PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - SETEMBRO DE 2010.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E
ADRIANO CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
QUESTÕES DE 01 A 09.
Assinale as proposições verdadeiras, some os valores obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas.
01. Os dados da tabela ao lado a seguir referem-se aos
alunos matriculados nas duas turmas de um curso de Inglês.
HOMENS
35
10
Turma A
Turma B
MULHERES
15
20
Com base nesses dados, é correto afirmar:
(01) A probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, encontrarmos um homem é 56,25%.
(02) A probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, encontrarmos uma mulher ou um aluno da turma B é
81,25%.
(04) A probabilidade de, sorteando-se três alunos da turma B, encontrarmos um homem e duas mulheres é de
aproximadamente 16,6%.
(08) O número de duplas que podem ser formadas apenas com mulheres é igual a 595.
(16) O número de comissões que podem ser formadas com duas mulheres de cada turma é igual a 295.
(32) Se os Homens da turma B vão disputar uma prova de atletismo onde não há possibilidade de empate entre dois
concorrentes então o número de resultados possíveis para esta disputa considerando apenas os três primeiros
lugares é 720.
RESOLUÇÃO:
Turma A
Turma B
TOTAL
HOMENS
35
10
45
MULHERES
15
20
35
TOTAL DE ALUNOS
50
30
80
(01) VERDADEIRA.
Seja E o conjunto de todos os alunos do curso, então, n(E) = 80.
O número de homens matriculados no curso é n(H) = 45.
Logo a probabilidade de, sorteando-se um aluno deste
n (H ) 45
=
= 0,5625 = 56,25% .
n (E) 80
curso,
encontrarmos
um
homem
é:
(02) FALSA.
Representando por M∪B, a união dos conjuntos de alunos da turma B com o conjunto de mulheres que frequentam o
curso, tem-se n(M∪B) = n(M) + n(B) – n(M∩B) = 35 + 30 – 20 = 45.
Assim a probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, encontrarmos uma mulher ou um aluno da turma B é
n (M ∪ B) 45
=
= 0,5625 = 56,25%
n (E )
80
(04) FALSA..
A probabilidade de, sorteando-se três alunos da turma B, encontrarmos um homem e duas mulheres é de
aproximadamente 16,6%.
O universo desta questão é o conjunto dos alunos da turma B, n(B) = 30
30 × 29 × 28


Sorteando–se ao acaso 3 alunos dessa turma, existem  C 30,3 =
= 5 × 29 × 28  maneiras diferentes de
3 × 2 ×1


fazer esse sorteio.
20 × 19


Nesse total de ocorrências, existem  C10,1 × C 20,2 = 10 ×
= 1900  maneiras distintas de encontrarmos um
2 ×1


homem e duas mulheres.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
A probabilidade pedida é:
C10,1 × C 20, 2
C 30,3
=
1900
95
=
= 0,4680 = 46,8%
140 × 29 203
(08) VERDADEIRA.
35 × 34


O número de duplas que podem ser formadas apenas com mulheres é igual a  C 35,2 =
= 595  .
2


(16) FALSA.
HOMENS
MULHERES
TOTAL DE ALUNOS
35
15
50
Turma A
10
20
30
Turma B
45
35
80
TOTAL
O número de comissões que podem ser formadas com duas mulheres de cada turma
é igual a
15 × 14 20 × 19


×
= 105 × 190 = 19950  .
 C15, 2 × C 20,2 =
2
2


(32) VERDADEIRA.
Se os Homens da turma B vão disputar uma prova de atletismo onde não há possibilidade de empate entre dois
concorrentes então
Como a turma B tem 10 homens, o número de resultados possíveis para esta disputa considerando apenas os três
primeiros lugares é 10 × 9 × 8 =720.
02.
Na figura está representado um círculo tangente externamente, nos pontos M e N, à reta r e ao triângulo equilátero de lado
l = 4 3 cm. Sabe-se que a altura do triângulo equilátero tem a mesma medida do diâmetro do círculo.
Pode-se afirmar que:
(01) A altura do triângulo equilátero mede 6cm.
(02) O ângulo MÂN mede 150°.
(04) A medida do raio do círculo é igual a
(08) AM =
2 3 cm.
3 cm.
(16) A área do quadrilátero OMAN é igual a 3 3 cm².
(32) A área do círculo é 125% a mais que a área do círculo inscrito no triângulo equilátero.
RESOLUÇÃO:
FIGURA I
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
FIGURA II
2
(01) VERDADEIRA.
Na figura I, fixando o triângulo retângulo BCH , tem-se: h = 4 3 × sen 60° = 4 3 ×
3
=6.
2
(02) FALSA.
O ângulo MÂN (figura I ) é externo ao triângulo eqüilátero ABC, logo ele mede 180° – 60° = 120°.
(04) FALSA.
Sendo o diâmetro do círculo congruente à altura do triângulo ABC, então medida do raio do círculo é igual a 3cm.
(08) VERDADEIRA.
No triângulo retângulo OMA (figura I) , OM = 3 e MÂO = 60°, logo:AM = OM × cot g60° = 3 ×
3
= 3,
3
(16) VERDADEIRA.
 AM × OM 
O quadrilátero OMAN é formado por dois triângulos congruentes, assim sua área é: 2
 = 3 × 3 = 3 3 cm².
2


(32) VERDADEIRA.
Na figura II, o triângulo eqüilátero ABC é circunscrito ao círculo de centro O’, então sua altura equivale ao triplo do raio.
Então 3r = 6cm ⇒ r = 2cm.
A área do círculo tangente externamente ao triângulo é S1 = 9π cm² e a do círculo inscrito no triângulo é S2 = 4πcm².
S1 9π
=
⇒ S1 = 2,25S2 = S2 + 1,25S2
S2 4π
03. A figura representa um cubo de aresta a = 6cm.
É verdade que:
(01) Existem, exatamente, 4 arestas contidas em retas reversas à reta que contém a aresta
CG .
(02) A diagonal do cubo é igual a 4 3 cm.
(04) A área da esfera circunscrita ao cubo é igual a 108π cm².
(08) Toda pirâmide com vértice no plano EFG e base ABCD tem volume igual a 72cm³.
(16) A área lateral do cone circular reto inscrito nesse cubo é igual a 9π 5 cm².
(32) Prolongando a aresta AB obtém-se o ponto M tal que BM = 2cm. Então, HM= 2 26 cm
RESOLUÇÃO:
01) VERDADEIRA.
Analisando a figura ao lado pode-se concluir que existem exatamente quatro retas
( AB, AD, EF e EH ) reversas à reta CG .
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
3
(02) FALSA.
Do triângulo retângulo ABD : BD =
36 + 36 = 72 = 6 2 .
Do triângulo retângulo HBD : BH =
36 + 72 = 108 = 6 3 cm.
(04) VERDADEIRA.
Da resolução do item acima: BH = 2R = 6 3 ⇒ R = 3 3 cm.
2
( )
S = 4πR² = 4π 3 3 = 108π
(08) VERDADEIRA.
Toda pirâmide com vértice no plano EFG e com base ABCD tem a mesma altura
6cm (comprimento da aresta do cubo) e área da base medindo 36cm². Assim o
36 × 6
volume de qualquer uma dessas pirâmides é: V =
= 72
3
(16) VERDADEIRA.
No triângulo retângulo VOM: VM ² = OM ² + VO² ⇒ g ² = 3² + 6² ⇒
g = 45 = 3 5 .
A área lateral do cone é determinada pela S =π Rg= π × 3 × 3 5 = 9 5 π cm².
(32) FALSA
Do triângulo retângulo AMD : DM =
AD 2 + AM 2 = 36 + 64 = 100 = 10 .
Do triângulo retângulo HMD : MH =
36 + 100 = 136 = 2 34 cm.
04. Considere um empréstimo de um capital de R$2.000,00 a uma taxa mensal de 5%. Nessas condições, é correto afirmar:
(01) Se for considerada a capitalização simples, o montante F(n), expresso em reais, ao final de n meses, será dado por
F(n) = 2000 (1+ 0,05n).
(02) Ao final de dois meses, o valor dos juros na capitalização composta será igual a R$205,00.
(04) Na capitalização composta, o montante G, expresso em reais e dado em função do número n de meses, pode ser
representado pelo gráfico abaixo.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
4
(08) Se for considerada a capitalização simples, a sequência dos montantes mensais será uma progressão aritmética de
razão R$100,00.
(16) Se a capitalização for composta, o capital dobrará em menos de 20 meses.
(Considere log2 = 0,301 e log1,05 = 0,021
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
F(n) = C + C × i × n = C( 1 + i × n ) ⇒ F(n) = 2000 (1+ 0,05n).
(02) VERDADEIRA.
Na capitalização composta, j = C× (1 + i)n – C = [ ((1 + i)n – 1].
J = 2000(1,05² – 1) = 2000(1,1025 – 1) = R$205,00.
(04) FALSA.
O gráfico do montante G(n) = 2000 × 1,05n , expresso em
reais e dado em função do número n de meses, pode ser
representado pelo gráfico ao lado.
(08) VERDADEIRA.
F(n) C( 1 + i × n )
0
1
2
3
meses
2.000
F(1) = 2000 (1,05)=2100
F(1) = 2000 (1,1)=2200
F(1) = 2000 (1,15)=2300
F(n)
Analisando a tabela acima percebe-se que os valores dos montantes formam a sequência:
(2000, 2100, 2200, 2300, 2400, ...) que é uma progressão aritmética de razão R$100,00.
(16) VERDADEIRA.
2000 ×1,05n > 4000 ⇒ 1,05n > 2 ⇒ n × log1,05 > log 2 ⇒ n >
n>
log 2
⇒
log1,05
0,301
≅ 14,333 ⇒ 14 < n < 20 ⇒ n = 15
0,021
05. Considere a sequência: (bn) = (a, 2a + x, 3a + 2x, 4a + 3x,.....)
É verdade que:
(01) (bn) é uma PA de razão r = x + a..
(02) O vigésimo termo dessa sequência é 21a + 20x..
(04) A soma dos 20 primeiros termos dessa sequência é 10(21a + 19x).
(08) Se a = 1 e a soma dos 20 primeiros termos for igual a 305, então x =
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
5
1
..
2
....
.....
(16) Se a = 1 e x = 2, então a soma dos primeiros termos que são menores que 60 é igual a 590.
(32) Se (bn) possui 25 termos, então seu termo central é igual a 12a +11x.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
2a + x – a = 4a + 3x – (3a + 2x) ⇒ a + x = a + x = r.
(02) FALSA.
Como an = a1 + r(n – 1) ⇒ a20 = a + 19(x + a) = 20a + 19x.
(04) VERDADEIRA.
(a + a n ) r ⇒ S = (a + 20a + 19x )20 = 10(21a + 19x )
Sendo Sn = 1
20
2
2
(08) VERDADEIRA.
S20 = 10(21a + 19x) ⇒ 10(21 + 19x) = 305 ⇒ 2(21+19x) = 61 ⇒ 42 + 38x = 61 ⇒ 38x = 19 ⇒ x =
(16) VERDADEIRA.
an = a + (n – 1)(x + a) , fazendo a = 1 e x = 2 ⇒ an = 1 + (n – 1)(3) ⇒ an = 3n – 2
62
⇒ n < 20,666.... ⇒ n = 20.
3
(1 + 58)20 = 590
a1 = 1 e a20 = 3 × 20 – 2 = 58 ⇒ S20 =
2
3n – 2 < 60 ⇒ n <
(32) FALSA.
Se (bn) possui 25 termos, então seu termo central é o termo de ordem
25 + 1
= 13 .
2
a13 = a + (13 – 1)(a + x) = a + 12a + 12x = 13a + 12x.
06. Sobre plano cartesiano, produto cartesiano , relações binárias e funções, é verdade que:
(01) Se o ponto P(m – 3; 2m – 4) pertence ao eixo das abscissas então m = 3.
(02) A área da região que representa graficamente o conjunto
{(x; y) ∈ R2 / 2 ≤ x ≤ 7 , 0 ≤ y ≤ 5 e y ≤ x } é 20,5 u.a.
(04)
A representação gráfica do produto cartesiano [2; 6[×{3; 5} é
(08) O domínio da relação W = {(x; y) ∈ N × N / x + 3y = 20} possui apenas 7 elementos.
(16) A imagem da relação binária real definida pela sentença y =
x2 + 2
é R*+.
x2
(32) Se f(g(x)) = 4x2 – 10x + 5 e g(x) = 2x – 5, então a soma dos coeficientes de f(x) é igual a 13.
(64) Se f(x) = x2 – 2x e g(x) =
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2x
4x
, então f(g(x)) = 2
.
x −1
x − 2x + 1
6
1
.
2
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
Se o ponto P(m – 3; 2m – 4) pertence ao eixo das abscissas então 2m – 4 = 0 ⇒ m = 2.
(02) VERDADEIRA.
Representando o conjunto {(x; y) ∈ R2 / 2 ≤ x ≤ 7 , 0 ≤ y ≤ 5 e y ≤ x } no plano
cartesiano, tem-se o pentágono ABCDEF ao lado cuja área é:
(5 + 2) × 3 = 10 + 10,5 = 20,5 .
SABCF + SCDEF = 5 × 2 +
2
(04) VERDADEIRA.
A representação gráfica do produto cartesiano [2; 6[×{3; 5} é a interseção das duas
retas y =5 e y = 3 com a região retangular determinada pelo intervalo [2; 6[.
(08) VERDADEIRA.
20 − x
∈ N.
3
Pelo preenchimento da tabela ao lado, se conclui que o domínio
da relação W = {(x; y) ∈ N × N / x + 3y = 20} é o conjunto
{2, 5, 8, 11, 14, 17, 20} que possui 7 elementos.
De x + 3y = 20 ⇒ 3y = 20 – x ⇒ y =
x
2
5
8
11
14
17
20
y=
20 − x
3
9
5
4
3
2
1
0
(16) A imagem da relação binária real definida pela sentença y =
Trocando o x pelo na relação y =
x=
x2 + 2
é R*+.
x2
x2 + 2
:
x2
y2 + 2
2
2
⇒ xy 2 = y 2 + 2 ⇒ (x − 1)y 2 = 2 ⇒ y 2 =
⇒y=±
2
x −1
x −1
y
O domínio da relação y = ±
2
x2 + 2
, {x ∈ R; x >1} é o conjunto imagem da relação y =
.
x −1
x2
(32) FALSA.
f(g(x)) = 4x2 – 10x + 5 e g(x) = 2x – 5 ⇒ f(2x – 5) = 4x2 – 10x + 5.
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7
Fazendo 2x – 5 = X ⇒ 2x = X + 5 ⇒ x =
X+5
. Substituindo este valor de x na igualdade f(2x – 5) = 4x2 – 10x + 5:
2
(
2
)
4 X 2 + 10X + 25
 X +5
 X +5
f(X) = 4
− 5X − 25 + 5 ⇒ f(X) = X2 +5X+5.
 − 10
 + 5 =⇒ f(X) =
2
2
4




Pode-se agora escrever: f(x) = x2 +5x+5. Então a soma dos coeficientes de f(x) é 11 e não 13.
(64) VERDADEIRA.
2
Se f(x) = x2 – 2x e g(x) =
f(g(x)) =
2x
 2x   2x 
 2x 
, então f(g(x)) = f 
=
 − 2
 ⇒
x −1
 x −1  x −1
 x −1
4x
4x 2
4x
4x 2 − 4x (x − 1)
−
=
= 2
.
2
2
x −1
( x − 1)
x − 2x + 1
(x − 1)
07.
As regiões hachuradas são quadrados cujas áreas são os termos de uma sequência infinita (an).
Sendo l o lado do primeiro quadrado, é verdade que:
(01)

l2 l2 
(an) =  l 2 , , , ...  .
4 16 

(02)
O termo geral de (an) é a n = 2 2−2 n × l 2 .
(04)
(08)
Se o produto dos 10 primeiros termos de (an) é igual a 415, então l > 65 .
Supondo l = 4 , o número de termos de (an) maiores que 4 −10 é igual a 12.
(16)
Se
(32)
O limite da soma dos termos de ordem ímpar de (an) é igual a
a 5 = l m e a 25 = l n , então a15 = l
m+ n
2
.
16 2
l .
15
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
A sequência das áreas representadas pelas regiões hachuradas realmente formam a sequência infinita

l2 l2 l2 
(an) =  l 2 , , , ,... .
4 16 64 

(02) VERDADEIRA.

l2 2 1
l2 l2 l2 
A razão da PG  l 2 , , , ,... é: q =
÷l = .
4 16 64 
4
4

1
O termo geral de (an) é a n = l 2 ×  
4
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n −1
n −1
( )
= l 2 × 2 −2
= 2 2− 2 n × l 2 .
8
(04) FALSA.
O produto dos n primeiros termos de uma PG é dado por uma das duas fórmulas Pn = a 1n × q
Usando a fórmula Pn = a 1
n (n −1)
n
×q 2
1
⇒ l × 
4
( )
2
10 (10 −1)
2
45
( )
= l 2 × 2 −2
n (n −1)
2
e Pn =
(a1 × a n )n
.
= 2 −90 l 2
2 −90 l 20 = 415 ⇒ 2 −90 l 20 = 230 ⇒ l 20 = 2120 ⇒ l = 2 6 = 64 < 65
(08) VERDADEIRA.
O termo geral da PG em questão é a n = 2 2 − 2 n × l 2 . Substituindo
2 -10
( )
2 2−2 n × 16 > 4 -10 ⇒ 2 2−2 n × 2 4 > 2
l por 4:
⇒ 26−2 n > 2 -20 ⇒ 6 − 2n > −20 ⇒ 2n < 26 ⇒ n < 13 ⇒ n = 12
(16) FALSA.
Sendo a 5 = 2 −8 × l 2 , a 25 = 2 −48 × l 2 e a15 = 2 −28 × l 2
(32) VERDADEIRA.

1
l 2 l 2 
Os termos de ordem impar formam a seguinte PG infinita e decrescente:  l 2 , ,
, ... de razão
.
16
256
16


l2
Logo o limite da soma de seus termos é: S =
1−
1
16
=
l2
15
16
=
16l 2
15
08. Considere a função f(x) = 2 + log3 x e g(x) = − log 1 ( x − 1) .
3
Pode-se afirmar que:
(01) f(x) = 0 ⇔ x =
1
.
9
(02) f(70) > 6.
3x
.
9
(08) A função g é composta das funções h, l e m, tais que h(x) = −x, l (x) =
(04) f −1 ( x ) =
crescente.
(16) A equação f(x) = g(x) tem solução.
(32) g(x) < 0 ⇔ 1 < x < 2.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
2 + log3 x = 0 ⇒ log3 x = −2 ⇒ x =
1
9
(02) FALSA.
f(70) = 2 + log 3 70 > 6 ⇒ log 3 70 > 4 ⇒ log3 70 > log 3 34 ⇒ 70 > 81(falso) .
(04) VERDADEIRA.
Sendo f(x) = 2 + log3 x , a sua inversa é determinada trocando-se o x pelo y:
x = 2 + log3 y ⇒ log3 y = x − 2 ⇒ y = 3x − 2 ⇒ f −1 = y =
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
3x
3
2
9
=
3x
9
log 1 x , m(x) = x – 1 é uma função
3
(08) VERDADEIRA.
h( l (m)) = g(x) ⇒


h  log 1 ( x − 1)  = − log 1 ( x − 1) ⇒ − log 1 ( x − 1) = g( x ) .


3
3
 3

g(x) = − log 1 ( x − 1) .
3
A função n(x) = log 1 ( x − 1) é decrescente, pois a base do logaritmo é um número positivo menor que 1, então
3
g(x) = − n(x) = − log 1 ( x − 1) é uma função crescente..
3
(16) FALSA.
O domínio da equação 2 + log3 x = − log 1 ( x − 1) é o conjunto formado pelos valores de x que satisfazem ao sistema:
3
x > 0
x > 0
⇒
⇒ x >1

x − 1 > 0 x > 1
Resolvendo a equação 2 + log3 x = − log 1 ( x − 1) ⇒ log 3 9 + log 3 x = − log 3−1 ( x − 1) ⇒ log 3 9 x = log 3 ( x − 1) ⇒
3
⇒ log 3 9 + log 3 x = − log 3−1 ( x − 1) ⇒ log 3 9 x = log 3 ( x − 1) ⇒ 9x = x – 1 ⇒ x = −
1
( que não pertence ao domínio
9
da equação). Logo a equação f(x) = g(x) não tem solução.
(32) VERDADEIRA.
g(x) < 0 ⇒ − log 1 ( x − 1) < 0 ⇒ log 1 ( x − 1) > 0 ⇒ log 1 ( x − 1) > log 1 1 ⇒
3
3
3
3
x – 1 < 1 ⇒ x < 2. Sendo o domínio da função formado pelos valores de x > 1, então é verdade que
g(x) < 0 ⇔ 1 < x < 2.
( )
09. Considere a matriz A = a ij
1 2 1


=  2 3 0  . É verdade que:
 0 1 2


(01) A é uma matriz inversível.
(02) A é uma matriz simétrica.
a12 
− 3 2 
a
 é B −1 = 
 .
(04) A inversa da matriz B =  11
a
a
22 
 2 − 1
 21
2A + X
(08) O elemento x22 da matriz X tal que
= IA , onde I é a matriz identidade de 3a ordem, é igual a 6.
3
x
0
 
 
(16) O sistema AX = O, onde X =  y  e O =  0  , é determinado.
z
0
 
 
1
(32) Sendo Y a inversa da matriz A + I, então y31 =
4
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
1 2 1


Para que a matriz A =  2 3 0  seja inversível detA ≠ 0.
 0 1 2


1 2 1
det A = 2 3 0 = 6 + 2 − 8 = 0 ⇒ que a matriz A não é inversível.
0 1 2
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(02) FALSA.
1 2 1


Uma matriz quadrada é simétrica quando qualquer elemento am n = an m. Na matriz A =  2 3 0  , a1 3 ≠ a3 1.
 0 1 2


(04) VERDADEIRA.
 3 − 2


a12   1 2 
− 2 1   − 3 2 
a
 = 
 ⇒ B −1 = 
 .
= 
B =  11
3−4
 2 − 1
 a 21 a 22   2 3 
(08) FALSA.
1 2 1


2A + X
= IA ⇒ 2A + X = 3IA ⇒ X = 3A − 2A ⇒ X = A =  2 3 0  ⇒ x22 = 3
3
 0 1 2


(16) FALSA.
1 2 1
1 2 1   x  0

   
Sendo o sistema  2 3 0   y  =  0  homogêneo e 2 3 0 = 0 , então esse é um sistema indeterminado.
 0 1 2  z  0
0 1 2

   
(32) FALSA.
1 2 1 1 0 0  2 2 1

 
 

A + I =  2 3 0 + 0 1 0 =  2 4 0 .
 0 1 2  0 0 1   0 1 3

 
 

a
b
c




Considerando Y =  d e f  , onde y31 = g, tem-se:
g h i 


2a + 2d + g = 1 d = −3g
7g = 1



⇒  2a − 6g + g = 1 ⇒ 
 2a + 4d = 0
1
d + 3g = 0
2a − 12g = 0
g = y 31 = 7



 2 2 1  a b c   1 0 0  2a + 2d + g = 1


 
 
 2 4 0  d e f  =  0 1 0  ⇒ 2a + 4d = 0
 0 1 3  g h i   0 0 1  d + 3g = 0


 
 
QUESTÕES ABERTAS
10. Numa reserva florestal existem 2.500 animais de certa espécie. O crescimento da população desses animais é de 20% ao
ano.
Quantos anos, no mínimo, são necessários para a população desses animais ser superior a 7.500?
(Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48 ).
RESOLUÇÃO:
log 3
2.500 × 1,2 n > 7.500 ⇒ 1,2 n > 3 ⇒ log1,2 n > log 3 ⇒ n × log1,2 > log 3 ⇒ n >
⇒
log1,2
log 3
0,48
0,48
0,48
n>
⇒n>
⇒n>
⇒n>
⇒n >6.
2
log12 − log10
2 × 0,30 + 0,48 − 1
0,08
log 2 + log 3 − 1
RESPOSTA: 7 anos.
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11. (UFBA/2008/Modificada)
Em um terreno plano horizontal, está fixado um mastro vertical com 13,5 metros de altura. Do topo do mastro, é lançado
um projétil, descrevendo uma trajetória de modo que sua altura, em relação ao terreno, é uma função quadrática
(f(x) = ax2 + bx + c) de sua distância à reta que contém o mastro. O projétil alcança a altura de 16 metros, quando essa
distância é de 3 metros, e atinge o solo, quando a distância é de 27 metros. Calcule a altura do projétil quando essa distancia é
de 9 metros.
RESOLUÇÃO:
f (0) = 13,5
9a + 3b + 13,5 = 16
9a + 3b = 2,5

f(x) = ax²+bx+c f (3) = 16 ⇒ f ( x ) = ax 2 + bx + 13,5 ⇒ 
⇒
⇒
729a + 27b + 13,5 = 0 729a + 27b = −13,5
f (27) = 0

f(0) = 13,5
1
72a = −4  1

9a + 3b = 2,5
1

− + 3b = 2,5 a = −
⇒
⇒
⇒
⇒ f ( x ) = − x 2 + x + 13,5 ⇒
18
2


1


81
a
+
3
b
=
−
1
,
5
18
a
=
−

3b = 3

b = 1
18
81
f (9) = − + 9 + 13,5 = −4,5 + 22,5 = 18
18
RESPOSTA: f(9) = 18
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