FEP0111 - Fı́sica I
Relatório do Experimento 1
Sistema Massa - Mola
Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa
4 de novembro de 2005
Sumário
1 Introdução
2
2 Objetivos
2
3 Procedimento experimental
3.1 Método estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Método dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
4 Resultados
4.1 Método estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Método dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
5 Discussão e conclusão
8
1
1
Introdução
Esse relatório descreve o experimento Sistema Massa - Mola, realizado no dia 7
de outubro de 2005, na turma A de laboratório de fı́sica da disciplina FEP0111
- Fı́sica I, ministrada para o Instituto Oceanográfico. Aplicam-se conceitos
básicos de fı́sica experimental, como teoria de erros e medidas, assim como
alguns conceitos de mecânica, centrando-se no estudo de um sistema constituı́do
por uma mola e uma massa fixada.
2
Objetivos
Este experimento tem como objetivo a determinação da constante elástica k,
de uma mola, por meio de análise gráfica. Esta determinação será efetuada de
duas maneiras distintas: estática e dinamicamente.
3
3.1
Procedimento experimental
Método estático
Nessa etapa do experimento, utilizamos corpos de diferentes massas, para medir,
com uma escala vertical milimetrada, a distensão de uma mola de constante
elástica k. O sistema em estudo pode ser observado na Figura 1.
Figura 1: Sistema massa-mola vertical. O corpo de massa m é colocado no apoio
ao final da mola, onde é exercida a ação da força peso e a força restauradora da
mola, em sentido oposto.
Foram colocados 5 objetos de massas diferentes na base da mola, e medido
o deslocamento ∆x para cada objeto. O peso de cada objeto foi medido em
uma balança digital com precisão de 0, 0001kg. O deslocamento ∆x foi medido
através de uma régua graduada de acrı́lico, de 30cm, com incerteza de 0, 0005m.
Os dados obtidos estão disponı́veis na Tabela 1.
3.2
Método dinâmico
Nessa etapa do experimento utilizamos os Objetos 1, 2, 3, 4 e 5, no mesmo
esquema experimental da Figura 1, mas nesse caso colocamos o sistema para
2
medida
m ± 0,0001 (kg)
x ± 0,0005 (m)
F ± 0,0001 (N)
Objeto 1
0,0615
0,1040
0,6015
Objeto 2
0,1112
0,1870
1,0875
Objeto 3
0,0184
0,0300
0,1799
Objeto 4
0,0199
0,0345
0,1946
Objeto 5
0,0202
0,0335
0,1976
Tabela 1: Medidas da massa, força e deslocamento vertical da mola
oscilar. Utilizando um cronômetro, com precisão de 1 milisegundo, efetuamos
a medida do tempo ocorrido após dez oscilações, determinando assim o perı́odo
de oscilação da mola. Foram utilizadas 10 oscilações ao invés de somente 1, para
obter uma medida mais confiável do perı́odo da mola, pois em experimentos em
que se usa cronômetro há sempre um certo atraso do medidor em acioná-lo no
começo e fim do evento de interesse a ser medido. Com 10 oscilações se dilui
esse efeito na primeira e última oscilação.
Os dados desse experimento estão disponı́veis na Tabela 2.
medida
m ± 0,0001 (kg)
t1 0 ± 0,01 (s)
T ± 0,001 (s)
Objeto 1
0,0615
6,93
0,693
Objeto 2
0,1112
9,04
0,904
Objeto 3
0,0184
4,59
0,459
Objeto 4
0,0199
4,75
0,475
Objeto 5
0,0202
4,28
0,428
Tabela 2: Medidas da massa m, tempo t1 0 de dez oscilações e perı́odo T
4
Resultados
4.1
Método estático
Uma maneira de analisar os dados da Tabela 1 é através do diagrama de dispersão de F por ∆x, com o qual temos uma visualização mais direta do comportamento do sistema. No eixo das abscissas colocamos os valores das distensões da
mola (deslocamento vertical), no eixo das ordenadas colocamos as correspondentes forças que proporcionam esta variação em x.
O gráfico resultante das medidas da Tabela 1 se encontra na Figura 2.
Podemos observar uma relação linear bem forte entre as duas quantidades.
Sabemos pela Lei de Hooke [2] que:
F = kx
e portanto:
k=
∆F
∆x
Podemos portanto obter o valor da constante elástica da mola através do
coeficiente angular da reta de regressão linear de mı́nimos quadrados passando
pela origem. Fazendo esse ajuste no R [3], obtemos:
> mod.reg <- lm(forcas ~ -1 + deltax)
> summary(mod.reg)
3
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Força correspondente (N)
0.05
0.10
0.15
Deslocamento vertical da mola ∆x (m)
Figura 2: Sistema massa-mola vertical. Gráfico de diagrama de dispersão dos
valores de distensão da mola (∆x) pelas forças F .
Call:
lm(formula = forcas ~ -1 + deltax)
Residuals:
1
2
-0.00268 0.00113
3
4
5
0.00562 -0.00583 0.00298
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
deltax
5.8095
0.0206
283 9.4e-10 ***
--Signif. codes: 0 ’***’ 0.001 ’**’ 0.01 ’*’ 0.05 ’.’ 0.1 ’ ’ 1
Residual standard error: 0.00455 on 4 degrees of freedom
Multiple R-Squared:
1,
Adjusted R-squared:
1
F-statistic: 7.98e+04 on 1 and 4 DF, p-value: 9.42e-10
Onde obtemos que k = 5, 81 ± 0, 02N/m. A reta ajustada se encontra na
Figura 3, onde podemos observar que o ajuste se adequou muito bem aos dados.
4
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Força correspondente (N)
0.05
0.10
0.15
Deslocamento vertical da mola ∆x (m)
Figura 3: Sistema massa-mola vertical. Gráfico de diagrama de dispersão dos
valores de distensão da mola (∆x) pelas forças F , com a reta ajustada utilizando
a relação F = kx, com k = 5, 81 estimado pelo ajuste de mı́nimos quadrados.
4.2
Método dinâmico
Analisamos os dados da Tabela 2 através de um gráfico di-log de T por m.
No eixo das abscissas colocamos os valores das diferentes massas, e no eixo das
ordenadas colocamos os correspondentes valores do perı́odo de oscilação.
O gráfico referente aos dados da Tabela 2 se encontra na Figura 4.
Temos [1] que o perı́odo T se relaciona à constante elástica da mola k, através
da equação:
r
m
T = 2π
.
k
Aplicando o logaritmo nos dois lados da equação acima, obtemos:
log T
= log 2π
r
m
k
√
2π
= log √ + log m
k
2π
log m
= log √ +
2
k
5
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
Perído de osciliação T (s)
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Massa do objeto m (kg)
Figura 4: Comportamento do perı́odo de acordo com a massa do sistema oscilante, T × m.
Obtemos assim, que em escala di-log, a relação entre o perı́odo e a massa é
linear em k. Basta então ajustarmos uma reta ao gráfico 4, fixado o coeficiente
angular em log2 m e obtermos o intercepto. Dado esse ajuste:
log T = β0 +
log m
,
2
(1)
2π
, temos um estimador da constante
notamos ainda que igualando β0 a log √
k
elástica da mola k:
2π
β0 = log √ ⇒ k =
k
2π
eβ0
2
Fazendo esse ajuste no R, obtemos:
> mod.dinam <- lm(log(T) ~ offset(log(massas)/2))
> mod.dinam
Call:
lm(formula = log(T) ~ offset(log(massas)/2))
Coefficients:
(Intercept)
1.11
6
(2)
assim βˆ0 = 1, 1120. Usando a equação 2, temos k = 4.27.
Uma forma alternativa de obter k, é realizar o ajuste baseado diretamente
na relação da equação 1. Para isso basta usarmos um procedimento de ajuste de
mı́nimos quadrados não lineares. Fazemos isso no R com os comandos abaixo,
utilizando como valor de partida a estimativa de k obtida pelo método acima:
> mod.nlin <- nls(T ~ 2 * pi * sqrt(massas/k),
+
start = list(k = 4.27))
> mod.nlin
Nonlinear
model:
data:
k
4.7948
residual
regression model
T ~ 2 * pi * sqrt(massas/k)
parent.frame()
sum-of-squares: 0.013346
0.7
0.6
0.5
Perído de osciliação T (s)
0.8
0.9
Onde vemos que obtemos a estimativa para k um pouco maior de 4, 79. Na
Figura 5 temos as retas no gráfico di-log para os dois ajustes diferentes. Os dois
ajustes se aproximam razoavelmente dos valores observados, mas nenhum dos
dois fica tão bom quanto o ajuste obtido no gráfico do experimento estático.
método linear, k = 4.27
método não−linear, k = 4.79
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Massa do objeto m (kg)
Figura 5: Comportamento do perı́odo de acordo com a massa do sistema oscilante, T × m, com os dois ajustes de k.
7
5
Discussão e conclusão
Através desse experimento foi possı́vel obter o valor da constante elástica da
mola por meio de dois experimentos diferentes. Duas abordagens de análise
no método estático, permitiram ainda obter duas estimativas diferentes para o
valor de k. Na Tabela 3 temos um resumo das estimativas obtidas.
método
estático
dinâmico: linear
dinâmico: não-linear
estimativa
5, 81 ± 0, 02
4, 27 ± 0, 02
4, 79 ± 0, 01
Tabela 3: Estimativas obtidas para a constante elástica da mola k, nesse experimento
Consideramos que o melhor valor a ser adotado é o obtido no experimento
estático, ou seja k = 5, 81. Por razões analı́ticas, consideramos esse valor melhor
pois como pudemos observar na Figura 3 a reta ajustada ficou muito mais próxima dos dados nesse caso. Outra razão para escolhermos essa estimativa é por
motivos experimentais. No experimento estático as condições estavam melhor
controladas, e haviam menos variáveis influenciadas pelos experimentadores.
Bastava colocar uma dada massa no suporte da mola e medir o deslocamento
∆x com a reta. No caso do experimento dinâmico era mais complicado conseguir obter medições confiáveis, principalmente no caso das massas menores,
pois muitas vezes o sistema entrava em movimento de pêndulo, e tı́nhamos que
começar a medição novamente para aquele objeto. Além disso, as medições ficavam sujeitas aos reflexos do operador do cronômetro, apesar desse efeito ser
atenuado pelo uso de 10 oscilações para se obter a estimativa da medição do
perı́odo.
Referências
[1] Máximo, A. e Alvarenga, B. 1997. Curso de Fı́sica 1. São Paulo: Scipione.
[2] Halliday, D., Resnick, R. e Walker, J. 2001. Fundamentos de Fı́sica: Mecânica 1. Rio de Janeiro: LTC.
[3] R Development Core Team, R: A language and environment for statistical
computing, R Foundation for Statistical Computing, (2004).
Sobre
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