóteses e dos argumentos.
Nesses momentos os professores sentiam instigados a conhecer mais
detalhadamente as possibilidades do software GEOGEBRA. Mostrando uma
grande riqueza no movimento existente do trabalho concreto ao Digital.
Essa pesquisa mostrou que a atividade de programação do software
GEOGEBRA requer do usuário (nesse caso, o professor) abstração, pois para
descrever a sequencia de resolução de um determinado problema, é preciso
antecipar o efeito de cada comando e em relação ao outro comando,
integrando as propriedades do objeto matemático envolvido no problema na
lógica computacional.
Em outras palavras, pode-se dizer que na atividade de programação
ocorre a relação do CODEC (Codificação e Decodificação), a todo momento
existe uma translação da codificação e decodificação, a linguagem matemática
sendo codificada para a linguagem do software e ao escrever a linguagem do
software entender a linguagem matemática e suas representações.
Uma situação forte evidenciada na Oficina foi a criação do Botão de
Simetria. Essa estratégia didática utilizada confirmou o potencial da atividade
de programação, pelo seu caráter reflexivo, de “empodeiramento” do homem
sobre o computador. Essa ideia da atividade de programação, defendida por
Papert e Valente, constituir-se em uma situação rica de aprendizagem em que
94
o usuário (professor, aluno) pode aprender-fazendo, vivenciado a espiral de
aprendizagem que precisa ser revista nas práticas pedagógicas escolares.
Mas para isto as TDIC precisam ser vistas e tratadas de forma integrada
ao currículo. Essa visão nos remete ao TPACK que representa a intersecção
de três diferentes conhecimentos como sendo necessária para o professor
atuar com as TDIC nos processos de ensino e aprendizagem.
A análise dos dados da pesquisa mostrou que houve a intersecção entre
dois diferentes conhecimentos – conteúdo específico e o tecnológico,
viabilizado pela atividade de programação. Mas o conhecimento pedagógico
não foi enfatizado na Oficina devido às fragilidades encontradas e que foram
sendo superadas em relação ao conhecimento específico.
Enfim esse entendimento do conhecimento profissional do professor e
da sua complexidade indica que os processos formativos precisam ser
repensados criando estratégias e abordagens que permitem vivenciar novas
dinâmicas de aprendizagens com o uso das TDIC e a compreender suas
potencialidades para que possa reconstruir a sua prática pedagógica.
95
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100
Apêndice I – Questionário de Perfil.
QUESTIONÁRIO
01. Dados pessoais:
Nome:
____________________________________________________________________
E-mail:
____________________________________________________________________
02. Situação funcional:
Escola
onde
leciona:
__________________________________________________
Níveis de Ensino que leciona:( ) E.F – I ( ) E.F – II ( ) E.M
03. Formação Acadêmica:
Graduação:
Sim (
)
Não (
)
Curso:
_____________________________________________________________
Participou de cursos após sua graduação: Sim (
)
Não (
)
Quais:
04. Em relação ao computador, você utiliza: ( ) Não uso. ( ) Até uma vez por
semana. ( ) Raramente. ( ) Frequentemente.
05. Ações que utiliza o computador: ( ) Internet. ( ) Editor de texto. ( ) Planilha
eletrônicas. ( ) Softwares educacionais.
06. Há quanto tempo você atua como professor?
07. O conteúdo de simetria apresenta alguma dificuldade de compreensão para os alunos?
Quais?
08. Quais recursos didáticos você acredita que possa auxiliar a aprendizagem de simetria?
Por quê?
09. Você conhece algum software que pode ser utilizado para o ensino e aprendizagem de
Simetria?Sim (
)
Não (
)Quais?
Você já utilizou algum?
10. Na graduação, teve contato com algum software educacional?Sim ( )Não (
)Quais:
101
Apêndice II – Questionário de Diagnóstico
1. Responda as questões a seguir.
Observação: use os espaços em branco para fazer figuras, caso você julgue conveniente ;
Não apague essas figuras
a) Quantos eixos de simetria tem um quadrado?
b) Quantos eixos de simetria tem um retângulo não quadrado?
c) Quantos eixos de simetria tem um paralelogramo não retângulo?
d) Quantos eixos de simetria tem um círculo?
2. Como você explicaria a noção de simetria aos seus alunos?
3. O tema simetria faz ou fez parte do currículo de Matemática de sua
escola? Em caso afirmativo, em qual ano?
4. O que é simetria axial? Dê exemplos.
5. Obtenha o quadrilátero simétrico ao da figura pela reta r
102
Apêndice III – Conjunto de Atividade I
Imaginando que o segmento de reta AB é um espelho, complete as figuras.
1.
2.
3.
4.
103
Apêndice IV – Conjunto de Atividade II
O que podemos observar das figuras simétricas ao segmento IJ?
Obtenha a imagem simétrica da figura A com relação ao segmento IJ
104
Apêndice V – Questionário de utilização do software
1 - Escreva como devemos programar no software para achar o simétrico do
segmento AB em relação à reta r
2 - A utilização do software pode contribuir para o aprendizado dos conceitos
de simetria axial? Comente sua resposta.
3- Quando usamos a ferramenta de programação, “criar um botão”, ocorreram
duas situações, a linguagem do software e o conceito matemático, nessa
atividade qual das duas situações houve maior grau de abstração?
4 - Se o aluno não tiver o conhecimento do conceito de simetria axial, ele
conseguiria programar? Comente sua resposta