PUCRS-Faculdade de Matemática - Prof. Eliete Biasotto Hauser
Equações Diferenciais: exercícios e algumas aplicações
1-As Linhas de Força e as linhas Equipotenciais interceptam-se ortogonalmente. Determinar as linhas de
força do campo elétrico gerado por dois fios paralelos de material condutor, carregados com cargas opostas de
mesma intensidade, encontrando as trajetórias ortogonais da família x 2 + y 2 + 1 = 2Cx .
Resposta: x 2 + y 2 − 1 = Ky . Ajuda: usar o fator integrante µ ( y ) = y −2 .
2-Reações Químicas: A velocidade de uma reação química é proporcional às concentrações das substâncias que
reagem. Na inversão da sacarose, a reação é C12 H22 O11 + H2 O = C6 H12 O6 + C6 H12 O6 .São formadas
duas moléculas, uma de glicose e outra de frutose. Neste caso, podemos supor que a concentração da água é
constante(c) durante a reação. Denotamos por a concentração de sacarose antes de iniciar a reação e q a de
sacarose decomposta ao fim do tempo t. A velocidade com que se verifica a inversão é dada pela derivada da
quantidade decomposta em relação ao tempo; como esta derivada deve ser proporcional às concentrações c da
água e a-q da sacarose que ainda não reagiu, temos: q´( t ) = k1 c( a − q ) . Determinar q(t), se q(0)=0.
Resposta: q( t ) = a − ae
−k t
, k = k1 c .
3. Economia
A) Numa empresa, a relação entre lucro líquido L(x) e as despesas de
propaganda x é tal que a taxa de aumento do lucro líquido. á medida que as
despesas de propaganda aumentam, é proporcional a uma constante A menos o
lucro líquido( dL/dx = K ( A - L )). Determinar a relação entre lucro líquido e
despesas de propaganda, se L(0)=100 , L(30) = 150 e A=300 (mil unidades
monetárias) . Resposta: L( x ) = 300 − 200 e
−0.009589 x
B) A relação entre o custo de fabricação por objeto (C) e o número de tipos
objetos fabricados (x) é tal que a taxa de aumento do custo quando o número de
dC( x ) C( x ) + x
tipos aumenta é expressa pela equação diferencial homogênea
. Determinar a relação entre o
=
dx
x
custo de fabricação por objeto e o número de tipos de objetos fabricados, sabendo C(1)=1000 unidades
monetárias. Resposta: C( x ) = x( 1000 + ln x ) .
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Diferenciais: Aplicações
4. Problemas de variação de temperatura : A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de
variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio
ambiente. dT/dt = k( T- Tm )
A)Um objeto à temperatura inicial de 50 o F é colocado ao ar livre , onde a temperatura ambiente é de 100 o F .
Se após 5 minutos a temperatura do objeto é de 60 o F , determinar (a) o tempo necessário para a temperatura
atingir 75 o F e (b) a temperatura do corpo após 20 minutos. Resposta: a) 15,4 min. b) 79,5 o F
B) Coloca-se um objeto com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de 30 o F .
Se após 10 minutos, a temperatura do objeto é 0 o F e após 20 minutos é 15 o F , determinar a temperatura inicial
desconhecida. Resposta: -30 o F
C) Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100 o F em um quarto com
temperatura constante de 0 o F . Se, após 20 minutos a temperatura da barra é de
50 o F , determinar : (a) O tempo necessário para a barra chegar à temperatura de
25 o F ; b) A temperatura da abra após 10 minutos.
Resposta: T (t ) = 100e −0.03465739t a) 40 min. b) 70 ,71o F
5. Problemas de crescimento e decrescimento
Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a um
processo de crescimento ou de decrescimento. Admite-se que dN/dt, taxa de
variação da quantidade de substância, é proporcional à quantidade de substância presente, então dN/dt =kN.
A) Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após 1 hora,
observam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos. Determine (a) uma expressão para
o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t e (b) o número de núcleos inicialmente existentes
na cultura. R: a) N = 694e0.366t b) 694
B) Certa substancia radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se se observa que, após
uma hora houve uma redução de 10% da quantidade inicial da substância, determine a “meia-vida” (half life) da
substância. (Sugestão: designe por N 0 a quantidade inicial da substância. Não é preciso conhecer N 0
explicitamente). R: 6.6 horas
dq( t )
6. Circuitos em série L-R, R-C: i( t ) =
, L= indutância; R= resistência; E( t ) = voltagem;
dt
di
dq 1
L + R i = E (t ) ;
R
+ q = E (t )
dt
dt C
A) Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 1/2 Henry e a resistência,
10 ohms. Determinar a corrente i(t), se a corrente inicial é zero. R: i( t ) = 1,2( 1 − e −20t ) .
B) Uma força eletro motiva de 100 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é de 200
ohms e a capacitância, 10-4 Farad. Determinar a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0. Determinar a corrente i(t).
R: q( t ) = 0 ,01( 1 − e −50t ), i( t ) = 0 ,5e −50t .
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Equações Diferenciais: exercícios e algumas aplicações
7) Resolver o Problema de Valor inicial
⎧ dy 3 x 2 + 4 x + 2
=
⎪
a) ⎨ dx
2( y − 1 )
⎪ y( 0 ) = −1
⎩
Resposta: A única solução é y = 1 − x 3 + 2 x 2 + 2 x + 4 .
⎧ dy − x
=
⎪
y
b) ⎨ dx
⎪ y( 4 ) = 3
⎩
Resposta: A única solução é y = 25 − x 2 .
8) Considerar a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes (*)
A y´´( t ) + B y´( t ) + C y = 0 .
a) Supondo que y( x ) = Ke λx é uma solução de (*) obter o polinômio característico (**) p( λ ) = A λ2 + B λ + C .
λ x
λ x
b) Mostrar que se λ1 ≠ λ2 são raízes reais de p( λ ) , a solução geral de (*) é y( x ) = c1 e 1 + c2 e 2
( λ + λ )x
λ x λ x
Ajuda: Mostrar que W ( e 1 ,e 2 ) = − e 1 2 ( λ 1 − λ2 ) ≠ 0 .
b)Mostrar que se λ1 = λ2 é raiz real dupla de p( λ ) , a solução geral de (*) é
λ x
λ x
y( x ) = c1 e 1 + c2 x e 1
λ x
λ x
2λ x
Ajuda: Mostrar que W ( e 1 , x e 1 ) = e 1 ≠ 0 .
c) Mostrar que se λ1 = e a + bi e λ2 = e a − bi são raízes complexas de p( λ ) , a solução geral de (*) é
y( x ) = k1e ax cos bx + k 2 e ax senbx
Ajuda: Mostrar que W ( e ax cos bx , e ax senbx ) = be 2 ax ≠ 0
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A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes A y´´( t ) + B y´( t ) + C y = f ( t ) modela matematicamente problemas de
diversas áreas: física, engenharia, química, biologia,... Na tabela a seguir apresentamos alguns exemplos.
Circuito Elétrico em série L-R-C
Torção
Sistema Mecânico
movimento forçado com amortecimento
movimento de rotação( peso
fixo na ponta de um cabo
A y´´( t ) + B y´( t ) + C y = f ( t ) (massa fixa numa mola)
E(t) =0 - vibrações elétricas livres
elástico)
f(t)=0 e β ≠ 0 movimento livre amortecido
y( 0 ) = y0
f(t)=0 e β = 0 movimento livre sem
y´( 0 ) = y1
amortecimento
f(t)=0 e κ = 0 oscilador harmônico
Deslocamento
q(t) - carga no capacitor,
y(t)
θ ( t ) - movimento de
dq
rotação
i( t ) =
dt
m - massa
L - indutância
I-momento de inércia
A
R – Resistência
B
β - amortecimento
β -amortecimento
κ – constante elástica
1/C – elastância=capacitância recíproca κ -Constante elástica
C
f(t) -força externa
E(t) – voltagem impressa
T(t) - torque
f(t)
A y´´( t ) + B y´( t ) + C y = 0
A λ2 + B λ + C = 0
λ1,2 =
− B ± B 2 − 4 AC
2A
P = β 2 − 4 Mκ
P = B 2 − 4 AC
P>0 – superamortecido
P<0 - subamortecido
P=0 – criticamente amortecido
P = R2 −
11) Resolver o problema de valor inicial.
4
4L
C
P = β 2 − 4 Iκ
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Equações Diferenciais: exercícios e algumas aplicações
40
( − 1/10 t )
⎛ 1 199 t ⎞
⎧ 5 y' ' + y' +10 y = 0
y
:=
t
→
199
e
sin
⎜⎜
⎟⎟
a) ⎨
199
⎝ 10
⎠
⎩ y( 0 ) = 0 , y' ( 0 ) = 4
(oscilação periódica, com freqüência
2π
199
199
radianos por unidade de tempo e período
unidades de tempo, com amplitude decrescente com o tempo).
⎧ y' ' +16 y = 0
(Resposta: y(t)=cos4t, oscilador harmônico, freqüência 4 radianos por
⎩ y( 0 ) = 1, y' ( 0 ) = 0
b) ⎨
π
unidade de tempo e período
2
unidades de tempo, amplitude constante
⎧ y' ' + y = −2 sent
Resposta: y(t) =tcost, solução periódica com amplitude crescente
⎩ y( 0 ) = 0 , y' ( 0 ) = 1
c) ⎨
5
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⎧0 ,2 y' ' ( t ) + 1,2 y' ( t ) + 2 y( t ) = 5 cos 4t
d) O problema de valor inicial ⎨
representa um sistema vibrante
⎩ y( 0 ) = 0 ,5 , y' ( 0 ) = 0
que consiste em uma massa (0,2kg) atada a uma mola(k=2 N/m). A massa parte do repouso 0,5m abaixo
da posição de equilíbrio. O movimento é amortecido ( β =1,2) e está sob a ação de uma força externa
periódica (f(t)=5cos4t). Determinar y(t).
86 ( −3 t )
38 ( −3 t )
50
25
e
sin( 4 t ) −
cos( 4 t )
y( t ) = − e
sin( t ) +
cos( t ) +
51
51
51
102
1
⎧
⎪q' ' ( t ) + 9 q' ( t ) + 14 q = sent
, isto é, a carga no capacitor de um circuito em série
e) Determinar a solução do problema de valor inicial ⎨
2
⎪⎩q( 0 ) = 0 , q' ( 0 ) = 1
R_L_C , no qual R=180 ohms, C=1/280 farad, L=20 Henry , voltagem aplicada E(t)=10sent. Não existe carga inicial no capacitor e a corrente
101 ( −7 t ) 11 ( −2 t )
9
13
dq ⎞
⎛
e
e
cos( t ) +
sin( t )
q( t ) = −
+
−
inicial ⎜ i( t ) = ⎟ é de 1 Ampère quando t=0.
500
50
500
500
dt ⎠
⎝
6
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Equações Diferenciais: exercícios e algumas aplicações
Exemplo: Determinar o Potencial eletrostático u(r) entre duas esferas concêntricas de raio r=1 e raio r=4 a partir do Problema de Valor de
⎧ d 2 u 2 du
+
=0
⎪
Contorno ⎨ dr 2 r dr
.
⎪u( 1 ) = 50 , u( 4 ) = 100
⎩
OBS.: Notar que a equação diferencial linear não tem coeficientes constantes. Apresentamos a solução utilizando o sistema Maple.
> edopvc2 := diff( u(r), r$2 ) + (2/r) * diff( u(r), r )= 0;
>
cc2:=u(1)=50,u(4)=100;
> sol_pvc2:=unapply(rhs(dsolve({edopvc2,cc2},u(r))),r);
>plot({sol_pvc2(r),350/3},r=0.3..20,thickness=2);
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