Gabarito da Avaliação 3 de Lógica Computacional 1
Questões iguais em todas as provas:
1. (5 pts) Utilize a Regra DC para mostrar que é válido o seguinte argumento:
p ∨ q → r, s → ~r ∧ ~t, s ∨ u ⊢ p → u
De acordo com a Regra DC, temos: p ∨ q → r, s → ~r ∧ ~t, s ∨ u , p ⊢ u
Então, temos sucessivamente a demonstração:
1. p ∨ q → r
P
2. s → ~r ∧ ~t
P
3. s ∨ u
P
4. p
PA
5. p ∨ q
ADIÇÃO 4
6. r
MP 5, 1
7. r ∨ t
ADIÇÃO 6
8. ~~(r ∨ t)
DN 7
9. ~(~r ∧ ~t)
DM 8
10. ~s
MT 9
11. u
SD 10, 3 c.q.d.
2. (5 pts) Utilize a Regra DI para mostrar que é válido o seguinte argumento:
p ∧ q ↔ ~r, ~r → ~p, ~q → ~r ⊢ q
Demonstração da contradição das premissas:
1. p ∧ q ↔ ~r
P
2. ~r → ~p
P
3. ~q → ~r
P
4. ~q
PA
5. ~r
MP 4, 3
6. ~p
MP 5, 2
7. (p ∧ q → ~r) ∧ (~r → p ∧ q)
BIC 1
8. ~r → p ∧ q
SIMP 7
9. p ∧ q
MP 5,8
10. p
SIMP 9
11. p ∧ ~p
CONJ 10, 6 (Contradição)
3. Determine o Conjunto Verdade em A={-5, -4, …, 4, 5} e N={0, 1, 2, …}de cada uma das seguintes
sentenças abertas:
a) (5 pts) 2x + y = -5 ∧ 4x + 6y = 2 (considere que x ∈ A e y ∈ N)
p(x,y): 2x + y = -5
q(x,y): 4x + 6y = 2
Vp ∧ q = Vp ∩ Vq = { (-5, 5), (-4, 3), (-3,1) } ∩ { (-4,3), (-1,1) } = { (-4,3) }
b) (5 pts) x | 24 ↔ x | 16 (considere que x ∈ N)
p(x): x|24
q(x): x|16
Vp → q = V~p ∨ q = V~p ∪ Vq = CNVp ∪ Vq = N – {1,2,3,4,6,8,12,24} ∪ {1,2,4,8,16} = N – {3,6,12,24}
Vq → p = V~q ∨ p = V~q ∪ Vp = CNVp ∪ Vp = N – {1,2,4,8,16} ∪ {1,2,3,4,6,8,12,24} = N – {16}
Vp ↔ q = Vp → q ∩ Vq → p = N – {3,6,12,24} ∩ N – {16} = N – {3,6,12,16,24}
4. (4 pts) Sendo R o conjunto dos números reais e A o conjunto de alunos de LC1, determine o valor lógico
de cada uma das seguintes proposições:
a) (∀x ∈ R) (4x = 6)
Falso
b) (∃x ∈ R) (x² + 3x ≥ 28) Verdadeiro
c) (∃x ∈ A) (x é estudioso) Verdadeiro
d) (∀x ∈ A) (x possui ensino fundamental ou x conhece dois idiomas) Verdadeiro
5. (6 pts) Escreva a negação das proposições do exercício 4.
a) (∃x ∈ R) (4x ≠ 6)
b) (∀x ∈ R) (x² +3x < 28)
c) (∀x ∈ A) (~x é estudioso)
d) (∃x ∈ A) (~x possui ensino funcamental e ~x conhece dois idiomas)
6. (6 pts) Sendo A o conjunto dos alunos de LC1 e B={1, 2, …, 10}, forneça um Contraexemplo para as
seguintes proposições:
a) (∀x ∈ B) (2x > 6)
quando x = 1, ou x = 2, ou x = 3, a proposição 2x > 6 não é verdadeira
(na resposta pode aprensentar qualquer um dos 3 valores de x)
b) (∀x ∈ A) (x fala a língua mandarim)
eu não falo mandarim
c) (∃x ∈ B) (x ≤ 0)
qualquer valor de B é maior ou igual a zero, tornando a proposição x ≤ 0 falsa
Questões somente da prova 1:
7. (2,5 pts) Marque V ou F:
( F ) A unicidade, quando adicionada ao quantificador existencial, representa que pode existir mais de
um elemento pertencente ao conjunto verdade.
( V )A conjunção de uma sentença aberta com uma condição universal exprime em uma sentença aberta.
( V )Quando uma variável é utilizada em proposições, ela é denominada aparente, pois pode assumir
diferentes valores dentro de seu conjunto universo.
( V )A disjunção de uma sentença aberta com uma condição impossível exprime uma sentença aberta.
( F ) Uma proposição torna-se uma sentença aberta no momento que sua variável é substituída por um
elemento de seu conjunto universo.
8. (1,5 pto) Baseando-se nas seguintes afirmativas:
I - p(x) exprime uma condição universal quando seu conjunto verdade possui todos os elementos de
seu conjunto universo.
II - p(x) exprime uma condição possível quando seu conjunto verdade possui alguns elementos de seu
conjunto universo.
III - p(x) exprime uma condição impossível quando seu conjunto verdade possui nenhum elemento de
seu conjunto universo.
Assinale a alternativa correta:
( ) Uma afirmativa está correta.
( ) Duas afirmativas estão corretas.
( X ) Todas as afirmativas estão corretas.
( ) Nenhuma das afirmativas estão corretas.
Questões somente da prova 2:
7. (2,5 pts) Marque V ou F:
( V )A unicidade, quando adicionada ao quantificador existencial, representa que não pode existir mais de
um elemento pertencente ao conjunto verdade.
( F ) A conjunção de uma sentença aberta com uma condição impossível exprime em uma sentença aberta.
( F ) Quando uma variável é utilizada em proposições, ela é denominada livre, pois pode assumir
diferentes valores dentro de seu conjunto universo.
( F ) A disjunção de uma sentença aberta com uma condição universal exprime uma sentença aberta.
( V )Uma sentença aberta torna-se uma proposição no momento que sua variável é substituída por um
elemento de seu conjunto universo.
8. (1,5 pto) Baseando-se nas seguintes afirmativas:
I - p(x) exprime uma condição universal quando seu conjunto verdade possui alguns dos elementos de
seu conjunto universo.
II - p(x) exprime uma condição possível quando seu conjunto verdade possui nenhum elemento de seu
conjunto universo.
III - p(x) exprime uma condição impossível quando seu conjunto verdade possui todos elementos de seu
conjunto universo.
Assinale a alternativa correta:
( ) Uma afirmativa está correta.
( ) Duas afirmativas estão corretas.
( ) Todas as afirmativas estão corretas.
( X ) Nenhuma das afirmativas estão corretas.
Questões somente da prova 3:
7. (2,5 pts) Marque V ou F:
( V )A unicidade, quando adicionada ao quantificador existencial, representa que não pode existir mais de
um elemento pertencente ao conjunto verdade.
( V )A conjunção de uma sentença aberta com uma condição universal exprime em uma sentença aberta.
( F ) Quando uma variável é utilizada em proposições, ela é denominada livre, pois pode assumir diferentes
valores dentro de seu conjunto universo.
( V )A disjunção de uma sentença aberta com uma condição impossível exprime uma sentença aberta.
( V )Uma sentença aberta torna-se uma proposição no momento que sua variável é substituída por um
elemento de seu conjunto universo.
8. (1,5 pto) Baseando-se nas seguintes afirmativas:
I - p(x) exprime uma condição universal quando seu conjunto verdade possui nenhum dos elementos
de seu conjunto universo.
II - p(x) exprime uma condição possível quando seu conjunto verdade possui alguns elementos de seu
conjunto universo.
III - p(x) exprime uma condição impossível quando seu conjunto verdade possui todos elemento de seu
conjunto universo.
Assinale a alternativa correta:
( X ) Uma afirmativa está correta.
( ) Duas afirmativas estão corretas.
( ) Todas as afirmativas estão corretas.
( ) Nenhuma das afirmativas estão corretas.